Геометрическая вероятность. Геометрия

Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках. Название науки «геометрия» - древнегреческого происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих слов ge - «Земля» и metreo - «измеряю».

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция происходит от греческого слова trapezion - «столик», от которого произошло также слово «трапеза» и другие родственные слова. Термин «линия» возник от латинского linum - «лен, льняная нить».

Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.

В замечательной книге «Диалектика природы» Ф. Энгельс определил геометрию как науку о пространственных формах окружающего нас реального мира, т.е. как часть математики, изучающую свойства пространства. Это философское определение полностью отражало состояние геометрии в то время, когда жил и работал Ф. Энгельс. Но в наше время возникли и оформились новые важные разделы геометрии. Каждый из этих разделов имеет свою специфику, которая уже не всегда укладывается в определение геометрии, данное в прошлом веке Ф. Энгельсом. Крупный советский геометр академик А. Д. Александров, которому принадлежат работы не только по геометрии, но и в области философии математики, расширил рамки энгельсовского определения, сказав, что геометрия изучает пространственные и пространственноподобные формы и отношения реального мира. Что это значит и какое это имеет значение для школьной геометрии, попытаемся раскрыть в этой статье.

В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала» (см, Евклид и его «Начала»). В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида. Например, таким пособием был учебник А. П. Киселева, по которому советская школа работала до середины этого столетия.

Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать. Происхождение этой мысли Канта становится понятным, если мы проследим процесс возникновения геометрических знаний в сознании ребенка. Дети много тысяч раз видят, например, прототипы прямых линий в жизни: угол дома или обрез книжной страницы, натянутую нитку или луч света, край стола или двери – все это, запечатленное в сознании ребенка, делает его психологически подготовленным к восприятию понятия «прямая». То же относится к прямым углам и перпендикулярам (которые мы видим с детства на каждом шагу), окружностям (колесо, пуговица, солнечный диск, край тарелки или блюдца), параллелограммам и другим фигурам. Отраженные в сознании, эти представления подготавливают восприятие геометрических понятий. Учитель же систематизирует, упорядочивает эти представления и дает школьникам соответствующий термин, завершающий и закрепляющий образование понятия.

«Геометрия – правительница всех мысленных изысканий». М. В. Ломоносов

Лишь в XIX в. благодаря в первую очередь трудам выдающегося русскою математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Вслед за тем математики создали и исследовали многие различные «геометрии». Особенно большая заслуга в расширении наших представлений о возможных геометрических пространствах принадлежит немецкому математику XIX в. Г. Ф. Б. Риману. Он открыл способ построения бесконечно многих «геометрий», которые локально, «в малом» устроены почти так же, как и евклидова геометрия, но обладают «кривизной», сказывающейся при рассмотрении больших кусков пространства. По преданию, К. Ф. Гаусс, обогативший математику многими замечательными открытиями (в том числе и в области геометрии), ушел после доклада Римана, глубоко задумавшись над ошеломившими его новыми геометрическими идеями.

Интересно проследить связь геометрических идей с современной физикой. Часто идеи, обогащающие математику новыми понятиями и методами, приходят из физики, химии и других разделов естествознания. Типичным примером может служить понятие вектора, пришедшее в математику из механики. Но в отношении неевклидовых геометрий дело обстоит как раз наоборот: созданные внутри математики под воздействием ее внутренних потребностей и ее собственной логики развития, эти новые геометрические понятия проложили пути создания современной физики. В частности, геометрия Лобачевского нашла применение в специальной теории относительности, стала одной из математических основ этой теории, а риманова геометрия служит фундаментом общей эйнштейновской теории относительности. Можно даже сказать, что общая теория относительности – это больше геометрия, чем физика, и здесь обнаруживается влияние идей немецкого математика Д. Гильберта, который сотрудничал с А. Эйнштейном при создании этой теории. Важные приложения имеет риманова геометрия в теории упругости и в других разделах физики и техники.

Нечто похожее произошло и с другим разделом современной геометрии – с так называемым выпуклым анализом. Начала теории выпуклых фигур были заложены в XIX в. немецким математиком Г. Минковским. Несколько красивых теорем, полученных им, привлекли внимание математиков к новой теории. Однако поскольку они не находили применения в других разделах математики, а тем более в естествознании, то в то время создалось впечатление, что Минковский создал очень изящную, но совершенно бесполезную математическую игрушку. Но прошли десятилетия, и совершенно неожиданно теоремы о выпуклых множествах нашли различные применения: сначала в самой математике (при решении геометрических экстремальных задач), а затем в математической экономике, теории управления и других прикладных областях.

