Види письмової нумерації системи числення коротко. II

Метою будь-якої нумерації є зображення будь-якого натурального числа за допомогою невеликої кількості індивідуальних знаків. Цього можна було б досягти за допомогою одного знака – 1 (одиниці). кожне натуральне числотоді записувалося б повторенням символу одиниці стільки разів, скільки у тому числі вміщається одиниць. Додавання зводилося б до простого приписування одиниць, а віднімання - до викреслювання (витирання) їх. Ідея, яка є основою такої системи, проста, проте ця система дуже незручна. Для запису великих чисел вона практично непридатна, і нею користуються лише народи, рахунок яких не виходить за межі одного-двох десятків.

З розвитком людського суспільствазбільшуються знання людей і дедалі значнішою стає потреба у рахунку та запису результатів рахунку досить великих множин, у вимірі великих величин.

У первісних людейне було писемності, не було ні літер, ні цифр; кожну річ, кожну дію зображували малюнком. Це були реальні малюнки, які відображали ту чи іншу кількість. Поступово вони спрощувалися, ставали дедалі зручнішими для запису. Мова йдепро запис чисел ієрогліфами. Ієрогліфи стародавніх єгиптян свідчать про те, що мистецтво рахунку було розвинене у них досить високо, за допомогою ієрогліфів зображувалися великі числа. Однак для подальшого вдосконаленнярахунки було необхідно перейти до більш зручного запису, який дозволяв би позначати числа спеціальними, зручнішими знаками (цифрами). Походження цифр у кожного народу різне.

Перші цифри зустрічаються за 2 тис. років до зв. е. у Вавилоні. Вавилонці писали паличками на плитах з м'якої глини і потім свої записи висушували. Писемність давніх вавилонян називалася клинописом. Клиночки розміщувалися і горизонтально, і вертикально, залежно від значення. Вертикальні клинки позначали одиниці, а горизонтальні - звані «десятки» - одиниці другого розряду.

Тема: Вивчення нумерації чисел.

План :

1. Мета та освітні завданнявивчення нумерації

2. Послідовність вивчення нумерації цілих невід'ємних чисел.

3. Методика вивчення нумерації.

Основні теоретичні положенняцього розділу.

У початковому курсіматематики під нумерацією розуміють сукупність прийомів позначення та найменування натуральних чисел .

Розрізняють усну та письмову нумерацію.

Усна нумерація- Сукупність правил, що дають можливість за допомогою небагатьох слів складати назви для багатьох чисел. У результаті вивчення усної нумерації необхідно розкрити правила рахунки, читання, освіти чисел; знати цифри від 0 до 9, слова – числівники – сорок, дев'яносто, сто, тисяча, мільйон, мільярд.

Правила утворення назв та читання чисел.

1. Назви чисел від 10 до 20 утворюються з використанням назв, прийнятих для перших десяти чисел, але має свою особливість – під час читання спочатку називається нижній розряд, потім інші. (одинадцять дванадцять).

2. Інші назви чисел утворюються за принципом порозрядності; Читання чисел починається з одиниць вищого розряду.

3. При освіті та читанні багатозначних чисел дотримується принцип читання за класами.

Письмова нумерація - Це сукупність правил, що дають можливість за допомогою небагатьох знаків позначати будь-які числа. У результаті вивчення письмової нумерації вводиться поняття «цифри». Проводиться цілеспрямована систематична робота з розрізнення понять «число» та «цифра». Вводяться знаки (цифри) позначення перших дев'яти чисел. Запис усіх інших чисел виконується з використанням тих самих десяти цифр (від 0 до 9), але за допомогою двох або більше цифр, значення яких залежить від місця, яке займає цифра в записі числа (тобто помісне значення цифри або позиційний принцип запису чисел).

Усна та письмова нумерація чисел спирається на знання десяткової системи числення.

Основні поняття десяткової системи числення:

1. Рахункова одиниця – те, що беремо за основу рахунку. Кожна наступна рахункова одиниця більша за попередню в 10 разів (один десяток в 10 разів більше однієї одиниці; одна сотня в 10 разів більше одного десятка і т.д.).

