Формула прямокутників для обчислення певного інтегралу. Обчислення певних інтегралів за правилом прямокутників

Перейдемо до модифікацій методу прямокутників.

Це формула методу лівих прямокутників.

- це формула методу правих прямокутників.

Відмінність від методу середніх прямокутників полягає у виборі точок не в середині, а на лівій та правій межах елементарних відрізків відповідно.

Абсолютна похибка методів лівих та правих прямокутників оцінюється як .

Блок-схема

Для того, щоб обчислити інтеграл за формулою правих прямокутників Excel, необхідно виконати такі дії:

1. Продовжити роботу в тому ж документі, що і при обчисленні інтеграла за формулою лівих прямокутників.

2. У комірку D6 ввести текст y1,…,yn.

3. Ввести в комірку D8 формулу =КОРІНЬ(B8^4-B8^3+8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок D9:D17

4. Ввести в комірку D18 формулу = СУМ (D7: D17).

5. Ввести в комірку D19 формулу = B4 * D18.

6. Ввести в комірку D20 текст правих.

У результаті отримуємо таке:

Для того, щоб обчислити інтеграл за формулою правих прямокутників Mathcad, необхідно виконати такі дії:

1. Ввести в поле введення в одному рядку через будь-яку відстань такі вирази: a:=0, b:=3.2, n:=10.

2. У наступному рядку ввести формулу з клавіатури h:=(b-a)/n ( ).

3. Поруч вивести значення цього виразу, при цьому набрати з клавіатури: h=.

4. Нижче ввести формулу для обчислення підінтегральної функції, для цього з клавіатури набрати f(x):=, потім відкрити панель інструментів "Арифметика", або скориставшись значком або наступним способом:

Після цього на панелі інструментів "Арифметика" вибрати " Квадратний корінь": , потім в темному квадраті, що з'явився, ввести вираз з клавіатури x^4-x^3+8, переміщення курсору здійснюється стрілками на клавіатурі ( звернути увагу на те, що в полі введення цей вираз відразу перетворюється на стандартний вид).

5. Нижче запровадити вираз I1:=0.

6. Нижче ввести вираз pr_p(a,b,n,h,I1):=.

7. Потім вибрати панель інструментів "Програмування" (або: "Вигляд"-"Панелі інструментів"-"Програмування", або: значок ).

8. На панелі інструментів "Програмування" додати рядок програми: , потім поставити курсор у перший темний прямокутник і на панелі інструментів "Програмування" вибрати "for".

9. В отриманому рядку, після слова for, стати курсором у перший із прямокутників і набрати i.

10. Потім вибрати панель інструментів "Матриці" (або: "Вигляд"-"Панелі інструментів"-"Матриці" або: значок ).

11. Поставити курсор у наступний темний прямокутник і на панелі інструментів "Матриці" натиснути: , де набрати в двох прямокутниках, що з'явилися відповідно: 1 і n.

12. Поставити курсор у темний прямокутник нижче і двічі додати рядок програми.

13. Після цього повернути курсор в перший з прямокутників, що з'явилися, і набрати x1, потім натиснути "Локальне присвоєння" на панелі "Програмування": і після цього набрати a+h.

14. Поставити курсор у наступний темний прямокутник, де набрати I1 присвоїти (кнопка "Локальне присвоєння") I1+f(x1).

15. Поставити курсор у наступний темний прямокутник, де набрати a присвоїти x1 (кнопка "Локальне присвоєння").

16. У наступному темному прямокутнику додати рядок програми, де в першому з отриманих прямокутників набрати I1 присвоїти (кнопка "Локальне присвоєння") I1*h ( звернути увагу, що знак множення у полі введення автоматично перетворюється на стандартний).

17. В останньому темному прямокутнику набрати I1.

18. Нижче ввести pr_p(a,b,n,h,I1) та натиснути знак =.

19. Для того, щоб відформатувати відповідь, потрібно двічі клацнути по отриманому числу та вказати число десяткових місць – 5.

У результаті отримуємо:

Відповідь: значення заданого інтегралу дорівнює 14,45905.

Метод прямокутників, безумовно, дуже зручний при обчисленні. певного інтегралу. Робота була дуже захоплююча та пізнавальна.

