Визначники та його властивості. Визначники другого порядку та їх властивості

лекція 2.визначники

Визначники другого порядку

Визначники третього порядку

Алгебраїчні доповнення та мінори

Розкладання визначника по рядку або стовпцю

Властивості визначників

зворотна матриця

Властивості зворотної матриці

1. Визначники другого порядку

Поняття визначника вводиться тільки для квадратної матриці.

Визначник- Це число, яке вважається за певними правилами. Порядок визначника- Це порядок квадратної матриці. Якщо завдання матриць використовувалися круглі дужки, то теорії визначників використовують прямі дужки.

Кожній квадратній матриці поставимо у відповідність деяке число, яке називатимемо визначником матриці,та вкажемо правило його обчислення. Позначення :

.

приклад 1.
.

2. Визначники третього порядку

У кожному творі немає чисел із одного стовпця чи одного рядка.

Наведемо схему для запам'ятовування порядку отримання доданків у визначнику.

Добуток чисел однією діагоналі береться зі знаком «+» (це головна діагональ матриці), але в інший – з протилежним знаком.

Приклад 2.

3. Алгебраїчні доповнення та мінори

Для обчислення визначників порядку більше за третій застосовують інші способи обчислення.

приклад 3.Мінор
визначника є.

.

Корисно запам'ятати, що
і
.

приклад 4.У прикладі 3алгебраїчне доповнення

4. Розкладання визначника по рядку чи стовпцю

Обчислення визначника -го порядку можна звести до обчислення визначників порядку
, використовуючи такі формули.

Це число дорівнює сумі творів елементівбудь-який -йрядки на їх алгебраїчні доповнення.

Приклад 5. Обчислити визначник третього порядку
розкладанням по першому рядку.

Рішення

Це число дорівнює сумі творів елементів будь-якого -го стовпця з їхньої алгебраїчні доповнення.

Незалежно від способу розкладання завжди виходить той самий відповідь.

5. Властивості визначників

1. При транспонуванні квадратної матриці її визначник не змінюється:
.

Висновок.Властивості визначників, сформульованих рядків, справедливі й у стовпців.

2. При перестановці двох рядків (Стовпців) визначник змінює знак на протилежний. Наприклад,
.

3. Визначник дорівнює нулю , якщо:

а) він має нульовий рядок (стовпець)
;

б) він має пропорційні (однакові) рядки (стовпець)
.

4. Загальний множник у рядку (стовпці) можна виносити за знак визначника. Наприклад,
.

5. Визначник не змінюється , якщо до елементів будь-якого рядка додати (відняти) відповідні елементи іншого рядка, помножені на будь-яке число.

Наприклад,
.

6. Якщо у визначнику кожен елемент рядка є сума двох доданків, то цей визначник дорівнює сумідвох визначників:

.

7. Визначник добутку двох квадратних матриць одного і того ж порядку дорівнює творувизначників цих матриць:

.

8. Визначник квадратної матриці трикутного вигляду дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі:

.

6. Зворотня матриця

Замість операції розподілу матриць вводиться поняття зворотної матриці.

Позначається зворотна матриця
, тобто .

Очевидною є аналогія з числами: для числа 2 число ½ є зворотне, так як
. Саме тому матриця, зворотна до А, позначається
.

Теорема «Необхідна та достатня умова існування зворотної матриці». Для того, щоб квадратна матриця мала зворотну матрицю
необхідно і достатньо, щоб визначник матриці дорівнював нулю.

Правило знаходження зворотної матриці

0) Дивимося, чи є квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці немає; якщо квадратна, переходимо до пункту 1.

1) Обчислюємо визначник матриці
: якщо він не дорівнює нулю, то зворотна матриця існує:
; якщо дорівнює нулю, зворотної матриці немає.

2) Для кожного елемента матриці обчислюємо його додаток алгебри .

3) Складаємо матрицю з додатків алгебри, яка потім транспонуємо:
.

