Інтегрованість монотонної функції. Визначений інтеграл

Доведемо таку основну теорему.

Теорема. Безперервна на сегменті [ a, b] функція f(x) інтегрована на цьому сегменті.

Доведення. Нехай дано будь-яке ε > 0. Через рівномірну безперервність функції f(x) на сегменті [ a, b] для позитивного числа ε /(b - a) можна вказати таке δ > 0, що з розбиття Tсегмента [ a, b] на часткові сегменти [ x i -1 , x i], довжини Δ x iяких менше δ , коливання ω iфункції f(x) на кожному такому частковому сегменті будуть менше ε /(b - a). Тому для таких розбиття T

Отже, для безперервної на сегменті [ a, b] функції f(x) виконані достатні умови інтегрованості.

Формула Ньютона-Лейбніца- дає співвідношення між операціями взяття певного інтеграла та обчислення первісної. Формула Ньютона-Лейбніца – основна формула інтегрального числення.

Ця формулавірна для будь-якої функції f(x), безперервний на відрізку [а, b], F- первісна для f(x). Таким чином, для обчислення певного інтегралу потрібно знайти якусь первісну Fфункції f(x), обчислити її значення в точках a і bі знайти різницю F(b) – F(a).

Методичні особливостізапровадження визначення інтеграла.

Тема вивчається в 11 класі та головне її призначення – навчити учнів обчисленню площі криволінійної трапеціїта інших більше складних фігурта обчислювати обсяги геометричного тілаза допомогою інтегралу. Значимість цієї теми у цьому, що інтегрування чи віднайдення первісної – це зворотне завданнявідшукання похідної. До вивчення цієї теми учні могли виконувати над функціями такі дії: додавання, віднімання, множення та поділ. Після вивчення цієї теми учні повинні вміти виконувати нові дії: диференціювання.

Вивчення цієї теми завершує шкільний курс математичного аналізу

Ця темавключає наступні питання: первісна, основна властивість первісної, три правила знаходження первісних, площа криволінійної трапеції, інтеграл, формула Ньютона - Лейбніца, застосування інтеграла.

Існує два способи введення поняття інтеграла: 1 спосіб-розгляд інтеграла як збільшення первісної; Наприклад, у підручнику А.Н. Колмогорова., і 2 спосіб-розгляд інтеграла як межі інтегральних сум. Наприклад, підручник Алімов Ш.А.

Найважчий, недоступний для школярів – другий підхід, оскільки теорія меж у шкільництві не вивчається. У школі використовують перший підхід. S кр. =F(b)-F(a) – такий підхід реалізований у сучасних підручниках.

Порівняльний аналіззмісту теми в шкільних підручниках

У підручнику А. Н. Колмогорова «Алгебра та початки аналізу» при введенні інтегралу розглядається завдання про обчислення площі криволінійної трапеції. Автор наводить у підручнику два способи обчислення площі криволінійної трапеції: за допомогою теореми про площу криволінійної трапеції та за допомогою інтегральних сум. Другий спосіб зводиться визначення інтеграла. За допомогою інтегральних сум виводяться формули для обчислення обсягів тіл, роботи змінної сили, а також знаходження маси стрижня і центру мас.

У підручнику Мордковича А. Г. «Алгебра та початки аналізу» при введенні поняття « Визначений інтеграл» розглядаються завдання, що призводять до даному поняттю, А саме задача про обчислення площі криволінійної трапеції, задача про обчислення маси стрижня та задача про переміщення точки. Всі три завдання при їх вирішенні наводяться до однієї й тієї математичної моделі.

У підручнику Микільського С. М. «Алгебра та початку аналізу» розгляд завдання про обчислення площі криволінійної трапеції призводить до поняття інтегральних сум та межі від них, після чого вводиться визначення певного інтегралу. Теоретичне обґрунтуваннязастосування певного інтегралу розглядається в таких фізичних задачах, як завдання на роботу сили, роботу електричного заряду, на обчислення маси стрижня змінної щільності, тиску рідини на стінку та центру тяжіння.

У підручнику Ш. А. Алімова «Алгебра та початку аналізу» перед введенням поняття інтеграла розглядається завдання про знаходження площі криволінійної трапеції, де обчислення площі зводиться до пошуку первісної F(х) функції f(x). Різниця F(b)- F(a) називають інтегралом від функції f(x) на відрізку. Далі автор розглядає обчислення площі криволінійної трапеції за допомогою інтегральних сум, говорить про те, що такий спосіб наближеного обчислення інтеграла вимагає громіздких обчислень і користуються ним у тих випадках, коли не вдається знайти первісну функцію. Як приклади застосування інтегралу наведені завдання про витікання води з бака та знаходження роботи сили. Завдання для самостійного рішенняоднотипні та їх дуже мало.

