Мінімальна точка функції. Що таке екстремуми функції: критичні точки максимуму та мінімуму

З цієї статті читач дізнається про те, що таке екстремум функціонального значення, а також про особливості його використання в практичної діяльності. Вивчення такого концепту вкрай важливе для розуміння основ вищої математики. Ця тема є основною для більш глибокого вивченнякурсу.

Вконтакте

Що таке екстремум?

У шкільному курсідається безліч визначень поняття «екстремум». Ця стаття покликана дати найглибше і найточніше уявлення про термін для необізнаних у питанні осіб. Отже, під терміном розуміють, наскільки функціональний проміжок набуває мінімального або максимальне значенняна тій чи іншій множині.

Екстремум – це і мінімальне значенняфункції, та максимальне одночасно. Розрізняють точку мінімуму та точку максимуму, тобто крайні значення аргументу на графіку. Основні науки, в яких використовують цей концепт:

• статистика;
• машинне керування;
• економетрики.

Крапки екстремуму грають важливу рольу визначенні послідовності заданої функції. Система координат на графіку в кращому виглядіпоказує зміну екстремального становища залежно від зміни функціональності.

Екстремуми похідної функції

Має також таке явище, як «похідна». Вона необхідна визначення точки екстремуму. Важливо не плутати точки мінімуму чи максимуму з максимальним і меншим значенням. Це різні поняття, хоча можуть здатися схожими.

Значення функції є основним чинником визначення того, як знайти точку максимуму. Похідна не утворюється від значень, а виключно від крайнього її положення в тому чи іншому порядку.

Сама ж по собі похідна визначається на основі даних точок екстремуму, а не найбільшого чи найменшого значення. У російських школахнедостатньо чітко проводять грань між цими двома концептами, що впливає розуміння цієї теми взагалі.

Давайте розглянемо тепер таке поняття як «гострий екстремум». На сьогоднішній день виділяють гострий мінімум значення та гострий максимум значення. Визначення дано відповідно до російською класифікацієюкритичних точок функції. Концепт точки екстремуму є основою знаходження критичних точок на графіці.

Для визначення такого поняття вдаються до теореми Ферма. Вона є найважливішою під час вивчення крайніх точокі дає чітке уявлення про їхнє існування в тому чи іншому їхньому вигляді. Для забезпечення екстремальності важливо створити певні умовидля спадання чи зростання графіку.

Для точного відповісти на запитання «як знайти точку максимуму», необхідно дотримуватися таких положень:

1. Знаходження точної області визначення на графіку.
2. Пошук похідної функції та точки екстремуму.
3. Вирішувати стандартні нерівності на область знаходження аргументу.
4. Вміти доводити, у яких функціях точка на графіку визначена і безперервна.

Увага!Пошук критичної точкифункції можливий лише у разі існування похідної щонайменше другого порядку, що забезпечується високою часткою наявності точки екстремуму.

Необхідна умова екстремуму функції

Для того, щоб існував екстремум, важливо, щоб були як точки мінімуму, так і точки максимуму. Якщо це правило дотримано лише частково, то умова існування екстремуму порушується.

Кожна функція у будь-якому положенні має бути продиференційована з метою виявлення її нових значень. Важливо розуміти, що випадок звернення точки в нуль не є основним принципом знаходження точки, що диференціюється.

Гострий екстремум, як і мінімум функції – це вкрай важливий аспект рішення математичного завданняіз використанням екстремальних значень. Для того, щоб краще розуміти цю складову, важливо звернутися до табличним значеннямза завданням функціоналу.

У цій статті ми розглянемо кілька прикладів на знаходження точок максимуму (мінімуму) ірраціональної функції. Алгоритм рішення було вже неодноразово викладено у статтях із подібними завданнями, в одній із минулих статей.

У вас може виникнути питання – а чим раціональна функціявідрізняється від ірраціональної?У ірраціональної функції, говорячи простими словами, аргумент знаходиться під коренем, або ступінь у нього це дробове число(Нескорочуваний дріб). Інше питання -у чому відмінності у знаходженні їх точок максимуму (мінімуму)? Та ні в чому.

