Формула розподілу ймовірностей пуасону. Розподіл та формула пуасону

Коротка теорія

Нехай проводиться незалежні випробування, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює . Для визначення ймовірності появи події у цих випробуваннях використовують формулу Бернуллі. Якщо ж велике, то користуються або . Однак, ця формула непридатна, якщо мала. У цих випадках (велике, мало) вдаються до асимптотичної формулі Пуассона.

Поставимо перед собою завдання знайти ймовірність того, що за дуже великому числівипробувань, у кожному з яких ймовірність події дуже мала, подія настане рівно разів. Зробимо важливе припущення: твір зберігає постійне значення, саме . Це означає, що середня кількість появи події у різних серіях випробувань, тобто. при різних значеннях, залишається незмінним.

Приклад розв'язання задачі

Завдання 1

На базі отримано 10 000 електроламп. Імовірність того, що в дорозі лампа розіб'ється, дорівнює 0,0003. Знайдіть ймовірність того, що серед отриманих ламп буде п'ять ламп розбито.

Рішення

Умова застосування формули Пуассона:

Якщо ймовірність появи події в окремому випробуванні досить близька до нуля, то навіть при великих значеннях кількості випробувань ймовірність, що обчислюється локальною теореми Лапласа, виявляється недостатньо точною. У таких випадках використовують формулу, виведену Пуассоном.

Нехай подія – 5 ламп буде розбито

Скористаємося формулою Пуассона:

У нашому випадку:

Відповідь

Завдання 2

На підприємстві 1000 одиниць обладнання певного виду. Імовірність відмови одиниці обладнання протягом години становить 0,001. Скласти закон розподілу кількості відмов обладнання протягом години. Визначити числові показники.

Рішення

Випадкова величина – кількість відмов обладнання може приймати значення

Скористаємося законом Пуассона:

Знайдемо ці ймовірності:

Математичне очікування та дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона дорівнює параметру цього розподілу:

Середнявартість рішення контрольної роботи 700 - 1200 рублів (але не менше 300 руб. за все замовлення). На ціну сильно впливає терміновість рішення (від доби до кількох годин). Вартість онлайн-допомоги на іспиті/заліку – від 1000 руб. за рішення квитка.

Заявку можна залишити прямо в чаті, попередньо скинувши умову завдань та повідомивши необхідні вам терміни вирішення. Час відповіді – кілька хвилин.

Як відразу почали надходити запити: Де Пуассон? Де завдання на формулу Пуассона? і т.п. І тому я почну з приватного застосуваннярозподілу Пуассона - через велику популярність матеріалу.

Завдання до болю ейфорії знайоме:

І такі два завдання принципово відрізняються від попередніх:

Приклад 4

Випадкова величина підпорядкована закону Пуассона з математичним очікуванням. Знайти ймовірність того, що ця випадкова величинанабуде значення, меншого, ніж її математичне очікування.

Відмінність полягає в тому, що тут йде САМЕ про розподіл Пуассона.

Рішення: випадкова величина набуває значення з ймовірностями:

За умовою, і тут все просто: подія полягає в трьох несумісних наслідків:

Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, меншого, ніж її математичне очікування.

Відповідь:

Аналогічне завдання розуміння:

Приклад 5

Випадкова величина підпорядкована закону Пуассона з математичним очікуванням. Знайти ймовірність того, що ця випадкова величина набуде позитивного значення.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Крім наближеннябіномного розподілу(Приклади 1-3), розподіл Пуассон знайшов широке застосуванняв теорії масового обслуговування для імовірнісної характеристики найпростішогопотоку подій. Постараюся бути лаконічним:

Нехай до певної системи надходять заявки (телефонні дзвінки, клієнти, що приходять і т.д.). Потік заявок називають найпростішимякщо він задовольняє умовам стаціонарності, відсутності наслідківі ординарності. Стаціонарність має на увазі те, що інтенсивність заявок постійнаі не залежить від часу доби, дня тижня чи інших тимчасових рамок. Іншими словами, не буває «години пік» і не буває «мертвого годинника». Відсутність наслідків означає, що можливість появи нових заявок залежить від «передісторії», тобто. немає такого, що «одна бабця розповіла» та інші «набігли» (або навпаки, розбіглися). І, нарешті, властивість ординарності характеризується тим, що за досить малийпроміжок часу практично неможливо поява двох або великої кількостізаявок. «Дві старенькі у двері?» - Ні, звільніть.

