Калькулятор онлайн.Обчислення виразу з числовими дробами. Множення, віднімання, розподіл, додавання та скорочення дробів з різними знаменниками

У Минулого разуми навчилися складати і віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільному знаменнику.

Тепер настав час розібратися з множенням та поділом. Хороша новинаполягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Для початку розглянемо найпростіший випадокколи є два позитивні дроби без виділеної цілої частини.

Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.

Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.

Позначення:

З визначення випливає, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, досить поміняти місцями чисельник та знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.

В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших спільних кратних.

За визначенням маємо:

Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів

Якщо у дробах присутній ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.

Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробівколи потрібно було позбутися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:

1. Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. У крайньому випадкуодин мінус може вижити - той, якому не знайшлося пари;
2. Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Усі дроби переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:

Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеною цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не лише до його цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).

Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужках. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис більш обережним.

Скорочення дробів «на льоту»

Множення - дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

За визначенням маємо:

У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.

Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які, власне кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.

Однак у жодному разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:

Так робити не можна!

Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості мова йдесаме про множення чисел.

Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне рішенняпопереднього завдання виглядає так:

Правильне рішення:

Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.

Урок математики

за програмою " початкова школа XXI століття»

Вчимося виконувати множення

Склала:

Артюх Любов Миколаївна,

вчитель початкових класів

МБОУ ЗОШ №4

Ст. Старомінська

Урок математики

Тема:Вчимося виконувати множення

Ціль:розгляд різних способівзнаходження результату додавання рівних чисел.

Завдання:

Пізнавальні: загальнонавчальні - Розгляд різні способи знаходження результату складання рівних чисел; читання математичних записів за зразком; формування вміння розв'язувати задачі.

Регулятивні: приймати та зберігати навчальне завдання; враховувати правило у плануванні та контролі способу рішення.

Комунікативні: формулювати власну думкута позицію.

Особистісні: розширюють пізнавальний інтереста навчальні мотиви.

Види діяльності, форми роботи:

Фронтальна - при педагогічної підтримкипостановка навчального завдання; визначення послідовності проміжних цілей; складання плану та послідовності дій.

Колективна - Розгляд різних способів знаходження результату складання рівних чисел; читання математичних записів на зразок.

Індивідуальна - закріплення вивченого матеріалу

Творча, дослідницька, проектна діяльністьучнів- моделювання математичних записів за допомогою малюнків та схем.

Форми контролю- Групова, індивідуальна.

Хід уроку

Використана література та інтернет ресурси:

1.В.М. Рудницька, Є.Е. Кочурова, О. А. Ридзе /Математика/1 клас/ Поурочні планиВидавництво «Вчитель» Волгоград, 2014

2. презентація живі картинки із сайту ЗАВУЧ.інфо

3. http://www.zavuch.info/methodlib/302/63678/

Математичний-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор виконує такі операції: додавання, віднімання, множення, розподіл, робота з десятковими, вилучення кореня, зведення в ступінь, обчислення відсотків та ін операції.

Рішення:

Як працювати з математичним калькулятором

Алгоритм роботи онлайн-калькулятора на прикладах

Додавання.

Складання цілих натуральних чисел { 5 + 7 = 12 }

Додавання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 + (-2) = 3 )

Додавання десяткових дробових чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Віднімання.

Віднімання цілих натуральних чисел ( 7 - 5 = 2 )

Віднімання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 - (-2) = 7 )

Віднімання десяткових дробових чисел ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

множення.

Добуток цілих натуральних чисел ( 3 * 7 = 21 )

Добуток цілих натуральних і негативних чисел ( 5 * (-3) = -15 )

Добуток десяткових дробових чисел ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Розподіл.

Розподіл цілих натуральних чисел ( 27 / 3 = 9 )

Розподіл цілих натуральних і негативних чисел ( 15 / (-3) = -5 )

Розподіл десяткових дробових чисел ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Вилучення кореня з числа.

Вилучення кореня з цілого числа ( корінь(9) = 3 )

Вилучення кореня з десяткових дробів(корінь (2,5) = 1,58)

Вилучення кореня із суми чисел ( корінь(56 + 25) = 9 )

Вилучення кореня з різниці чисел ( корінь (32 – 7) = 5 )

Зведення числа у квадрат.

Зведення в квадрат цілого числа ((3) 2 = 9)

Зведення в квадрат десяткових дробів ((2,2) 2 = 4,84)

Переклад у десяткові дроби.