Завдання, що призводять до поняття певного інтеграла (завдання про площу криволінійної трапеції, завдання обчислення роботи під дією змінної сили). Поняття певного інтегралу. Суми Дарбу та їх властивості (огляд). Необхідне та достатня умоваінтегрованості. Інтегрованість безперервної функції. Основні властивості певного інтегралу

Завдання про площу криволінійної трапеції.Розглянемо плоску фігуру, обмежену лініями де f(x) є безперервна позитивна функція, задана (див. рис.3). Така постать називається криволінійною трапецією. Поставимо питання про площу Fцієї трапеції.

Розділимо [ a, b] точками і нехай λ = max( x k +1 - x k). Прямі x = x kрозбивають нашу трапецію на nвузьких смуг. Оскільки функція f(x) безперервна, то вона мало змінюється при x k ≤ x ≤ x k+1 і без великої похибкиїї можна вважати на проміжку [ x k , x k+1 ] постійної та рівної f(ξ k), де ξ kє довільно взята точка проміжку [ x k , x k+1]. Легко бачити, що зроблене припущення рівносильне тому, що ми приймаємо вищезгадані смуги за прямокутники, а всю нашу трапецію - за ступінчасту фігуру, зображену на рис. 4. Площа цієї ступінчастої фігури, очевидно, дорівнює Природно вважати, що ця площа при малому λ є наближеним значенням цікавої для нас площі F. Тому за визначенням називатимемо площеюнашої криволінійної трапеції межа .

Якщо функція має, хоча одну первісну, вона має нескінченно багато первообразных. Насправді часто доводиться шукати різницю значень первісної в точках bі a. Ця різниця не залежить від вибору довільної постійної с,т.к .. Нехай функція fзадана на відрізку та має на ньому первісну F. Різницю називають певним інтеграломфункції fпо відрізку та позначають Числа bі a називають верхньою та нижньою межами інтегрування.Відрізок областю інтегрування.

Робота змінної сили. Розглянемо рух матеріальної точки вздовж осі OX під дією змінної сили f, яка залежить від положення точки x на осі, тобто. сили, що є функцією x. Тоді робота A, необхідна для переміщення матеріальної точки з позиції x = a в позицію x = b обчислюється за формулою:

Властивості ОІ.

1) Якщо функція fмає первісну на відрізку і будь-яке число, то .

2) Якщо функції мають первинну на відрізку, то.

3) Адитивне св-во.Якщо функція fмає первинну на відрізку і, то .

4) Якщо функція fмає первинну на відрізку , то .

5)6)

7) Якщо функція fмає первинну на відрізку і є парною, то . Якщо ж f є непарною, то .

8) Якщо функція f має період і на відрізку існує первісна для f, то для будь-кого aсправедлива рівність .

9) Якщо .

11) Нехай на відрізку виконуються нерівності, причому у цьому відрізку функція fмає первісну. Тоді .

Суми Дарба. Нехай Складемо суми. Вони називаються нижньою та верхньою сумами Дарбу.

ВластивостіСуми Дарбу: 1) Якщо до наявних точок розбиття відрізка на проміжки додати нові точки, то нижня сума Дарбу від цього може хіба що тільки зрости, а верхня сума - зменшується. Тобто. якщо τ′-подрібнення розбиття τ, то .

2) Кожна нижня сума Дарбу вбирається у кожну з верхніх сум, навіть відповідають іншому розбиття проміжку.

3) - коливання функції на − нижній інтеграл Дарбу функції fна , - Верхній інтеграл Дарбу. Безліч () нижніх сум Дарбу обмежена зверху хоча б однієї з верхніх сум Дарбу тоді воно має до того ж. Безліч верхніх сум Дарбу () обмежена знизу, тому існує, причому. Т.о.

ThНеобхідна умова інтегрованості.Якщо функція інтегрована на відрізку, вона обмежена у ньому . ThНеобхідна та достатня умова інтегрованості.Для того, щоб обмежена на деякому відрізку функція була інтегрована на ньому необхідно і достатньо щоб Це умова означає, для будь-якого ε>0 існує δ(ε)>0, що для будь-якого розбиття дрібності менше, ніж δ виконується нерівність:−<ε.

