Обчислення певних інтегралів за формулою прямокутників. Чисельне інтегрування

Призначення сервісу. Сервіс призначений для онлайн обчисленняпевного інтегралу за формулою прямокутників.

Інструкція. Введіть підінтегральну функцію f(x) , натисніть Вирішити. Отримане рішення зберігається у файлі Word. Також створюється шаблон рішення в Excel. Нижче наведено відеоінструкцію.

Правила введення функції

У другому доданку підінтегральна функція непарна, а межі інтегрування симетричні щодо точки ε 0 . Тому другий інтеграл дорівнює нулю. Таким чином, з (8.5.3) випливає .
Т. до. другий множник підінтегрального виразу не змінює знак, то за теоремою про середнє отримаємо де . Після інтегрування отримаємо . (8.5.4)
Порівнюючи з залишковим членом формули трапецій, бачимо, що похибка формули прямокутників вдвічі менше, ніж похибка формули трапецій. Цей результат є вірним, якщо у формулі прямокутників ми беремо значення функції в середній точці.
Отримаємо формулу прямокутників і залишковий член для інтервалу. Нехай задана сітка x i = a + ih, i = 0,1, ..., n, . Розглянемо сітку ε i = ε 0 + ih, i = 1,2, .., n, ε 0 = a-h/2. Тоді . (8.5.5)
Залишковий член .
Геометрично формула прямокутників може бути представлена ​​наступним малюнком:

Якщо функція f(x) задана таблично, використовують або лівосторонню формулу прямокутників (для рівномірної сітки)

або правосторонню формулу прямокутників

.
Похибка цих формул оцінюється через першу похідну. Для інтервалу похибка дорівнює

; .
Після інтегрування отримаємо .

Приклад. Обчислити інтеграл за n=5:
а) за формулою трапецій;
б) за формулою прямокутників;
в) за формулою Сімпсона;
г) за формулою Гауса;
д) за формулою Чебишева.
Розрахувати похибку.
Рішення. Для 5-ти вузлів інтегрування крок сітки становитиме 0.125.
При вирішенні користуватимемося таблицею значень функції. Тут f(x)=1/x.

Формула лівих прямокутників:

Метод середніх прямокутників

Розділимо відрізок на n рівних частин, тобто. на n елементарних відрізків. Довжина кожного елементарного відрізка. Точки поділу будуть: x0 = a; x 1 = a + h; x 2 =a+2Ч h,., x n-1 =a+ (n-1) Ч h; x n = b. Ці числа називатимемо вузлами. Обчислимо значення функції f (x) у вузлах, позначимо їх у y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Cталобити, y 0 = f (a), y 1 = f (x 1), y 2 = f (x 2),., y n = f (b). Числа y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n є ординатами точок графіка функції, відповідних абсцис x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n. Площа криволінійної трапеції приблизно замінюється площею багатокутника, складеного з n прямокутників. Таким чином, обчислення певного інтегралу зводиться до знаходження суми n елементарних прямокутників.

Формула середніх прямокутників

Метод правих прямокутників

Розділимо відрізок на n рівних частин, тобто. на n елементарних відрізків. Довжина кожного елементарного відрізка. Точки поділу будуть: x0 = a; x 1 = a + h; x 2 =a+2Ч h,., x n-1 =a+ (n-1) Ч h; x n = b. Ці числа називатимемо вузлами. Обчислимо значення функції f (x) у вузлах, позначимо їх у y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Cталобити, y 0 = f (a), y 1 = f (x 1), y 2 = f (x 2),., y n = f (b). Числа y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n є ординатами точок графіка функції, відповідних абсцис x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n. Площа криволінійної трапеції приблизно замінюється площею багатокутника, складеного з n прямокутників. Таким чином, обчислення певного інтегралу зводиться до знаходження суми n елементарних прямокутників.

Формула правих прямокутників

Метод Сімпсона

Геометрично ілюстрація формули Сімпсона у тому, що у кожному з здвоєних часткових відрізків замінюємо дугу даної кривою дугою графіка квадратного тричлена.