4) Кожен елемент матриці
ділимо на визначник :
Отримуємо матрицю, обернену даною.

7. Знаходження зворотної матриці для матриць другого порядку

Приклад 6.Дано матрицю
. Знайти обернену матрицю.

Рішення.

Перевірка.Переконаємося, що знайдено дійсно зворотну матрицю. Знайдемо твір матриць і
.

8. Властивості зворотної матриці

1.
,

де А та В – невироджені квадратні матриці однакового порядку.

2.
.

3.
.

4.
.

Контрольні питання

Що називається визначником другого порядку?

Як визначити обчислювач третього порядку?

Як визначити обчислювач 3 порядку за правилом трикутників?

Що називається додатком алгебри елемента визначника? Наведіть приклади для визначників 2 та 3 порядків.

Напишіть розкладання визначника третього порядку за елементами довільного рядка та стовпця.

КОНСПЕКТ 2

2.1 ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Визначником другого порядку(відповідним даної матриці

) називається число

Приклад1: Обчислимо визначник матриці

приклад 2.Обчислити визначники другого порядку:

2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

=

2.2 ВИЗНАЧНИКИ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Нехай дана квадратна матриця третього порядку:

А=

Визначником (або детермінантом) третього порядку, Що відповідає даній матриці, називають число

detA = =

Приклад 3

Перший спосіб вирішення:

Формула довга і припуститися помилки по неуважності простіше простого. Як уникнути прикрих промахів? Для цього придумано другий спосіб обчислення визначника, який фактично збігається з першим. Він називається способом Саррюса або способом «паралельних смужок». Суть полягає в тому, що праворуч від визначника приписують перший і другий стовпець і акуратно олівцем проводять лінії:

Багато людей, які перебувають на «червоних» діагоналях, входять у формулу зі знаком «плюс». Багато мешканців, що знаходяться на «синіх» діагоналях, входять у формулу зі знаком мінус:

Приклад 3

Другий спосіб вирішення:

Порівняйте два рішення. Неважко помітити, що це ОДНЕ І ТЕ Ж, просто в другому випадку трохи переставлені множники формули, і, найголовніше, ймовірність припуститися помилки значно менше.

Приклад 4

Обчислити визначник третього порядку:

Приклад 5

Обчислити визначник третього порядку

ПРАКТИКУМ 2

ЗАВДАННЯ N 1, то ...

Рішення:

то

За умовою тоді

ЗАВДАННЯ N 2Тема: Визначники другого порядкуЯкщо визначник другого порядку

, то ...

Рішення:

У нашому випадку маємо

За умовою тоді

ЗАВДАННЯ N 3

Тема: Визначники другого порядкуЯкщо визначник другого порядку

, то ...

Рішення:Оскільки визначник другого порядку дорівнює числу, яке одержують за правилом:

то

За умовою тоді

ЗАВДАННЯ N 4Тема: Визначники другого порядкуЯкщо визначник другого порядку, то...

Рішення:Нагадуємо, що визначник другого порядку дорівнює числу, яке одержують за правилом:

У нашому випадку маємо

За умовою тоді

ЗАВДАННЯ N 5Тема: Визначники третього порядкуЗначення визначника третього порядку можна вирахувати, використовуючи «правило трикутників», яке схематично вказано на малюнках. Тоді визначальний дорівнює …

Рішення:

ЗАВДАННЯ N 6

Тема: Визначники третього порядкуЗначення визначника третього порядку можна вирахувати, використовуючи «правило трикутників», яке схематично вказано на малюнках. Тоді визначальний дорівнює …

Рішення:Визначник третього порядку дорівнює сумі шести доданків, у тому числі три беруться зі знаком «+» і три – зі знаком «−». Правило обчислення доданків зі знаком "+" схематично зазначено на рис. 1. Один із доданків дорівнює добутку елементів визначника, що лежать на головній діагоналі. Кожне з двох інших знаходиться як добуток елементів, що лежать на паралелі цієї діагоналі, з додаванням третього множника з протилежного кута визначника. Доданки зі знаком «−» виходять так само, але щодо другий діагоналі (рис. 2). Тоді

САМОСТІЙНА РОБОТА 2

ЗАВДАННЯ N 1Тема: Визначники другого порядкуЯкщо визначник другого порядку , то ...

