Запиши числа в іншій письмовій нумерації. Післядрукарська обробка поліграфічних виробів та її види

Мета будь-якої нумерації – зображення будь-якого натурального числа за допомогою невеликої кількості індивідуальних знаків. Цього можна було б досягти за допомогою одного знака – 1 (одиниці). кожне натуральне числотоді записувалося б повторенням символу одиниці стільки разів, скільки у тому числі вміщається одиниць. Додавання зводилося б до простого приписування одиниць, а віднімання - до викреслювання (витирання) їх. Ідея, що лежить в основі такої системи, проста, проте ця система дуже незручна. Для запису великих чисел вона практично не придатна, і нею користуються тільки народи, у яких рахунок не виходить за межі одного-двох десятків.

З розвитком людського суспільствазбільшуються знання людей і все більше стає потреба рахувати та записувати результати рахунку досить великих множин, виміру великих величин.

У первісних людейне було писемності, не було ні букв, ні цифр, кожну річ, кожну дію зображували малюнком. Це були реальні малюнки, що відображають ту чи іншу кількість. Поступово вони спрощувалися, ставали дедалі зручнішими для запису. Мова йдепро запис чисел ієрогліфами. Ієрогліфи древніх єгиптян свідчать, що мистецтво рахунки було розвинене вони досить високо, з допомогою ієрогліфів зображалися великі числа. Однак для подальшого вдосконаленнярахунки було необхідно перейти до більш зручного запису, який дозволяв би позначати числа спеціальними, зручнішими знаками (цифрами). Походження цифр у кожного народу різне.

Перші цифри зустрічаються більш як за 2 тис. років до н.е. у Вавилоні. Вавилонці писали паличками на плитах з м'якої глини і потім свої записи висушували. Писемність давніх вавилонян називалася клинописом.Клиночки розміщувалися і горизонтально, і вертикально, залежно від їх значення. Вертикальні клинки позначали одиниці, а горизонтальні, звані десятки - одиниці другого розряду.

Деякі народи для запису чисел використовували літери. Замість цифр писали початкові літерислів-числових. Така нумерація, наприклад, мала древні греки. На ім'я вченого, який запропонував її, вона увійшла до історії культури під назвою геродіанованумерація. Так, у цій нумерації число "п'ять" називалося "pinta" і позначалося буквою "Р", а число десять називалося "deka" і позначалося буквою "Д". Нині цією нумерацією не користується ніхто. На відміну від неї римськанумерація збереглася та дійшла до наших днів. Хоча тепер римські цифри зустрічаються не так часто: на циферблатах годинника, для позначення розділів у книгах, століть, на старих будівлях і т.д. У римській нумерації є сім вузлових знаків: I, V, X, L, С, D, М.

Можна припустити, як ці знаки. Знак (1) – одиниця – це ієрогліф, який зображує I палець (кому), знак V – зображення руки (зап'ястя руки з відставленим) великим пальцем), а для числа 10 – зображення разом двох п'ятірок (X). Щоб записати числа II, III, IV, користуються тими самими знаками, відображаючи події з ними. Так, числа II та III повторюють одиницю відповідне числоразів. Для запису числа IV перед п'ятьма ставиться I. У цьому записі одиниця, поставлена перед п'ятіркою, віднімається з V, а одиниці, поставлені за V,

додаються до неї. І так само одиниця, записана перед десятьма (X), віднімається від десяти, а та, що стоїть праворуч, - додається до неї. Число 40 позначається XL. У цьому випадку від 50 забирається 10. Для запису числа 90 від 100 забирається 10 і записується ХС.

Римська нумерація дуже зручна для запису чисел, але майже придатна щодо обчислень. Жодних дій у письмовому вигляді(Розрахунки «стовпчиками» та інші прийоми обчислень) з римськими цифрами зробити практично неможливо. Це дуже великий недолік римської нумерації.

У деяких народів запис чисел здійснювався літерами алфавіту, якими користувалися у граматиці. Цей запис мав місце у слов'ян, євреїв, арабів, грузинів.

Алфавітнасистема нумерації вперше була використана у Греції. Найдавніший запис, зроблений за цією системою, відносять до середини V ст. до н.е. У всіх алфавітних системах від 1 до 9 числа позначали індивідуальними символами за допомогою відповідних букв алфавіту. У грецькій та слов'янській нумераціях над літерами, які позначали цифри, щоб відрізнити числа від звичайних слів, Ставилася рисочка «титло» (~). Наприклад, а, б,<Г и Т -Д-Все числа от 1 до 999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробы записать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям, которые можно рассматривать как зародыши позиционной системы. Так, для обозначения единиц тысяч использовались те же буквы, что и для единиц, но с черточкой слева внизу, например, @, q; і т.д.

Сліди алфавітної системи збереглися до нашого часу. Так часто літерами ми нумеруємо пункти доповідей, резолюцій і т.д. Однак алфавітний спосіб нумерації зберігся у нас лише для позначення порядкових числівників. Кількісні числа ми ніколи не позначаємо буквами, тим більше ніколи не оперуємо з числами, записаними в абетковій системі.

Стародавня російська нумерація також була абетковою. Слов'янське алфавітне позначення чисел виникло у X ст.

Зараз існує індійська системазапису чисел. Завезена вона до Європи арабами, тому й отримала назву арабськоюнумерації. Арабська нумерація поширилася у всьому світі, витіснивши всі інші записи чисел. У цій нумерації для запису чисел використовується 10 піктограм, які називаються цифрами. Дев'ять їх позначають числа від 1 до 9.

2 Замовлення 1391

Десятий значок – нуль (0) – означає відсутність певного розряду чисел. За допомогою цих десяти знаків можна записати які завгодно великі числа. До XVIII ст. на Русі письмові знаки, крім нуля, називалися знаменнями.

Отже, народи різних країн мали різну письмову нумерацію: ієрогліфічна - у єгиптян; клинописна - у вавилонян; геродіанова - у давніх греків, фінікійців; алфавітна - у греків та слов'ян; римська – у західних країнах Європи; арабська – на Близькому Сході. Слід сказати, що тепер майже всюди використовується арабська нумерація.