Розіб'ємо відрізок інтегрування на 2Ч n рівних частин довжини. Позначимо точки розбиття x 0 = a; x 1 = x 0 + h,., x i = x 0 + iЧ h,., x 2n = b. Значення функції f у точках x i позначимо y, тобто. y i = f (x i). Тоді згідно з методом Сімпсона

Метод трапецій

Розділимо відрізок на n рівних частин, тобто. на n елементарних відрізків. Довжина кожного елементарного відрізка. Точки поділу будуть: x0 = a; x 1 = a + h; x 2 =a+2Ч h,., x n-1 =a+ (n-1) Ч h; x n = b. Ці числа називатимемо вузлами. Обчислимо значення функції f (x) у вузлах, позначимо їх у y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Cталобити, y 0 = f (a), y 1 = f (x 1), y 2 = f (x 2),., y n = f (b). Числа y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n є ординатами точок графіка функції, що відповідають абсцисам x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n

Формула трапецій:

Формула означає, що площа криволінійної трапеції замінюється площею багатокутника, що складається з n трапецій (рис.5); при цьому крива замінюється вписаною в неї ламаною.

У загальному вигляді формула лівих прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (21) :

У цій формулі x 0 =a, x n =b, оскільки будь-який інтеграл у загальному вигляді виглядає: (див. формулу 18 ).

h можна обчислити за формулою 19 .

y 0 , y 1 ,..., y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h).

Формула правих прямокутників.

Загалом формула правих прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (22) :

У цій формулі x 0 =a, x n =b(Див. формулу для лівих прямокутників).

h можна обчислити за тією самою формулою, що у формулі для лівих прямокутників.

y 1 , y 2 ,..., y n- це значення відповідної функції f(x) у точках x 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h).

Формула середніх прямокутників.

Загалом формула середніх прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (23) :

Де x i =x i-1 +h.

У цій формулі, як і попередніх, потрібно h множити суму значень функції f(x), але не просто підставляючи відповідні значення x 0 ,x 1 ,...,x n-1у функцію f(x), а додаючи до кожного з цих значень h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), а потім лише підставляючи їх у задану функцію.

h можна обчислити за тією самою формулою, що у формулі для лівих прямокутників." [ 6 ]

Насправді дані методи реалізуються так:

Mathcad ;

Excel .

Mathcad ;

Excel .

Для того, щоб обчислити інтеграл за формулою середніх прямокутників Excel, необхідно виконати такі дії:

Продовжити роботу в тому самому документі, що і при обчисленні інтеграла за формулами лівих та правих прямокутників.

У комірку E6 ввести текст xi+h/2, а F6 - f(xi+h/2).

Ввести в комірку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон клітин E8:E16

Ввести в комірку F7 формулу =КОРІНЬ(E7^4-E7^3+8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок F8:F16

Ввести в комірку F18 формулу = СУМ (F7: F16).

Ввести у комірку F19 формулу =B4*F18.

Ввести в осередок F20 середніх текст.

У результаті отримуємо таке:

Відповідь: значення заданого інтегралу дорівнює 13,40797.

З отриманих результатів, можна дійти невтішного висновку, що формула середніх прямокутників є більш точної, ніж формули правих і лівих прямокутників.

1. Метод Монте-Карло

"Основна ідея методу Монте-Карло полягає у багаторазовому повторенні випадкових випробувань. Характерною особливістю методу Монте-Карло є використання випадкових чисел(числових значень деякої випадкової величини). Такі числа можна отримати за допомогою датчиків випадкових чисел. Наприклад, у мові програмування Turbo Pascal є стандартна функція random, значеннями якої є випадкові числа, рівномірно розподілені на відрізку . Сказане означає, що якщо розбити зазначений відрізок на кілька рівних інтервалів і обчислити значення функції random велике числораз, то кожен інтервал потрапить приблизно однакову кількість випадкових чисел. У мові програмування basin подібним датчиком є ​​функція rnd. У табличному процесорі MS Excel функція СЛЧИСповертає рівномірно розподілене випадкове число більше або дорівнює 0 і менше 1 (змінюється під час перерахунку)" [ 7 ].

Для того, щоб його обчислити, необхідно скористатися формулою () :

Де (i=1, 2, …, n) – випадкові числа, що у інтервалі .

Для отримання таких чисел на основі послідовності випадкових чисел x i , рівномірно розподілених в інтервалі досить виконати перетворення x i = a + (b-a) x i .

Насправді даний метод реалізується так:

Щоб обчислити інтеграл методом Монте-Карло в Excel, необхідно виконати такі действия:

У комірку B1 ввести текст n=.

У комірку B2 ввести текст a=.

У комірку B3 ввести текст b=.

У комірку C1 ввести число 10.

У комірку C2 ввести число 0.