Насправді часто досліднику доводиться мати справу з невідомими величинами, пов'язаними між собою деякими заздалегідь певними залежностямиякі можуть бути виражені будь-якими формулами. Якщо при цьому виконується низка умов:

1. коефіцієнти у формулах постійні,
2. невідомі входять до формул лише в першому ступені,
3. відсутні твори між самими невідомими,

тоді такі залежності називають лінійними.

приклад. У лабораторії 10 зразків мають загальну вагу 280 г. Знайти середню вагу одного зразка, якщо тара важить 15 г.

Рішення. Для відповіді питання скористаємося простим рівнянням:

позначивши за x середню вагу одного зразка. Рішенням складеного рівняння буде 265 г.

приклад. У лабораторії 10 зразків, що надійшли від 1 відділу, і 10 зразків, що надійшли від 2-го відділу, мають загальну вагу 280 г, а 5 зразків з першого набору та 2 зразки з другого набору мають загальну вагу 128 г. кожному наборі.

Рішення. Для відповіді питання складемо два рівняння, позначивши за x - середня вага зразка породи 1, а за y - середня вага зразка породи 2,

10x +10y = 280; 5x+2y=128,

вирішуючи які разом, отримуємо x = 24 г; y=4 р.

В обох розглянутих прикладах ми мали справу з лінійними залежностями: у першому випадку – з лінійним рівнянням, а у другому – з лінійною системою рівнянь.

Замінимо коефіцієнти літерами та отримаємо лінійну систему рівнянь:

Визначення 1. Матрицею будемо називати будь-яку прямокутну таблицю, складену з чисел a ij

Визначення 2. Елементи a ij з яких складено матрицю, називають елементами даної матриці

Визначення 3. Визначником другого порядку або детермінантом, відповідним матриці (1.2) назвемо число D таке, що

Визначник позначається буквами D або записується

Слід звернути увагу, що хоча визначник є число, за визначенням 3, але до тих пір, поки не знайдено його значення у вигляді однини (за формулою 1.2 або ще якимось допустимим способом), він записується у вигляді таблиці. Тоді можна сказати, наприклад, про перестановку рядків або стовпців у цій таблиці. У разі слід говорити " визначник , відповідний матриці " . Але на практиці зазвичай друга частина цієї фрази для простоти опускається і тоді залишається лише одне слово – визначник. Для того, щоб розрізнити що мається на увазі - сам визначник у вигляді таблиці або його знайдене значення, у другому випадку слово детермінант. Тому, якщо кажуть, наприклад, "кількість рядків у визначнику ...", то мають на увазі визначник , відповідний матриці, але ще не обчислений до однини. А якщо говорять детермінант, то мають на увазі, що даний визначник представлений одниною, Обчисленим або за формулою, або ще якимось допустимим способом.

приклад. Дана система рівнянь

Скласти матрицю системи та обчислити визначник.

Рішення. З коефіцієнтів системискладемо матрицю: та відповідний їй детермінант

Виконаємо обчислення за формулою (2), отримаємо

Визначення 4. Кількість рядків (або стовпців) у визначнику називається порядком визначника

У прикладі було обчислено визначника другого порядку.

Визначники мають такі властивості.

Властивість 1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями і навпаки.

Покажемо це. Нехай дано визначника другого порядку

Замінимо рядки стовпцями і знову обчислимо визначник, що вийшов

Порівнюючи D з D * можна переконатися, що D = D *.

Визначення 5. Операція заміни рядків стовпцями (або навпаки) у визначнику називається транспонуванням.

Властивість 2. При перестановці двох рядків чи шпальт визначник змінює свій знак.