Обчислення відсотків від числа

Збільшити на 15% число 230 (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Зменшити на 35% число 510 (510 - 510 * 0,35 = 331,5)

18% від числа 140 це (140 * 0,18 = 25,2)

Якщо числа позначені різними літерами, можна лише позначити з твір; нехай, напр., треба число a помножити на число b, - ми можемо це позначити або a ∙ b або ab, але не може бути мови про те, щоб якось виконати це множення. Однак, коли маємо справу з одночленами, то завдяки 1) присутності коефіцієнтів і 2) тієї обставини, що до складу цих одночленів можуть входити множники, позначені однаковими літерамиє можливість говорити про виконання множення одночленів; ще ширше така можливість при багаточленах. Розберемо ряд випадків, де можна виконувати множення, починаючи з найпростішого.

1. Збільшення ступенів з однаковими підставами . Нехай, напр., потрібно a 3 ∙ a 5 . Напишемо, знаючи сенс зведення в ступінь, те саме докладніше:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Розглядаючи цей докладний запис, ми бачимо, що у нас написано множником 8 разів, або, коротше, 8 . Отже, a 3 ∙ a 5 = a 8 .

Нехай потрібно b 42 ∙ b 28 . Довелося б написати спочатку множник b 42 рази, а потім знову множник b 28 разів – загалом отримали б, що b береться множником 70 разів. тобто b 70 . Отже, b 42 ∙ b 28 = b 70 . Звідси вже ясно, що при множенні ступенів з однаковими основами основа ступеня залишається без зміни, а показники ступенів складаються. Якщо маємо a 8 ∙ a, доведеться мати на увазі, що у множника a мається на увазі показник ступеня 1 («a в першому ступені»), – отже, a 8 ∙ a = a 9 .

Приклади: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 і т.д.

Іноді доводиться мати справу зі ступенями, показники яких позначені літерами, напр., xn (x n). З такими висловлюваннями треба звикнути поводитися. Ось приклади:

Пояснимо деякі з цих прикладів: b n – 3 ∙ b 5 треба підставу b залишити без зміни, а показники скласти, тобто (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Звичайно, подібні додаваннямає навчитися виконувати швидко в умі.

Ще приклад: x n + 2 ∙ x n – 2 , – основу x треба залишити без зміни, а показник скласти, тобто (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Можна вища знайдений порядок, як виконувати множення ступенів з однаковими підставами, виразити тепер рівністю:

a m ∙ a n = a m + n

2. Розмноження одночлена на одночлен.Нехай, напр., потрібно 3a²b³c ∙ 4ab²d². Ми бачимо, що тут позначено точкою одне множення, але ми знаємо, що цей же знак множення мається на увазі між 3 і a, між a і b, між b і c, між 4 і a, між a і b, між b і d. Тому ми можемо тут бачити добуток 8 множників та можемо перемножити їх будь-якими групами у будь-якому порядку. Переставимо їх те щоб коефіцієнти і ступеня з однаковими підставами виявилися поруч, тобто.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Тоді ми зможемо перемножити 1) коефіцієнти та 2) ступеня з однаковими основами та отримаємо 12a³b5cd².

Отже, при множенні одночлена на одночлен ми можемо перемножити коефіцієнти та ступеня з однаковими підставами, а решту множників доводиться переписувати без зміни.

Ще приклади:

3. Множення багаточлена на одночлен.Нехай треба спочатку якийсь багаточлен, напр., a – b – c + d помножити на позитивне ціле число, напр. +3. Так як позитивні числавважаються збігаються з арифметичними, це все одно, що (a – b – c + d) ∙ 3, тобто a – b – c + d взяти 3 рази доданком, або

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

т. е. у результаті довелося кожен член многочлена помножити на 3 (чи +3).

Звідси випливає:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

т. е. довелося кожен член многочлена розділити на (+3). Також, узагальнюючи, отримаємо:

і т.п.

Нехай тепер треба (a – b – c + d) помножити на позитивний дріб, наприклад, на +. Це все одно, що помножити на арифметичний дрібщо означає взяти частини від (a – b – c + d). Взяти одну п'яту частину від цього багаточлена легко: треба (a – b – c + d) поділити на 5, а це вже вміємо робити, – отримаємо . Залишається повторити отриманий результат 3 рази чи помножити на 3, тобто.

У результаті бачимо, що довелося кожен член многочлена помножити на чи +.

Нехай тепер треба (a – b – c + d) помножити на від'ємне число, ціле або дробове,

тобто і в цьому випадку довелося кожен член многочлена помножити на -.