Використана література

http://www.cleverstudents.ru/method_of_rectangles.html

(Методи обчислення інтегралів)

http://algmet.narod.ru/theory_a4m/integr_prav/index.htm

(суть методу)

http://ua.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%EF%F0%FF%EC%EE%F3%E3%EE%EB%FC%ED%E8%EA%EE %E2

(Вікіпедія)

1) введення та теорія

2) Суть методу та вирішення прикладів

3) Паскаль

Графічне зображення:

Обчислимо наближене значення інтегралу. Для оцінки точності використовуємо прорахунок методом лівих та правих прямокутників.

Розрахуємо крок при розбитті на 10 частин:

Точки розбиття відрізка визначаються як.

Обчислимо наближене значення інтеграла за формулами лівих прямокутників:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Обчислимо наближене значення інтеграла за формулами правих прямокутників:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Вирішення крайової задачі для звичайного диференціального рівнянняметодом прогонки.

Для наближеного рішення звичайного диференціального рівняння можна використовувати спосіб прогонки.

Розглянемо лінійне д.у.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

з двоточковими лінійними крайовими умовами

Введемо позначення:

Метод прогонки складається з "прямого ходу", в якому визначаються коефіцієнти:

Після виконання «прямого ходу», переходять до виконання «зворотного ходу», який полягає у визначенні значень функції за формулами:

Використовуючи спосіб прогонки, скласти рішення крайової задачі для звичайного диференціального рівняння з точністю; Крок h = 0.05

2; A=1; =0; B = 1.2;

Завдання Диріхлі для рівняння Лапласа методом сіток

Знайти безперервну функціюі (х, у), що задовольняє всередині прямокутної області рівняння Лапласа

та приймаючу на кордоні області задані значення, тобто.

де fl, f2, f3, f4 - задані функції.

Вводячи позначення, апроксимуємо приватні похідні і в кожному внутрішньому вузлі сітки центральними похідними різними похідними другого порядку

і замінимо рівняння Лапласа звичайно-різносним рівнянням

Похибка заміни диференціального рівняння різницевим становить величину.

Рівняння (1) разом із значеннями у граничних вузлах утворюють систему лінійних алгебраїчних рівняньщодо наближених значень функції та (х, у) у вузлах сітки. Найбільш простий вигляд має ця система при:

При отриманні сіткових рівнянь (2) використана схема вузлів, зображена на рис. 1. Набір вузлів, що використовуються для апроксимації рівняння у точці, називається шаблоном.

Малюнок 1

Чисельне розв'язання задачі Диріхле для рівняння Лапласа в прямокутнику полягає в знаходженні наближених значень функції і(х, у) у внутрішніх вузлах сітки. Для визначення величин потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри (2).

У цій роботі вона вирішується методом Гауса-Зейделя, який полягає в побудові послідовності ітерацій виду

(Верховим індексом s позначений номер ітерації). При послідовності сходиться до точного рішення системи (2). Як умову закінчення ітераційного процесу можна прийняти

Таким чином, похибка наближеного рішення, отриманого методом сіток, складається з двох похибок: похибки апроксимації диференціального рівняння різницевими; похибки, що виникає внаслідок наближеного розв'язання системи різницевих рівнянь (2).

Відомо, що описана тут різнизна схема має властивість стійкості та збіжності. Стійкість схеми означає, що малі зміни в початкових даних призводять до малих змін розв'язання задач. Тільки такі схеми можна застосовувати у реальних обчисленнях. Східність схеми означає, що з прагненні кроку сітки до нуля () розв'язання різницевої завдання прагне у сенсі до вирішення вихідної задачи. Таким чином, вибравши досить малий крок h, можна як завгодно вирішити вихідне завдання.

Використовуючи метод сіток, скласти наближене розв'язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа в квадраті ABCD з вершинами A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); крок h = 0.02. При розв'язанні задачі використовувати ітераційний процес усереднення Лібман до отримання відповіді з точністю до 0,01.

1) Обчислимо значення функції на сторонах:

• 1. На стороні AB: за формулою. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
• 2. На стороні ВС = 0
• 3. На стороні CD=0

• 4. На стороні AD: за формулою u(0;0)=0 u(0.2;0)=29,376 u(0.4;0)=47,542 u(0.6;0)=47,567 u(0.8;0)=29,44 u(1;0)=0
• 2) Для визначення значень функції у внутрішніх точкахобласті методом сіток задане рівнянняЛапласа в кожній точці замінимо кінцево-різницевим рівнянням за формулою

Використовуючи цю формулу, складемо рівняння кожної внутрішньої точки. В результаті одержуємо систему рівнянь.