Аналізуючи системи запису чисел (нумерації), що мали місце в історії культур різних народів, можна дійти невтішного висновку у тому, що це письмові системи діляться на великі групи: позиційні і непозиційні системи числення.

До непозиційних систем числення належать: запис чисел ієрогліфами, алфавітний, римський ідеякі інші системи. Непозиційна система числення - це система запису чисел, коли зміст кожного символу залежить від місця, де він написан. Ці символи є вузловими числами, а алгорифмічні числа комбінуються з цих символів. Наприклад, число 33 у непозиційній римській нумерації записується так: XXXIII. Тут знаки X (десять) та I (одиниця) використовуються в записі числа кожен по три рази. Причому кожен раз цей знак позначає ту саму величину: X - десять одиниць, I - одиниця, незалежно від місця, на якому вони стоять у ряді інших знаків.

У позиційних системах кожен знак має різне значення залежно від того, на якому місці у записі числа він стоїть. Наприклад, серед 222 цифра «2» повторюється тричі, але перша цифра справа позначає дві одиниці, друга - два десятки, а третя - дві сотні. У цьому випадку ми маємо на увазі десяткову систему числення.Поруч із десятковою системою числення історія розвитку математики мали місце двійкова, п'ятирічна, двадцятирична та інших.

Позиційні системи числення зручні тим, що вони дозволяють записувати великі числа з допомогою порівняно невеликої кількості знаків. Важлива перевага позиційних систем – простота та легкість виконання арифметичних операцій над числами, записаними у цих системах.

Поява позиційних систем позначення чисел було одним із основних віх історія культури. Слід сказати, що це сталося невипадково, бо як закономірна щабель у культурному розвитку народів. Підтвердженням цього є самостійне виникнення позиційних систем урізних народів: у вавилонян – більш ніж за 2 тис. років до н.е.; у племен майя (центральна Америка) - на початку нової "ери; у індусів - в IV-VI ст. н.е.

Походження позиційного принципу насамперед слід пояснити появою мультиплікативної форми запису. Мультиплікативний запис – це запис за допомогою множення. До речі, цей запис з'явився одночасно з винаходом першого лічильника, який у слов'ян називався абак. Так, у мультиплікативному записі число 154 можна записати: 1хЮ 2+5х10+4. Як бачимо, у цьому записі відображається той факт, що при рахунку деякі кількості одиниць першого розряду, в даному випадку десять одиниць, беруться за одну одиницю наступного розряду, певна кількість одиниць другого розряду береться, у свою чергу, за одиницю третього розряду і т.д. буд. Це дозволяє зображення кількості одиниць різних розрядів використовувати одні й самі числові символи. Цей запис можлива за рахунку будь-яких елементів кінцевих множин.

У п'ятирічній системі рахунок здійснюється «п'ятами» – по п'ять. Так, африканські негри рахують на камінчиках або горіхах і складають їх у купи по п'ять предметів у кожній. П'ять таких куп вони об'єднують у нову купку і т.д. При цьому спочатку перераховують камінчики, потім купки, потім великі купи. При такому способі рахунку підкреслюється та обставина, що з купами камінців слід робити ті самі операції, що і з окремими камінцями. Техніку рахунку за цією системою ілюструє російський мандрівник Міклухо-Маклай. Так, характеризуючи процес перерахування товару тубільцями Нової Гвінеї, він пише, що щоб порахувати кількість смужок паперу, які позначали кількість днів до повернення корвету «Витязь», папуаси робили таке: перший, розкладаючи смужки паперу на колінах, при кожному відкладанні повторював «каре» (один), «каре» (два) і так до десяти, другий повторював це слово, але при цьому загинав пальці спочатку на одній, потім на іншій руці. Дорахувавши до десяти і загнувши пальці обох рук, папуас опускав обидва кулаки на коліна, промовляючи «ібен каре» – дві руки. Третій папуас у своїй загинав один палець на руці. З іншим десятком було

виконано те саме, причому третій папуас загинав другий палець, а для третього десятка - третій палець і т.д. Подібний рахунок був у інших народів. Для такого рахунку необхідні були не менш як три особи. Один рахував одиниці, інший – десятки, третій – сотні. Якщо ж замінити пальці тих, хто вважав, камінчиками, поміщеними в різні виїмки глиняної дошки або нанизаними на прутики, то вийшов би найпростіший лічильний прилад.

Згодом назви розрядів під час запису чисел почали пропускати. Однак для завершення позиційної системи бракувало останнього кроку – запровадження нуля. При порівняно невеликій основі рахунку, якою було число 10, і оперуванні порівняно великими числами, особливо після того, як назви розрядних одиниць почали пропускати, введення нуля стало просто необхідним. Символ нуля спочатку міг бути зображенням порожнього абакового жетона або видозміненої простої точки, яку могли поставити на місці пропущеного розряду. Так чи інакше, проте введення нуля було абсолютно неминучим етапом закономірного процесу розвитку, який і призвів до створення сучасної системи позицій.

В основі системи числення може бути будь-яке число, крім 1 (одиниці) та 0 (нуля). У Вавилоні, наприклад, було число 60. Якщо за основу системи числення береться велике число, запис числа буде дуже коротким, проте виконання арифметичних дій буде більш складним. Якщо ж, навпаки, взяти число 2 чи 3, то арифметичні дії виконуються дуже легко, але запис стане громіздкою. Можна було б замінити десяткову систему більш зручною, але перехід до неї був би пов'язаний з великими труднощами: перш за все довелося б передруковувати наново всі наукові книги, переробляти всі лічильні прилади та машини. Навряд чи така заміна була б доцільною. Десяткова система стала звичною, а отже, і зручною.

Вправи для самоперевірки

Послідовний ряд чисел визна-

алгорифмічних

операція

віднімання

Для запису чисел різні народи винаходили різні. Так до наших

днів дійшли такі види запису: ....... ,

геродіанова, ..., римська та ін.

