Знайти невизначений інтеграл. Невизначений інтеграл онлайн

Рішення інтегралів - завдання легкеале тільки для обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли? Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати інтеграли і чому без цього не можна обійтися.

Вивчаємо поняття "інтеграл"

Інтегрування було відоме ще в Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася. Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знанняоснов математичного аналізу. Саме ці фундаментальні відомості про Ви знайдете у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первісні елементарні функції, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями:

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русішлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції. Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції?

За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат та графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

Барі Алібасов та гурт "Інтеграл"

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішувати невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

• Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює суміінтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

• Лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значенняпри рішенні прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів. Пропонуємо Вам самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Запитайте, і вони розкажуть вам про обчислення інтегралів все, що знають самі. З нашою допомогою будь-який потрійний або криволінійний інтегралпо замкнутій поверхні стане вам під силу.

Невизначений інтеграл.
Докладні приклади рішень

На цьому уроці ми почнемо вивчення теми Невизначений інтеграл, і навіть докладно розберемо приклади рішень найпростіших (і зовсім) інтегралів. У цій статті я обмежусь мінімумом теорії, і зараз наше завдання – навчитися вирішувати інтеграли.

Що потрібно знати для успішного освоєння матеріалу? Для того, щоб впоратися з інтегральним обчисленням Вам необхідно вміти знаходити похідні мінімум на середньому рівні. Тому якщо матеріал запущений, то рекомендую спочатку уважно ознайомитися з уроками. Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Не зайвим досвідом буде, якщо у Вас за плечима кілька десятків (краще сотня) самостійно знайдених похідних. Принаймні, Вас не повинні ставити в глухий кут завдання на диференціювання найпростіших і найпоширеніших функцій. Здавалося б, до чого тут взагалі похідні, якщо мова у статті піде про інтеграли?! А справа ось у чому. Справа в тому, що перебування похідних та перебування невизначених інтегралів (диференціювання та інтегрування) – це два взаємно зворотні дії, як, наприклад, складання/віднімання або множення/розподіл. Таким чином, без навички (+ якого-небудь досвіду) знаходження похідних, на жаль, далі не просунутися.

У цьому зв'язку нам знадобляться наступні методичні матеріали: Таблиця похіднихі Таблиця інтегралів. Довідкові посібникиможна відкрити, завантажити або надрукувати на сторінці Математичні формули та таблиці.

У чому складність вивчення невизначених інтегралів? Якщо похідних мають місце суворо 5 правил диференціювання, таблиця похідних і досить чіткий алгоритм дій, то інтегралах все інакше. Існують десятки способів та прийомів інтегрування. І, якщо спосіб інтегрування спочатку підібраний невірно (тобто. Ви не знаєте, як вирішувати), то інтеграл можна «колоти» буквально цілодобово, як справжнісінький ребус, намагаючись помітити різні прийоми і хитрощі. Декому навіть подобається. Між іншим, це не жарт, мені часто доводилося чути від студентів думку на кшталт «У мене ніколи не було інтересу вирішити межу чи похідну, але ось інтеграли – зовсім інша справа, це захоплююче, завжди є бажання «зламати» складний інтеграл». Стоп. Вистачить чорного гумору, переходимо до цих невизначених інтегралів.

Якщо методів рішення існує дуже багато, то з чого почати вивчення невизначених інтегралів чайнику? В інтегральному численні існують, на мій погляд, три стовпи або своєрідна «вісь», навколо якої обертається решта. Насамперед слід добре розібратися у найпростіших інтегралах (ця стаття). Потім потрібно детально опрацювати урок. ЦЕ ВАЖЛИВИЙ ПРИЙОМ! Можливо, навіть найважливіша стаття з усіх моїх статей, присвячених інтегралам. І, по-третє, обов'язково слід ознайомитися з шляхом інтегрування частинами , оскільки з допомогою нього інтегрується великий клас функций. Якщо Ви опануєте хоча б ці три уроки, то вже не два. Вам можуть «вибачити» незнання інтегралів від тригонометричних функцій, інтегралів від дробів, інтегралів від дробово-раціональних функцій, інтегралів від ірраціональних функцій (коренів), але якщо «сісти в калюжу» на методі заміни або методі інтегрування частинами – то це буде дуже і дуже погано.