Рішення цієї системи здійснимо ітераційним способом типу Лібмана. Для кожного значення складемо послідовність, яку будуємо до збіжності в сотих частках. Запишемо співвідношення, за допомогою яких знаходитимемо елементи всіх послідовностей:

Для обчислень за цими формулами потрібно визначити початкові значення, які можуть бути знайдені будь-яким способом.

3) Щоб отримати початкове наближене рішення задачі, вважатимемо, що функція u(x,y) по горизонталі області розподілена рівномірно.

Спочатку розглянемо горизонталь з граничними точками (0; 0.2) та (1; 0.2).

Позначимо потрібні значення функції у внутрішніх точках через.

Оскільки відрізок розбитий на 5 частин, то крок виміру функції

Тоді отримаємо:

Аналогічно знайдемо значення функції у внутрішніх точках інших обріїв. Для горизонталі, з граничними точками (0; 0.4) та (1; 0.4) маємо

Для горизонталі з граничними точками (0; 0.6) та (1; 0.6) маємо

Нарешті, знайдемо значення для горизонталі з граничними точками (0; 0.8) та (1; 0.8).

Всі отримані значення представимо в наступній таблиці, яка називається нульовим шаблоном:

Обчислення певних інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца не завжди можливе. Багато підінтегральних функцій не мають первісних у вигляді елементарних функційтому ми в багатьох випадках не можемо знайти точне значення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца. З іншого боку, точне значення не завжди потрібно. На практиці нам часто достатньо знати наближене значення певного інтеграла з певним заданим ступенем точності (наприклад, з точністю до тисячної). У цих випадках нам на допомогу приходять методи чисельного інтегрування, такі як метод прямокутників, метод трапецій, метод Сімпсона (парабол) і т.п.

У статті докладно розберемо для наближеного обчислення певного інтеграла.

Спочатку зупинимося на суті цього методу чисельного інтегрування, виведемо формулу прямокутників та отримаємо формулу для оцінки абсолютної похибки методу. Далі за такою ж схемою розглянемо модифікації методу прямокутників, такі як метод правих прямокутників та метод лівих прямокутників. Наприкінці розглянемо докладне рішенняхарактерних прикладів та завдань з необхідними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Суть методу прямокутників.

Нехай функція y = f(x) безперервна на відрізку. Нам потрібно обчислити певний інтеграл.

Як бачите, точне значення певного інтеграла відрізняється від значення, отриманого за методом прямокутників для n = 10 менш ніж на шість сотих часток одиниці.

Графічні ілюстрації.

приклад.

Обчисліть наближене значення певного інтегралу методами лівих та правих прямокутників з точністю до однієї сотої.

Рішення.

За умовою маємо a = 1, b = 2,.

Щоб застосувати формули правих і лівих прямокутників нам необхідно знати крок h , а щоб обчислити крок h необхідно знати скільки відрізків n розбивати відрізок інтегрування. Оскільки за умови завдання нам зазначена точність обчислення 0.01 , то число n ми можемо визначити з оцінки абсолютної похибки методів лівих і правих прямокутників.

Нам відомо, що . Отже, якщо знайти n для якого буде виконуватися нерівність , то буде досягнуто необхідного ступеня точності.

Знайдемо - найбільше значеннямодуля першої похідної підінтегральної функції на відрізку. У нашому прикладі це зробити досить легко.

Графіком функції похідної підінтегральної функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз, на відрізку її графік монотонно зменшується. Тому достатньо обчислити модулі значення похідної на кінцях відрізка та вибрати найбільше:

У прикладах зі складними підінтегральними функціями Вам може знадобитися теорія розділу.

Таким чином:

Число n не може бути дробовим (оскільки n – натуральне число- Кількість відрізків розбиття інтервалу інтегрування). Тому для досягнення точності 0.01 за методом правих або лівих прямокутників, ми можемо брати будь-яке n = 9, 10, 11, … Для зручності розрахунків візьмемо n = 10 .

Формула лівих прямокутників має вигляд , а правих прямокутників . Для їх застосування нам потрібно знайти h і для n = 10.

Отже,

Точки розбиття відрізка визначаються як .

Для i = 0 маємо і.

Для i = 1 маємо і.