І зараз люди іноді
користуються алфавітною і.., нумераціями, римської

найчастіше при позначенні порядкових числівників.

У суспільстві більшість
народів користується арабською (...) нумером. індуської

Письмові нумерації (системи) де
ляться на дві великі групи: позиціон
ні та... системи числення. непозиційні

§ 6. Рахункові прилади

Найдавнішими приладами для полегшення рахунку та обчислень були людська рука та камінці. Завдяки рахунку на пальцях виникли п'ятирічна та десятирічна (десяткова) системи числення. Правильно помічено вченим математиком М.Н.Лузіним, що «переваги десяткової системи не математичні, а зоологічні. Якби у нас на руках було не десять пальців, а вісім, то людство мало б восьмирічну систему».

У практичній діяльності при рахунку предметів люди використовували камінці, бирки з зарубками, мотузки з вузликами та ін Першим і більш удосконаленим пристроєм, спеціально призначеним для обчислень, був простий абак, з якого і почався розвиток обчислювальної техніки. Рахунок за допомогою абака, відомий вже в Китаї, Стародавньому Єгипті та Стародавній Греції задовго до нашої ери, проіснував багато тисячоліть, коли на зміну абаку прийшли письмові обчислення. При цьому слід зауважити, що абак служив не так для полегшення власне обчислень, як для запам'ятовування проміжних результатів.

Відомо кілька різновидів абака: грецький, який був виконаний у вигляді глиняної дощечки, на якій твердим предметом проводили лінії і в поглиблення (борозенки), що вийшли, клали камені. Ще більш простим був римський абак, на якому камінці могли пересуватися не жолобами, а просто лініями, нанесеними на дошці.

У Китаї схожий на абак прилад називали суан-пан, а Японії - соробан. Основою для цих приладів були кулі-

ки, нанизані на прутики; рахункові таблиці, що складаються з горизонтальних ліній, що відповідають одиницям, десяткам, сотням і т.д., і вертикальних, призначених для окремих доданків та співмножників. На ці лінії викладалися жетони – до чотирьох.

У наших предків теж був абак – російські рахунки. Вони з'явилися у XVI-XVII ст., ними користуються й у наші дні. Основна заслуга винахідників абака полягає у використанні позиційної системи числення.

Наступним важливим етапом у розвитку обчислювальної техніки було створення підсумовувальних машин та арифмометрів. Такі машини були сконструйовані незалежно один від одного різними винахідниками.

У рукописах італійського вченого Леонардо да Вінчі (1452-1519) є ескіз 13-розрядного підсумовування. Німецьким ученим В.Шикардом (1592-1636) було розроблено 6-розрядний ескіз, а сама машина була побудована приблизно 1623 року. Слід зазначити, що ці винаходи стали відомі лише в середині XX ст., тому ніякого впливу на розвиток обчислювальної техніки вони не надали. Вважалося, що першу підсумовуючу машину (8-розрядну) сконструював у 1641 році, а побудував у 1645 році Б.Паскаль. За цим проектом було налагоджено їхнє серійне виробництво. Декілька екземплярів цих машин збереглося до наших днів. Перевагою їх було те, що вони дозволяли виконувати всі чотири арифметичні дії: додавання, віднімання, множення та поділ.

Під терміном «обчислювальна техніка» розуміють сукупність технічних систем, тобто. обчислювальних машин, математичних засобів, методів та прийомів, що використовуються для полегшення та прискорення вирішення трудомістких завдань, пов'язаних з обробкою інформації (обчисленнями), а також галузь техніки, що займається розробкою та експлуатацією обчислювальних машин. Основні функціональні елементи сучасних обчислювальних машин або комп'ютерів виконані на електронних приладах, тому їх називають електронними обчислювальними машинами - ЕОМ. За способом подання інформації обчислювальні машини ділять на три групи;

Аналогові обчислювальні машини (АВМ), у яких інформація постає у вигляді змінних, що безперервно змінюються, виражених будь-якими фізичними величинами;

Цифрові обчислювальні машини (ЦВМ), у яких
інформація подається у вигляді дискретних значень пе
ремінних (чисел), виражених комбінацією дискретних знань
чень будь-якої фізичної величини (цифри);

Гібридні обчислювальні машини (ГВМ), в кото
рих використовуються обидва способи подання інформації.

Перший аналоговий обчислювальний пристрій з'явився XVII в. То була логарифмічна лінійка.

У XVIII-XIX ст. продовжувалося вдосконалення механічних арифмометрів з електричним приводом. Це вдосконалення мало суто механічний характер і з переходом на електроніку втратило своє значення. Виняток становлять лише машини англійського вченого Ч.Бе-біджа: різницеві (1822) та аналітичні (1830).

Різнисна машина призначалася для табулювання багаточленів і з сучасної точки зору була спеціалізованою обчислювальною машиною з фіксованою (жорсткою) програмою. Машина мала пам'ять - кілька регістрів для зберігання чисел. За виконання заданого числа кроків обчислень спрацьовував лічильник числа операцій - лунав дзвінок. Результати виводилися на друк - принтер. Причому за часом ця операція поєднувалася з обчисленнями.

Працюючи над різницевою машиною Бебідж дійшов ідеї створення цифрової обчислювальної машини до виконання різноманітних наукових і технічних розрахунків. Працюючи автоматично, ця машина виконувала задану програму. Автор назвав цю машину аналітичною. Ця машина - прообраз сучасних ЕОМ. Аналітична машина Бебіджа включала наступні пристрої:

Для зберігання цифрової інформації (тепер це назва
ється запам'ятовуючим пристроєм);

Для виконання операцій над числами (тепер це
арифметичний пристрій);

Пристрій, для якого Бебідж не вигадав назву
ня і яке керувало послідовністю дій ма
шини (зараз це пристрій управління);

Для введення та виведення інформації.