Отже, нехай до певної системи надходить найпростіший потік заявок із середньою інтенсивністюзаявок на хвилину (у годину, на день або у довільний проміжок часу). Тоді ймовірність того, що за цей проміжок часу, В систему надійде рівно заявок, дорівнює:

Приклад 6

Дзвінки в диспетчерську таксі є найпростішим пуассонівським потоком із середньою інтенсивністю 30 викликів на годину. Знайти ймовірність того, що: а) за 1 хв. надійде 2-3 виклики; б) протягом п'яти хвилин буде хоча б один дзвінок.

Рішення: використовуємо формулу Пуассона:

а) Враховуючи стаціонарність потоку, обчислимо середню кількість дзвінків за 1 хвилину:
дзвінка – в середньому за одну хвилину.

За теоремою складання ймовірностей несумісних подій:
- Імовірність того, що за 1 хвилину в диспетчерську надійде 2-3 виклики.

б) Обчислимо середню кількість викликів за п'ять хвилин:

Де ? дорівнює середньому числу появи подій у однакових незалежних випробуваннях, тобто. λ = n × p, де p - ймовірність події при одному випробуванні, e = 2,71828.

Ряд розподілу закону Пуассона має вигляд:

Числові характеристики випадкової величини Х

Дисперсія розподілу Пуассона
D[X] = λ

Приклад №1. Насіння містить 0.1% бур'янів. Яка ймовірність при випадковому відборі 2000 насінин виявити 5 насіння бур'янів?
Рішення.
Імовірність р мала, а число n велике. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математичне очікування: M[X] = λ = 2
Дисперсія: D[X] = λ = 2

Приклад №2. Серед насіння жита є 0.4% насіння бур'янів. Скласти закон розподілу числа бур'янів при випадковому відборі 5000 насінин. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.
Рішення. Математичне очікування: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсія: D[X] = λ = 20
Закон розподілу:

Приклад №3. На телефонній станції неправильне з'єднання відбувається із ймовірністю 1/200. Знайдіть ймовірність того, що серед 200 з'єднань станеться:
а) одно неправильне з'єднання;
б) менше ніж три неправильні сполуки;
в) більше двох неправильних сполук.
Рішення.За умовою завдання ймовірність події мала, тому використовуємо формулу Пуассона (15).
а) Вказано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Знайдемо P 200 (1).
Отримуємо: . Тоді P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Маємо: a = 1.

в) Задано: n = 200, p = 1/200, k> 2. Знайдемо P 200 (k> 2).
Це завдання можна вирішити простіше: знайти ймовірність протилежної події, тому що в цьому випадку потрібно обчислити менше доданків. Зважаючи на попередній випадок, маємо

Розглянемо випадок, коли n досить великий, а p - досить малим; покладемо np = a, де a – деяке число. У цьому випадку ймовірність визначається формулою Пуассона:

Приклад №4. Імовірність того, що деталь бракована дорівнює 0.005. перевіряється 400 деталей. Вкажіть формулу обчислення ймовірності того, що більше 3 деталей одружилися.

Приклад №5. Імовірність появи бракованих деталей за її масовому виробництві дорівнює p. визначити ймовірність того, що в партії з N деталей міститься а) три деталі; б) трохи більше трьох бракованих деталей.
p=0,001; N = 4500
Рішення.
Імовірність р мала, а число n велике. np = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Випадкова величина X має область значень (0,1,2,...,m). Імовірності цих значень можна знайти за такою формулою:

Знайдемо низку розподілу X.
Тут λ = np = 4500 * 0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тоді ймовірність того, що в партії з N деталей міститься рівно три деталі, дорівнює:

Тоді ймовірність того, що в партії з N деталей міститься не більше трьох бракованих деталей:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Приклад №6. Автоматична телефонна станція отримує в середньому за годину N дзвінків. Визначити ймовірність того, що за цю хвилину вона отримає: а) рівно два виклики; б) більше двох дзвінків.
N = 18
Рішення.
За одну хвилину АТС у середньому отримує λ = 18/60 хв. = 0,3
Вважаючи, що випадкова кількість X викликів, що надійшли на АТС за одну хвилину,
підпорядковується закону Пуассона, за формулою знайдемо ймовірність