Отримані результати зручно подавати у вигляді таблиці:

Підставляємо у формулу лівих прямокутників:

Підставляємо у формулу правих прямокутників:

Обчислимо точне значення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

Очевидно, точність в одну соту дотримано.

Графічні ілюстрації.

Зауваження.

У багатьох випадках знаходження найбільшого значення модуля першої похідної (або другої похідної для методу середніх прямокутників) підінтегральної функції на відрізку інтегрування є дуже трудомісткою процедурою.

Тому можна діяти без використання нерівності з метою оцінки абсолютної похибки методів чисельного інтегрування. Хоча оцінки краще.

Для методів правих та лівих прямокутників можна використовувати таку схему.

Беремо довільне n (наприклад, n = 5) і обчислюємо наближене значення інтегралу. Далі подвоює кількість відрізків розбиття інтервалу інтегрування, тобто беремо n = 10 і знову обчислюємо наближене значення певного інтеграла. Знаходимо різницю отриманих наближених значень для n = 5 і n = 10 . Якщо абсолютна величинацієї різниці не перевищує необхідної точності, то як наближеного значення певного інтеграла беремо значення при n = 10 попередньо округливши його до порядку точності. Якщо ж абсолютна величина різниці перевищує необхідну точність, то знову подвоюємо n та порівнюємо наближені значення інтегралів для n = 10 та n = 20 . І так продовжуємо до досягнення необхідної точності.

Для методу середніх прямокутників діємо аналогічно, але кожному кроці обчислюємо третину модуля різниці отриманих наближених значень інтеграла для n і 2n . Цей спосіб називають правилом Рунґе.

Обчислимо певний інтеграл із попереднього прикладу з точністю до однієї тисячної за методом лівих прямокутників.

Не будемо докладно зупинятись на обчисленнях.

Для n = 5 маємо для n = 10 маємо .

Оскільки тоді беремо n = 20 . В цьому випадку .

Оскільки тоді беремо n = 40 . В цьому випадку .

Оскільки , то, округливши 0.01686093 до тисячних, стверджуємо, що значення певного інтегралу одно 0.017 з абсолютною похибкою 0.001.

На закінчення зупинимося на похибки методів лівих, правих і середніх прямокутників більш детально.

З оцінок абсолютних похибок видно, що метод середніх прямокутників дасть більшу точність, ніж методи лівих та правих прямокутників для заданого n . У той самий час, обсяг обчислень однаковий, отже використання методу середніх прямокутників краще.

Якщо говорити про безперервні підінтегральні функції, то при нескінченному збільшенні числа точок розбиття відрізка інтегрування наближене значення певного інтеграла теоретично прагнути точного. Використання методів чисельного інтегрування передбачає використання обчислювальної техніки. Тому слід пам'ятати, що з великих n починає накопичуватися обчислювальна похибка.

Ще зауважимо, якщо Вам потрібно обчислити певний інтеграл із деякою точністю, то проміжні обчислення проводите з вищою точністю. Наприклад, Вам потрібно обчислити певний інтеграл з точністю до однієї сотої, тоді проміжні обчислення проводьте з точністю щонайменше до 0.0001.

Підведемо підсумок.

При обчисленні певного інтеграла методом прямокутників (методом середніх прямокутників) користуємося формулою та оцінюємо абсолютну похибку як .

Для методу лівих та правих прямокутників користуємося формулами і відповідно. Абсолютну похибкуоцінюємо як .

Єкатеринбург

Обчислення певного інтегралу

Вступ

Завдання чисельного інтегрування функцій полягає у обчисленні наближеного значення певного інтегралу:

на основі ряду значень підінтегральної функції. (f(x) | x = x k = f (x k) = y k).

Формули чисельного обчислення одноразового інтеграла називаються квадратурними формулами, подвійного і кратного – кубатурними.

Звичайний прийом побудови квадратурних формул полягає у заміні підінтегральної функції f(x) на відрізку інтерполюючою або апроксимуючою функцією g(x) порівняно простого виглядунаприклад, поліномом, з подальшим аналітичним інтегруванням. Це призводить до уявлення

У зневазі залишковим членом R[f] отримуємо наближену формулу

.

Позначимо через y i = f(x i) значення підінтегральної функції різних точкахна . Квадратурні формули є формулами замкнутого типу, якщо x 0 = a x n = b.