2. Розряд – місце цифри у записі числа.

3. Одиниці I, II, III розряду і т. д.- одиниці, що стоять на першому (одиниці), другому (десятки), третьому (сотні) місці в записі числа, вважаючи праворуч наліво.

4. Розрядне число- Число, що складається з одиниць одного розряду, наприклад: 10,20,30,40,50,60 ... - Числа, що складаються тільки з десятків (круглі десятки); 100, 200, 300, …- числа, що складаються лише з сотень (круглі сотні); 1000, 2000, 3000 – числа, що складаються лише з одиниць тисяч (круглі одиниці тисяч) тощо.

5. Нерозрядне число - число, що складається з одиниць різних розрядів, Наприклад, числа, що складаються з десятків та одиниць (11,22,35,47,89); числа, що складаються із сотень та одиниць (208, 406); що складаються із сотень і десятків (240, 560); які з сотень, десятків і одиниць (346, 683) тощо.

6. Повні числа - числа, в яких є одиниці всіх розрядів, наприклад, повне тризначне число 134, чотиризначне 5674

7. Неповні числа – числа, у яких відсутні одиниці тієї чи іншої розряду (у разі їхньому місці пишеться нуль), наприклад: неповні тризначні числа 560, 404, неповні чотиризначні числа 1002, 1020, 1200, 1220 тощо.

8. Клас – поєднання за певними ознаками одиниць трьох розрядів. Кожна одиниця наступного класубільше попередньої у тисячу разів. (Так, 1 одиниця класу одиниць менша в 1000 разів 1 одиниці класу тисяч і т. д.)

У математиці системою числення називають набір знаків, правил операцій та порядку запису цих знаків під час утворення числа. Розрізняють два типи систем числення:

1. Непозиційна система, яка характеризується тим, що кожному знаку незалежно від форми запису числа приписується одне цілком певне значення(Наприклад, римська нумерація).

2. Позиційна система (наприклад, десяткова система числення), яка характеризується такими властивостями:

Кожна цифра приймає різні значеннязалежно від її положення у записі числа (позиційний принцип запису);

Кожна цифра, залежно від її положення, називається розрядною одиницею; розрядні одиниці такі: одиниці, десятки, сотні тощо.

10 одиниць одного розряду становлять одну одиницю наступного розряду, тобто співвідношення розрядних одиниць дорівнює десяти (10 од. = 1 дес.; 10 дес. = 1 сот. і т. д.)

Починаючи, праворуч і ліворуч кожні 3 розрядні одиниці утворюють розрядні класи (одиниць, тисяч, мільйонів та ін.).

Додаток до дев'яти одиниць ще однієї одиниці даного розряду дає одиницю наступного, вищого (старшого) розряду.

Властивості відрізка натурального ряду:

1. Натуральний ряд чисел починається з одиниці.

2. Кожне число має місце. Кожне наступне число на одиницю більше за попереднє; кожне попереднє на одиницю менше наступного.

3. Усі числа, що стоять до виділеного числа менші за його; всі, хто стоїть після – більше вивченого числа.

4. Нескінченність натурального ряду чисел.

Мета та освітні завдання вивчення нумерації

Метою вивчення нумерації є засвоєння загальних принципів, що лежать в основі десяткової системи числення, усної та письмової нумерації.

Основні освітні завдання вивчення нумерації:

1.Сформувати систему знань:

Про натуральне число та число «0»;

Про натуральної послідовностічисел;

Про усну та письмову нумерацію;

2.Ознайомити з обчислювальними прийомами, заснованими на знанні нумерації.

При вивченні цієї теми у учнів мають бути сформовані такі вміння :

2. позначати число письмово;

3. порівнювати будь-які числа різними способами;

4. замінювати число сумою розрядних доданків;

5. дати характеристику будь-якого числа.

Учнів необхідно сформувати наступні знаннята вміння:

1. Виділити число інших понять.