Як носії інформації при введенні та виведенні Бебідж передбачав використовувати перфоровані картки (перфокарти) типу тих, що застосовуються в управлінні ткацьким верстатом. Бебідж передбачив уведення в машину таблиць значень функцій з контролем. Вихідна інформація могла друкуватись, а також пробиватися на перфокартах,

що давало можливість у разі потреби знову вводити її в машину.

Таким чином, аналітична машина Бебіджа була першою у світі програмно-керованою обчислювальною машиною. Для цієї машини було складено і перші у світі програми. Першим програмістом була дочка англійського поета Байрона – Августа Ада Лавлейс (1815–1852). На її честь одна із сучасних мов профамування називається «Ада».

Першою електронно-обчислювальною машиною прийнято вважати машину, розроблену в Пенсинвальському університеті США. Ця машина ЕНІАК була збудована у 1945 році, мала автоматичне програмне управління. Недоліком цієї машини була відсутність пристрою для зберігання команд.

Першою ЕОМ, що має всі компоненти сучасних машин, була англійська машина ЕДСАК, побудована в 1949 році в Кембриджському університеті. У пристрої цієї машини розміщуються числа (записані в двійковому коді) і сама програма. Завдяки числовій формі запису команд програми машина може здійснювати різні операції.

Під керівництвом С.А.Лебедєва (1902-1974) розробили перша вітчизняна ЕОМ (електронна обчислювальна машина). МЕСМ виконувала лише 12 команд, номінальна швидкість дій - 50 операцій на секунду. Оперативна пам'ять МЕСМ могла зберігати 31 сімнадцятирозрядне двійкове число та 64 двадцятирозрядні команди. Крім цього, були зовнішні запам'ятовуючі пристрої. У 1966 році під керівництвом цього ж конструктора була розроблена велика електронно-лічильна машина (БЕСМ).

Електронно-обчислювальні машини використовують різні мови програмування – це система позначень для опису даних інформації та програм (алгоритмів).

Профама машинною мовою має вигляд таблиці з цифр, кожен її рядок відповідає одному оператору - машинній команді. У цьому команді, наприклад, перші кілька цифр є кодом операції, тобто. вказують машині, що треба робити (складати, множити і т.д.), інші цифри вказують, де у пам'яті машини перебувають потрібні числа (доданки, сомножители) і слід запам'ятати результат операцій (суму творів тощо.) .

Мова програмування задається трьома компонентами: алфавітом, синтаксисом та семантикою.

Більшість мов програмування (БЕЙСІК, ФОРТРАН, ПАСКАЛЬ, ПЕКЛА, КОБОЛ, ЛИСП), розроблених до теперішнього часу, є послідовними. Профами, написані ними, є послідовність наказів (інструкцій). Вони послідовно один за одним обробляються на машині за допомогою так званих трансляторів.

Продуктивність обчислювальних машин підвищуватиметься за рахунок паралельного (одночасного) виконання операцій, тоді як більшість існуючих мов програмування розраховано на послідовне виконання операцій. Тому майбутнє, мабуть, за такими мовами програмування, які дозволять описувати завдання, а не послідовність виконання операторів.

Вправи для самоперевірки

Розвиток... приладів в історії мате- рахункових
матики відбувалося поступово. Від іс
користування частин власного тіла - пальці руки
... - до використання різних спеці- абак
ально створюваних пристроїв: ... ліній- логарифмічна
ка, рахунки, ... , аналітична машина та обчислювальна
електронно-... машина.

Програмами для... машин є електронно-обчисли-

таблиці цифр. тільних

Компонентами мов програмування
ня є алфавіт, ... та семантика. синтаксис

§ 7. Становлення, сучасний стан та перспективи

розвинена методика навчання елементам математики дітей

дошкільного віку

Питання математичного розвитку дітей дошкільного віку своїм корінням сягають у класичну і народну педагогіку. Різні лічилки, прислів'я, приказки, загадки, потішки були хорошим матеріалом у навчанні дітей рахунку, дозволяли сформувати у дитини поняття про числа, форму, величину, простір і час. Наприклад,

Цьому дала, Цьому дала І цьому дала, А цьому не дала:

Ти води не носив, Дрова не рубав, Кашу не варив - Нема тобі нічого.

Перша друкована навчальна книжка І.Федорова «Буквар» (1574 р.) включала думки необхідність навчання дітей рахунку у процесі різних вправ. Питання змісту методів навчання математики дітей дошкільного віку та формування у них знань про розмір, вимір, час і простір можна знайти в педагогічних працях Я.А. Коменського, М.Г.Песталоцці, К.Д.Ушинського, Ф.Фребеля, Л.Н.Толстого та інших.

Так, Я.А.Коменський (1592-1670) у книзі «Материнська школа» рекомендує ще до школи навчати дитину рахунку в межах двадцяти, вмінню розрізняти числа більші-менші, парні-непарні, порівнювати предмети за величиною, впізнавати та називати деякі геометричні фігури, користуватися в практичній діяльності одиницями виміру: дюйм, п'ядь, крок, фунт та ін.

У класичних системах сенсорного навчання Ф.Фребеля (1782-1852) та М.Монтессорі (1870-1952) представлено методику ознайомлення дітей з геометричними фігурами, величинами, виміром та рахунком. Створені Фребелем «дарунки» і в даний час використовуються як дидактичний матеріал для ознайомлення дітей з числом, формою, величиною та просторовими відносинами.

Про значення навчання дітей рахунку до школи неодноразово писав К.Д.Ушинський (1824-1871). Він вважав за важливе навчити дитину вважати окремі предмети та їх групи, виконувати дії додавання та віднімання, формувати поняття про десяток як одиницю рахунку. Проте це було лише побажаннями, які мають жодного наукового обгрунтування.

Особливого значення питання методики математичного розвитку набувають у педагогічній літературі початкової школи межі XIX-XX ст. Авторами методичних рекомендацій тоді були передові вчителі та методисти. Досвід практичних працівників не завжди був науково обґрунтований.