Знайдемо низку розподілу X.
Тут λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Імовірність того, що за цю хвилину вона отримає рівно два виклики:
P(2) = 0,03334
Імовірність того, що за цю хвилину вона отримає більше двох викликів:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366

Приклад №7. Розглядаються два елементи, які працюють незалежно один від одного. Тривалість часу безвідмовної роботи має показовий розподілз параметром λ1 = 0,02 для першого елемента та λ2 = 0,05 для другого елемента. Знайти ймовірність того, що за 10 годин: а) обидва елементи працюватимуть безвідмовно; б) тільки ймовірність того, що за 10 годин елемент №1 не вийде з ладу:
Рішення.
P 1 (0) = e -λ1 * t = e -0.02 * 10 = 0,8187

Імовірність того, що за 10 годин елемент №2 не вийде з ладу:
P 2 (0) = e -λ2 * t = e -0.05 * 10 = 0,6065

а) обидва елементи працюватимуть безвідмовно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) лише один елемент вийде з ладу.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) * 0.6065 = 0.4321

Приклад №7. Виробництво дає 1% шлюбу. Яка ймовірність того, що із взятих на дослідження 1100 виробів вибраковано буде не більше ніж 17?
Примітка: оскільки тут n*p =1100*0.01=11 > 10, необхідно використовувати

Знову нагадаємо ситуацію, яку було названо схемою Бернуллі: проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких певна подія Аможе з'явитися з однією і тією ж ймовірністю р. Тоді для визначення ймовірності того, що в цих nвипробуваннях подія Аз'явиться рівно kраз (така ймовірність позначалася P n (k) ) може бути точно обчислена за формулою Бернуллі , де q=1− p. Однак при великій кількості випробувань nрозрахунки за формулою Бернуллі стають дуже незручними, оскільки призводять до дій із дуже великими числами. Тому (якщо пам'ятаєте − це колись відбувалося щодо схеми і формули Бернуллі щодо першої частини теорії ймовірностей «Випадкові події») при великих nпропонувалися значно зручніші (хоча і наближені) формули, які виявлялися тим точніше, що більше n(Формула Пуассона, локальна та інтегральна формула Муавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі кількість дослідів nвелике, а ймовірність рпояви події Ау кожному випробуванні мала, то добре наближення дає згадана формула Пуассона
, де параметр а =n∙ p. Ця формула призводить до розподілу Пуассона. Дамо точні визначення

Дискретна випадкова величина Хмає розподіл Пуассона, якщо вона набуває значення 0, 1, 2, ... з ймовірностями р 0 , р 1 , ... , які обчислюються за формулою

а число ає параметром розподілу Пуассона. Звертаємо увагу, що можливі значення с.в. Хнескінченно багато − це всі цілі негативні числа. Таким чином, д.с. Хіз розподілом Пуассона має наступний закон розподілу:

При обчисленні математичного очікування (за їх визначенням для д.с.в. з відомим законом розподілу) доведеться тепер вважати не кінцеві суми, а суми відповідних нескінченних рядів (оскільки таблиця закону розподілу має нескінченно багато стовпців). Якщо ж порахувати суми цих рядів, то виявиться, що і математичне очікування, і дисперсія випадкової величини Хз розподілом Пуассона збігається з параметром ацього розподілу:

,
.

Знайдемо моду d(X) розподіленої за Пуассоном випадкової величини Х. Застосуємо той самий прийом, що був використаний для обчислення моди біномно розподіленої випадкової величини. За визначенням моди d(X)= kякщо ймовірність
найбільша серед усіх ймовірностей р 0 , р 1 , ... . Знайдемо таке число k (Це ціле невід'ємне число). При такому kймовірність p kмає бути не менше сусідніх з нею ймовірностей: p k −1 ≤ p k ≤ p k +1 . Підставивши замість кожної ймовірності відповідну формулу, отримаємо, що число kмає задовольняти подвійну нерівність:

.

Якщо розписати формули для факторіалів і провести прості перетворення, можна отримати, що ліва нерівністьдає k≤ а, а праве k≥ а −1. Таким чином, число kзадовольняє подвійну нерівність а −1 ≤k≤ а, тобто. належить відрізку [ а −1, а]. Оскільки довжина цього відрізка, очевидно, дорівнює 1 , то нього може потрапити або одне, або 2 цілих числа. Якщо число аціле, то у відрізку [ а −1, а] Є 2 цілих числа, що лежать на кінцях відрізка. Якщо ж число ане ціле, то цьому відрізку є лише одне ціле число.