2. Правильно назвати число.

3. Знати способи утворення числа (в результаті рахунку; в результаті виміру; в результаті виконання арифметичних дій).

4. Знати способи позначення чисел за допомогою цифр.

5. Знати різні функціїчисла. ( Кількісна функція, функція порядку, вимірювальна функція.)

Письмова нумерація.

У десятковій системіОбчислення для запису чисел використовують десять знаків: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Знаки для запису чисел називають цифрами.

Розряд– місце для запису цифр у числі. Кожен розряд має свою назву. Назва розрядів збігається з назвою одиниць рахунку – розряд одиниць, десятків, сотень тощо. Крім того, розрядам дають назви, що збігаються з номером місця, яке займає розряд у записі числа. Розряди нумерують праворуч наліво. Відповідно: 1-ий розряд – розряд одиниць; Другий розряд-розряддесятків; 3-ий розряд – розряд сотень, 4-ий розряд – розряд одиниць тисяч тощо.

Запис чисел ведеться на основі принципу помісного значення цифр: значення цифри залежить від місця, яке займає ця цифра в записі числа

В усній нумерації для позначення розрядів або класів, що не містять жодної одиниці, особливі словане потрібні, тому що назви цих розрядних одиниць просто опускаються. У письмовій нумерації дома відсутніх одиниць у якомусь розряді чи класі ставиться цифра 0. Зобразимо розглянуті вище факти як схеми (див. схему 1).

Під час вивчення нумерації учні знайомляться з характеристикою числа:

2. Вказати, скільки в ньому рахункових одиниць кожного роду (одиниць, десятків, сотень тощо).

3. Скільки одиниць у кожному розряді.

4. Назвати безпосередньо наступне і попереднє числа для даного числа(сусідів числа).

5. Уявити число як суми розрядних доданків.

У математиці існує 3 підходи до формування поняття числа: аксіоматичний, теоретико-множинний і через вимірювання величин.

У традиційній та деяких інших освітніх системах(«Гармонія», система Л.В. Занкова та ін.) поняття числа формується на основі теоретико-множинного підходу з елементами аксіоматичного, який дозволяє засвоювати властивості ряду натуральних чисел.

Розглянемо тепер порядок вивчення нумерації у системі Л.В. Занкова.

У цій системі виділяються такі розділи « Однозначні числа», «Двозначні числа», «Тризначні числа», « Багатозначні числа», «Числа в межах мільйона». Вивчення нумерації відбувається у два етапи: підготовчий (дочисловий) етап та вивчення чисел.

на підготовчому етапі учні закріплюють поняття «більше», «менше», «рівно», уточнюються просторові уявленняучнів.

Вивчення натурального ряду чиселпочинається з ознайомлення учнів з історією виникнення чисел (коли люди не знали чисел, як вони вважали та інші питання). Початковою основою знайомства з натуральними числами є теоретико-множинний підхід. Число виникає як інваріантна характеристика класу рівносильних множин, а основним інструментом пізнання відносин між ними стає встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами множин, що порівнюються. На цій основі формуються поняття про відносини більше, менше, рівно, нерівно як між множинами, так і між відповідними числами. На цьому етапі учні співвідносять число з конкретними кінцевими множинами.

З числами та цифрами діти знайомляться поза їхнім упорядкованим розташуванням. Написання цифр вивчається у порядку зростання проблеми їх зображення: 1, 4, 6, 9, 5, 3, 2, 7, 8.

На наступному етапі однозначні натуральні числа, з якими діти познайомилися у процесі порівняння множин, упорядковуються на початок натурального ряду чисел та відбувається знайомство з його основними властивостями.

План роботи на даному етапі:

1. Активізація уявлень дітей про наведення порядку у самому загальному сенсіцього слова і про різноманітність можливостей його наведення (Завдання: На малюнку ти бачиш багато різних геометричних фігур. Як ти думаєш, чи є на цьому малюнку порядок? Розкажи, як би ти навів лад серед цих фігур. Зроби малюнок.)