Перевірку цієї властивості проведемо з прикладу, як й у властивості 1. Нехай дано визначник

Поміняємо в ньому місцями стовпці і обчислимо визначник, що вийшов.

Порівнюючи результати, переконуємося, що визначник дійсно змінив свій знак. Поміняємо тепер місцями рядки і знову переконаємося у справедливості цієї якості.

2. ВИЗНАЧНИКИ І ПРАВИЛО КРАМЕРА

2.1. Визначники другого порядку

Визначник матриці другого порядку знаходиться так:

(2.1)
Він дорівнює добутку елементів головної діагоналі матриці мінус добуток елементів другої діагоналі.

Наприклад,


Слід ще раз наголосити, що матриця є таблиця чисел, тоді як визначник є числом, що визначається через елементи квадратної матриці.

Розглянемо тепер систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими:

Використовуючи поняття визначника 2-го порядку рішення цієї системи можна записати у вигляді:

(2.2)

Це є правило Крамера розв'язання системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими за умови, що 0.

приклад 2.1.Розв'язати систему лінійних рівнянь, використовуючи правило Крамера:

Рішення . Знайдемо визначники:



Історична довідка. Ідея поняття «визначника»могла б належати Г. Лейбніцу(1646-1716), якби він розвинув та опублікував свої ідеї щодо визначників, до яких він прийшов у 1693 р. Тому пріоритет у розробці методу визначників розв'язання систем лінійних рівнянь належить Г. Крамеру(1704-1752), який опублікував свої дослідження з цієї теми в 1750 р. Однак Крамер не побудував повноцінної теорії визначників, до того ж йому не вистачало зручного позначення. Перше велике дослідження, присвячене визначникам, було А. Вандермондом(1735-1796) в 1772 р. він дав логічний виклад теорії визначників та ввів правило розкладання визначника за допомогою мінорів. Повний виклад теорії визначників було дано лише 1812 р.
Ж. Біне(1786-1856) та О. Коші(1789-1858). Термін «визначник» («детермінант») у сучасному його значенні було введено Коші (раніше цей термін використовувався К. Гауссом для позначення дискримінанта квадратичної форми).

2.2. Визначники третього порядку

(2.3)

Звичайно, запам'ятати цю формулу досить складно. Однак є правила, що полегшують виписування виразу для визначника 3-го порядку.

Правило трикутників : три доданки, що входять у вихідний вираз зі знаком плюс, є добутками елементів головної діагоналі або трикутників, основи яких паралельні цій діагоналі. Інші три доданки, що входять зі знаком мінус, знаходяться таким же чином, але щодо другої діагоналі.

Правило Саррюса : припишемо до матриці праворуч перший, а потім другий стовпець. Тоді "позитивні" складові будуть знаходитися на лініях паралельних головній діагоналі, а "негативні" на лініях, паралельних другій діагоналі.

2.3. Правило Крамера

Використовуючи визначники 3-го порядку, рішення такої системи можна записати у такому вигляді, як й у системи двох рівнянь, тобто.

(2.4)

якщо 0. Тут

Це є правило Крамера рішення системи трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

приклад 2.3.Розв'язати систему лінійних рівнянь за допомогою правила Крамера:

Рішення . Знаходимо визначник основної матриці системи

Оскільки 0, то для знаходження рішення системи можна застосувати правило Крамера, але попередньо обчислимо ще три визначники:

Перевірка:

Отже, рішення знайдено правильно. 

Правила Крамера, отримані для лінійних систем 2-го і 3-го порядку наводять на думку, що такі ж правила можна сформулювати і для лінійних систем будь-якого порядку. Справді має місце

Теорема Крамера. Квадратна системалінійних рівнянь з відмінним від нуля визначником основної матриці системи (0) має одне і лише одне рішення і це рішення обчислюється за формулами

(2.5)

де  – визначник основної матриці,  i – визначник матриці, отриманої з основної, заміноюi-го стовпця стовпцем вільних членів.