Таким чином, яке б не було число m завжди (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Оскільки кожен одночлен є числом, то тут бачимо вказівку, як множити многочлен на одночлен – треба кожен член многочлена помножити цей одночлен.

4. Множення багаточлена на багаточлен. Нехай треба (a + b + c) ∙ (d + e). Оскільки d і e означають числа, і (d + e) ​​виражає якесь одне число.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= a(d + e) ​​+ b(d + e) ​​+ c(d + e)

(Ми можемо пояснити це і так: ми маємо право d + e тимчасово прийняти за одночлен).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

І тут можна змінити порядок членів.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= ad + bd + ed + ae + be + ce,

т. е. для множення многочлена на многочлен доводиться кожен член одного багаточлена множити за кожен член іншого. Зручно (для цього і був вище змінений порядок отриманих членів) помножити кожен член першого багаточлена спершу на перший другий член (на +d), потім на другий член другого (на +e), потім, якби він був, на третій і т.д. д.; після цього слід зробити приведення таких членів.

У цих прикладах двочлен множиться на двочлен; у кожному двочлені члени розташовані по низхідним ступеням букви, спільної обох двочленів. Подібні множення легко виконувати в голові і одразу писати остаточний результат.

Від множення старшого члена першого двочлена на старший член другого, тобто 4x2 на 3x, отримаємо 12x3 старший член твору - йому подібних, очевидно, не буде. Далі ми шукаємо, від перемноження яких членів вийдуть члени з меншим на 1 ступенем літери x, тобто з x ². Легко бачимо, що такі члени вийдуть від множення 2-го члена першого множника на 1 член другого і від множення 1 члена першого множника на 2 член другого (дужки внизу прикладу це вказують). Виконати ці множення в умі і виконати також приведення цих двох подібних членів (після чого отримаємо член –19x²) – справа неважка. Потім зауважуємо, що наступний член, що містить літеру x у ступеня ще на 1 меншому, тобто x в 1-му ступені, вийде тільки від множення другого члена на другий, і йому подібних не буде.

Ще приклад: (x ² + 3x) (2x - 7) = 2x ³ - x ² - 21x.

Також в розумі легко виконувати приклади, на кшталт наступного:

Старший член виходить від множення старшого члена на старший, йому подібних членів нічого очікувати, і він = 2a³. Потім шукаємо, від яких множень вийдуть члени з a² – від множення 1-го члена (a²) на 2-й (–5) та від множення другого члена (–3a) на 1-ий (2a) – це вказано внизу дужками; виконавши ці множення і з'єднавши отримані члени на один, отримаємо –11a². Потім шукаємо, від яких множень вийдуть члени a у першому ступені – ці множення відзначені дужками зверху. Виконавши їх та з'єднавши отримані члени в один, отримаємо +11a. Нарешті, зауважуємо, що молодший член твору (+10), зовсім не містить a, виходить від перемноження молодшого члена (-2) одного багаточлена молодший член (-5) іншого.

Ще приклад: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2 .

З усіх попередніх прикладів ми також отримаємо загальний результат: старший член твору виходить завжди від перемноження старших членів множників, і подібних до нього членів бути не може; також молодший член твору виходить від перемноження молодших членів множників, і подібних до нього членів також бути не може.

Іншим членам, одержуваним при множенні многочлена на многочлен, може бути подібні, і може статися, що це ці члени взаємно знищаться, а залишаться лише старший і молодший.

Ось приклади:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (пишемо тільки результат)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 тощо.

Ці результати варті уваги та їх корисно запам'ятати.

Особливо важливий наступний випадокмноження:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
або (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
або (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 тощо.

У всіх цих прикладах, застосовуючись до арифметики, ми маємо добуток суми двох чисел на їхню різницю, а в результаті виходить різниця квадратів цих чисел.

Якщо ми побачимо подібний випадок, то вже немає потреби виконувати множення докладно, як це робилося вище, а можна одразу написати результат.

Наприклад, (3a + 1) ∙ (3a – 1). Тут перший множник, з погляду арифметики, є сума двох чисел: перше число є 3a і друге 1, а другий множник є різниця тих чисел; тому в результаті має вийти: квадрат першого числа (тобто 3a 3a = 9a²) мінус квадрат другого числа (1 1 = 1), тобто.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Також

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 тощо.

Отже, запам'ятаємо

(a + b) (a – b) = a² – b²

т. е. добуток суми з двох чисел на їх різницю дорівнює різниці квадратів цих чисел.