У комірку C3 ввести число 3,2.

У комірку A5 ввести I, В5 – xi, в C5 – f(xi).

Осередки A6:A15 заповнити числами 1,2,3, …,10 – оскільки n=10.

Ввести в комірку B6 формулу =СЛЧИС()*3,2 (відбувається генерація чисел у діапазоні від 0 до 3,2), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок В7:В15.

Ввести в комірку C6 формулу =КОРІНЬ(B6^4-B6^3+8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок C7:C15.

Ввести в комірку B16 текст «сума», у B17 – «(b-a)/n», у B18 – «I=».

Вести в комірку C16 формулу = СУМ (C6: C15).

Вести у комірку C17 формулу =(C3-C2)/C1.

Вести в комірку C18 формулу = C16 * C17.

У результаті отримуємо:

Відповідь: значення заданого інтегралу дорівнює 13,12416.

Графічне зображення:

Обчислимо наближене значення інтегралу. Для оцінки точності використовуємо прорахунок методом лівих та правих прямокутників.

Розрахуємо крок при розбитті на 10 частин:

Точки розбиття відрізка визначаються як.

Обчислимо наближене значення інтеграла за формулами лівих прямокутників:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Обчислимо наближене значення інтеграла за формулами правих прямокутників:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Вирішення крайової задачі для звичайного диференціального рівнянняметодом прогонки.

Для наближеного рішення звичайного диференціального рівняння можна використовувати спосіб прогонки.

Розглянемо лінійне д.у.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

з двоточковими лінійними крайовими умовами

Введемо позначення:

Метод прогонки складається з «прямого ходу», в якому визначаються коефіцієнти:

Після виконання «прямого ходу», переходять до виконання «зворотного ходу», який полягає у визначенні значень функції за формулами:

Використовуючи спосіб прогонки, скласти рішення крайової задачі для звичайного диференціального рівняння з точністю; Крок h = 0.05

2; A=1; =0; B = 1.2;

Завдання Диріхлі для рівняння Лапласа методом сіток

Знайти безперервну функціюі (х, у), що задовольняє всередині прямокутної області рівняння Лапласа

та приймаючу на кордоні області задані значення, тобто.

де fl, f2, f3, f4 - задані функції.

Вводячи позначення, апроксимуємо приватні похідні і в кожному внутрішньому вузлі сітки центральними похідними різними похідними другого порядку

і замінимо рівняння Лапласа звичайно-різносним рівнянням

Похибка заміни диференціального рівняння різницевим становить величину.

Рівняння (1) разом із значеннями у граничних вузлах утворюють систему лінійних алгебраїчних рівняньщодо наближених значень функції та (х, у) у вузлах сітки. Найбільш простий вигляд має ця система при:

При отриманні сіткових рівнянь (2) використана схема вузлів, зображена на рис. 1. Набір вузлів, що використовуються для апроксимації рівняння у точці, називається шаблоном.

Малюнок 1

Чисельне розв'язання задачі Диріхле для рівняння Лапласа в прямокутнику полягає в знаходженні наближених значень функції і(х, у) у внутрішніх вузлах сітки. Для визначення величин потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри (2).

У цій роботі вона вирішується методом Гауса-Зейделя, який полягає в побудові послідовності ітерацій виду

(Верховим індексом s позначений номер ітерації). При послідовності сходиться до точного рішення системи (2). Як умову закінчення ітераційного процесу можна прийняти

Таким чином, похибка наближеного рішення, отриманого методом сіток, складається з двох похибок: похибки апроксимації диференціального рівняння різницевими; похибки, що виникає внаслідок наближеного розв'язання системи різницевих рівнянь (2).

Відомо, що описана тут різнизна схема має властивість стійкості та збіжності. Стійкість схеми означає, що малі зміни в початкових даних призводять до малих змін розв'язання задач. Тільки такі схеми можна застосовувати у реальних обчисленнях. Східність схеми означає, що з прагненні кроку сітки до нуля () розв'язання різницевої завдання прагне у сенсі до вирішення вихідної задачи. Таким чином, вибравши досить малий крок h, можна як завгодно вирішити вихідне завдання.

Використовуючи метод сіток, скласти наближене розв'язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа в квадраті ABCD з вершинами A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); крок h = 0.02. При розв'язанні задачі використовувати ітераційний процес усереднення Лібман до отримання відповіді з точністю до 0,01.