Таким чином, якщо число аціле, то мода розподіленої за Пуассоном випадкової величини Хнабуває 2 сусідніх значень: d(X)=а−1і d(X)=а. Якщо ж число ане ціле, то мода має одне значення d(X)= k, де k є єдине ціле число, що задовольняє нерівність а −1 ≤k≤ а, тобто. d(X)= [а] .

приклад. Завод надіслав на базу 5000 виробів. Імовірність того, що в дорозі виріб пошкодиться, дорівнює 0.0002. Якою є ймовірність, що пошкодиться 18 виробів? Яким є середнє значення пошкоджених виробів? Якою є найбільш ймовірна кількість пошкоджених виробів і яка його ймовірність?

Багато практично важливих додатках велику рольграє розподіл Пуассон. Багато хто з числових дискретних величинє реалізаціями пуассонівського процесу, що має такі властивості:

• Нас цікавить, скільки разів відбувається певна подія у заданій галузі можливих наслідків випадкового експерименту. Область можливих наслідків може являти собою інтервал часу, відрізок, поверхню тощо.
• Імовірність цієї події однакова всім областей можливих результатів.
• Кількість подій, що відбуваються в одній області можливих наслідків, не залежить від кількості подій, що відбуваються в інших областях.
• Імовірність того, що в одній і тій же області можливих наслідків дана подія відбувається більше одного разу, прагне нуля в міру зменшення області можливих наслідків.

Щоб глибше зрозуміти зміст пуассонівського процесу, припустимо, що ми досліджуємо кількість клієнтів, які відвідують відділення банку, що у центральному діловому районі, під час ланчу, тобто. з 12 до 13 години. Припустимо, потрібно визначити кількість клієнтів за одну хвилину. Чи має ця ситуація особливості, перераховані вище? По-перше, подія, яка нас цікавить, є приходом клієнта, а область можливих результатів - однохвилинний інтервал. Скільки клієнтів прийде до банку за хвилину – жодного, одного, двох чи більше? По-друге, розумно припустити, що ймовірність приходу клієнта протягом хвилини однакова всім однохвилинних інтервалів. По-третє, прихід одного клієнта протягом будь-якого однохвилинного інтервалу не залежить від приходу будь-якого іншого клієнта протягом будь-якого іншого однохвилинного інтервалу. І, нарешті, ймовірність того, що в банк прийде більше одного клієнта прагне нуля, якщо часовий інтервал прагне нуля, наприклад, стає менше 0,1 с. Отже, кількість клієнтів, які приходять до банку під час ланчу протягом однієї хвилини, описується розподілом Пуассона.

Розподіл Пуассон має один параметр, що позначається символом λ ( грецька літера«лямбда») – середня кількість успішних випробувань у заданій галузі можливих наслідків. Дисперсія розподілу Пуассона також дорівнює λ, яке стандартне відхилення дорівнює . Кількість успішних випробувань ХПуассонівська випадкової величини змінюється від 0 до нескінченності. Розподіл Пуассон описується формулою:

де Р(Х)- ймовірність Xуспішних випробувань, λ - очікувана кількість успіхів, е- основа натурального логарифму, що дорівнює 2,71828, X- кількість успіхів за одиницю часу.

Повернемося до нашого прикладу. Припустимо, що протягом обідньої перерви в середньому до банку приходять три клієнти на хвилину. Яка ймовірність того, що в цю хвилину до банку прийдуть два клієнти? А чому дорівнює ймовірність того, що до банку прийдуть понад два клієнти?

Застосуємо формулу (1) з параметром λ = 3. Тоді ймовірність того, що протягом цієї хвилини до банку прийдуть два клієнти, дорівнює

Імовірність того, що до банку прийдуть більше двох клієнтів, дорівнює Р(Х > 2) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) + … + Р(Х = ∞). Оскільки сума всіх ймовірностей має бути рівною 1, члени ряду, що стоїть у правій частині формули, є ймовірністю доповнення до події Х≤2. Інакше кажучи, сума цього ряду дорівнює 1 – Р(Х≤2). Отже, Р(Х> 2) = 1 – Р(Х≤2) = 1 – [Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2)]. Тепер, використовуючи формулу (1), отримуємо:

Таким чином, ймовірність того, що до банку протягом хвилини прийдуть не більше двох клієнтів, дорівнює 0,423 (або 42,3%), а ймовірність того, що до банку протягом хвилини прийдуть більше двох клієнтів, дорівнює 0,577 (або 57,7) %).

