Правило блокового множення матриць. Визначення зворотної матриці

Глава 1
МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ

У цьому розділі вивчаються таблиці з чисел, звані матрицями і які у подальшому найважливішу роль. Тут вводяться основні операції над матрицями і детально вивчаються властивості так званих визначників, які є основними. числовою характеристикоюквадратних матриць.

§ 1. Матриці

1. Концепція матриці. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить кілька m рядків і кілька n стовпців. Числа тип називаються порядками матриці. Якщо m = n , матриця називається квадратною, а число m = n - її порядком. Надалі для запису матриці будуть застосовуватися або здвоєні рисочки, або круглі дужки:

Втім, для короткого позначенняматриці часто використовуватиметься або одна велика латинська літера (наприклад, А), або символ ║ a ij ║, а іноді і з роз'ясненням:
Числа a ij , що входять до складу даної матриці, називають її елементами. У записі a ij – перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс j – номер стовпця.
У разі квадратної матриці

вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною діагоналлюматриці (1.1) називається діагональ a 11 a 22 ...a nn , що йде з лівого верхнього кутацієї матриці правий нижній її кут. Побічною діагоналлюТієї ж матриці називається діагональ a n1 a (n-1)2 ...a 1n , що йде з лівого нижнього кута в правий верхній кут.

2. Основні операції над матрицями та його властивості.Насамперед домовимося рахувати дві матриці рівнимиякщо ці матриці мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються.
Перейдемо визначення основних операцій над матрицями.
а) Додавання матриць.Сумоюдвох матриць А = ║ a ij ║(i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) і В = (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,... , n ) одних і тих же порядків m і n називається матриця С = (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ) тих же порядків m і n елементи c ij - якій рівні

C ij = a ij + b ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) (1.2

Для позначення суми двох матриць використовується запис С = А + В. Операція складання суми матриць називається їх додаванням. Отже, за визначенням

З визначення суми матриць, а точніше, з формули (1.2), безпосередньо випливає, що операція додавання матриць має ті ж властивості, що і операція додавання дійсних чисел, а саме:
1) переміщувальною властивістю: А + В = В + А;
2) комбінаційною властивістю: (А + В) + С = А + (Б + С).
Ці властивості дозволяють не дбати про порядок проходження доданків матриць при складанні двох або більшого числаматриць.

б) Множення матриці на число. Творомматриці А = ║ a ij ║(i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) на речовинне
число λ називається матриця С = (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), елементи c ij якої рівні

c ij = λ a ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) (1.3)

Для позначення добутку матриці на число використовується запис С = А або С = А . Операція складання твору матриці на число називається множенням матриці цього числа. Безпосередньо з формули (1.3) ясно, що множення матриці на число має такі властивості:
1) сполучною властивістю щодо числового множника: (λ µ )А = λ ( µ А);

2) розподільною властивістющодо суми матриць: λ (А + В) = λ А + λ В;
3) розподільною властивістю щодо суми чисел: (λ + µ )А = λ А + µ A.
Зауваження. Різницею двох матриць А і однакових порядків тип природно назвати таку матрицю З тих же порядків m і n, яка в сумі з матрицею дає матрицю А. Для позначення різниці двох матриць використовується природний запис: С = А - В.
Дуже легко переконатися в тому, що різниця С двох матриць А і може бути отримана за правилом С = А + (-1)В.
в) Перемноження матриць. Творомматриці А = ║ a ij ║(i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ), що має порядки, відповідно рівні m і n , на матрицю В = (i = 1, 2,..., n ; , p ), що має порядки, відповідно рівні m і p і елементи c ij , що визначаються формулою

Для позначення твору матриці А на матрицю використовують запис С = А - В. Операція складання твору матриці А на матрицю В називається перемноженнямцих матриць. Зі сформульованого вище визначення випливає, що матрицю А можна помножити не на будь-яку матрицю: необхідно, щоб число стовпців матриці А дорівнювало числу рядків матриці В.
Зокрема, обидва твори АВ і В А можна визначити лише в тому випадку, коли число стовпців А збігається з числом рядків Б, а число рядків А збігається з числом стовпців В. При цьому обидві матриці А – В та В – А будуть квадратними Але порядки їх будуть, взагалі кажучи, різними. Для того, щоб обидва твори А В і В А не тільки були визначені, але й мали однаковий порядок, необхідно і достатньо, щоб обидві матриці А та В були квадратними матрицямиодного й того самого порядку.
Формула (1.4) є правилом складання елементів матриці С, що є твором матриці А на матрицю В. Це правило можна сформулювати і словесно: елемент c ij , що стоїть на перетиніi -й рядки таj- го стовпця матриці