2. Формування уявлень про деякі способи упорядкування в математиці, зосередивши основну увагу на упорядкування в порядку зростання та в порядку зменшення.

3. Упорядкування розташування кількох різночисленних множин у порядку збільшення (зменшення) кількості елементів.

Завдання: Що можна сказати про ряди кіл? Чи можна сказати, що вони розташовані як збільшення? Запишіть числом, скільки кіл у кожному ряду. Поставте знаки порівняння.

4. Упорядкування відповідних множинам чисел, що різняться на одне й те саме число, так і на різні числа.

5. Упорядкування всіх однозначних натуральних чисел та запровадження поняття натурального ряду чисел.

6. Знайомство з властивостями натурального ряду чисел (починається з 1, кожне наступне на 1 більше за попереднє, нескінченне).

7. Поняття про відрізок натурального ряду чисел, подібність та відмінність між натуральним рядом чисел та його відрізком.

Потім учні знайомляться із числом 0 (число 0 характеризує відсутність об'єктів перерахунку).

Вивчення концентру «Двозначні числа»починається із числа 10.

Алгоритм вивчення двоцифрових чисел:

· Освіта нової лічильної одиниці – десятка об'єднанням десяти попередніх одиниць.

· Освіта десяти як наступного числа натурального ряду.

· Запис 10 та аналіз запису.

· Рахунок десятками до 90.

· Запис чисел, що виходять.

· Знайомство з назвами круглих десятків та аналіз їх утворення.

· Заповнення проміжків між круглими десятками у натуральному ряду чисел.

· Знайомство з назвою двозначних чисел, що стоять між десятками. Встановлення загального принципуутворення цих назв.

· Порівняння всіх вивчених натуральних чисел.

Перед вивченням нової лічильної одиниці проходить підготовча робота: Додому дітям дається завдання дізнатися коли та які предмети вважають різними групамиі навіщо це роблять (пара черевиків, рукавичок, коробка олівців 6 (12, 18) та ін).

Ознайомлення з числами другого, третього тощо. десятка йде поступово. Кожен новий десяток розглядається окремо (спочатку утворення чисел другого десятка, за кілька уроків освіту чисел третього десятка тощо.). Вивчення двоцифрових чисел значно розтягнуте у часі. Це зроблено для того, щоб діти мали змогу глибоко усвідомити принцип побудови тієї системи числення, якою ми користуємось.

Вивчення трицифрових чисел починається в кінці 2 класу і йде відповідно до того алгоритму, який ми написали для двозначних чисел.

У 3 та 4 класах учні продовжують знайомитися з натуральним рядом чисел. Розгляд теми «Многозначні числаРозбито на 2 етапи: спочатку діти вивчають числа в межах перших двох класів (класу одиниць і класу тисяч), а потім знайомляться з числами класу мільйонів.

Центральним моментомкожного нового розширення безлічі натуральних чисел є утворення нової лічильної одиниці (тисячі, десятки тисяч, сотні тисяч тощо). Кожна така одиниця виникає насамперед як результат об'єднання десяти попередніх одиниць у єдине ціле: десять сотень – одна тисяча, десять тисяч – один десяток тисяч тощо.

Хоча спочатку натуральне число виникає перед учнями в теоретико-множинні підході, вже у першому класі діти знайомляться і з інтерпретацією числа як результату відношення величини до обраної мірки. Це відбувається щодо таких величин як довжина, маса, ємність та інших. Ці два підходи продовжують співіснувати й надалі, завершуючись узагальненням, у якого з'являються поняття точного і наближеного числа. Розширення поняття числа відбувається з допомогою знайомства з дробовими, і навіть позитивними і негативними числами.

Ольга Перькова
Види письмової нумерації (презентація)

Види письмової нумерації.

Розвиток рахунку почався в той час, коли людині стали знайомі такі форми виробництва, як мисливство та рибальство. Стало необхідним виготовляти знаряддя для оволодіння цими виробництвами. А перемістившись до холодних країн, люди почали виготовляти такі предмети знарядь праці, якими легко можна було обробити міцну шкіру.