Сам принцип і алгоритм вирішення завдань визначення точок максимуму (мінімуму) один. Просто для зручності та систематизації матеріалу я розбив його на кілька статей – окремо розглянув раціональні, логарифмічні, тригонометричні та інші, залишилося ще кілька прикладів на знаходження найбільшого (найменшого) значення ірраціональної функції на відрізку. Їх ми також розглянемо.

Давайте тут докладно опишу знаходження похідної, коли аргумент має ступінь, у всіх прикладах нижче це використовується.

Сама формула:

Тобто, якщо в нас аргумент стоїть певною мірою і потрібно знайти похідну, то ми записуємо це значення ступеня, множимо його на аргумент, а його ступінь буде на одиницю меншим, наприклад:

Якщо ж ступінь дробове число, то все те саме:

Наступний момент! Звичайно ж, ви повинні пам'ятати властивості коренів та ступенів, а саме:

Тобто, якщо в прикладі ви побачите, наприклад, вираз (або подібний до кореня):

То при вирішенні, щоб обчислити похідну, його необхідно подати як х у мірі, буде так:

Інші табличні похідні та правила диференціювання ви повинні знати!

Правила диференціювання:

Розглянемо приклади:

77451. Знайдіть точку мінімуму функції y = x 3/2 – 3x + 1

Знайдемо нулі похідної:

Вирішуємо рівняння:

У точці х = 4 похідна змінює знак з негативного на позитивний, це означає, що дана точкає точкою мінімуму.

Відповідь: 4

77455. Знайдіть точку максимуму функції

Знайдемо похідну заданої функції:

Знайдемо нулі похідної:

Вирішуємо рівняння:

Визначимо знаки похідної функції та зобразимо на малюнку поведінку функції. Для цього підставимо довільні значення з отриманих інтервалів у похідну:

У точці х = 4 похідна змінює знак з позитивного на негативний, це означає, що дана точка є точкою максимуму.

Відповідь: 4

77457. Знайдіть точку максимуму функції

Знайдемо похідну заданої функції:

Знайдемо нулі похідної:

Вирішуючи рівняння:

Визначимо знаки похідної функції та зобразимо на малюнку поведінку функції. Для цього підставимо довільні значення з отриманих інтервалів у похідну:

У точці х = 9 похідна змінює знак з позитивного на негативний, це означає, що дана точка є точкою максимуму.

Відповідь: 9

Точки максимуму та мінімуму є точками екстремуму функції, що знаходяться за певним алгоритмом. Це є основним показником при дослідженні функції. Точка x0 є точкою мінімуму, якщо всім x з певної околиці x0 виконується нерівність f(x) ? f(x0) (для точки максимуму об'єктивно зворотна нерівність f(x) ? f(x0)).

Інструкція

1. Виявіть похідну функції. Похідна характеризує метаморфозу функції у певній точці і визначається як межа відношення збільшення функції до збільшення доводу, що тяжиться до нуля. Для знаходження скористайтеся таблицею похідних. Скажімо, похідна функції y = x3 дорівнюватиме y' = x2.

2. Прирівняйте цю похідну до нуля (в даному випадку x2 = 0).

3. Визначте значення змінної цього виразу. Це будуть ті значення, при яких ця похідна дорівнюватиме 0. Для цього підставте до виразу довільні цифри замість x, при яких весь вираз стане нульовим. Скажімо: 2-2×2 = 0 (1-x) (1 + x) = 0x1 = 1, x2 = -1

4. Отримані значення нанесіть на координатну пряму і вирахуйте похідний знак для всього з отриманих інтервалів. На координатній прямій відзначаються точки, що приймаються за передмову відліку. Щоб вирахувати значення на інтервалах підставте довільні значення, відповідні за критеріями. Скажімо, для попередньої функції до інтервалу -1 можна віддати перевагу значення -2. На інтервалі від -1 до 1 можна віддати перевагу 0, а для значень більше 1 виберіть 2. Підставте ці цифри в похідну і дізнаєтеся знак похідної. У разі похідна з x = -2 дорівнюватиме -0,24, тобто. негативно і цьому інтервалі стоятиме знак мінус. Якщо x=0, то значення дорівнюватиме 2, а значить на даному інтервалі ставиться позитивний знак. Якщо x=1, то похідна також дорівнюватиме -0,24 і тому ставиться мінус.