Як наближену функцію g(x) розглянемо інтерполяційний поліном на у формі полінома Лагранжа:

,

, при цьому де - залишковий член інтерполяційної формули Лагранжа

Формула (1) дає

, (2)

. (3)

У формулі (2) величини () називаються вузлами, () – терезами, - похибкою квадратурної формули. Якщо ваги () квадратурної формули обчислені за формулою (3), відповідну квадратурну формулу називають квадратурною формулою інтерполяційного типу.

Підведемо підсумок.

1. Ваги () квадратурної формули (2) при заданому розташуванні вузлів не залежать від виду підінтегральної функції.

2. У квадратурних формулах інтерполяційного типу залишковий член R n [f] може бути представлений як значення конкретного диференціального оператора на функції f(x). Для

3. Для поліномів порядку n включно квадратурна формула (2) точна, тобто. . Найвищий ступіньполінома, для якого квадратурна формула точна, називається ступенем квадратурної формули.

Розглянемо окремі випадки формул (2) і (3): метод прямокутників, трапецій, парабол (метод Сімпсона). Назви цих методів обумовлені геометричною інтерпретацієювідповідних формул.

Метод прямокутників

Певний інтеграл функції від функції f(x): чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, Обмеженої кривими у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рисунок. 1).

Рис. 1 Площа під кривою y=f(x) Для обчислення цієї площі весь інтервал інтегрування розбивається на n рівних підінтервалів довжини h=(b-a)/n. Площа під підінтегральною кривою приблизно замінюється на суму площ прямокутників, як це показано на малюнку (2).

Рис. 2 Площа під кривою y=f(x) апроксимується сумою площ прямокутників
Сума площ усіх прямокутників обчислюється за формулою

Метод, поданий формулою (4), називається методом лівих прямокутників, а метод, поданий формулою (5) – методом правих прямокутників:

Похибка обчислення інтеграла визначається величиною кроку інтегрування h. Чим менший крок інтегрування, тим точніше інтегральна сума S апроксимує значення інтеграла I. Тому будується алгоритм для обчислення інтеграла із заданою точністю. Вважається, що інтегральна сума S являє значення інтеграла I c точністю eps, якщо різниця по абсолютній величині між інтегральними сумами і обчисленими з кроком h і h/2 відповідно, не перевищує eps.

Для знаходження певного інтеграла методом середніх прямокутників площа, обмежена прямими a і b, розбивається на прямокутників n однаковими підставами h, висотами прямокутників будуть точки перетину функції f(x) із серединами прямокутників (h/2). Інтеграл буде чисельно дорівнює суміплощ n прямокутників (рисунок 3).

Рис. 3 Площа під кривою y=f(x) апроксимується сумою площ прямокутників

,

n – кількість розбиття відрізка.

Метод трапецій

Для знаходження певного інтеграла методом трапецій площа криволінійної трапеції також розбивається на n прямокутних трапеційз висотами h і основами у 1, у 2, у 3, .. у n, де n - номер прямокутної трапеції. Інтеграл буде чисельно дорівнює сумі площ прямокутних трапецій (рис. 4).

Рис. 4 Площа під кривою y=f(x) апроксимується сумою площ прямокутних трапецій.

n – кількість розбиття

(6)

Похибка формули трапецій оцінюється числом

Похибка формули трапецій із зростанням зменшується швидше, ніж похибка формули прямокутників. Отже, формула трапецій дозволяє отримати більшу точність, ніж метод прямокутників.

Формула Сімпсона

Якщо кожної пари відрізків побудувати многочлен другого ступеня, потім проінтегрувати їх у відрізку і користуватися властивістю адитивності інтеграла, то отримаємо формулу Симпсона.

У методі Сімпсона для обчислення певного інтеграла весь інтервал інтегрування розбивається на підінтервали рівної довжини h=(b-a)/n. Число відрізків розбиття є парним числом. Потім кожної парі сусідніх подинтервалов подинтегральная функція f(x) замінюється многочленом Лагранжа другого ступеня (рисунок 5).

Рис. 5 Функція y=f(x) на відрізку замінюється многочленом 2-го порядку

Розглянемо підінтегральну функцію на відрізку. Замінимо цю підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом Лагранжа другого ступеня, що збігається з y= у точках:

Проінтегруємо на відрізку.