Зазначимо, що якщо =0, то правило Крамера не застосовується. Це означає, що система або взагалі не має рішень, або має нескінченно багато рішень.

Сформулювавши теорему Крамера, природно виникає питання обчисленні визначників вищих порядків.

2.4. Визначники n-го порядку

Наприклад, знайдемо мінори та алгебраїчні доповнення елементів a 23 і a 31 визначника

Отримуємо



Використовуючи поняття алгебраїчного доповнення, можна сформулювати теорему про розкладання визначникаn-го порядку за рядком або стовпцем.

Теорема 2.1.Визначник матриціAдорівнює сумі творів всіх елементів деякого рядка (або стовпця) на їх додатки алгебри:

(2.6)

Ця теорема є основою одного з основних методів обчислення визначників, т.зв. способу зниження порядку. В результаті розкладання визначника n-го порядку за будь-яким рядком або стовпцем, виходить n визначників ( n-1)-го порядку. Щоб таких визначників було менше, доцільно вибирати той рядок чи стовпець, у якому найбільше нулів. Насправді формулу розкладання визначника зазвичай записують як:

тобто. алгебраїчні доповнення записують у явному вигляді через мінори.

Приклади 2.4.Обчислити визначники, попередньо розклавши їх за будь-яким рядком або стовпцем. Зазвичай у таких випадках вибирають такий стовпець або рядок, в якому найбільше нулів. Вибраний рядок або стовпець будемо позначати стрілкою.



2.5. Основні властивості визначників

Властивість 1. Визначник не зміниться, якщо у ньому поміняти місцями рядки та стовпці, тобто. при транспонуванні матриці:

.

Ця властивість свідчить про рівноправність рядків і стовпців визначника. Інакше кажучи, будь-яке твердження про стовпці визначника справедливе і для його рядків і навпаки.

Властивість 2. Визначник змінює знак при перестановці двох рядків (стовпців).

Слідство. Якщо визначник має два однакові рядки (стовпця), він дорівнює нулю.

Властивість 3. Загальний множниквсіх елементів у будь-якому рядку (стовпці) можна винести за знак визначника.

Наприклад,

Слідство. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

Властивість 4. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помноженого на якесь число.

Наприклад,

Властивість 5. Визначник твору матриць дорівнює добутку визначників матриць:

2.6.

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення: 1) множення рядка (стовпця) на число, не рівне нулю; 2) додавання одного рядка (стовпця) до іншого; 3) перестановка двох рядків (стовпців).

Метод елементарних перетворень полягає в тому, щоб за допомогою елементарних перетворень, враховуючи властивості визначників, привести матрицю до трикутного вигляду.

приклад 2.5.Обчислити визначник за допомогою елементарних перетворень, привівши їх до трикутного вигляду:



приклад 2.6.Обчислити визначник:

.

Рішення . Спростимо даний визначник, а потім обчислимо його:

. 
приклад 2.7.Обчислити визначник
.

Рішення . Спосіб 1 .За допомогою елементарних перетворень матриці, враховуючи властивості визначників, будемо отримувати в будь-якому рядку або стовпці нулі, а потім розкладатимемо отриманий визначник по цьому рядку або стовпцю:

–6

2

-2


.
Спосіб 2 .За допомогою елементарних перетворень матриці, враховуючи властивості визначників, наведемо матрицю до трикутного вигляду:

. 

Обчислення визначників за допомогою елементарних перетворень шляхом приведення його до трикутного вигляду є одним із найпоширеніших методів. Це з тим, що він є основним методом при реалізації обчислень визначників на ЕОМ. Точніше він є однією з модифікацій методу Гауса , який зазвичай використовується під час вирішення систем лінійних рівнянь.