Пальцевий рахунок.

Рахунок почав розвиватися швидше з того часу, коли люди здогадалися звернутися до своїх пальців. Саме вони стали тим простим і водночас унікальним «апаратом», який поклав подальший початокрозвитку нумерації письмової.

Існував, звичайно, і словесний рахунок, але він став активним лише після того, як розвинулося сільське господарство.

Згодом багато народів стали вигадувати найменуванням різні слова, які закріпилися за числами. Наприклад, якщо необхідно було позначити число один, його позначали як «ніс». «рот», «голова» (Тим, що є у людини в одній кількості). Відповідно, за числом два закріпилися слова «очі», «руки», «ноги»і т.д.

Пальцевий рахунок поступово призвів до того, що рахунок став упорядковуватися, а людина відповідно словесно спрощувала числа. Припустимо, вираз, який відповідав числу 13 – «десять пальців на обох ногах та три пальці на одній руці»- спрощувалося в "палець на руці"; для вираження числа 26 замість слів «десять пальців на обох ногах, десять пальців на обох руках і три пальці на нозі іншої людини» говорилося інакше: «три пальці іншої людини».

Поява систем числення

Перехід людини до пальцевого рахунку призвів до створення кількох різних системобчислення.

Найдавнішою з пальцевих систем числення вважається п'ятирічна. Ця система зародилася і набула поширення в Америці.

Подальший розвиток систем числення пішов двома шляхами. Племена, що не зупинилися на рахунку на пальцях на одній руці, перейшли до рахунку на пальцях другої руки і далі - на пальцях ніг.

Природною одиницею вищого розряду у разі виникнення двадцятеричної системи з'явився "людина"як володар 20 пальців. У цій системі 40 виражається як "дві людини", 80 – "чотири людини"і т.п.

Так поступово людство створювало свої методи рахунку та досягло моменту, коли з'явився той метод, яким і користується сучасна математика.

Нумерація на Русі.

Першим російським пам'ятником математичного змісту до нашого часу вважається рукописне твір новгородського ченця Кирика, написане їм 1136 р.

До XVI ст. відноситься винахід чудового рахункового приладу, який згодом отримав назву «російські рахунки»

Письмовасистема числення зазнала безліч змін

у міру розвитку та становлення людського суспільства, при плавному переході від стародавньої людинидо сучасної особи.

Мільйонів становлять 1 мільярд.

Усна нумерація.

Приклади та завдання для усних обчислень.

Геометричний матеріал.

Більше складні завданняна всі дії.

Приклади та завдання на всі дії.

Порядок дій. Дужки.

Зміна частки.

Розподіл багатозначних чисел.

Зміна твору.

Множення багатозначних чисел.

Повторення складання та віднімання.

Зміна різниці.

Віднімання багатозначних чисел.

Зміна суми.

Письмова нумерація.

Усна нумерація.

Нумерація цілих чисел будь-якої величини.

2 . Назвати числа, у яких:

а) 3 сотні мільйонів 2 десятки мільйонів;

б) 8 сотень мільйонів 4 десятки мільйонів 5 мільйонів;

в) 6 сотень мільйонів 9 мільйонів.

3 . Скільки мільйонів, десятків та сотень мільйонів у числах: 378 мільйонів; 905 мільйонів; 540 мільйонів?

5. Назвати числа, у яких:

а) 5 сотень мільярдів 6 десятків мільярдів;

б) 8 сотень мільярдів 3 десятки мільярдів 4 мільярди;

в) 6 сотень мільярдів 5 мільярдів;

6 . Скільки мільярдів, десятків мільярдів та сотень мільярдів у числах: 504 млрд.; 790 млрд.; 456 млрд.; 935 млрд.?

Назвати розряди чисел, у яких:

а) 345 млрд 248 млн;

б) 400 мільярдів 736 мільйонів;

в) 680 мільярдів 24 мільйони.