В современной геометрии есть и много других направлений. Одни сближают се с теорией чисел, другие с квантовой физикой, третьи – с математическим анализом. А некоторые разделы современной математики таковы, что трудно сказать, чего в них больше: геометрии, алгебры или анализа.

Геометрия не только обогатилась новыми направлениями, находящимися далеко за пределами той колыбели, из которой она выросла, евклидовой геометрии. Много нового появилось со времен Евклида и в самой евклидовой геометрии. Еще в XVII в. благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возник метод координат, ознаменовавший собой революционную перестройку всей математики, и в частности геометрии. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так в рамках евклидовой геометрии появилась ее новая ветвь аналитическая геометрия, явившаяся мощным средством исследования геометрических образов. Например, метод координат позволяет быстро и с помощью несложных вычислений вывести основные свойства линий второго порядка (эллипса, гиперболы, параболы). Теоремы об этих линиях, найденные древнегреческим ученым Аполлонием и некогда считавшиеся вершиной геометрии, сейчас с помощью методов аналитической геометрии изучаются в вузах и техникумах.

В работах математиков XIX в. У. Гамильтона, Г. Грассмана и других были введены векторы, которые ранее в трудах Архимеда, Г. Галилея и других корифеев науки имели лишь механический смысл, а теперь приобрели права гражданства в математике. С 60-х гг. нашего столетия векторы заняли прочное место и в школьном курсе геометрии. Применяемые в рамках евклидовой геометрии векторные методы значительно упрощают доказательства многих теорем и решение задач. Например, теорема косинусов, теорема о трех перпендикулярах и другие (которые раньше было доказать довольно трудно) стали легкими упражнениями на применение скалярного произведения векторов. Но роль векторов не только в упрощении трудных мест школьного курса. Гораздо важнее то, что векторные методы находят сейчас широкие применения в физике, химии, экономике, биологии, не говоря уже о многих разделах современной математики. Так, скалярное произведение вектоpa силы и вектора перемещения есть работа, векторное произведение вектора тока и вектора напряженности магнитного поля есть сила воздействия этого поля на проводник и т.д. Как видите, и здесь геометрия диктовала физике введение новых понятий, а не наоборот. А впоследствии, при рассмотрении многомерных пространств (о которых речь еще впереди), скалярное произведение приобрело еще больший вес и значение и стало важным рабочим аппаратом, применяемым буквально во всех областях математики и ее приложений.

Другим важным обогащением, которым геометрия также обязана XIX в., стало создание теории геометрических преобразований, и в частности движений (перемещений). У Евклида движения неявно присутствовали; например, когда он говорил: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом», то речь шла в действительности о применении движения, перемещения треугольника. Но для Евклида движение не было математическим понятием. Создание математической теории движений и осознание их важной роли в геометрии связано с именем немецкого математика XIX-XX вв. Ф. Клейна, который при вступлении на должность профессора по кафедре геометрии в университете г. Эрлангена прочитал лекцию о роли движений в геометрии. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название Эрлангенской программы. Идею Клейна можно пояснить следующим образом.

Геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением (такие фигуры называются равными, или конгруэнтными), то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу геометрии. Они обладают тем свойством, что композиция любых двух движений и (т. е. результат их последовательного выполнения) также является движением; кроме того, если - произвольное движение, то обратное отображение также является движением. Эти свойства коротко выражают следующим образом: движения образуют группу. Таким образом, группа движений задает, определяет евклидову геометрию. Но группа движений не единственная известная нам группа преобразований. Например, все параллельные переносы образуют группу, все подобные преобразования также образуют группу и т.д. По мысли Клейна, каждая группа преобразований определяет «свою геометрию». Например, можно рассматривать аффинные преобразования, которые каждую прямую взаимно-однозначно отображают на некоторую другую прямую, но при этом могут не сохранять (в отличие от движений) ни расстояний, ни углов, ни площадей. Множество всех аффинных преобразований плоскости (или пространства) представляет собой группу. Эта группа задает некоторую геометрию, которая носит название аффинной геометрии. Групповая точка зрения на геометрию позволяет с единых позиций рассмотреть многие различные геометрии: евклидову, геометрию Лобачевского, аффинную, проективную геометрию и др.