приклад 2.8.Обчислити визначник методом Гауса:

Рішення. Розглянемо перший стовпець і виберемо в ньому той рядок, який містить 1. Якщо одиниць немає, то потрібно цю одиницю створити за допомогою елементарних перетворень: переставляючи рядки або стовпці, складаючи або віднімаючи їх один з одним, помножуючи або ділячи їх на якесь число (враховуючи при цьому, звичайно, властивості визначників). Візьмемо за основу другий рядок і отримаємо за допомогою його нулі у першому стовпці:

Після цього на перший рядок більше уваги не звертаємо. Розглянемо 2-й стовпець.

В результаті, вийшла трикутна матриця. Щоб обчислити визначник, залишилося лише перемножити елементи матриці, що є на головній діагоналі. Таким чином, отримуємо відповідь: –2(–1)(–1)1334 = –264. 

Визначником другого порядку називається число рівне різницітворів елементів головної та другої діагоналі:

Визначником третього порядку називається такий вираз:

Визначник третього порядку легко обчислити, якщо врахувати наступне правило: зі знаком плюс йдуть твори трійок чисел, розташованих на головній діагоналі матриці, та у вершинах трикутників з основою паралельною цій діагоналі та вершиною у протилежного кута матриці. Зі знаком мінус йдуть трійки з другої діагоналі та з трикутників, побудованих щодо цієї діагоналі. Наступна схема демонструє це правило, яке називається правилом трикутників. У схемі синім (ліворуч) відзначені елементи, чиї твори йдуть зі знаком плюс, а зеленим (праворуч) – зі знаком мінус.

Визначники будь-якого порядку. Властивості визначників.

Спочатку опишемо основні властивості визначників щодо перетворення матриць. Знання цих властивостей допоможе просити обчислення та знаходити визначники довільного порядку.

Властивість 1. Визначник не змінюється під час транспонування. Це означає, що визначник матриці дорівнює визначнику транспонованої матриці (матриці, де рядки замінені відповідними стовпцями).

Виходячи з першої якості, в інших властивостях ми можемо говорити тільки про рядки, маючи на увазі, що ці характеристики застосовуються також і до стовпців.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

3. Від перестановки двох рядків визначник змінює свій знак.

Властивість 4. Визначник, що містить два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо всі елементи деякого рядка помножити на якесь число, то сам визначник помножиться на це число.

Властивість 6. Визначник, що містить два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо все елементи i-йрядки визначника n-го порядку представлено у вигляді суми двох доданків: a ij = b j +c j , j = 1, ..., n, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких усі рядки, крім i-й, - такі ж , як і в заданому визначнику, i-й рядокв одному із доданків складається з елементів b j , в іншому - з елементів c j.

Властивість 8. Якщо один із рядків визначника є лінійна комбінація його інших рядків, то визначте дорівнює нулю..

Властивість 9. Визначник не змінюється, якщо до одного з його рядків додається будь-яка лінійна комбінація інших рядків.

Теорема (про розкладання визначника по рядку): визначник дорівнює сумі творів всіх елементів будь-якого рядка на їх додатки алгебри. Це означає, що визначник матриці n×n дорівнює (додаток алгебри A ij =(-1) i+j M ij . Тут мінор M ij - визначник одержуваний з основного визначника викреслюванням i-го рядката j-го стовпця)

Теорема про розкладання визначника по рядку дозволяє звести обчислення визначника матриці n×n до обчислення n визначників матриць (n-1)×(n-1). Таким чином, обчислення визначників з порядком вище за третій зводиться до розкладання на суму визначників третього порядку.

За допомогою описаних вище властивостей визначників можна провести попередні перетворення матриці, що полегшують подальші обчислення. Наприклад, якщо перед розкладанням визначника n-го порядку за будь-яким рядком накопичити в цьому рядку нулі, то розкладання призводить до меншої кількості визначників порядку n-1. Нижче наводиться приклад, у якому спочатку з першого рядка віднімається другий (при цьому з'являються два нулі), а потім йде розкладання по першому рядку (через два нулі виходить не чотири визначники третього порядку, а тільки два):