5. Якщо при проходженні через точку на координатній прямій похідна змінює свій знак з мінусу на плюс, то це точка мінімуму, а якщо з плюса на мінус, то точка максимуму.

Точки максимуму функції нарівні з точками мінімуму називаються точками екстремуму. У цих точках функція змінює характер поведінки. Екстремуми визначаються на обмежених числових проміжках і є локальними.

Інструкція

1. Процес знаходження локальних екстремумівназивається пошуком функції та виконується шляхом огляду першої та 2-ї похідної функції. Перед початком дослідження переконайтеся, що цей проміжок значень аргументу належить до можливих значень. Скажімо, для функції F=1/x значення аргументу х=0 неприйнятне. Або для функції Y=tg(x) аргумент не може мати значення х=90°.

2. Перевірте, чи функція Y диференційована на кожному заданому відрізку. Виявіть першу похідну Y'. Мабуть, що до досягнення точки локального максимуму функція підвищується, а при переході через максимум функція стає меншою. Перша похідна за своїм фізичного змістухарактеризує швидкість метаморфози функції. Поки функція наростає, швидкість цього процесу є позитивною величиною. При переході через локальний максимум функція починає зменшуватись, і швидкість процесу метаморфози функції стає негативною. Перехід швидкості метаморфози функції через нуль відбувається у точці локального максимуму.

3. Отже, на ділянці зростання функції її перша похідна є позитивною для всіх значень доводу на цьому проміжку. І навпаки - на ділянці зменшення функції значення першої похідної менше нуля. У точці локального максимуму значення першої похідної дорівнює нулю. Мабуть, щоб знайти локальний максимум функції, необхідно виявити точку х?, у якій перша похідна цієї функції дорівнює нулю. За будь-якого значення доводу на досліджуваному відрізку хх? - Негативною.

4. Для знаходження х? розв'яжіть рівняння Y'=0. Значення Y(х?) буде локальним максимумом, якщо друга похідна функції у цій точці менше нуля. Виявіть другу похідну Y”, підставте отримане вираз значення доводу х= х? і порівняйте результат обчислень з нулем.

5. Скажімо, функція Y=-x?+x+1 на відрізку від -1 до 1 має постійну похідну Y'=-2x+1. При х=1/2 похідна дорівнює нулю, причому при переході через цю точку похідна змінює знак з + на -. Друга похідна функції Y”=-2. Побудуйте за точками графік функції Y=-x?+x+1 і перевірте, чи точка з абсцисою х=1/2 локальним максимумом на заданому відрізку числової осі.

Відео на тему

Корисна порада
Для перебування похідної існують онлайн-сервіси, які підраховують необхідні значення і підсумовують. На таких сайтах можна знайти похідну до 5 порядку.

значення

Найбільше

значення

Найменше

Точка максимуму

Точка мінімуму

Завдання на перебування точок екстремумафункції вирішуються за стандартною схемою в 3 кроки.

Крок 1. Знайдіть похідну функції

• Запам'ятайте похідні формули елементарні функціїта основні правила диференціювання, щоб знайти похідну.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

Крок 2. Знайдіть похідні нулі

• Розв'яжіть отримане рівняння, щоб знайти нулі похідної.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

Крок 3. Знайдіть точки екстремуму

• Використовуйте метод інтервалів, щоб визначити похідні знаки;
• У точці мінімуму похідна дорівнює нулю і змінює знак з мінусу на плюс, а в точці максимуму - з плюсу на мінус.

Застосуємо цей підхід, щоб вирішити таке завдання:

Знайдіть точку максимуму функції y=x3−243x+19.

1) Знайдемо похідну: y (x) = (x3-243x +19) = 3x2-243;

2) Розв'яжемо рівняння y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Похідна позитивна при x>9 і x<−9 и отрицательная при −9

Як шукати найбільше та найменше значення функції

Для вирішення задачі на пошук найбільших та найменших значень функції необхідно:

• Знайти точки екстремуму функції на відрізку (інтервалі).
• Знайти значення в кінцях відрізка та вибрати найбільшу чи найменшу величину із значень у точках екстремуму та в кінцях відрізка.