Значение идей Эрлангенской программы Клейна не исчерпывается рамками геометрии. Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике. Так, русский математик и кристаллограф Е. С. Федоров, используя клейновские идеи, открыл кристаллографические группы, носящие теперь его имя. Они стали в наши дни подлинной научной основой всей кристаллографии. Групповой подход находит важные применения в ядерной физике; принципы симметрии и четности – яркое проявление групповой точки зрения. Основой специальной теории относительности является группа Лоренца; по существу, эта теория представляет собой своеобразную геометрию «четырехмерного пространства – времени», определяемую группой Лоренца. Важные приложения находит групповая точка зрения и в других областях физики, химии.

Влияние группового подхода можно проследить и в школьной геометрии. Каждая фигура определяет некоторую группу движений; в эту группу входят все те движения, которые переводят фигуру в себя. Она называется группой самосовмещений фигуры . Знание группы самосовмещений фигуры во многом определяет геометрические свойства этой фигуры. Возьмем, например, параллелограмм общего вида, т.е. не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом (рис. 1). Существуют два движения, переводящие этот параллелограмм в себя: тождественное отображение (оставляющее все точки плоскости на месте) и симметрия относительно точки , в которой пересекаются диагонали параллелограмма. Других движений плоскости, переводящих параллелограмм в себя, нет. Таким образом, группа самосовмещений параллелограмма состоит из двух элементов . Из того, что группа самосовмещений параллелограмма содержит центральную симметрию , вытекают все основные свойства параллелограмма. Например, так как противоположные углы параллелограмма симметричны относительно точки , то эти углы равны. Из симметричности противоположных сторон параллелограмма вытекает, что эти стороны равны и параллельны, и т.д.

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». Г. Галилей

Группа самосовмещений ромба содержит кроме и еще две осевые симметрии и относительно прямых, на которых расположены диагонали ромба (рис. 2). Из того, что в этой группе имеются дополнительные (по сравнению с параллелограммом общего вида) движения и , вытекает наличие у ромба дополнительных, специфических свойств (помимо свойств, присущих всякому параллелограмму): перпендикулярность диагоналей, совпадение диагоналей с биссектрисами углов и т.д. В качестве еще одного примера отметим, что группа самосовмещений равнобедренного треугольника, не являющегося равносторонним (рис. 3), состоит из двух элементов , где - осевая симметрия. Из наличия в группе самосовмещений равнобедренного треугольника движения вытекают основные свойства этого треугольника: равенство углов при основании, совпадение биссектрисы, медианы и высоты, проведенных к основанию, равенство медиан, проведенных к боковым сторонам, и т.д. Свойства правильных многогранников (или других многогранников, обладающих той или иной симметричностью) удобнее всего доказывать, используя группы их самосовмещений. Свойства сферы, цилиндра, конуса также лучше всего выводить с помощью рассмотрения групп самосовмещений этих фигур. И для каждой конкретной геометрической фигуры богатство ее свойств определяется прежде всего ее группой самосовмещений.

Применение движений сближает математику с идеями физики, химии, биологии, техники, соответствует прогрессивным чертам математического осмысления мира.

Итак, XIX в. привнес в евклидову геометрию много нового, и прежде всего векторные методы и групповой подход. Есть и еще одно направление развития геометрии, появившееся в рамках евклидовой геометрии в XIX в., - многомерные пространства. Возникли они путем обобщения, аналогии с геометрией на плоскости и в трехмерном пространстве. На плоскости каждая точка задается в системе координат двумя числами – координатами этой точки, а в пространстве – тремя координатами. В -мерном же пространстве точка задается координатами, т.е. записывается в виде , где - произвольные действительные числа (координаты точки ). На плоскости система координат имеет две оси, в пространстве - три, а в -мерном пространстве система координат содержит осей, причем каждые две из этих осей перпендикулярны друг другу! Конечно, такие пространства существуют лишь в воображении математиков и тех специалистов из других областей знания, которые применяют эти математические абстракции. Ведь реальное пространство, в котором мы живем, математически хорошо описывается трехмерным пространством (евклидовым или римановым, но именно трехмерным). Увидеть – в буквальном, физическом смысле этого слова – фигуры в четырехмерном пространстве (а тем более в пространствах большего числа измерений) не в состоянии никто, даже самый гениальный математик; их можно видеть только мысленным взором.