ним, зате був перевірений на практиці. Згодом він удосконалився, сильніше і повніше у ньому виявилася прогресивна педагогічна думка. Наприкінці XIX – на початку XX століття у методистів виникла потреба у розробці наукового фундаменту методики арифметики. Значний внесок у розробку методики зробили передові російські вчителі та методисти П.С.Гур'єв, А.І.Гольденберг, Д.Ф.Єгоров, ВАЄвтушевський, ДД.Галанін та інші.

Перші методичні посібники з методики навчання дошкільнят рахунку, як правило, були адресовані одночасно вчителям, батькам та вихователям. На основі досвіду практичної роботи з дітьми В.А.Кемніц видала методичний посібник «Математика в дитсадку» (Київ, 1912), де основними методами роботи з дітьми пропонуються бесіди, ігри, практичні вправи. Автор вважає за необхідне знайомити дітей з такими поняттями, як: один, багато, кілька, пара, більше, менше, стільки ж, порівну, рівний, такий самийта ін Основним завданням є вивчення чисел від 1 до 10, причому кожне число розглядається окремо. Одночасно діти засвоюють події над цими числами. Широко використовується наочний матеріал.

У ході розмов і занять діти отримують знання про форму, простір і час, про поділ цілого на частини, про величини та їх вимір.

Питання про методи, зміст навчання дітей рахунку та математичний розвиток в цілому, які могли б стати основою для успішного подальшого навчання їх у школі, особливо гостро дебатувалися у дошкільній педагогіці з моменту створення широкої мережі суспільного дошкільного виховання.

Найбільш крайня позиція зводилася до заборони будь-якого цілеспрямованого навчання математики. Найбільш чітко вона відображена у роботах К.ФЛебединцева. У книзі «Розвиток числових вистав у ранньому дитинстві» (Київ, 1923) автор дійшов висновку, що перші уявлення про числа в межах 5 виникають у дітей на основі розрізнення груп предметів, сприйняття множин. А далі, поза цих невеликих сукупностей, основна роль формуванні поняття числа належить рахунку, який витісняє симультанне (цілісне) сприйняття множин. При цьому він вважав бажаним, щоб дитина здобувала знання в цей період «непомітно», самостійно. Такого висновку К.Ф.Лебединцев дійшов основі спостережень за засвоєнням дітьми перших числових уявлень і оволодінням ними

рахунком. Діти насправді дуже рано починають виділяти деякі невеликі групи однорідних предметів і, наслідуючи дорослих, називати це числом. Але ці знання ще неглибокі, мало свідомі. Вміння дітей називати числа не завжди є об'єктивним показником математичних здібностей. І все-таки в 20-ті роки багато методистів, вихователів прийняли думку К.Ф.Лебединце-ва. На їхню думку, числові уявлення виникають у дитини головним чином завдяки цілісному сприйняттю невеликих груп однорідних предметів, що знаходяться в навколишньому середовищі (руки, ноги, ніжки столу, колеса машини і т.д.). На цій підставі вважалося необов'язковим навчати дітей рахунку.

Проте передові педагоги-«дошкільнята» у 20-30-ті роки (Є.І.Тихєєва, Л.К.Шлегер та ін.) зазначали, що процес формування числових уявлень у дітей дуже складний, і тому необхідно цілеспрямовано навчати їхньому рахунку. Основним способом навчання дітей рахунку визнавалася гра. Так, автори книги «Живі числа, живі думки та руки за роботою» (Київ, 1920) Є.Горбунов-Пасадов та І.Цунзер писали, що у свою діяльність - гру дитина намагається впровадити те, що їй цікаво на даний момент. Тому ознайомлення з елементами математики має ґрунтуватися на активній діяльності дитини. Вважалося, що граючи, діти краще засвоюють рахунок, краще знайомляться з числами та діями над ними.

Більшість педагогів 20-30-х років негативно ставилися до необхідності створення програм дитячого садка, до цілеспрямованого навчання. Зокрема, Л.К.Шлегер стверджувала, що мають вільно вибирати собі заняття, за власним бажанням, тобто. кожен може робити те, що він задумав, вибирати відповідний матеріал, ставити собі цілі та досягати їх. Ця програма, на її думку, має спиратися на природні нахили та прагнення дітей. Роль вихователя полягала лише у створенні умов, сприяють самонавчання дітей. Л.К.Шлегер вважала, що рахунок слід поєднувати з різними видами діяльності дитини, а вихователь повинен використовувати різні моменти життя дітей для вправ їх у рахунку.

AFTER-POSTMODERNISM - сучасна (пізня) версія розвитку постмодерної філософії-на відміну від постмодерної класики деконструктивізму 2 сторінка

Квиток 19

Питання 1. Методика навчання усної та письмової нумерації чисел у межах 1000.

I. Усна нумерація

Завдання:

1) Введення нової лічильної одиниці сотні;

2) Введення нових розрядних чисел;

3) Введення нерозрядних трицифрових чисел:

Шляхом зарахування 1;

Шляхом освіти із сотень, десятків та одиниць;

4) Встановлення загального числа одиниць будь-якого розряду у всьому числі.

Введення нової лічильної одиниці сотні:

За допомогою паличок чи моделей розрядних одиниць під керівництвом вчителя діти повторюють відомі розрядні одиниці, а потім пов'язують по 10 десятків у пучок та слухають її назву – сотня. Далі ведеться рахунок сотнями (1 сотня, 2 сотні… 10 сотень чи тисяча). На дошці з'являється запис та малюнки розрядних одиниць

1 од 1 см
10 од. = 1 дес. 10 см = 1 дм

10 дес. = 1 сот. 10 дм = 1 м

Далі корисно з дітьми зіставити одиниці рахунку – розрядні одиниці з мірами довжини та запровадити стрічку тисячі. У ролі простої одиниці на стрічці виступає 1 см, у ролі десятка – 1 дм, у ролі сотні – 1 м. По стрічці можна повторити рахунок сотень і відзначити на стрічці сотні прапорцями чи яскравими стрічками.

Введення нових розрядних чисел (чисел третього розряду – круглих сотень), їх освіту та назву, знайомство з новими чисельними: сто, двісті…дев'ятсот, тисяча.