Такі обчислення можуть здатися стомлюючими, особливо якщо параметр досить великий. Щоб уникнути складних обчислень, багато пуасонівських ймовірностей можна знайти в спеціальних таблицях (рис. 1). Наприклад, ймовірність того, що в задану хвилину до банку прийдуть два клієнти, якщо в середньому до банку приходять три клієнти за хвилину, перебуває на перетині рядка X= 2 і шпальти λ = 3. Таким чином, вона дорівнює 0,2240 або 22,4%.

Рис. 1. Пуассонівська ймовірність при λ = 3

Зараз навряд чи хтось користуватиметься таблицями, якщо під рукою є Excel з його функцією ПУАССОН.РАСП() (рис. 2). Ця функція має три параметри: кількість успішних випробувань Х, середня очікувана кількість успішних випробувань λ, параметр Інтегральна, що приймає два значення: БРЕХНЯ – у цьому випадку обчислюється ймовірність числа успішних випробувань Х(тільки Х), ІСТИНА – у цьому випадку обчислюється ймовірність числа успішних випробувань від 0 до Х.

Рис. 2. Розрахунок у Excel ймовірностейрозподілу Пуассона при λ = 3

Апроксимація біномінального розподілу за допомогою розподілу Пуассона

Якщо число nвелике, а число р- мало, біномний розподілможна апроксимувати за допомогою розподілу Пуассона. Чим більше число nі менше число ртим вище точність апроксимації. Для апроксимації біномного розподілу використовується наступна модель Пуассона.

де Р(Х)- ймовірність Xуспіхів при заданих параметрах nі р, n- обсяг вибірки, р- справжня ймовірність успіху, е- основа натурального логарифму, X- кількість успіхів у вибірці (X = 0, 1, 2, …, n).

Теоретично випадкова величина, що має розподіл Пуассона, набуває значення від 0 до ∞. Однак у тих ситуаціях, коли розподіл Пуассона застосовується для наближення біномного розподілу, пуассонівська випадкова величина – кількість успіхів серед nспостережень - не може перевищувати число n. З формули (2) випливає, що зі збільшенням числа nта зменшенням числа рможливість виявити велика кількістьуспіхів зменшується і прагне нуля.

Як говорилося вище, математичне очікування µ та дисперсія σ 2 розподілу Пуассона дорівнюють λ. Отже, при апроксимації біномного розподілу за допомогою розподілу Пуассона для наближення математичного очікування слід застосовувати формулу (3).

(3) µ = Е(Х) = λ =np

Для апроксимації стандартного відхилення використовується формула (4).

Зверніть увагу на те, що стандартне відхилення, обчислене за формулою (4), прагне стандартного відхиленняу біноміальній моделі – , коли ймовірність успіху pпрагне до нуля, і, відповідно, ймовірність невдачі 1 – рпрагне одиниці.

Припустимо, що 8% шин, виготовлених на певному заводі, є бракованими. Щоб проілюструвати застосування розподілу Пуассона для апроксимації біномного розподілу, обчислимо ймовірність виявити одну дефектну шину у вибірці, що складається з 20 шин. Застосуємо формулу (2), отримаємо

Якби ми вирахували справжнє біномне розподіл, а не його наближення, то отримали б наступний результат:

Однак ці обчислення досить стомлюючі. У той же час, якщо ви використовуєте Excel для обчислення ймовірностей, застосування апроксимації у вигляді розподілу Пуассона стає зайвим. На рис. 3 показано, що трудомісткість обчислень Excel однакова. Тим не менш, цей розділ, на мій погляд, корисний розуміємо того, що за деяких умов біномні розподіл і розподіл Пуассон дають близькі результати.

Рис. 3. Порівняння трудомісткості розрахунків у Excel: (а) розподіл Пуассона; (б) біномінальний розподіл

Отже, у цій і двох попередніх нотатках було розглянуто три дискретні числових розподілів: , і Пуассона. Щоб краще уявляти, як ці розподіли співвідносяться один з одним, наведемо невелике дерево питань (рис. 4).

Рис. 4. Класифікація дискретних розподілів ймовірностей

Використовуються матеріали книги Левін та ін. Статистика менеджерів. - М.: Вільямс, 2004. - с. 320–328