Ступінна функція та її властивості. Функція

Функція де Х – змінна величина, A – задане число, називається Ступіньною функцією .

Якщо це – лінійна функція, її графік – пряма лінія (див. параграф 4.3, рис. 4.7).

Якщо то - квадратична функція, її графік парабола (див. параграф 4.3, рис. 4.8).

Якщо її графік – кубічна парабола (див. параграф 4.3, рис. 4.9).

Ступінна функція

Це зворотна функціядля

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. найбільшого та найменшого значень функція не має.

7.

8. Графік функціїСиметричний графіку кубічної параболи щодо прямої Y =Xта зображений на рис. 5.1.

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція парна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції:єдиний нуль X = 0.

6. Найбільше та найменше значення функції:приймає найменше значеннядля X= 0, воно дорівнює 0.

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є спадною на проміжку і зростаючою на проміжку

8. Графік функції(для кожного N Î N) «схожий» на графік квадратичні параболи(Графіки функцій зображені на рис. 5.2).

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення:

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Графік функції(Для кожного) «схожий» на графік кубічної параболи (графіки функцій зображені на рис. 5.3).

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції:нулів немає.

6. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є спадною в області визначення.

8. Асимптоти:(вісь Оу) - вертикальна асимптота;

(вісь Ох) – горизонтальна асимптота.

9. Графік функції(для будь-якого N) «схожий» на графік гіперболи (графіки функцій зображені на рис. 5.4).

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція парна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

6. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою на і спадаючою на

7. Асимптоти: X= 0 (вісь Оу) - вертикальна асимптота;

Y= 0 (вісь Ох) – горизонтальна асимптота.

8. Графіками функційЄ квадратичні гіперболи (рис. 5.5).

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція не має властивості парності та непарності.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення функції:найменше значення, що дорівнює 0, функція приймає в точці X= 0; найбільшого значенняне має.

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Кожна така функція за певного показника є зворотною для функції за умови

9. Графік функції«схожий» на графік функції за будь-якого Nта зображений на рис. 5.6.

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Графік функціїЗображено на рис. 5.7.

1. Ступенева функція, її властивості та графік;

2. Перетворення:

Паралельне перенесення;

Симетрія щодо осей координат;

Симетрія щодо початку координат;

Симетрія щодо прямої y = x;

Розтягування та стиск уздовж осей координат.

3. Показова функція, її властивості та графік, аналогічні перетворення;

4. Логарифмічна функція, її властивості та графік;

5. Тригонометрична функція, її властивості та графік, аналогічні перетворення (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функція: y = x\n - її властивості та графік.

Ступенева функція, її властивості та графік

y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y = x pде p - задане дійсне число.
Властивості та графік статечної функції суттєво залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадківзалежно від
показника ступеня p.

1. Показник p = 2n- парне натуральне число.

y = x 2n, де n- натуральне число, має такі властивості:

• область визначення - все дійсні числа, Т. е. безліч R;
• безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;
• функція y = x 2nпарна, оскільки x 2n = (-x) 2n
• функція є спадною на проміжку x< 0 та зростаючою на проміжку x > 0.

Графік функції y = x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y = x 4.

2. Показник p = 2n - 1- непарне натуральне число

У цьому випадку статечна функція y = x 2n-1, де натуральне число, має наступні властивості:

• область визначення - множина R;
• безліч значень - множина R;
• функція y = x 2n-1непарна, оскільки (- x) 2n-1= x 2n-1;
• функція є зростаючою на всій дійсній осі.

Графік функції y = x 2n-1 y = x 3.

3. Показник p = -2n, де n -натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y = x -2n = 1/x 2nмає такі властивості:

• безліч значень - позитивні числа y>0;
• функція y = 1/х 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n= 1/x 2n;
• функція зростає на проміжку x0.

Графік функції y = 1/х 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y = 1/х 2.

4. Показник p = -(2n-1), де n- натуральне число.
У цьому випадку статечна функція y = x-(2n-1)має такі властивості:

• область визначення - множина R, крім x = 0;
• безліч значень - множина R, крім y = 0;
• функція y = x-(2n-1)непарна, оскільки (- x) -(2n-1) = -x-(2n-1);
• функція є спадною на проміжках x< 0 і x > 0.

Графік функції y = x-(2n-1)має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y = 1/x 3.

Урок та презентація на тему: "Ступіньні функції. Властивості. Графіки"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"

Ступінні функції, область визначення.

приклад. Розв'язати рівняння: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Рішення. Графік функції $y=x^(\frac(4)(3))$ зростає, а графік функції $у=24-х$ зменшується. Діти, ми з вами знаємо: якщо одна функція зростає, а інша зменшується, то вони перетинаються лише в одній точці, тобто у нас лише одне рішення.
Зауважимо:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Тобто при $х=8$ ми здобули правильну рівність $16=16$, це і є рішення нашого рівняння.
Відповідь: $ х = 8 $.

приклад.
Побудувати графік функції: $ y = (x-3) ^ \ frac (3) (4) + 2 $.
Рішення.
Графік нашої функції виходить із графіка функції $y=x^(\frac(3)(4))$, усуненням його на 3 одиниці вправо і 2 одиниці вгору.

приклад. Скласти рівняння дотичної до прямої $y=x^(-\frac(4)(5))$ у точці $х=1$.
Рішення. Рівняння дотичної визначається відомою нам формулою:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
У нашому випадку $a = 1 $.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Знайдемо похідну:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Обчислимо:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Знайдемо рівняння дотичної:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Відповідь: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Завдання для самостійного вирішення