Наочність:моделі розрядних одиниць (великі квадрати) та стрічка 1000.

Введення нерозрядних трицифрових чисел:

а) Шляхом обчислення по 1 до попереднього, вихід за 100: 100 і 1-101.

б) Шляхом освіти із сотень, десятків та одиниць. Тут же виконується зворотне завдання – розкласти числа на розрядні доданки, з'ясування десяткового складу числа.

ІІ. Письмова нумерація

Завдання:

1) Позначення чисел цифрами у таблиці розрядів. З'ясування помісного значення цифр;

2) Читання та запис чисел, записані поза таблицею;

3) Закріплення знань нумерації.

1. Позначення чисел цифрами у таблиці розрядів. Навчання читання чисел за допомогою нумераційної таблиці.Наочність: нумераційна таблиця, вертикальні та горизонтальні рахунки.

У результаті спостережень цьому етапі дітей підводять до висновку, що сотні – одиниці третього розряду, пишеться у числі третьому місці, вважаючи праворуч наліво. Тут же вводиться поняття тризначного числа і що нуль означає відсутність одиниць будь-якого розряду.

2. Читання трицифрових чисел, записаних поза таблицею та їх запис на основі знань помісного значення цифр.

Види вправ:

1) З цих чисел записати лише ті, у яких цифра 7 позначає дес, од, сот.

2) За допомогою цифр 3, 0, 1 записати всі трицифрові числа (цифри в числі не повторюється)

3) Що означає цифра 0 у записах цих чисел?

3. Закріплення знань нумерації:

а) У процесі вивчення письмової нумерації продовжується робота з засвоєння десяткового складу чисел. Для цього він тепер використовуються картки з розрядними числами. (Накладенням утворюються числа та навпаки)

б) Ведеться також робота і з засвоєння натурального слідування, але тепер використовують і письмові упр: запис попереднього та наступного; додай 1, відніми 1; заповни проміжок – записати числа від … до …

в) Виявлення найбільшого та найменшого серед однозначних, двозначних та трицифрових чисел.

Звернути знімання, що найменше записується 1 і нулями, а найбільше десятками.

г) При вивченні нумерації діти вчаться визначати загальну кількість одиниць будь-якого розряду у всьому числі, а не лише у відповідному розряді.

Наочність: моделі розрядних одиниць.

Мета будь-якої нумерації – зображення будь-якого натурального числа за допомогою невеликої кількості індивідуальних знаків. Цього можна було досягти з допомогою одного знака- 1 (одиниці). Кожне натуральне число записувалося б повторенням символу одиниці стільки разів, скільки в цьому числі вміщається одиниць. Додавання зводилося б до простого приписування одиниць, а віднімання - до викреслювання (витирання) їх. Ідея, що лежить в основі такої системи, проста, проте ця система дуже незручна. рахунок не виходить за межі одного-двох десятків.

З розвитком людського суспільства збільшуються знання людей і все більше стає потреба рахувати і записувати результати рахунку досить великих множин, вимірювання великих величин.

У первісних людей був писемності, був ні літер, ні цифр, кожну річ, кожну дію зображували малюнком. Це були реальні малюнки, що відображають ту чи іншу кількість. Поступово вони спрощувалися, ставали все більш зручними для запису. Йдеться про запис чисел ієрогліфами. числа. Однак для подальшого вдосконалення рахунку було необхідно перейти до більш зручного запису, який дозволяв би позначати числа спеціальними, зручнішими знаками (цифрами). Походження цифр у кожного народу різне.

Перші цифри зустрічаються більш ніж за 2 тис. років до н.е. у Вавилоні. клинописом.Клиночки розміщувалися і горизонтально, і вертикально в залежності від їх значення.

Деякі народи для запису чисел використовували літери. Замість цифр писали початкові літери слів-лічильних. Така нумерація, наприклад, була у древніх греків. геродіанованумерація. Так, у цій нумерації число «п'ять» називалося «pinta» і позначалося буквою «Р», а число десять називалося «deka» і позначалося буквою «Д». В даний час цією нумерацією не користується ніхто. На відміну від неї римськанумерація збереглася і дійшла до наших днів. У римській нумерації є сім вузлових знаків: I, V, X, L, С, D, М.

Можна припустити, як ці знаки. Знак(1)- одиниця - це ієрогліф, який зображуєIпалець(каму), знак V-зображення руки (зап'ястя руки з відставленим великим пальцем),а для числа 10-зображення разом двох п'ятірок(X).Щоб записати числа II,III, IV, користуються тими самими знаками, відображаючи дії з ними. Так, числа II і III повторюють одиницю відповідне число разів. Для запису числа IV перед п'ятьма ставиться I. У цьому записі одиниця, поставлена перед п'ятіркою, віднімається з V, а одиниці, поставлені за V,

додаються до неї. І так само одиниця, записана перед десятьма (X), віднімається від десяти, а та, що стоїть справа, - додається до неї. Число 40 позначається XL. У цьому випадку від 50 віднімається10. Для запису числа 90 від 100 віднімається 10 і записується ХС.

Римська нумерація дуже зручна для запису чисел, але майже не придатна для проведення обчислень. Ніяких дій в письмовому вигляді (розрахунки «стовпчиками» та інші прийоми обчислень) з римськими цифрами зробити практично неможливо. Це дуже великий недостатокримської нумерації.

У деяких народів запис чисел здійснювався буквами алфавіту, якими користувалися в граматиці. Цей запис мав місце у слов'ян, євреїв, арабів, грузинів.

Алфавітнасистема нумерації вперше була використана у Греції. Найдавніший запис, зроблений за цією системою, відносять до середини V ст. до н.е. У всіх алфавітних системах числа від 1 до 9 позначали індивідуальними символами за допомогою відповідних літер алфавіту. Наприклад, а,б,<Г иТ -Д-Все числа от 1 до999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробызаписать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям,которые можно рассматривать как зародышипозиционной системы. Так,для обозначения единиц тысячиспользовались те же буквы,что и для единиц,но с черточкой слева внизу,например, @ , q; і т.д.