С = АВ, дорівнює суміпопарних творів відповідних елементів i-йрядки матриці А і у го стовпця матриці В.
Як приклад застосування зазначеного правила наведемо формулу перемноження квадратних матриць другого порядку

З формули (1.4) випливають такі властивості добутку матриці А на матрицю:
1) сполучна властивість: (АВ)С = А(ВС);
2) розподільна щодо суми матриць властивість: (А + В) С = АС + ВС або А (В + С) = АВ + АС.
Розподільча властивість відразу випливає з формул (1.4) та (1.2), а для доказу комбінаційної властивостідостатньо зауважити, що якщо А = ║ a ij ║(i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), В = (i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,... , p), С = (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., p), то
елемент d il матриці (АВ)С (1.4) дорівнює а елемент d il "матриці А(ВС) дорівнює але тоді рівність d il = d il "випливає з можливості зміни порядку підсумовування щодо j і до.
Питання про перестановочному властивості твори матриці А на матрицю має сенс ставити лише для квадратних матриць А і В однакового порядку (бо, як зазначалося вище, тільки для таких матриць А і В обидва твори АВ і В А визначені і є матрицями однакових порядків). Елементарні приклади показують, що добуток двох квадратних матриць однакового порядку не має, взагалі кажучи, перестановної властивості. Справді, якщо покласти

Тут ми вкажемо, однак, важливі окремі випадки, в яких справедлива перестановна властивість (Дві матриці, для твору яких справедлива перестановна властивість, прийнято називати комутуючими). Серед квадратних матриць виділимо клас так званих діагональнихматриць, кожна з яких елементи, розташовані поза головною діагоналі, рівні нулю. Кожна діагональна матриця порядку n має вигляд

де d 1 , d 2 ,..., d n - які завгодно числа. Легко бачити, якщо всі ці числа рівні між собою, тобто d 1 = d 2= ...= d n = d, то для будь-якої
квадратної матриці А порядку n справедлива рівність AD = DA. Справді, позначимо символами Cij і cf(j елементи, що стоять на перетині i-го рядка і j-ro стовпця матриць AD і DA відповідно. Тоді з рівності (1.4) і виду матриці D отримаємо, що c ij =a ij d j = a ij d, c ij "= d i a ij = da ij (1.6), тобто c ij = c ij".

Серед усіх діагональних матриць (1.5) з збігаються елементами d 1 = d 2 = ... = d n особливо важливу рольграють дві матриці. Перша з цих матриць виходить за d = 1, називається одиничною матрицею п-го порядкуі позначається символом Е. Друга матриця виходить за d = 0, називається нульовою матрицею п-го порядкуі позначається символом О. Таким чином,

У силу доведеного вище АЕ = ЕА і АО = О А. Більше того, з формул (1.6) очевидно, що

AE = EA = E, АТ = ОА = О. (1.7)

Перша формул (1.7) характеризує особливу роль одиничної матриці Е, аналогічну тієї ролі, яку відіграє число 1 при перемноженні дійсних чисел. Що ж до особливої ​​ролі нульової матриці О, її виявляє як друга з формул (1.7), а й елементарно перевіряється рівність А + Про = Про + А = А (ця рівність є прямим наслідком формули (1.2)).
На закінчення зауважимо, що поняття нульової матриці можна вводити і для неквадратних матриць (нульовий називають будь-яку матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю).
3. Блокові матриці.Припустимо, що деяка матриця А = ║ a ij ║за допомогою горизонтальних і вертикальних прямих розбита на окремі прямокутні клітини, кожна з яких є матрицею менших розмірів і називається блоком вихідної матриці. У такому разі виникає можливість розгляду вихідної матриці А як деякої нової (так званої блокової) матриці А = ║ A αβ ║, елементами A αβякою служать зазначені блоки.
Вказані елементи ми позначаємо великий латинською літерою, Щоб підкреслити, що вони є, взагалі кажучи, матрицями, а не числами і (як звичайні числові елементи) забезпечуємо двома індексами, перший з яких вказує номер блокового рядка, а другий - номер блокового стовпця. Наприклад, матрицю