У Рунеті зараз дуже поширені демотиватори. У контексті вивчення інтегралів, навпаки, просто необхідний МОТИВАТОР. Як у тому анекдоті про Василя Івановича, котрий і Петьку мотивував, і Аньку мотивував. Шановні ледарі, халявники та інші нормальні студенти, обов'язково прочитайте наступне. Знання та навички з невизначеного інтегралу будуть потрібні в подальшому навчанні, зокрема, при вивченні певного інтегралу, невласних інтегралів, диференціальних рівнянь на 2 курсі. Необхідність взяти інтеграл виникає навіть у теорії ймовірностей! Таким чином, без інтегралів шлях на літню сесіюі 2 курс БУДЕ РЕАЛЬНО ЗАКРИТИЙ. Я серйозно. Висновок такий. Чим більше інтегралів різних типівви вирішуєте, тим легше буде подальше життя . Так, це займе досить багато часу, так часом не хочеться, так, іноді «так фіг з ним, з цим інтегралом, може не трапиться». Але, надихати і гріти душу має така думка, ваші зусилля окупляться сповна! Ви будете, як горіхи клацати диференціальні рівняння та легко розправлятися з інтегралами, які зустрінуться в інших розділах вищої математики. Якісно розібравшись з невизначеним інтегралом, ВИ ФАКТИЧНО ОСВОЮЄТЕ ЩЕ КІЛЬКА РОЗДІЛІВ ВИШКИ.

І тому я просто не міг не створити інтенсивний курсз техніки інтегрування, який вийшов напрочуд коротким – бажаючі можуть скористатися pdf-книгою та підготуватися ДУЖЕ швидко. Але матеріали сайту в жодному разі не гірші!

Отже, починаємо із простого. Погляньмо на таблицю інтегралів. Як і похідних, ми помічаємо кілька правил інтегрування та таблицю інтегралів від деяких елементарних функцій. Неважко помітити, що будь-який табличний інтеграл (та й взагалі будь-який невизначений інтеграл) має вигляд:

Відразу розуміємося на позначеннях і термінах:

- Значок інтеграла.

- Підінтегральна функція (пишається з літерою "и").

- Диференціал значок. При записі інтеграла і в ході рішення важливо не втрачати значок. Помітний недолік буде.

- Підінтегральний вираз або "начинка" інтеграла.

– первісна функція.

- Багато первісних функцій. Не потрібно сильно завантажуватися термінами, найважливіше, що у будь-якому невизначеному інтегралі до відповіді приплюсовується константа .

Вирішити інтеграл – це означає знайти певну функцію, користуючись деякими правилами, прийомами та таблицею .

Ще раз подивимося на запис:

Подивимося на таблицю інтегралів.

Що відбувається? Ліві частини у нас перетворюютьсядо інших функцій: .

Спростимо наше визначення.

Вирішити невизначений інтеграл - це означає перетворити його на певну функцію, користуючись деякими правилами, прийомами та таблицею.

Візьмемо, наприклад, табличний інтеграл . Що сталося? перетворився на функцію.

Як і у випадку з похідними, щоб навчитися знаходити інтеграли, не обов'язково бути в курсі, що таке інтеграл, Первісна функція з теоретичної точки зору. Достатньо просто здійснювати перетворення за деякими формальним правилам. Так, у випадку зовсім не обов'язково розуміти, чому інтеграл перетворюється саме на . Поки що можна прийняти цю та інші формули як даність. Всі користуються електрикою, але мало хто замислюється, як там по дротах бігають електрони.

Так як диференціювання та інтегрування - протилежні операції, то для будь-якої первісної, яка знайдена правильно, справедливо наступне:

Іншими словами, якщо продиференціювати правильну відповідь, то обов'язково має вийти вихідна підінтегральна функція.

Повернемося до того ж табличного інтегралу .

Переконаємося у справедливості цієї формули. Беремо похідну від правої частини:

- Вихідна підінтегральна функція.

Ось, до речі, стало зрозуміліше, чому до функції завжди приписується константа. При диференціюванні константа завжди перетворюється на нуль.