Сліди алфавітної системи збереглися до нашого часу. Так, часто літерами ми нумеруємо пункти доповідей, резолюцій тощо. Однак алфавітний спосіб нумерації зберігся у нас тільки для позначення порядкових числівників. Кількісні числа ми ніколи не позначаємо буквами, тим більше ніколи не оперуємо з числами, записаними в алфавітній системі.

Старовинна російська нумерація також була алфавітною. Слов'янське алфавітне позначення чисел виникло в X ст.

Зараз існує індійська системазапису чисел. Завезена вона до Європи арабами, тому й отримала назву арабськоюнумерації. Арабська нумерація поширилася по всьому світу, витіснивши всі інші записи чисел. Дев'ять їх позначають числа від 1 до9.

2 Замовлення1391

Десятий значок - нуль (0) - означає відсутність певного розряду чисел. За допомогою цих десяти знаків можна записати які завгодно великі числа. До XVIII ст. на Русі письмові знаки, крім нуля, називалися знаменнями.

Отже, у народів різних країн була різна письмова нумерація: ієрогліфічна – у єгиптян; клинописна – у вавилонян; геродіанова – у стародавніх греків, фінікійців; римська - в західних країнах Європи; арабська - на Близькому Сході. Слід сказати, що тепер майже скрізь використовується арабська нумерація.

Аналізуючи системи запису чисел (нумерації), які мали місце історії культур різних народів, можна дійти невтішного висновку у тому, що це письмові системи діляться на великі групи: позиційні і непозиційні системи числення.

До непозиційних систем числення належать: запис чисел ієрогліфами, алфавітна, римська ідеякі інші системи. Непозиційна система числення - це така система запису чисел, коли зміст кожного символу не залежить від місця, на якому він написаний. Ці символи є ніби вузловими числами, а алгорифмічні числа комбінуються з цих символів. записується так: XXXIII. Тут знаки X (десять) та I (одиниця) використовуються в записі числа кожен по три рази. Причому кожен раз цей знак позначає ту саму величину: X-десят одиниць, I- одиниця, незалежно від місця, на якому вони стоять у ряді інших знаків.

У позиційних системах кожен знак має різне значення в залежності від того, на якому місці в записі числа він стоїть. дві сотні. У цьому випадку ми маємо на увазі десяткову систему числення.Поруч із десятковою системою числення історія розвитку математики мали місце двійкова, п'ятирічна, двадцятирична та інших.

Позиційні системи числення зручні тим, що вони дають можливість записувати великі числа за допомогою порівняно невеликої кількості знаків. Важлива перевага позиційних систем – простота та легкість виконання арифметичних операцій над числами, записаними у цих системах.

Поява позиційних систем позначення чисел було одним із основних віх історія культури. Слід сказати, що це сталося не випадково, а як закономірний ступінь у культурному розвитку народів. Підтвердженням цього є самостійне виникнення позиційних систем урізних народів: у вавилонян - більш ніж за 2 тис. років до н.е.; у племен майя (центральна Америка) - на початку нової "ери; у індусів - в IV-VI ст. н.е.

Походження позиційного принципу насамперед слід пояснити появою мультиплікативної форми записи. Мультиплікативний запис - це запис за допомогою множення. Так, у мультиплікативному записі число 154 можна записати: 1хЮ 2 +5х10 +4. Як бачимо, в цьому записі відображається той факт, що при рахунку деякі кількості одиниць першого розряду, в даному випадку десять одиниць, беруться за одну одиницю наступного розряду, певна кількість одиниць другого розряду береться, своєю чергою, за одиницю третього розряду тощо. Це дозволяє зображення кількості одиниць різних розрядів використовувати одні й самі числові символи. Цей запис можлива за рахунку будь-яких елементів кінцевих множин.

У п'ятирічній системі рахунок здійснюється «п'ятами» - по п'ять. Так, африканські негри рахують на камінчиках або горіхах і складають їх у купи по п'ять предметів у кожній. П'ять таких куп вони об'єднують у нову купку і т.д. При цьому спочатку перераховують камінці, потім купки, потім великі купи. При такому способі рахунку підкреслюється та обставина, що з купами камінців слід робити ті самі операції, що і з окремими камінчиками. Техніку рахунку по цій системі ілюструє російський мандрівник Міклухо-Маклай. щоб порахувати кількість смужок паперу, які позначали кількість днів до повернення корвета «Витязь», папуаси робили таке: перший, розкладаючи смужки паперу на колінах, при кожному відкладанні повторював «каре» (один), «каре» (два) і так до десяти, другий повторював те саме слово, але при цьому загинав пальці спочатку на одній, потім на іншій руці. Дорахувавши до десяти і загнувши пальці обох рук, папуас опускав обидва кулаки на коліна, промовляючи «ібен каре» - дві руки. Третій папуас при цьому загинав один палець на руці. З іншим десятком було

виконано те саме, причому третій папуас загинав другий палець, а для третього десятка-третій палець і т.д. Подібний рахунок мав місце і в інших народів. Для такого рахунку необхідні були не менше ніж три людини. на прутики, то вийшов би найпростіший лічильний прилад.

Згодом назви розрядів під час запису чисел почали пропускати. Проте завершення позиційної системи бракувало останнього кроку - запровадження нуля. При порівняно невеликій основі рахунку, якою було число 10, і оперуванні порівняно великими числами, особливо після того як назви розрядних одиниць почали пропускати, введення нуля стало просто необхідним. місце пропущеного розряду. Так чи інакше, проте введення нуля було абсолютно неминучим етапом закономірного процесу розвитку, який і призвів до створення сучасної системи позицій.