Человек, который впервые слышит о четырехмерном пространстве, готов возразить: «Но ведь такого же не бывает, не может быть четырех прямых, которые друг другу перпендикулярны!». Есть и другие парадоксы четвертого измерения. Если, например, на плоскости имеется кольцо (оболочка), а внутри - кружок, то, как бы мы ни двигали этот кружок по плоскости, вынуть его из этой оболочки, не разрывая ее, невозможно. Но стоит только выйти в третье измерение, и кружок легко вынуть из кольца, подняв его вверх, над плоскостью. Аналогично дело обстоит и в пространстве. Если имеется сфера (оболочка), внутри которой заключен шарик, то, не прорывая оболочку, невозможно вынуть из нее этот шарик. Но если бы существовало четвертое измерение, то можно было бы «поднять» шарик над трехмерным пространством в направлении четвертого измерения, а затем положить его снова в трехмерное пространство, но уже вне оболочки. И то, что это сделать никому не удается, приводят как довод против существования четвертого измерения. Довод ошибочен, так как в нем спутаны два вопроса.

Первый вопрос: имеется ли в реальном пространстве четвертое измерение? Ответ на этот вопрос отрицателен.

Второй вопрос: можно ли рассматривать четырехмерное пространство абстрактно, математически? Ответ утвердителен.

Нет ничего нелогичного или противоречивого в том, чтобы рассматривать четверки чисел , исследовать свойства этих «четырехмерных точек», составлять из них фигуры, доказывать теоремы, постепенно строя таким образом геометрию четырехмерного (или, вообще, -мерного) пространства. Но математическая непротиворечивость -мерной геометрии еще недостаточна для суждения о ценности этой теории. В чем же состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трехмерного мира до столь далеких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим два примера, которые подведут нас к -мерной геометрии.

Пример 1. Сумма чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путем, рассматривая сначала случай , затем , а потом обсудим ситуацию при .

Итак, пусть сначала . Иначе говоря, рассматриваются числа , удовлетворяющие условию , и требуется найти, в каком случае сумма квадратов будет наименьшей.

Уравнение определяет на координатной плоскости прямую (рис. 4). Рассмотрим окружность с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка ). Если точка прямой отлична от , то она лежит вне окружности и потому больше радиуса этой окружности, т. е. . Если же , то сумма равна , т.е. именно для точки эта сумма принимает наименьшее значение. Точка имеет координаты ; это и есть решение поставленной алгебраической задачи (при ).

Пусть теперь . Уравнение определяет в пространстве плоскость . Рассмотрим сферу с центром в начале , касающуюся этой плоскости в некоторой точке (рис. 5). Для любой точки , отличной от , ее расстояние от точки больше радиуса сферы , , и потому , а при имеем . Таким образом, именно для точки сумма принимает наименьшее значение. Точка имеет равные координаты: (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: ; , , и плоскость , и сфера переходят в себя, а потому их общая точка остается неподвижной). А так как , то точка имеет координаты ; это и есть решение поставленной задачи (для ).

Рассмотрим, наконец, произвольное ; рассуждения будем вести в -мерном пространстве, точками которого являются последовательности , состоящие из действительных чисел. Уравнение определяет в этом пространстве «плоскость» , имеющую размерность (например, при , т.е. в трехмерном пространстве, такое уравнение определяет плоскость размерности 2, т.е. на единицу меньшей размерности, чем все пространство). Математики называют плоскости, имеющие размерность , гиперплоскостями в -мерном пространстве. Рассмотрим сферу с центром в начале координат , касающуюся гиперплоскости в некоторой точке . Все точки гиперплоскости , кроме , лежат вне сферы , т.е. находятся от начала координат на расстоянии, большем, чем радиус сферы , а точка находится от на расстоянии, равном . Следовательно, сумма принимает в точке наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости . Заметим теперь, что все координаты точки равны между собой: (поскольку поворот пространства, переставляющий оси , переводит гиперплоскость в себя и сферу тоже в себя, а потому оставляет точку неподвижной), откуда . Итак, при сумма квадратов принимает наименьшее значение для .

Разумеется, это геометрическое решение читатель может признать корректным лишь в случае, если он уже владеет понятиями -мерной геометрии, но характер этого решения и польза -мерной геометрической интерпретации для рассмотренной алгебраической задачи очевидны.

Пример 2. На три завода (рис. 6) нужно завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах в соответствии с данными, указанными в таблице.