Багато завдань допомагає теорема:

Якщо на відрізку лише одна точка екстремуму, причому це точка мінімуму, то в ній досягається найменше значення функції. Якщо це точка максимуму, то ній досягається найбільше значення.

14. Поняття та основні властивості невизначеного інтеграла.

Якщо функція f(x X, і k- Число, то

Коротше: постійну можна виносити за знак інтегралу.

Якщо функції f(x) та g(x) мають первісні на проміжку X, то

Коротше: інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.

Якщо функція f(x) має первісну на проміжку X, то для внутрішніх точок цього проміжку:

Коротше: похідна від інтеграла дорівнює підінтегральної функції.

Якщо функція f(x) безперервна на проміжку Xта диференційована у внутрішніх точках цього проміжку, то:

Коротше: Інтеграл від диференціалу функції дорівнює цій функції плюс постійна інтеграція.

Дамо суворе математичне визначення поняття невизначеного інтегралу.

Вираз виду називається інтегралом від функції f(x) , де f(x) - підінтегральна функція, що задається (відома), dx - диференціал x , із символом завжди присутній dx .

Визначення. Невизначеним інтеграломназивається функція F(x) + C , що містить довільне постійне C , диференціал якої дорівнює підінтегральномувиразу f(x)dx , тобто. або Функцію називають первісної функції. Первинна функція визначається з точністю до постійної величини.

Нагадаємо, що - диференціал функціїі визначається так:

Завдання знаходження невизначеного інтегралуполягає у знаходженні такої функції, похіднаякою дорівнює підінтегральному виразу. Ця функція визначається з точністю до постійної, т.к. похідна від постійної дорівнює нулю.

Наприклад, відомо, що тоді виходить, що , тут – довільна постійна.

Завдання знаходження невизначеного інтегралувід функцій не така проста і легка, як здається на перший погляд. У багатьох випадках має бути навичка роботи з невизначеними інтегралами,має бути досвід, який приходить з практикою та з постійним рішенням прикладів невизначені інтеграли.Варто враховувати той факт, що невизначені інтеграливід деяких функцій (їх досить багато) не беруться до елементарних функцій.

15. Таблиця основних невизначених інтегралів.

Основні формули

16. Певний інтеграл як межа інтегральної суми. Геометричний та фізичний змив інтеграла.

Нехай функція у = ƒ (х) визначена на відрізку [а; b], а< b. Выполним следующие действия.

1. За допомогою точок х 0 = а, х 1, х 2, ..., х n = В (х 0

2. У кожному частковому відрізку , i = 1,2,...,n виберемо довільну точку з i є і обчислимо значення функції у ній, т. е. величину ƒ(с i).

3. Помножимо знайдене значення функції ƒ (с i) на довжину ∆x i =x i -x i-1 відповідного часткового відрізка: ƒ (с i) ∆х i.

4. Складемо суму S n всіх таких творів:

Сума виду (35.1) називається інтегральною сумою функції у = ƒ (х) на відрізку [а; b]. Позначимо через λ довжину найбільшого часткового відрізка: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. Знайдемо межу інтегральної суми (35.1), коли n → ∞ так, що λ→0.

Якщо при цьому інтегральна сума S n має межу I, яка не залежить від способу розбиття відрізка [а; b] на часткові відрізки, ні від вибору точок у них, число I називається певним інтегралом від функції у = ƒ(х) на відрізку [а; b] і позначається Таким чином,

Числа а і b називаються відповідними нижньою і верхньою межами інтегрування, ƒ(х) - підінтегральною функцією, ƒ(х) dx - підінтегральним виразом, х - змінною інтегрування, відрізок [а; b] - областю (відрізком) інтегрування.

Функція у = ƒ (х), для якої на відрізку [а; b] існує певний інтеграл називається інтегрованою на цьому відрізку.

Сформулюємо тепер теорему існування певного інтегралу.