1) Обчислимо значення функції на сторонах:

• 1. На стороні AB: за формулою. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
• 2. На стороні ВС = 0
• 3. На стороні CD=0

• 4. На стороні AD: за формулою u(0;0)=0 u(0.2;0)=29,376 u(0.4;0)=47,542 u(0.6;0)=47,567 u(0.8;0)=29,44 u(1;0)=0
• 2) Для визначення значень функції у внутрішніх точкахобласті методом сіток задане рівнянняЛапласа в кожній точці замінимо кінцево-різницевим рівнянням за формулою

Використовуючи цю формулу, складемо рівняння кожної внутрішньої точки. В результаті одержуємо систему рівнянь.

Рішення цієї системи здійснимо ітераційним способом типу Лібмана. Для кожного значення складемо послідовність, яку будуємо до збіжності в сотих частках. Запишемо співвідношення, за допомогою яких знаходитимемо елементи всіх послідовностей:

Для обчислень за цими формулами потрібно визначити початкові значення, які можуть бути знайдені будь-яким способом.

3) Щоб отримати початкове наближене рішення задачі, вважатимемо, що функція u(x,y) по горизонталі області розподілена рівномірно.

Спочатку розглянемо горизонталь з граничними точками (0; 0.2) та (1; 0.2).

Позначимо потрібні значення функції у внутрішніх точках через.

Оскільки відрізок розбитий на 5 частин, то крок виміру функції

Тоді отримаємо:

Аналогічно знайдемо значення функції у внутрішніх точках інших обріїв. Для горизонталі, з граничними точками (0; 0.4) та (1; 0.4) маємо

Для горизонталі з граничними точками (0; 0.6) та (1; 0.6) маємо

Нарешті, знайдемо значення для горизонталі з граничними точками (0; 0.8) та (1; 0.8).

Всі отримані значення представимо в наступній таблиці, яка називається нульовим шаблоном:

І парадокс у тому, що з цієї причини (мабуть)він досить рідко зустрічається практично. Не дивно, що ця стаття з'явилася на світ через кілька років після того, як я розповів про більш поширені методах трапеції та Сімпсона, де згадав про прямокутники лише побіжно. Однак на сьогоднішній день розділ про інтегралахМайже завершено і тому настав час закрити цю невелику прогалину. Читаємо, вникаємо та дивимося відео! ….про що? Про інтеграли, звичайно =)

Постановка завдання вже була озвучена на вказаному вище уроці, і зараз ми швиденько актуалізуємо матеріал:

Розглянемо інтеграл. Він не беруться. Але з іншого боку, підінтегральна функція безперервнана відрізку, а значить, кінцева площаІснує. Як її обчислити? Приблизно. І сьогодні, як ви здогадуєтеся – методом прямокутників.

Розбиваємо проміжок інтегрування на 5, 10, 20 або більша кількістьрівних (хоча це не обов'язково)відрізків, що більше – то точніше буде наближення. На кожному відрізку будуємо прямокутник, одна із сторін якого лежить на осі, а протилежна – перетинає графік підінтегральної функції. Обчислюємо площу отриманої ступінчастої фігури, яка і буде наближеною оцінкою площі криволінійної трапеції(заштрихована на 1-му малюнку).

Очевидно, що прямокутники можна побудувати багатьма способами, але стандартно розглядають 3 модифікації:

1) метод лівих прямокутників;
2) метод правих прямокутників;
3) метод середніх прямокутників.

Оформимо подальші викладки у рамках «повноцінного» завдання:

Приклад 1

Обчислити певний інтеграл приблизно:
а) методом лівих прямокутників;
б) шляхом правих прямокутників.

Проміжок інтегрування розділити на рівних відрізків, результати обчислень округляти до 0,001

Рішення: зізнаюся відразу, я спеціально вибрав таке мале значення - з тих міркувань, щоб все було видно на кресленні - за що довелося поплатитися точністю наближень.

Обчислимо крокрозбиття (довжину кожного проміжного відрізка):

Метод лівих прямокутниківотримав свою назву через те,

що висотипрямокутників на проміжних відрізках рівні значенням функції у лівихкінцях даних відрізків:

У жодному разі не забуваємо, що округлення слід проводити до трьох знаків після коми – це суттєва вимога умови, і «самодіяльність» тут загрожує позначкою «оформіть завдання, як слід».