можна розглядати як блочну матрицю , елементами якої є такі блоки:

Чудовим є той факт, що основні операції з блочними матрицями відбуваються за тими самими правилами, за якими вони здійснюються із звичайними числовими матрицями, лише ролі елементів виступають блоки.
Справді, елементарно перевіряється, якщо матриця А = ║ a ij ║є блоковою і має блокові елементи A αβ, то при тому ж розбиття на блоки матриці А = ║λ a ij ║відповідають блокові елементи A αβ(При цьому блокові елементи A αβсамі обчислюються за правилом множення матриці A αβна число λ).
Так само елементарно перевіряється, що якщо матриці A і мають однакові порядки і однаковим чином розбиті на блоки, то сумі матриць А і В відповідає блокова матриця з елементами A αβ = A αβ + B αβ(тут A αβі B αβ- Блокові елементи матриць А та В).
Нехай, нарешті, А і В - дві блокові матриці такі, що число стовпців кожного блоку A αβдорівнює кількості рядків блоку В β γ (так що
за будь-яких α, β та γ визначено добуток матриць A αβУ β γ ). Тоді добуток С = А являє собою матрицю з елементами С α γ , що визначаються формулою

Для доказу цієї формули достатньо розписати ліву та праву її частини в термінах звичайних (числових) елементів матриць A та В (надаємо це зробити читачеві).
Як приклад застосування блокових матрицьзупинимося на понятті так званої прямої суми квадратних матриць. Прямою сумоюдвох квадратних матриць А і порядків m і n відповідно називається квадратна блочна матриця порядку m + n, рівна . Для позначення прямої суми матриць А та В використовується запис С = А

9.Операція транспонування матриці та її властивості.

Визначення:Матриця А', що виходить з матриці А шляхом заміни рядків стовпцями називається транспонованою по відношенню до матриці А.

Справедливі такі правила транспонування матриць:

(αА+αВ)'=αA' + αB'

(AB)'=B'A'

Ідея доказу показати, що матриці (AB)' і B'A' мають однакову розмірність і у них рівні відповідні елементи.

Визначення:Якщо А – довільна квадратна матрицяі A=A' (-A=A'), то матриця А називається симетричною
або кососиметричної

10. Визначення зворотної матриці. Довести, що у кожної оборотної матриці існує лише одне звернення.

Визначення:

А А -1= А -1 А=Е Звідси випливає, що для матриці А -1 зворотної буде (А -1) -1 =А

Теорема:У кожної оборотної матриціІснує єдине звернення.

Доведення:Припустимо, що у матриці А існує поряд з Х ще одна зворотна матриця У, тобто. АУ=Е. Тоді

(ХА)У=ЕУ=У ┐

Х(АУ)=ХЕ=Х ┘Отже Х=У. Тобто. у матриці А існує єдиний обіг. (ч.т.д.)

11. Визначення зворотної матриці. Довести що (АВС) -1 =С -1 У -1 А -1 .

Визначення:Квадратна матриця А називається оборотною, якщо існує така квадратна матриця Х, що АХ=ХА=Е. (1)

Кожна матриця Х, що задовольняє рівності (1), називається зворотною матрицею А або зверненням матриці А. Зворотна матриця до матриці А позначається А -1

А А -1= А -1 А=Е Звідси випливає, що для матриці А -1 зворотної буде (А -1) -1 =А (3)

Теорема:Якщо квадратні матриці А, В, З одного і того ж порядку оборотні, то їх добуток теж оборотний і (АВС) -1 = С -1 -1 А -1 .

Доведення:А(В(СС -1)В -1)А -1 =Е і С -1 (В -1 (А -1 А)В)С=Е (ч.т.д.)

