Як розв'язується система рівнянь? Методи розв'язання систем рівняння. Розв'язання систем лінійних рівнянь способом складання

За допомогою даної математичної програмиви можете вирішити систему двох лінійних рівняньз двома змінними методомпідстановки та шляхом складання.

Програма не тільки дає відповідь на завдання, а й наводить докладне рішенняз поясненнями кроків рішення двома способами: методом підстановки та методом складання.

Ця програмаможе бути корисна учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братівабо сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Правила введення рівнянь

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

При введенні рівнянь можна використовувати дужки. У цьому рівняння спочатку спрощуються. Рівняння після спрощень мають бути лінійними, тобто. виду ax+by+c=0 з точністю порядку прямування елементів.
Наприклад: 6x+1 = 5(x+y)+2

У рівняннях можна використовувати не тільки цілі, а й дробові числау вигляді десяткових та звичайних дробів.

Правила введення десяткових дробів.
Ціла та дробова частинав десяткових дробахможе розділятися як точкою, так і комою.
Наприклад: 2.1n + 3,5m = 55

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.
Знаменник може бути негативним.
При введенні числового дробучисельник відокремлюється від знаменника знаком поділу: /
Ціла частинавідокремлюється від дробу знаком амперсанд: &

приклади.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Вирішення систем лінійних рівнянь. Спосіб підстановки

Послідовність дій під час вирішення системи лінійних рівнянь способом підстановки:
1) виражають із якогось рівняння системи одну змінну через іншу;
2) підставляють в інше рівняння системи замість цієї змінної отриманий вираз;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Виразимо з першого рівняння y через x: y = 7-3x. Підставивши у друге рівняння замість y вираз 7-Зx, отримаємо систему:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Неважко показати, що перша і друга системи мають одні й самі рішення. У другій системі друге рівняння містить лише одну змінну. Вирішимо це рівняння:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Підставивши рівність y=7-3x замість x число 1, знайдемо відповідне значення y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1; 4) - рішення системи

Системи рівнянь із двома змінними, що мають одні й ті самі рішення, називаються рівносильними. Системи, які мають рішень, також вважають рівносильними.

Розв'язання систем лінійних рівнянь способом складання

Розглянемо ще один спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь – спосіб складання. При розв'язанні систем цим способом, як і при вирішенні способом підстановки, ми переходимо від даної системи до іншої рівносильної їй системі, в якій одне з рівнянь містить тільки одну змінну.

Послідовність дій під час вирішення системи лінійних рівнянь способом складання:
1) помножують почленно рівняння системи, підбираючи множники так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами;
2) складають почленно ліві та праві частини рівнянь системи;
3) вирішують рівняння, що вийшло, з однією змінною;
4) знаходять відповідне значення другої змінної.

приклад. Розв'яжемо систему рівнянь:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

У рівняннях цієї системи коефіцієнти за y є протилежними числами. Склавши почленно ліві та праві частини рівнянь, отримаємо рівняння з однією змінною 3x=33. Замінимо одне з рівнянь системи, наприклад, перше, рівнянням 3x=33. Отримаємо систему
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

З рівняння 3x=33 знаходимо, що x=11. Підставивши це значення x до рівняння (x-3y = 38) отримаємо рівняння зі змінною y: (11-3y = 38). Вирішимо це рівняння:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким чином ми знайшли рішення системи рівнянь способом додавання: \(x=11; y=-9 \) або \((11; -9) \)

Скориставшись тим, що у рівняннях системи коефіцієнти при y є протилежними числами, ми звели її рішення до вирішення рівносильної системи (підсумувавши обидві частини кожного з рівнянь вихідної симтеми), в якій одне із рівнянь містить лише одну змінну.

Нехай ми маємо систему

Аналогічно рівнянням із двома невідомими. Знаходимо визначники

Аналогічно цьому знаходимо .

Після цього знаходимо x, y, z за формулами Крамера. Вважаючи

.

Аналогічні формули мають місце для систем рівнянь з більшим числомневідомих.

приклад

Ще приклад

Однорідна система 3-х рівнянь із 3-ма невідомими

В цьому випадку
.

1) І при цьому
система має єдине рішення

2) Якщо
система має багато рішень. Аналогічно вирішується система 4-х рівнянь із 4-ма невідомими.

Системи лінійних рівнянь та матриці

Поняття про матриці

Сукупність чисел, що розташовані у вигляді прямокутної таблиці називають матрицею.

Наприклад, матриця позначається двома вертикальними лініями або дужками. Числа, що становлять таблицю, ми називатимемо елементами матриці. У матриці розрізняють рядки (кількість їх зазвичай позначають «m») і стовпці їх число позначають буквою «n». Якщо m ≠ n, то така матриця називається прямокутної, а за n = m її називають квадратною.

Наприклад

Тут m = n. При вивченні матриць для зручності числа замінюють літерними позначеннями

Ця матриця «m» рядків і «n» Кожен елемент матриці a ij . Тут перший індекс означає номер рядка (i = 1,2, ….. m), а другий індекс означає номер стовпця (j = 1, 2, ….n).

Якщо ми розглянемо іншу матрицю
, кожен елемент цієї матриці буде b ij . Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові розміри та рівні їх елементи, що стоять на однакових місцях (a ij = b ij) і записують так А = В.

Число рядків називають порядком матриці.

Матриця розміром 1 x n називають рядком. Р = (1 -4 0 2 -1), а розміром m x 1 - стовпцем .

Складання матриць та множення їх на число

Нехай ми маємо дві матриці А і В одного й того самого розміру. Сумою їх буде нова матриця С = А + В, в якій ij = a ij + b ij
. Можна зробити і віднімання матриць С = А - В, тоді з ij = a ij - b ij. При множенні матриці на довільне число α отримуємо нову матрицю С = α А, де c ij = αa ij

. Матриця О, що повністю складається з нулів називається нульовою, і для неї А + О = А. Зазначимо властивості матриць. Для матриць А, В і З однакового розміру А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), α (А + В) = αА + αВ, (α + β) А = (α + β) А = αА + βА

Транспонування матриць

Операція над матрицею А, коли її рядки стають стовпцями з тими самими номерами, а стовпці – рядками, називається транспонуванням і позначається
.

Наприклад
, то

Операція транспонування має такі властивості:

Діагональ а 11 а 22 ….а nn квадратичної матриці називається головною діагоналлю матриці, у якої всі елементи, що не стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональної

Матриця S називається симетричної , якщо вона змінюється під час транспонування, тобто.
. У симетричної матриці елементи, симетричні щодо головної діагоналі рівні.

Матриця К називається кососиметричної , якщо транспонування вона змінює свій знак, тобто.
. У кососиметричної матриці на головній діагоналі стоять нулі, а елементи, симетричні щодо цієї діагоналі, відрізняються лише знаком.

Наприклад
тоді
.

У кососиметричної матриці

Квадратна матриця, у якої елементи, що становлять головну діагональ, дорівнюють одиниці, а інші дорівнюють нулю називається одиничною матрицею.

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбутися змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.