Обчислимо площу ступінчастої фігури, яка дорівнює сумі площ прямокутників:


Таким чином, площа криволінійної трапеції: . Так, наближення жахливо грубе (Завищення добре видно на кресленні), А й приклад, повторюся, демонстраційний. Цілком зрозуміло, що, розглянувши більшу кількість проміжних відрізків (подрібнивши розбиття), ступінчаста фігура буде набагато більше схожа на криволінійну трапецію, і ми отримаємо найкращий результат.

При використанні «правого» методу висотипрямокутників рівні значенням функції у правихкінцях проміжних відрізків:

Обчислимо недостатнє значення та площа ступінчастої фігури:


- Тут, що і слід очікувати, наближення сильно занижено:

Запишемо формули у загальному вигляді. Якщо функція безперервна на відрізку і він розбитий на рівних частин: , то певний інтеграл можна обчислити приблизно за формулами:
- лівих прямокутників;
- Правих прямокутників;
(Формула в наступному завданні)- Середніх прямокутників,
де – крок розбиття.

У чому їхня формальна відмінність? У першій формулі немає доданку, а в другій -

На практиці значення, що розраховуються, зручно заносити в таблицю:


а самі обчислення проводити в Екселі. І швидко, і без помилок:

Відповідь:

Напевно, ви вже зрозуміли, у чому полягає метод середніх прямокутників:

Приклад 2

Обчислити приблизно визначений інтеграл методом прямокутників з точністю до 0,01. Розбиття проміжку інтегрування розпочати з відрізків.

Рішення: по-перше, звертаємо увагу, що інтеграл потрібно обчислити з точністю до 0,01. Що має на увазі таке формулювання?

Якщо у попередньому завданні потрібно просто округлитирезультати до 3 знаків після коми (а вже наскільки вони будуть правдиві – не важливо), то тут знайдене наближене значення площі має відрізнятися від істини лише на .

І по-друге, за умови завдання не сказано, яку модифікацію методу прямокутників використовувати для розв'язання. Яку?

За умовчанням завжди використовуйте метод середніх прямокутників

Чому? А він за інших рівних умов (Тому ж розбиття)дає набагато точніше наближення. Це суворо обгрунтовано теоретично, і це дуже добре видно на кресленні:

Як висот прямокутників тут приймаються значення функції, обчислені у серединахпроміжних відрізків, і у загальному вигляді формула наближених обчислень запишеться так:
, де - крок стандартного «рівновідрізного» розбиття.

Слід зазначити, що формулу середніх прямокутників можна записати кількома способами, але щоб не розводити плутанину, я зупинюся на єдиному варіанті, який ви бачите вище.

Обчислення, як і попередньому прикладі, зручно звести в таблицю. Довжина проміжних відрізків, зрозуміло, та сама: - і очевидно, що відстань між серединами відрізків дорівнює цьому ж числу. Оскільки необхідна точність обчислень становить , то значення потрібно округляти із запасом – 4-5 знаками після коми:


Обчислимо площу ступінчастої фігури:

Давайте подивимося, як автоматизувати цей процес:

Таким чином, за формулою середніх прямокутників:

Як оцінити точність наближення? Іншими словами, наскільки далекий результат від істини (площі криволінійної трапеції)? Для оцінки похибки існує спеціальна формула, проте, на практиці її застосування часто утруднене, і тому ми будемо використовувати «прикладний» спосіб:

Обчислимо найточніше наближення – з подвоєним кількістю відрізків розбиття: . Алгоритм рішення такий самий: .

Знайдемо середину першого проміжного відрізка і далі приплюсовуємо до отриманого значення 0,3. Таблицю можна оформити «економ-класом», але коментар про те, що змінюється від 0 до 10 – все ж таки краще не пропускати:


В Екселі обчислення проводяться "в один ряд" (До речі, потренуйтеся), а ось у зошиті таблицю, швидше за все, доведеться зробити двоповерховою (якщо у вас, звичайно, не наддрібний почерк).

Обчислимо сумарну площу десяти прямокутників:

Таким чином, більш точне наближення:

Які я пропоную вам вивчити!

Приклад 3: Рішення: обчислимо крок розбиття:
Заповнимо розрахункову таблицю:


Обчислимо інтеграл приблизно методом:
1) лівих прямокутників:
;
2) правих прямокутників:
;
3) середніх прямокутників:
.

Обчислимо інтеграл більш точно за формулою Ньютона-Лейбніца:

та відповідні абсолютні похибкиобчислень:

Відповідь :