Вирішити невизначений інтеграл– це означає знайти безліч всіхпервісних, а не якусь одну функцію. У табличному прикладі , , , і т. д. - всі ці функції є рішенням інтеграла . Рішень нескінченно багато, тому записують коротко:

Таким чином, будь-який невизначений інтеграл досить легко перевірити (на відміну від похідних, де хорошу перевірку стопуду можна здійснити хіба що за допомогою математичних програм). Це деяка компенсація за велика кількістьінтегралів різних видів

Переходимо до розгляду конкретних прикладів. Почнемо, як і при вивченні похідної,
з двох правил інтегрування, які також називають властивостями лінійності невизначеного інтеграла:

– постійний множникможна (і треба) винести за знак інтегралу.

- Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумідвох інтегралів від кожної функції окремо. Ця властивість справедлива для будь-якої кількості доданків.

Як бачите, правила, в принципі, такі самі, як і для похідних.

Приклад 1

Рішення: Зручніше переписати його на папір.

(1) Застосовуємо правило . Не забуваймо записати значок диференціала під кожним інтегралом. Чому під кожним? - Це повноцінний множник, якщо розписувати рішення дуже детально, перший крок слід записати так:

(2) Відповідно до правила Виносимо всі константи за знаки інтегралів. Зверніть увагу, що в останньому доданку – це константа, її також виносимо.
Крім того, на даному кроціготуємо коріння та ступеня для інтегрування. Так само, як і при диференціюванні, коріння треба подати у вигляді . Коріння та ступеня, які розташовуються у знаменнику – перенести вгору.

! Примітка: на відміну від похідних, коріння в інтегралах далеко не завжди слід призводити до вигляду, а ступеня переносити вгору. Наприклад, це готовий табличний інтеграл, і всякі китайські хитрощі на кшталт зовсім не потрібні. Аналогічно: – теж табличний інтеграл, немає сенсу представляти дріб як . Уважно вивчіть таблицю!

(3) Усі інтеграли у нас табличні. Здійснюємо перетворення за допомогою таблиці, використовуючи формули: , та .
Особливу увагузвертаю на формулу інтегрування статечної функції Вона зустрічається дуже часто, її краще запам'ятати. Слід зазначити, що табличний інтеграл – окремий випадокцієї ж формули: .
Константу достатньо приплюсувати один раз наприкінці виразу (а не ставити їх після кожного інтегралу).
(4) Записуємо отриманий результат у більш компактному вигляді, всі ступені виду знову представляємо у вигляді коренів, ступені з негативним показником- Скидаємо назад у знаменник.

Перевірка. Для того щоб виконати перевірку, потрібно продиференціювати отриману відповідь:

Отримано вихідну підінтегральна функціяОтже, інтеграл знайдено правильно. Від чого танцювали, до того й повернулися. Знаєте дуже добре, коли історія з інтегралом закінчується саме так.

Іноді зустрічається трохи інший підхід до перевірки невизначеного інтеграла, від відповіді береться не похідна, а диференціал:

Хто з першого семестру зрозумів, той зрозумів, але зараз нам важливі не теоретичні тонкощі, а важливим є те, що з цим диференціалом далі робити. Його необхідно розкрити, і з формально-технічної точки зору – це майже те саме, що знайти похідну. Диференціал розкривається таким чином: значок прибираємо, праворуч над дужкою ставимо штрих, наприкінці виразу приписуємо множник :

Отримано вихідне підінтегральний виразОтже, інтеграл знайдено правильно.

Другий спосіб перевірки мені подобається менше, тому що доводиться додатково малювати великі дужки та тягнути піктограму диференціала до кінця перевірки. Хоча він коректніший чи «солідніший» чи що.

Насправді я взагалі міг промовчати про другий спосіб перевірки. Справа не в способі, а в тому, що ми навчилися розкривати диференціал. Ще раз.

Диференціал розкривається так:

1) значок прибираємо;
2) праворуч над дужкою ставимо штрих (позначення похідної);
3) наприкінці виразу приписуємо множник.

Наприклад:

Запам'ятайте це. Розглянутий прийом знадобиться дуже скоро.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Коли ми знаходимо невизначений інтеграл, то ЗАВЖДИ намагаємося зробити перевірку, тим більше, для цього є чудова нагода. Далеко не всі типи завдань у вищої математикиє подарунком із цього погляду. Неважливо, що часто в контрольних завданняхперевірки не потрібно, її ніхто, і ніщо не заважає провести на чернетці. Виняток можна зробити лише тоді, коли не вистачає часу (наприклад, на заліку, екзамені). Особисто я завжди перевіряю інтеграли, а відсутність перевірки вважаю халтурою та неякісно виконаним завданням.