Введемо заміну змінних:

Враховуючи формули заміни,

Виконавши інтегрування, отримаємо формулу Сімпсона:

Отримане для інтеграла значення збігається з площею криволінійної трапеції, обмеженою віссю , прямими і параболою, що проходить через точки На відрізку формула Сімпсона матиме вигляд:

У формулі параболи значення функції f(x) у непарних точках розбиття х 1 , х 3 , ..., х 2 n -1 має коефіцієнт 4, у парних точках х 2 , х 4 , ..., х 2 n -2 - коефіцієнт 2 і двох граничних точках х 0 =а, х n =b - коефіцієнт 1.

Геометричний змістФормули Симпсона: площа криволінійної трапеції під графіком функції f(x) на відрізку приблизно замінюється сумою площ фігур, що лежать під параболами.

Якщо функція f(x) має безперервну похідну четвертого порядку, то абсолютна величина похибки формули Сімпсона не більше ніж

де М - найбільше значення на відрізку. Так як n 4 зростає швидше, ніж n 2 то похибка формули Сімпсона зі зростанням n зменшується значно швидше, ніж похибка формули трапецій.

Обчислимо інтеграл

Цей інтеграл легко обчислюється:

Візьмемо n рівним 10, h=0.1, розрахуємо значення підінтегральної функції у точках розбиття , і навіть напівцілих точках .

За формулою середніх прямокутників отримаємо I прям =0.785606 (похибка дорівнює 0.027%), за формулою трапецій I трап =0.784981 (похибка близько 0,054. При використанні методу правих та лівих прямокутників похибка становить понад 3%).

Для порівняння точності наближених формул обчислимо ще раз інтеграл

але тепер за формулою Сімпсона за n=4. Розіб'ємо відрізок на чотири рівні частини точками х 0 =0, х 1 =1/4, х 2 =1/2, х 3 =3/4, х 4 =1 і обчислимо приблизно значенняфункції f(x)=1/(1+x) у цих точках: у 0 =1,0000, у 1 =0,8000, у 2 =0,6667, у 3 =0,5714, у 4 =0, 5000.

За формулою Сімпсона отримуємо

Оцінимо похибку отриманого результату. Для підінтегральної функції f(x)=1/(1+x) маємо: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , звідки випливає, що у відрізку . Отже, можна взяти М=24, і похибка результату вбирається у величини 24/(2880× 4 4)=0.0004. Порівнюючи наближене значення з точним, укладаємо, що абсолютна помилка результату, отриманого за формулою Сімпсона, менше 0,00011. Це знаходиться у відповідності з цією оцінкою похибки і, крім того, свідчить, що формула Сімпсона значно точніше формулитрапецій. Тому формулу Сімпсона для наближеного обчислення певних інтегралів використовують частіше ніж формулу трапецій.

Порівняння методів точності

Порівняємо методи точності, при цьому зробимо обчислення інтеграла функцій y=x, y=x+2, y=x 2 , при n=10 і n=60, a=0, b=10. Точне значенняінтегралів становить відповідно: 50, 70, 333. (3)

Таблиця 1

З таблиці 1 видно, що найбільш точним є інтеграл, знайдений за формулою Сімпсона, під час обчислення лінійних функцій y=x, y=x+2 також досягається точність методами середніх прямокутників та методом трапецій, метод правих прямокутників є менш точним. З таблиці 1 видно, що зі збільшенням кількості розбиття n (збільшення числа інтеграцій) підвищується точність наближеного обчислення інтегралів

Завдання на лабораторну роботу

1) Написати програми обчислення певного інтеграла методами: середніх, правих прямокутників, трапеції та методом Сімпсона. Виконати інтегрування наступних функцій:

на відрізку з кроком , ,

3. Виконати варіант індивідуального завдання (таблиця 2)

Таблиця 2 Індивідуальні варіантизавдання

2) Провести порівняльний аналізметодів.

Обчислення певного інтегралу: Методичні вказівкидо лабораторної роботиз дисципліни «Обчислювальна математика»/уклад. І.А.Селіванова. Єкатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПІ, 2006. 14 с.

Вказівки призначені для студентів усіх форм навчання спеціальності 230101 – « Обчислювальні машини, комплекси, системи та мережі» та бакалаврів напряму 230100 – «Інформатика та обчислювальна техніка». Упорядник Селіванова Ірина Анатоліївна

У загальному вигляді формула лівих прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (21) :

У цій формулі x 0 =a, x n =b, оскільки будь-який інтеграл у загальному вигляді виглядає: (див. формулу 18 ).

h можна обчислити за формулою 19 .

y 0 , y 1 ,..., y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h).