Геометрия (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю)

раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

Происхождение термина «Г.", что буквально означает «землемерие», можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы». Уже у древних греков Г. означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин Геодезия . Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, Г. развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах и т.п.

Первоначальные понятия Г. возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т.п. Вторые выражаются в понятиях «больше», «меньше», в понятии о равенстве тел.

Путём такого же отвлечения возникает понятие геометрического тела. Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом Г., как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определёнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, например, в определениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность.

Г. в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением Г. как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в Г., и есть пространственная форма; поэтому в Г. говорят, например, «шар», а не «тело шарообразной формы»; расположение и размеры определяются пространственными отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в Г., также есть некоторое отношение между двумя фигурами - данной и той, в которую она преобразуется.

В современном, более общем смысле, Г. объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к Г. определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе Г. в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Г. в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными. См. разделы Обобщение предмета геометрии и Современная геометрия.

Развитие геометрии . В развитии Г. можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение Г.

Первый - период зарождения Г. как математической науки - протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае - зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки Г., дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но и оно, несомненно, не первое. Геометрические сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению некоторых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по-видимому, в большой мере эмпирического происхождения, логические же доказательства были, вероятно, ещё очень примитивными. Г., по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве.

Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Г. превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития Г. Известны упоминания систематические изложения Г., среди которых данное в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским (См. Гиппократ Хиосский). Сохранились же и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. «Начала» Евклида (См. Начала Евклида). Здесь Г. представлена так, как её в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией (См. Элементарная геометрия); это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений - аксиом и основных пространственных представлений. Г., развиваемую на тех же основаниях (аксиомах), даже уточнённую и обогащенную как в предмете, так и в методах исследования, называется евклидовой геометрией (См. Евклидова геометрия). Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед , 3 в. до н. э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский , 3 в. до н. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх , 2 в. до н. э.) и Г. на сфере (Менелай , 1 в. н. э.). Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии Г., однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока.

Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет Г. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декарт ом, который ввёл в Г. метод координат. Метод координат позволил связать Г. с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в Г. породило аналитическую Г., а потом и дифференциальную. Г. перешла на качественно новую ступень по сравнению с Г. древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. С этого времени начинается третий период развития Г. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия , возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлер а, Г. Монж а и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию «дифференциальная Г.» придаётся теперь часто более общий смысл, о чём см. в разделе Современная геометрия). Её название связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии (См. Проективная геометрия) в работах Ж. Дезарг а и Б. Паскаля (См. Паскаль). Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений Г. были даны в 18 - начале 19 вв. Эйлером для аналитической Г. (1748), Монжем для дифференциальной Г. (1795), Ж. Понселе для проективной Г. (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии (См. Начертательная геометрия). Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) Г. оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

Четвёртый период в развитии Г. открывается построением Н. И. Лобачевским (См. Лобачевский) в 1826 новой, неевклидовой Г., называемой теперь Лобачевского геометрией (См. Лобачевского геометрия). Независимо от Лобачевского в 1832 ту же Г. построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс , но он не опубликовал их). Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям Г. приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову Г. Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую Г., логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою Г. как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868) её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование (см. раздел Истолкования геометрии).

Переворот в Г., произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван «Коперником геометрии». В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие Г. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова Г., но и другие «геометрии». Второй принцип - это принцип самого построения новых геометрических теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой Г. Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическим исследованием и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой Г. Современная физика подтвердила это. Однако от этого не теряется математическая точность евклидовой Г., т.к. она определяется логической состоятельностью (непротиворечивостью) этой Г. Точно так же в отношении любой геометрической теории нужно различать их физическую и математическую истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая - в логической непротиворечивости. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли важную роль не только в Г., но и в математике вообще, в развитии её аксиоматического метода, в понимании её отношения к действительности.

Главная особенность нового периода в истории Г., начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий - новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета Г.; возникает понятие о разного рода «пространствах» (термин «пространство» имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой - абстрактное «математическое пространство»). При этом одни теории складывались внутри евклидовой Г. в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная Г. и др., предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова Г. стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной Г. Др. теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой Г. Так, создавалась, например, многомерная Г.; первые относящиеся к ней работы (Г. Грасман и А. Кэли , 1844) представляли формальное обобщение обычной аналитической Г. с трёх координат на n . Некоторый итог развития всех этих новых «геометрий» подвёл в 1872 Ф. Клейн , указав общий принцип их построения.