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Рішення: Аналізуючи інтеграл, ми бачимо, що ми маємо добуток двох функцій, та ще й зведення у ступінь цілого вираження. На жаль, на терені інтегральної битви немає хороших та зручних формул для інтегрування твору та приватного , .

А тому, коли дано твір чи приватний, завжди є сенс подивитися, а чи не можна перетворити підінтегральну функцію на суму?

Розглянутий приклад - той випадок, коли можна. Спочатку я наведу повне рішеннякоментарі будуть нижче.

(1) Використовуємо стару-добру формулу квадрата суми, позбавляючись ступеня.

(2) Вносимо в дужку, позбавляючись твору.

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад самостійно рішення. Відповідь та повне рішення наприкінці уроку.

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

У даному прикладіПідінтегральна функція є дріб. Коли ми бачимо в підінтегральному вираженні дріб, то першою думкою має бути питання: А чи не можна якось від цього дробу позбутися, або хоча б його спростити?

Помічаємо, що у знаменнику знаходиться самотнє коріння з «ікс». Один у полі – не воїн, а отже, можна почленно розділити чисельник на знаменник:

Дії з дробовими ступенямия не коментую, тому що про них неодноразово йшлося у статтях про похідну функцію. Якщо Вас все-таки ставить в глухий кут такий приклад, як , і ні в яку не виходить правильна відповідь, то рекомендую звернутися до шкільним підручникам. У вищій математиці дроби та дії з ними зустрічаються на кожному кроці.

Також зверніть увагу, що у рішенні пропущено один крок, а саме застосування правил , . Зазвичай вже при початковому досвідірішення інтегралів дані властивості вважають зрозумілими і не розписують докладно.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад самостійно рішення. Відповідь та повне рішення наприкінці уроку.

У загальному випадкуз дробами в інтегралах не все так просто, додатковий матеріалз інтегрування дробів деяких видів можна знайти у статті Інтегрування деяких дробів.

! Але, перш ніж перейти до вищезгаданої статті, необхідно ознайомитися з уроком Метод заміни у невизначеному інтегралі. Справа в тому, що підведення функції під диференціал або метод заміни змінної є ключовим моментом у вивченні теми, оскільки зустрічається не лише «у чистих завданнях на метод заміни», а й у багатьох інших різновидах інтегралів.

Дуже хотілося включити ще кілька прикладів у даний урокАле сиджу зараз, друкую цей текст у Верді і помічаю, що стаття вже виросла до пристойних розмірів.
А тому вступний курсінтегралів для чайників добіг кінця.

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення:

Приклад 4: Рішення:

У цьому прикладі ми використовували формулу скороченого множення

Приклад 6: Рішення:

Я виконав перевірку, а Ви? ;)

Знайти невизначений інтеграл (безліч первісних або "антипохідних") означає відновити функцію за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​безліч первісних F(x) + З для функції f(x) враховує константу інтегрування C. За швидкістю переміщення матеріальної точки (похідної) то, можливо відновлено закон руху цієї точки (первообразная); щодо прискорення руху точки - її швидкість та закон руху. Як бачимо, інтегрування - широке полі діяльності Шерлоков Холмсов від фізики. Та й в економіці багато понять надаються через функції та їх похідні і тому, наприклад, можна за продуктивністю праці у певний момент часу (похідної) відновити обсяг продукції, випущений у відповідний час.

Щоб знайти невизначений інтеграл, потрібна досить невелика кількість основних формул інтегрування. Але процес його знаходження значно важче, ніж лише застосування цих формул. Вся складність відноситься не до інтегрування, а до приведення інтегрованого виразу до такого виду, що дає можливість знайти невизначений інтеграл за вищезазначеними основними формулами. Це означає, що для початку практики інтегрування потрібно активізувати отримані в середній школінавички перетворення виразів.

Вчитися знаходити інтеграли будемо, користуючись властивостями та таблицею невизначених інтегралівз уроку про основні поняття цієї теми (відкриється у новому вікні).