Теорема 35.1 (Коші). Якщо функція у = ƒ(х) безперервна на відрізку [а; b], то певний інтеграл

Зазначимо, що безперервність функції є достатньою умовою її інтегрованості. Однак певний інтеграл може існувати і для деяких розривних функцій, зокрема для будь-якої обмеженої на відрізку функції, що має на ньому кінцеве число точок розриву.

Вкажемо деякі властивості певного інтеграла, що безпосередньо випливають з його визначення (35.2).

1. Певний інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування:

Це випливає з того, що інтегральна сума (35.1), а отже, і її межа (35.2) не залежить від того, якою літерою позначається аргумент цієї функції.

2. Певний інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

3. Для будь-якого дійсного числа с.

17. Формула Ньютона-Лейбніца. Основні властивості певного інтегралу.

Нехай функція y = f(x)безперервна на відрізку і F(x)- одна з первісних функцій на цьому відрізку, тоді справедлива формула Ньютона-Лейбніца: .

Формулу Ньютона-Лейбніца називають основною формулою інтегрального обчислення.

Для доказу формули Ньютона-Лейбніца нам знадобиться поняття інтеграла зі змінною верхньою межею.

Якщо функція y = f(x)безперервна на відрізку , то аргументу інтеграл виду є функцією верхньої межі. Позначимо цю функцію , причому ця функція безперервна і справедлива рівність .

Справді, запишемо збільшення функції , що відповідає збільшенню аргументу і скористаємося п'ятою властивістю певного інтеграла і наслідком з десятої властивості:

де.

Перепишемо цю рівність у вигляді . Якщо згадати визначення похідної функції і перейти до межі, то отримаємо. Тобто, - це одна з першорядних функцій y = f(x)на відрізку . Таким чином, безліч усіх первісних F(x)можна записати як , де З- Довільна постійна.

Обчислимо F(a), використовуючи першу властивість певного інтегралу: , Отже, . Скористаємося цим результатом під час обчислення F(b): , тобто . Ця рівність дає формулу Ньютона-Лейбніца, що доводиться. .

Приріст функції прийнято позначати як . Користуючись цим позначенням, формула Ньютона-Лейбніца набуде вигляду. .

Для застосування формули Ньютона-Лейбніца нам достатньо знати одну з первісних y=F(x)підінтегральної функції y=f(x)на відрізку і обчислити збільшення цієї первісної на цьому відрізку. У статті методи інтегрування розібрано основні способи знаходження первісної. Наведемо кілька прикладів обчислення певних інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца для роз'яснення.

приклад.

Обчислити значення певного інтеграла за такою формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення.

Для початку відзначимо, що підінтегральна функція безперервна на відрізку , Отже, інтегрована на ньому. (Про інтегровані функції ми говорили в розділі функції, для яких існує певний інтеграл).

З таблиці невизначених інтегралів видно, що з функції безліч первісних всім дійсних значень аргументу (отже, і ) записується як . Візьмемо первісну при C = 0: .

Тепер залишилося скористатися формулою Ньютона-Лейбніца для обчислення певного інтеграла: .

18. Геометричні додатки певного інтегралу.

ГЕОМЕТРИЧНІ ДОДАТКИ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ

Прямокутна С.К.	Функція, задана параметрично	Полярна С.К.
Обчислення площ плоских фігур
Обчислення довжини дуги плоскої кривої
Обчислення площі поверхні обертання

Обчислення об'єму тіла

Обчислення об'єму тіла за відомими площами паралельних перерізів:

Об'єм тіла обертання: ; .

Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженою кривою y=sinx, прямими

Рішення:Знаходимо площу фігури:

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Рішення:Знайдемо абсциси точок перетину графіків даних функцій. Для цього вирішуємо систему рівнянь

Звідси знаходимо x 1 = 0, x 2 = 2,5.

19. Поняття диференціальних управлінь. Диференціальні рівняння першого ладу.