В основі системи числення може бути будь-яке число, крім1 (одиниці) та 0 (нуля). У Вавилоні, наприклад, було число 60. Якщо за основу системи числення береться велике число, то запис числа буде дуже коротким, проте виконання арифметичних дій буде більш складним. Якщо ж, навпаки, взяти число 2 або 3, то арифметичні дії виконуються дуже легко, але можна було б замінити десяткову систему на більш зручну, але перехід до неї був би пов'язаний з великими труднощами: насамперед довелося б передруковувати наново всі наукові книги, переробляти всі рахункові прилади та машини. Навряд чи така заміна була б доцільною . Десяткова система стала звичною, отже, і зручною.

Вправи для самоперевірки

Послідовний ряд чисел визна-

лявся поступово. Основну роль у створенні... чисел відігравала... додавання. Крім того, використовувалися..., а також множення.

алгорифмічних

операція

віднімання

знаки

клинопис ієрогліфи алфавітний

Для запису чисел різні народи винаходили різні. Так, до наших

днів дійшли такі види запису: ,

геродіанова, ..., римська та ін.

І в даний час люди іноді користуються алфавітною і.., нумераціями, римської

найчастіше при позначенні порядковихчислових.

У суспільстві більшість народів користується арабської (...)нумера- індуської

Письмові нумерації (системи) поділяються на дві великі групи: позиційні та... системи числення. непозиційні

Зображення будь-якого натурального числа можливе за допомогою невеликої кількості індивідуальних знаків. Цього можна було б досягти за допомогою одного знака – 1 (одиниці). Кожне натуральне число записувалося б повторенням символу одиниці стільки разів, скільки в цьому числі вміщається одиниць. Додавання зводилося б до простого приписування одиниць, а віднімання - до викреслювання (витирання) їх. Ідея, що лежить в основі такої системи, проста, проте ця система дуже незручна. Для запису великих чисел вона практично не придатна, і нею користуються лише народи, у яких рахунок не виходить за межі одного-двох десятків.

З розвитком людського суспільства збільшуються знання людей і все більше стає потреба рахувати та записувати результати рахунку досить великих множин, виміру великих величин.

У первісних людей був писемності, був ні літер, ні цифр, кожну річ, кожну дію зображували малюнком. Це були реальні малюнки, що відображають ту чи іншу кількість. Поступово вони спрощувалися, ставали дедалі зручнішими для запису. Йдеться про запис чисел ієрогліфами. Однак для подальшого вдосконалення рахунку було необхідно перейти до зручнішого запису, який дозволяв би позначати числа спеціальними, зручнішими знаками (цифрами). Походження цифр у кожного народу різне.

Перші цифри зустрічаються більш як за 2 тис. років до н.е. у Вавилоні. Вавилонці писали паличками на плитах з м'якої глини і потім свої записи висушували.

Деякі народи для запису чисел використовували літери. Замість цифр писали початкові літери слів-числових. Така нумерація, наприклад, мала древні греки. Так, у цій нумерації число "п'ять" називалося "pinta" і позначалося буквою "Р". Нині цією нумерацією не користується ніхто. На відміну від неї римськанумерація збереглася та дійшла до наших днів. Хоча тепер римські цифри зустрічаються не так часто: на циферблатах годинника, для позначення розділів у книгах, століть, на старих будівлях і т.д. У римській нумерації є сім вузлових знаків: I, V, X, L, С, D, М.

Алфавітнасистема нумерації вперше була використана у Греції. Наприклад, а Б Ві т.д.

Стародавня російська нумерація також була абетковою. Слов'янське алфавітне позначення чисел виникло у X ст.

Ольга Перькова
Види письмової нумерації (презентація)

Види письмової нумерації.

Розвиток рахунку почався в той час, коли людині стали знайомі такі форми виробництва, як мисливство та рибальство. Стало необхідним виготовляти знаряддя для оволодіння цими виробництвами. А перемістившись до холодних країн, люди почали виготовляти такі предмети знарядь праці, якими легко можна було обробити міцну шкіру.

Пальцевий рахунок.

Рахунок почав розвиватися швидше з того часу, коли люди здогадалися звернутися до своїх пальців. Саме вони стали тим простим і водночас унікальним «апаратом», який започаткував подальший розвиток нумерації письмової.

Існував, звичайно, і словесний рахунок, але він став активним лише після того, як розвинулося сільське господарство.

Згодом багато народів стали вигадувати найменуванням різні слова, які й закріпилися за числами. Наприклад, якщо необхідно було позначити число один, його позначали як «ніс». «рот», «голова» (Тим, що є у людини в одній кількості). Відповідно, за числом два закріпилися слова «очі», «руки», «ноги»і т.д.

Пальцевий рахунок поступово призвів до того, що рахунок став упорядковуватися, а людина відповідно словесно спрощувала числа. Припустимо, вираз, який відповідав числу 13 – «десять пальців на обох ногах та три пальці на одній руці»- спрощувалося в "палець на руці"; для вираження числа 26 замість слів «десять пальців на обох ногах, десять пальців на обох руках і три пальці на нозі іншої людини» говорилося інакше: «три пальці іншої людини».

Поява систем числення

Перехід людини до пальцевого рахунку призвів до створення різних систем числення.

Найдавнішою з пальцевих систем числення вважається п'ятирічна. Ця система зародилася і набула поширення в Америці.

Подальший розвиток систем числення пішов двома шляхами. Племена, що не зупинилися на рахунку на пальцях на одній руці, перейшли до рахунку на пальцях другої руки і далі - на пальцях ніг.

Природною одиницею вищого розряду у разі виникнення двадцятеричної системи з'явився "людина"як володар 20 пальців. У цій системі 40 виражається як "дві людини", 80 – "чотири людини"і т.п.

Так поступово людство створювало свої методи рахунку та досягло моменту, коли з'явився той метод, яким і користується сучасна математика.

Нумерація на Русі.

Першим російським пам'ятником математичного змісту до нашого часу вважається рукописне твір новгородського ченця Кирика, написане їм 1136 р.

До XVI ст. відноситься винахід чудового рахункового приладу, який згодом отримав назву «російські рахунки»

Письмовасистема числення зазнала безліч змін

у міру розвитку та становлення людського суспільства, при плавному переході від стародавньої людини до сучасної особистості.