Для будь-якого натурального m за визначенням А m =А*А*…*А – m-раз.

За визначенням А 0 =Е.

Визначення:Для кожної оборотної матриці А, А -2 = А -1 * А -1; А -3 = А -1 * А -1 * А -1 (4)

З (3) і (4) випливає, що для кожної оборотної матриці А і будь-яких цілих чисел р і q мають місце звичайні правила дії зі ступенями:

А р А q = А р + q

(АВ) р = А р В р якщо АВ = ВА

(А р) q = А р * q

12.Довести що в результаті транспонування оборотної матриці виходить знову оборотна матриця і ( A ’) -1 =( A -1 )’.

Теорема:В результаті транспонування оборотної матриці А виходить знову оборотна матриця і (A') -1 = (A -1)'.

Доведення:Застосуємо правила транспонування співвідношення АХ=ХА=Е:

(АХ)’=(ХА)’=Е’

А'Х'=Х'А'=Е

З визначення зворотної матриці випливає, що (A') -1 = Х'=(A -1)'(ч.т.д.)

13. Блокові матриці. Складання та множення блокових матриць. Теорема про визначника квазітрикутної матриці.

Прямокутну матрицю А можна вертикальними та горизонтальними лініями розбити на прямокутні клітини (блоки). Зокрема матриця може бути розбита лише горизонтальними або вертикальними лініями. (А α,β) s , t - Блокова матриця. Розглянемо дві матриці А і однакової розмірності і з однаковим розбиттям на блоки. Відповідні блоки А α,β і α,β мають однакову розмірність m α x n β , α=1..s, β=1..t. Тоді згідно з правилом складання матриць операція складання блочних матриць однакових розмірів з однаковим розбиттям на блоки, проводиться точно так, якби замість блоків стояли числові елементи.

Щоб поширити правило множення матриць на блокові матриці необхідно, щоб усі горизонтальні розміри блоків першої матриці збіглися з відповідними розмірами другого співмножника. Число стовпців блоку А α,β дорівнює числу рядків блоку β,с.

Β змінюється від 1 доt, змінюється від 1 до u. Таким чином можливе множення матриць А і формально також як якби замість блоків стояли числові елементи.

Визначення:Квадратна матриця у якої всі елементи розташовані під головною діагоналлю рівні 0 називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею. Аналогічні поняття вводяться й у блокових матриць.

Визначення:Блокова матриця А називається верхньою (нижньою) квазітрикутною матрицею якщо всі діагональні блоки і сама матриця А квадратні матриці, і всі діагональні блоки розташовані під (над) діагональними блоками нульові матриці.

Визначення:Блокова матриця А називається квазідіагональною, якщо всі діагональні блоки і сама матриця А квадратні матриці, а всі недіагональні блоки – нульові матриці.

Теорема:Визначник квазітрикутної матриці пов'язаний з визначником діагональних матриць наступним співвідношенням:

(♀) де П – твір.

Доведення:Розглянемо спочатку квазітрикутну матрицю
де А 12 = 0,
,
,

За визначенням

Т.к. А 12 =0 то з усіх творів можуть бути ≠0 тільки ті в яких індекси
. Внаслідок цього інші індекси можуть набувати значень тільки з множини
. У цих умовах кількість інверсій у перестановці
одно:

З огляду на це знаходимо що

звідси слідує що

Розглядаючи в загальному випадкуквазітрикутну матрицю

Як матрицю
де

згідно (*) будемо мати
. Матриця
знову квазітрикутна. Зробивши над нею тугішу операцію, отримаємо
. Після (р-1) таких кроків прийдемо до (♀).

Аналогічно доводиться рівність (♀) стосовно верхньої квазітрикутної матриці.(ч.т.д.)

Часто доводиться користуватися матрицями, розбитими на прямокутні частини – «клітини» чи «блоки». Розгляду таких «блочних» матриць ми присвячуємо цей параграф.