8. Назвати числа, у яких:

а) 385 одиниць першого класу;

б) 508 одиниць другого класу;

в) 743 одиниці третього класу;

г) 214 одиниць четвертого класу;

9. Назвати числа, у яких:

а) 56 одиниць третього класу та 380 одиниць другого класу;

б) 5 одиниць четвертого класу та 25 одиниць третього класу;

в) 1 одиниця четвертого класу, 300 одиниць третього класу, 286 одиниць другого класу та 85 одиниць першого класу.

10 . Назвати розряди та класи кожного числа таблиці та прочитати числа.

Кожне число таблиці записати у зошит.

14 . Прочитайте таке повідомлення:

На головній площі столиці королівства відбудеться нагородження звіздарів – переможців.

Звездочет А. нарахував 3056800000 небесних тіл,

звездочет В - 1317500000 , а

звездочет З - 1845800000.

Одночасно запитують, хто отримає перший, хто другий, а хто третій приз?

15 . Написати цифрами такі цифри:

а) один мільярд один мільйон;

б) триста двадцять п'ять тисяч шістсот вісімнадцять;

в) вісім мільйонів двадцять три тисячі триста;

г) п'ятсот мільйонів п'ятсот одиниць;

д) чотири мільярди десять мільйонів одна тисяча та одна одиниця;

е) десять мільярдів дев'ятсот шість тисяч;

ж) вісімдесят мільйонів сім тисяч тридцять одиниць;

16 . Які розрядипозначають різні цифри наступних чисел:

568; 6798; 207886; 2326728; 20192837; 35796234865 ?

17 . Записати у вигляді одного числа:

а) 2000000+40000+400+30+5;

б) 20000000 + 3000000 + 700000 + 8000 + 200 + 5;

в) 300000000 + 4000000 + 50000 + 600 + 8;

18 . Розкласти на розрядні доданкичисла:

32750; 148004; 250070; 2435600; 750420045;

19 . Скільки всьогодесятків у наступних числах:

34560; 145634; 2000000; 34567280; 142345675; ?

20 . Скільки всьоготисяч у кожному з наступних чисел:

32010; 60518; 212268; 504308; 760390; ?

21 . Скільки всьогодесятків тисяч у кожному з наступних чисел:

100000; 245624; 1000000; 34567310; 1000000000; 384104500000 ?

22. Позначити цифрами числа, у яких:

а) шістсот сорок вісім сотень;

б) одна тисяча двісті шістдесят два десятки;

в) тридцять п'ять сотень тисяч;

г) сімнадцять десятків сотень;

д) дві тисячі п'ятсот чотири сотні три одиниці;

23 . Написати:

а) шестизначне число, у якому відсутні одиниці розряду сотень;

б) восьмизначне число, де немає одиниць розряду тисяч;

в) десятизначне число, в якому немає одиниць розряду десятків тисяч.

24 . Написати:

а) найменше чотиризначне число;

б) найбільше семизначне число;

в) найменше п'ятизначне число;

25 . Написати число, що складається із трьох класів, із двох класів, із чотирьох класів.

26. Записати цифрами такі дані:

Радіограми з космічного корабля:

а) Політ відбувається нормально. З дев'яносто чотирьох мільйонів сто тридцяти восьми тисяч ста п'ятдесяти дев'яти кілометрів залишилося пролетіти всього дев'яносто один мільйон сто тринадцять тисяч сто п'ятдесят три кілометри.

б) Потрапили у метеоритний потік. Бортовий комп'ютер нарахував сто вісімдесят мільярдів триста мільйонів ударів об корпус корабля.

27 . Записати числа цифрами: 4 млн. 216 тис. та 4 млн. 236 тис.

28 . Округлити до тисяч числа: 145374 та 145680; 21450 та 21550; 76459 та 76511;

29. Округлити до мільйонів числа: 3567400; 35247000; 115620000; 115 450 000; 28742000; 28327000;

30 . Округлити до мільярдів числа: 5780000000; 6460000000; 37047560000; 84915036000;