Формула правих прямокутників.

Загалом формула правих прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (22) :

У цій формулі x 0 =a, x n =b(Див. формулу для лівих прямокутників).

h можна обчислити за тією самою формулою, що у формулі для лівих прямокутників.

y 1 , y 2 ,..., y n- це значення відповідної функції f(x) у точках x 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h).

Формула середніх прямокутників.

Загалом формула середніх прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (23) :

Де x i =x i-1 +h.

У цій формулі, як і попередніх, потрібно h множити суму значень функції f(x), але не просто підставляючи відповідні значення x 0 ,x 1 ,...,x n-1у функцію f(x), а додаючи до кожного з цих значень h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), а потім лише підставляючи їх у задану функцію.

h можна обчислити за тією самою формулою, що у формулі для лівих прямокутників." [ 6 ]

Насправді дані методи реалізуються так:

Mathcad ;

Excel .

Mathcad ;

Excel .

Для того, щоб обчислити інтеграл за формулою середніх прямокутників Excel, необхідно виконати такі дії:

Продовжити роботу в тому самому документі, що і при обчисленні інтеграла за формулами лівих та правих прямокутників.

У комірку E6 ввести текст xi+h/2, а F6 - f(xi+h/2).

Ввести в комірку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон клітин E8:E16

Ввести в комірку F7 формулу =КОРІНЬ(E7^4-E7^3+8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок F8:F16

Ввести в комірку F18 формулу = СУМ (F7: F16).

Ввести у комірку F19 формулу =B4*F18.

Ввести в осередок F20 середніх текст.

У результаті отримуємо таке:

Відповідь: значення заданого інтегралу дорівнює 13,40797.

З отриманих результатів, можна дійти невтішного висновку, що формула середніх прямокутників є більш точної, ніж формули правих і лівих прямокутників.

1. Метод Монте-Карло

"Основна ідея методу Монте-Карло полягає у багаторазовому повторенні випадкових випробувань. Характерною особливістю методу Монте-Карло є використання випадкових чисел(числових значень деякої випадкової величини). Такі числа можна отримати за допомогою датчиків випадкових чисел. Наприклад, у мові програмування Turbo Pascal є стандартна функція random, значеннями якої є випадкові числа, рівномірно розподілені на відрізку . Сказане означає, що якщо розбити зазначений відрізок на кілька рівних інтервалів і обчислити значення функції random велике числораз, то кожен інтервал потрапить приблизно однакову кількість випадкових чисел. У мові програмування basin подібним датчиком є ​​функція rnd. У табличному процесорі MS Excel функція СЛЧИСповертає рівномірно розподілене випадкове число більше або дорівнює 0 і менше 1 (змінюється під час перерахунку)" [ 7 ].

Для того, щоб його обчислити, необхідно скористатися формулою () :

Де (i=1, 2, …, n) – випадкові числа, що у інтервалі .

Для отримання таких чисел на основі послідовності випадкових чисел x i , рівномірно розподілених в інтервалі досить виконати перетворення x i = a + (b-a) x i .

Насправді даний метод реалізується так:

Щоб обчислити інтеграл методом Монте-Карло в Excel, необхідно виконати такі действия:

У комірку B1 ввести текст n=.

У комірку B2 ввести текст a=.

У комірку B3 ввести текст b=.

У комірку C1 ввести число 10.

У комірку C2 ввести число 0.

У комірку C3 ввести число 3,2.

У комірку A5 ввести I, В5 – xi, в C5 – f(xi).

Осередки A6:A15 заповнити числами 1,2,3, …,10 – оскільки n=10.

Ввести в комірку B6 формулу =СЛЧИС()*3,2 (відбувається генерація чисел у діапазоні від 0 до 3,2), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок В7:В15.

Ввести в комірку C6 формулу =КОРІНЬ(B6^4-B6^3+8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок C7:C15.

Ввести в комірку B16 текст «сума», у B17 – «(b-a)/n», у B18 – «I=».

Вести в комірку C16 формулу = СУМ (C6: C15).

Вести у комірку C17 формулу =(C3-C2)/C1.

Вести в комірку C18 формулу = C16 * C17.

У результаті отримуємо:

Відповідь: значення заданого інтегралу дорівнює 13,12416.