1. Нехай дана прямокутна матриця

За допомогою горизонтальних та вертикальних лінійрозсічемо матрицю на прямокутні блоки:

. (58)

Про матрицю (58) будемо говорити, що вона розбита на блоки розміром або що вона представлена ​​у вигляді блокової матриці. Замість (58) будемо скорочено писати:

У разі користуватимемося і таким записом:

Дії над блочними матрицями проводяться за тими ж формальним правилам, Як і у випадку, коли замість блоків маємо числові елементи. Нехай, наприклад, дано дві прямокутні матриці однакових розмірів і з однаковим розбиттям на блоки:

Легко побачити, що

. (62)

Докладніше зупинимося на множенні блокових матриць. Відомо (див. гл. I, стор. 17), що при множенні двох прямокутних матриць і довжина рядків у першому співмножнику повинна збігатися з висотою стовпців у другому співмножнику. Для можливості блокового множення цих матриць ми додатково вимагатимемо, щоб при розбитті на блоки всі горизонтальні розміри в першому співмножнику збігалися з відповідними вертикальними розмірами в другому:

, . (63)

Тоді легко перевірити, що

, де . (64)

Окремо відзначимо той окремий випадок, коли одним із співмножників є квазідіагональна матриця. Нехай - квазідіагональна матриця, тобто і при . У цьому випадку формула (64) нам дає:

При множенні блокової матриці зліва на квазідіагональну матрицю рядка блокової матриці збільшуються ліворуч на відповідні діагональні клітини квазідіагональної матриці.

Нехай тепер - квазідіагональна матриця, тобто і при . Тоді з (64) отримуємо:

При множенні блокової матриці праворуч на квазідіагональну всі стовпці блокової матриці множаться праворуч на відповідні діагональні клітини квазідіагональної матриці.

Зауважимо, що множення квадратних блокових матриць одного і того ж порядку завжди можна здійснити, коли співмножники розбиті на однакові квадратні схеми блоків і в кожному з співмножників на діагональних місцях стоять квадратні матриці.

Блокова матриця (58) називається верхньою (нижньою) квазітрикутною, якщо і все (відповідно все при ). Окремим випадком квазітрикутної матриці є квазідіагональна матриця.

З формули (64) легко побачити, що добуток двох верхніх (нижніх) квазітрикутних матриць є знову верхньою (нижньою) квазітрикутною матрицею; при цьому діагональні блоки добутку виходять шляхом перемноження відповідних діагональних блоків співмножників.

Дійсно, вважаючи (64) і

.

Аналогічно розуміється випадок нижніх квазітрикутних матриць.

Зазначимо правило обчислення визначника квазітрикутної матриці. Це правило можна отримати виходячи з розкладання Лапласа.

Якщо - квазітрикутна (зокрема, квазідіагональна) матриця із квадратними діагональними блоками, то визначник цієї матриці дорівнює творувизначників діагональних блоків:

(67)

2. Нехай дана блокова матриця

(68)

Додамо до -й блочному рядку -ю рядок, попередньо помножену зліва на прямокутну матрицю розміром . Отримаємо блочну матрицю

. (69)

Введемо допоміжну квадратну матрицю, подану у вигляді наступної квадратної схемиблоків:

. (70)

У діагональних клітинах матриці стоять поодинокі матриці, порядки яких рівні відповідно; всі недіагональні блоки матриці дорівнюють нулю, за винятком блоку , що стоїть на перетині -й блокового рядка з -м блоковим стовпцем.

Неважко бачити, що

Звідси, оскільки - неособлива матриця, для рангів матриць і маємо

В окремому випадку, коли – квадратна матриця, з (71) маємо:

Але визначник квазітрикутної матриці дорівнює 1:

Отже,

Таких же висновків можна дійти, якщо до якогось стовпця матриці (67) додавати інший стовпець, попередньо помножений праворуч на прямокутну матрицю належних розмірів.

Отримані результати можуть бути сформульовані у вигляді наступної теореми.

Теорема 3. Якщо в блоковій матриці до -й блоковому рядку (стовпцю) додати -й блоковий рядок (стовпець), попередньо помножену зліва (праворуч) на прямокутну матрицю відповідних розмірів, то при цьому перетворенні не зміняться ранг матриці , а також у випадку, коли - квадратна матриця, та визначник матриці .

3. Розглянемо тепер той окремий випадокколи в матриці діагональний блок - квадратна і притому неособлива матриця ().