Існує кілька методів знаходження інтеграла, з яких метод заміни змінноїі метод інтегрування частинами- обов'язковий джентльменський набір кожного, хто успішно здав найвищу математику. Однак починати освоювати інтегрування корисніше і приємніше із застосуванням методу розкладання, заснованому на двох теоремах про властивості невизначеного інтеграла, які для зручності повторимо тут.

Теорема 3.Постійний множник у подинтегральном вираженні можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто.

Теорема 4.Невизначений інтеграл суми алгебри кінцевого числафункцій дорівнює сумі алгебри невизначених інтегралів цих функцій, тобто.

(2)

Крім того, в інтегруванні може стати в нагоді наступне правило: якщо вираз підінтегральної функції містить постійний множник, то вираз первісної домножується на число, зворотне постійному множнику, тобто

(3)

Оскільки цей урок - вступний у вирішення завдань інтегрування, важливо відзначити дві речі, які або вже насправді початковому етапіабо трохи пізніше можуть вас здивувати. Здивування пов'язане з тим фактом, що інтегрування - операція, зворотна диференціюванню і невизначений інтеграл можна справедливо називати "антипохідною".

Перша річ, яку не варто дивуватися при інтегруванні.У таблиці інтегралів існують формули, які не мають аналогів серед формул похідної таблиці . Це такі формули:

Однак можна переконатися в тому, що похідні виразів, що стоять у правих частинах цих формул, збігаються з відповідними підінтегральними функціями.

Друга річ, якій не слід дивуватися при інтегруванні. Хоча похідна будь-якої елементарної функції є також елементарною функцією, невизначені інтеграли від деяких елементарних функцій не є елементарними функціями . Прикладами таких інтегралів можуть бути такі:

Для вироблення техніки інтегрування стануть у нагоді такі навички: скорочення дробів, розподіл багаточлена в чисельнику дробу на одночлен у знаменнику (для отримання суми невизначених інтегралів), перетворення коренів у ступені, множення одночлена на багаточлен, зведення в ступінь. Ці навички потрібні для перетворень підінтегрального виразу, у яких має вийти сума інтегралів, присутніх у таблиці інтегралів.

Знаходимо невизначені інтеграли разом

приклад 1.Знайти невизначений інтеграл

.

Рішення. Бачимо у знаменнику підінтегрального виразу багаточлен, у якому ікс у квадраті. Це майже вірна ознака того, що можна застосувати табличний інтеграл 21 (з арктангенсом у результаті). Виносимо із знаменника множник-двійку (є така властивість інтеграла - постійний множник можна виносити за знак інтеграла, вище воно було згадано як теорема 3). Результат всього цього:

Тепер у знаменнику є сума квадратів, а це означає, що можемо застосувати згаданий табличний інтеграл. Остаточно отримуємо відповідь:

.

приклад 2.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Знову застосовуємо теорему 3 - властивість інтеграла, на підставі якого постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Застосовуємо формулу 7 з таблиці інтегралів (змінна до ступеня) до підінтегральної функції:

.

Скорочуємо дроби і перед нами кінцева відповідь:

приклад 3.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Застосовуючи спочатку теорему 4, а потім теорему 3 про властивості знайдемо даний інтеграл як суму трьох інтегралів:

Усі три отримані інтеграли – табличні. Використовуємо формулу (7) з таблиці інтегралів при n = 1/2, n= 2 і n= 1/5, і тоді

об'єднує всі три довільні постійні, які були введені при знаходженні трьохінтегралів. Тому в аналогічних ситуаціяхслід вводити лише одну довільну постійну (константу) інтегрування.

приклад 4.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Коли знаменнику подинтегральной дробу - одночлен, можемо почленно розділити чисельник на знаменник. Вихідний інтеграл перетворився на суму двох інтегралів:

.

Щоб застосувати табличний інтеграл, перетворимо коріння в міру і ось вже остаточна відповідь:

Продовжуємо знаходити невизначені інтеграли разом

Приклад 7.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Якщо ми перетворимо підінтегральну функцію, звівши двочлен у квадрат і розділивши почленно чисельник на знаменник, то вихідний інтеграл стане сумою трьох інтегралів.