Принципиальный шаг был сделан Б. Риман ом (лекция 1854, опубликована 1867). Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Во-вторых, он ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область Г., т. н. Риманова геометрия и её обобщения, нашедшая важные приложения в теории относительности, в механике и др.

Другой пример. Состояние газа, находящегося в цилиндре под поршнем, определяется давлением и температурой. Совокупность всех возможных состояний газа можно представлять поэтому как двумерное пространство. «Точками» этого «пространства» служат состояния газа; «точки» различаются двумя «координатами» - давлением и температурой, подобно тому как точки на плоскости различаются значениями их координат. Непрерывное изменение состояния изображается линией в этом пространстве.

Далее, можно представить себе любую материальную систему - механическую или физико-химическую. Совокупность всех возможных состояний этой системы называют «фазовым пространством». «Точками» этого пространства являются сами состояния. Если состояние системы определяется n величинами, то говорят, что система имеет n степеней свободы. Эти величины играют роль координат точки-состояния, как в примере с газом роль координат играли давление и температура. В соответствии с этим такое фазовое пространство системы называют n -мерным. Изменение состояния изображается линией в этом пространстве; отдельных области состояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями фазового пространства, а границы областей будут поверхностями в этом пространстве. Если система имеет только две степени свободы, то её состояния можно изображать точками на плоскости. Так, состояние газа с давлением р и температурой Т изобразится точкой с координатами р и Т, а процессы, происходящие с газом, изобразятся линиями на плоскости. Этот метод графического изображения общеизвестен и постоянно используется в физике и технике для наглядного представления процессов и их закономерностей. Но если число степеней свободы больше 3, то простое графическое изображение (даже в пространстве) становится невозможным. Тогда, чтобы сохранить полезные геометрические аналогии, прибегают к представлению об абстрактном фазовом пространстве. Так, наглядные графические методы перерастают в это абстрактное представление. Метод фазовых пространств широко применяется в механике, теоретической физике и физической химии. В механике движение механической системы изображают движением точки в её фазовом пространстве. В физической химии особенно важно рассматривать форму и взаимное прилегание тех областей фазового пространства системы из нескольких веществ, которые соответствуют качественно различным состояниям. Поверхности, разделяющие эти области, суть поверхности переходов от одного качества к другому (плавление, кристаллизация и т.п.). В самой Г. также рассматривают абстрактные пространства, «точками» которых служат фигуры; так определяют «пространства» кругов, сфер, прямых и т.п. В механике и теории относительности вводят также абстрактное четырёхмерное пространство, присоединяя к трём пространственным координатам время в качестве четвёртой координаты. Это означает, что события нужно различать не только по положению в пространстве, но и во времени.

Т. о., становится понятным, как непрерывные совокупности тех или иных объектов, явлений, состояний могут подводиться под обобщённое понятие пространства. В таком пространстве можно проводить «линии», изображающие непрерывные последовательности явлений (состояний), проводить «поверхности» и определять подходящим образом «расстояния» между «точками», давая тем самым количественное выражение физическая понятия о степени различия соответствующих явлений (состояний), и т.п. Так по аналогии с обычной Г. возникает «геометрия» абстрактного пространства; последнее может даже мало походить на обычное пространство, будучи, например, неоднородным по своим геометрическим свойствам и конечным, подобно неравномерно искривленной замкнутой поверхности.

Предметом Г. в обобщённом смысле оказываются не только пространственные формы и отношения, но любые формы и отношения, которые, будучи взяты в отвлечении от своего содержания, оказываются сходными с обычными пространственными формами и отношениями. Эти пространственно-подобные формы действительности называют «пространствами» и «фигурами». Пространство в этом смысле есть непрерывная совокупность однородных объектов, явлений, состояний, которые играют роль точек пространства, причём в этой совокупности имеются отношения, сходные с обычными пространственными отношениями, как, например, расстояние между точками, равенство фигур и т.п. (фигура - вообще часть пространства). Г. рассматривает эти формы действительности в отвлечении от конкретного содержания, изучение же конкретных форм и отношений в связи с их качественно своеобразным содержанием составляет предмет других наук, а Г. служит для них методом. Примером может служить любое приложение абстрактной Г., хотя бы указанное выше применение n -мерного пространства в физической химии. Для Г. характерен такой подход к объекту, который состоит в обобщении и перенесении на новые объекты обычных геометрических понятий и наглядных представлений. Именно это и делается в приведённых выше примерах пространства цветов и др. Этот геометрический подход вовсе не является чистой условностью, а соответствует самой природе явлений. Но часто одни и те же реальные факты можно изображать аналитически или геометрически, как одну и ту же зависимость можно задавать уравнением или линией на графике.