ThІнтегрованість безперервної функції.Якщо f(x)безперервна на , вона інтегрована у ньому. Th. Функція певна та монотонна на інтегрована на ньому. Th. Якщо функція обмежена і безперервна на відрізку, крім, можливо, кінцевого числа точок, вона інтегрована у ньому.

d(τ)→0

Примітка 1. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку з кінцями a, b, то справедлива нерівність

Примітка 2. Якщо функція f(x) неперервна на f(x) ≥ 0 на

І x0: f(x0)> 0, то f(x) dx>0.

1.6 Інтегрованість шматково безперервної функції

Розглянемо клас інтегрованих функцій, ширший проти класом безперервних функцій. Для цього буде потрібна наступна лема, що вказує ще одну достатню умову інтегрованості функції.

Лемма 1.3. Нехай функція f (x) інтегрується на відрізку . Зміна значення функції в кінцевому числіточок не впливає на її інтегрованість на і величину інтеграла.

Нехай для визначеності A > 0. Зафіксуємо ε > 0 і виберемо

довільне розбиття τ = (xk )n k=0 N з діаметром d(τ)<2A . Точка α может принадлежать только одному отрезку разбиения, если α не является точкой из разбиения τ, или двум отрезкам, если α является точкой из разбиения τ, не совпадающей с a или b. В любом случае

I(fe) = fe(x) dx = 0.

2) Нехай f R ,

0, x \ (α),

та g(x) = A − f(α), x = α.

Тоді fe (x) = f(x) + g(x), x і по теореме1.12 функція fe інтегрована на , при цьому

Якщо зміна значення функції відбувається в кінцевому числі точок відрізка , то для кожної такої точки слід побудувати функцію, аналогічну функції g, яка буде інтегрована на скласти суму, аналогічну (1.21), і застосувати теорему1.12.

Визначення 1.6. Функція f:

безперервної на відрізку , якщо виключення кінцевого числа точок, розриву першого роду.

→ R називається кусочно вона безперервна на за стрімкі є її точками

Рис. 1.1: Приклад шматково безперервної функції

Тепер ми можемо довести результат, що розширює клас функцій, що інтегруються за Ріманом.

Теорема 1.19. Якщо функція f: → R шматково безперервна на відрізку , вона інтегрована на ньому.

Розглянемо випадок, коли функція f(x) має на відрізку одну точку розриву першого роду c(a, b), тобто є кінцеві

граничні значення f(c + 0) та f(c − 0). Розглянемо функції

Так як функції f1 (x) і f2 (x) безперервні на відрізках і відповідно, всі вони інтегруються на цих відрізках. Тоді по леме1.3 функція f(x), що відрізняється від функції f1 (x) значенням в одній точці, інтегрована на відрізку . Аналогічно, f(x) інтегрована і відрізку . Тоді за теоремою1.17 f(x) інтегрована на .

Зауваження. Якщо функція f(x) шматково безперервна на відрізку , вона інтегрована на ньому і для обчислення певного інтеграла від такої функції відрізок розбивається на кінцеве число відрізків так, що f(x) є безперервною і обмеженою функцією на інтервалах (ak , bk ).

1.7 Перша інтегральна теорема про середнє

Теорема 1.20. Нехай функції f і g задовольняють умовам:

Нехай, наприклад, g(x) ≥ 0, x тоді з умови 2) випливає, що mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x . Оскільки функції f і g

інтегровані на відрізку, то функція f · g також інтегрована на цьому відрізку і з теореми 1.18

у разі рівність (1.22) виконується за будь-якого µ.

З визначення µ випливає рівність (1.22) . Аналогічно доводиться теорема у разі, коли g(x) ≤ 0 на .

Слідство 1. Якщо функція f інтегрована на відрізку m ≤ f(x) ≤ M, x , то

µ : f(x) dx = µ(b − a).

Слідство 2. Якщо функція f (x) безперервна на відрізку , а функція g (x) інтегрована і не змінює на ньому знак, то

З безперервності функції f(x) на відрізку випливає, що інтегрована на ньому. Відповідно до другої теореми Вейєрштраса

По теоремі Больцано-Коші про проміжне значення безперервної на відрізку функції, існує точка c, що належить відрізкуз кінцями в точках p і q, отже, c така, що f(c) = µ. Таким чином,