Диференціальне рівняння- Рівняння, що пов'язує значення похідної функції з самою функцією, значеннями незалежної змінної, числами (параметрами). Порядок похідних, що входять у рівняння, може бути різний (формально він нічим не обмежений). Похідні, функції, незалежні змінні та параметри можуть входити до рівняння в різних комбінаціях або всі, крім хоча б однієї похідної, відсутні зовсім. Чи не будь-яке рівняння, що містить похідні невідомої функції, є диференціальним рівнянням. Наприклад, не є диференціальним рівнянням.

Диференціальні рівняння у приватних похідних(УРЧП) - це рівняння, що містять невідомі функції від кількох змінних та їх приватні похідні. Загальний вигляд таких рівнянь можна подати у вигляді:

де – незалежні змінні, а – функція цих змінних. Порядок рівнянь у похідних може визначається так само, як для звичайних диференціальних рівнянь. Ще однією важливою класифікацією рівнянь у похідних є їх поділ на рівняння еліптичного, параболічного і гіперболічного типу, особливо для рівнянь другого порядку.

Як звичайні диференціальні рівняння, і рівняння у приватних похідних можна розділити на лінійніі нелінійні. Диференціальне рівняння є лінійним, якщо невідома функція та її похідні входять у рівняння лише у першому ступені (і перемножуються друг з одним). Для таких рівнянь рішення утворюють афінний підпростір простору функцій. Теорія лінійних ДУ розвинена значно глибше, ніж теорія нелінійних рівнянь. Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння n-го порядку:

де p i(x) - відомі функції незалежної змінної, звані коефіцієнтами рівняння. Функція r(x) у правій частині називається вільним членом(єдиний доданок, що не залежить від невідомої функції) Важливим приватним класом лінійних рівнянь є лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.

Підкласом лінійних рівнянь є одноріднідиференціальні рівняння - рівняння, які містять вільного члена: r(x) = 0. Для однорідних диференціальних рівнянь виконується принцип суперпозиції: лінійна комбінація окремих рішень такого рівняння також буде його розв'язанням. Всі інші лінійні диференціальні рівняння називаються неодноріднимидиференціальними рівняннями.

Нелінійні диференціальні рівняння у випадку немає розроблених методів рішення, крім деяких приватних класів. У деяких випадках (із застосуванням тих чи інших наближень) вони можуть бути зведені до лінійних. Наприклад, лінійне рівняння гармонійного осцилятора може розглядатися як наближення нелінійного рівняння математичного маятника для випадку малих амплітуд, коли y≈ sin y.

· - Однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Рішенням є сімейство функцій , де і - довільні константи, які для конкретного рішення визначаються з початкових умов, що задаються окремо. Це рівняння зокрема описує рух гармонійного осцилятора з циклічною частотою 3.

· Другий закон Ньютона можна записати у формі диференціального рівняння де m- маса тіла, x- Його координата, F(x, t) - сила, що діє на тіло з координатою xу момент часу t. Його розв'язком є ​​траєкторія руху тіла під дією зазначеної сили.

· Диференціальне рівняння Бесселя - звичайне лінійне однорідне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами: Його рішеннями є функції Бесселя.

· Приклад неоднорідного нелінійного звичайного диференціального рівняння 1-го порядку:

У наступній групі прикладів невідома функція uзалежить від двох змінних xі tабо xі y.

· Однорідне лінійне диференціальне рівняння у приватних похідних першого порядку:

· Одномірне хвильове рівняння - однорідне лінійне рівняння у приватних похідних гіперболічного типу другого порядку з постійними коефіцієнтами, що описує коливання струни, якщо - відхилення струни в точці з координатою xу момент часу t, а параметр aставить властивості струни:

· Рівняння Лапласа у двовимірному просторі – однорідне лінійне диференціальне рівняння у приватних похідних другого порядку еліптичного типу з постійними коефіцієнтами, що виникає у багатьох фізичних завданнях механіки, теплопровідності, електростатики, гідравліки:

· Рівняння Кортевега - де Фріза, нелінійне диференціальне рівняння у приватних похідних третього порядку, що описує стаціонарні нелінійні хвилі, у тому числі солітони:

20. Диференціальні рівняння з такими, що розділяються. Лінійні рівняння та метод Бернуллі.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне щодо невідомої функції та її похідної. Воно має вигляд