Не следует, однако, представлять развитие Г. так, что она лишь регистрирует и описывает на геометрическом языке уже встретившиеся на практике формы и отношения, подобные пространственным. В действительности Г. определяет широкие классы новых пространств и фигур в них, исходя из анализа и обобщения данных наглядной Г. и уже сложившихся геометрических теорий. При абстрактном определении эти пространства и фигуры выступают как возможные формы действительности. Они, стало быть, не являются чисто умозрительными конструкциями, а должны служить, в конечном счёте, средством исследования и описания реальных фактов. Лобачевский, создавая свою Г., считал её возможной теорией пространственных отношений. И так же как его Г. получила обоснование в смысле её логической состоятельности и применимости к явлениям природы, так и всякая абстрактная геометрическая теория проходит такую же двойную проверку. Для проверки логической состоятельности существенное значение имеет метод построения математических моделей новых пространств. Однако окончательно укореняются в науке только те абстрактные понятия, которые оправданы и построением искусственной модели, и применениями, если не прямо в естествознании и технике, то хотя бы в др. математических теориях, через которые эти понятия так или иначе связываются с действительностью. Лёгкость, с которой математики и физики оперируют теперь разными «пространствами», достигнута в результате долгого развития Г. в тесной связи с развитием математики в целом и других точных наук. Именно вследствие этого развития сложилась и приобрела большое значение вторая сторона Г., указанная в общем определении, данном в начале статьи: включение в Г. исследования форм и отношений, сходных с формами и отношениями в обычном пространстве.

В качестве примера абстрактной геометрической теории можно рассмотреть Г. n -мерного евклидова пространства. Она строится путём простого обобщения основных положений обычной Г., причём для этого имеется несколько возможностей: можно, например, обобщать аксиомы обычной Г., но можно исходить и из задания точек координатами. При втором подходе n -мерное пространство определяют как множество каких-либо элементов-точек, задаваемых (каждая) n числами x 1 , x 2 ,…, xn , расположенными в определённом порядке, - координатами точек. Далее, расстояние между точками Х = (x 1 , x 2 ,…, xn) и X"= (x’ 1 , x’ 2 ,…, х’ n) определяется формулой:

что является прямым обобщением известной формулы для расстояния в трёхмерном пространстве. Движение определяют как преобразование фигуры, которое не изменяет расстояний между её точками. Тогда предмет n -мерной Г. определяется как исследование тех свойств фигур, которые не меняются при движениях. На этой основе легко вводятся понятия о прямой, о плоскостях различного числа измерений от двух до n -1, о шаре и т.д. Т. о. складывается богатая содержанием теория, во многом аналогичная обычной евклидовой Г., но во многом и отличная от неё. Нередко бывает, что результаты, полученные для трёхмерного пространства, легко переносятся с соответствующими изменениями на пространство любого числа измерений. Например, теорема о том, что среди всех тел одинакового объёма наименьшую площадь поверхности имеет шар, читается дословно так же в пространстве любого числа измерений [нужно лишь иметь в виду n -мерный объём, (n -1)-мерную площадь и n -мерный шар, которые определяются вполне аналогично соответствующим понятиям обычной Г.]. Далее, в n -мерном пространстве объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды - такому произведению, деленному на n . Такие примеры можно продолжить. С др. стороны, в многомерных пространствах обнаруживаются также качественно новые факты.

Истолкования геометрии . Одна и та же геометрическая теория допускает разные приложения, разные истолкования (осуществления, модели, или интерпретации). Всякое приложение теории и есть не что иное, как осуществление некоторых её выводов в соответствующей области явлений.