До рядку матриці додамо перший рядок, помножений зліва на . Тоді отримаємо матрицю

, (76)

. (77)

Якщо квадратна неособлива матриця, то цей процес можна продовжити. Ми приходимо таким чином до узагальненого алгоритму Гауса.

Нехай – квадратна матриця. Тоді

. (78)

Формула (78) зводить обчислення визначника, що складається з блоків, до обчислення визначника меншого порядку, що складається з блоків.

Розглянемо визначник, розбитий на чотири блоки:

де - квадратні матриці.

Нехай. Тоді віднімемо з другого рядка перший, попередньо помножений зліва на . Отримаємо:

. (I)

Точно так само, якщо , то ми віднімемо з першого рядка другий, попередньо помножену зліва на . Отримаємо:

. (II)

В окремому випадку, коли всі чотири матриці , , , - квадратні (одного і того ж порядку ), з (I) і (II) слідують формули Шура, що зводять обчислення визначника -го порядку до обчислення визначника -го порядку:

(), (Iа)

(). (IIа)

Якщо матриці і перестановочні між собою, то (Iа) випливає:

(за умови ). (Iб)

Так само, якщо й перестановочні між собою, то

(за умови ). (IIб)

Формула (Iб) була отримана у припущенні , а формула (IIб) за умови . Проте, з міркувань безперервності, ці обмеження можна відкинути.

З формул (Iа) - (IIб) можна одержати ще шість формул, помінявши місцями у правих частинах і одночасно .

.

За формулою (Iб)

.

4. Встановимо формулу Фробеніуса для звернення блокової матриці. Нехай неособлива квадратна матриця () розбита на блоки

, (80)

і нехай також неособлива квадратна матриця (). Потрібно визначити.

Застосуємо до матриці узагальнений алгоритм Гаусса. З другого блокового рядка віднімемо перший, попередньо помножений зліва на . Ця операція рівносильна множенню матриці зліва на матрицю, де. Тому

. (81)

Введемо позначення

і зауважимо, що з рівності (81) випливає:

Тому, оскільки , і . Переходячи до зворотних матриць у рівності (81), отримаємо

. (83)

Зворотну матрицю для матриці шукатимемо у вигляді . Тоді з рівності

знаходимо, що . Таким чином,

. (84)

Але тоді з рівності (83) знаходимо

Виконуючи множення блокових матриць у правій частині рівності (85), приходимо до формули Фробеніуса

, (86)

. (87)

Формула Фробеніуса (86) зводить звернення матриці порядку до звернення двох матриць порядку і до операцій складання і множення матриць з розмірами , , і .

Якщо припустити, що (замість ) і поміняти ролями матриці і , можна отримати інший вид формули Фробеніуса:

, (88)

. (89)

приклад. Потрібно знайти елементи зворотної матриці для матриці

.

Вважаємо

Знаходимо послідовно

, ,

, ,

,

,

,

.

Тому за формулою (86) знаходимо:

.

5. З теореми 3 випливає так само

Теорема 4. Якщо прямокутна матрицяпредставлена ​​у блочному вигляді

де - квадратна неособлива матриця порядку (), то ранг матриці дорівнює лише тому випадку, коли

Доведення. Віднімемо з другого блокового рядка матриці першу, попередньо помножену зліва на . Тоді отримаємо матрицю

. (92)

Матриці і згідно з теореми 3 мають один і той же ранг. Ранг ж матриці збігається з рангом матриці (тобто з) тоді і лише тоді, коли має місце, тобто (91). Теорему доведено.

Проілюструємо цей спосіб знаходження наступного прикладу.

приклад. Нехай

Потрібно обчислити.

Застосовуємо кілька видозмінений метод виключення до матриці

.

До всіх рядків додаємо другий рядок з деяким множником і домагаємося того, щоб усі елементи першого стовпця, крім другого елемента, дорівнювали нулю. Після цього до всіх рядків, крім другого, додаємо третій рядок з деяким множником і досягаємо того, щоб у другому стовпці всі елементи, крім другого та третього, дорівнювали нулю. Після цього до останніх трьох рядків додаємо перший рядок з деяким множником та отримуємо матрицю виду

.

,

,

.