Возможность разных осуществлений является общим свойством всякой математической теории. Так, арифметические соотношения реализуются на самых различных наборах предметов; одно и то же уравнение описывает часто совсем разные явления. Математика рассматривает лишь форму явления, отвлекаясь от содержания, а с точки зрения формы многие качественно различные явления оказываются часто сходными. Разнообразие приложений математики и, в частности, Г. обеспечивается именно её абстрактным характером. Считают, что некоторая система объектов (область явлений) даёт осуществление теории, если отношения в этой области объектов могут быть описаны на языке теории так, что каждое утверждение теории выражает тот или иной факт, имеющий место в рассматриваемой области. В частности, если теория строится на основе некоторой системы аксиом, то истолкование этой теории состоит в таком сопоставлении её понятий с некоторыми объектами и их отношениями, при котором аксиомы оказываются выполненными для этих объектов.

Евклидова Г. возникла как отражение фактов действительности. Её обычная интерпретация, в которой прямыми считаются натянутые нити, движением - механическое перемещение и т.д., предшествует Г. как математической теории. Вопрос о других интерпретациях не ставился и не мог быть поставлен, пока не выявилось более абстрактное понимание геометрии. Лобачевский создал неевклидову Г. как возможную геометрию, и тогда возник вопрос о её реальном истолковании. Эта задача была решена в 1868 Э. Бельтрами , который заметил, что геометрия Лобачевского совпадает с внутренней Г. поверхностей постоянной отрицательной кривизны, т. е. теоремы геометрии Лобачевского описывают геометрические факты на таких поверхностях (при этом роль прямых выполняют геодезические линии, а роль движений - изгибания поверхности на себя). Поскольку вместе с тем такая поверхность есть объект евклидовой Г., оказалось, что геометрия Лобачевского истолковывается в понятиях геометрии Евклида. Тем самым была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, т.к. противоречие в ней в силу указанного истолкования влекло бы противоречие в геометрии Евклида.

Т. о., выясняется двоякое значение истолкования геометрической теории - физическое и математическое. Если речь идёт об истолковании на конкретных объектах, то получается опытное доказательство истинности теории (конечно, с соответствующей точностью); если же сами объекты имеют абстрактный характер (как геометрическая поверхность в рамках геометрии Евклида), то теория связывается с другой математической теорией, в данном случае с евклидовой Г., а через неё с суммированными в ней опытными данными. Такое истолкование одной математической теории посредством другой стало математическим методом обоснования новых теорий, приёмом доказательства их непротиворечивости, поскольку противоречие в новой теории порождало бы противоречие в той теории, в которой она интерпретируется. Но теория, посредством которой производится истолкование, в свою очередь, нуждается в обосновании. Поэтому указанный математический метод не снимает того, что окончательным критерием истины для математических теорий остаётся практика. В настоящее время геометрические теории чаще всего истолковывают аналитически; например, точки на плоскости Лобачевского можно связывать с парами чисел х и у , прямые - определять уравнениями и т.п. Этот приём даёт обоснование теории потому, что сам математический анализ обоснован, в конечном счёте, огромной практикой его применения.

Современная геометрия . Принятое в современной математике формально-математическое определение понятий пространства и фигуры исходит из понятия множества (см. Множеств теория). Пространство определяется как множество каких-либо элементов («точек») с условием, что в этом множестве установлены некоторые отношения, сходные с обычными пространственными отношениями. Множество цветов, множество состояний физической системы, множество непрерывных функций, заданных на отрезке , и т.п. образуют пространства, где точками будут цвета, состояния, функции. Точнее, эти множества понимаются как пространства, если в них фиксируются только соответствующие отношения, например расстояние между точками, и те свойства и отношения, которые через них определяются. Так, расстояние между функциями можно определить как максимум абсолютной величины их разности: max|f (x )-g (x )| . Фигура определяется как произвольное множество точек в данном пространстве. (Иногда пространство - это система из множеств элементов. Например, в проективной Г. принято рассматривать точки, прямые и плоскости как равноправные исходные геометрические объекты, связанные отношениями «соединения».)

Основные типы отношений, которые в разных комбинациях приводят ко всему разнообразию «пространств» современной Г., следующие:

1) Общими отношениями, имеющимися во всяком множестве, являются отношения принадлежности и включения: точка принадлежит множеству, и одно множество есть часть другого. Если приняты во внимание только эти отношения, то в множестве не определяется ещё никакой «геометрии», оно не становится пространством. Однако, если выделены некоторые специальные фигуры (множества точек), то «геометрия» пространства может определяться законами связи точек с этими фигурами. Такую роль играют аксиомы сочетания в элементарной, аффинной, проективной Г.; здесь специальными множествами служат прямые и плоскости.

Тот же принцип выделения некоторых специальных множеств позволяет определить понятие топологического пространства - пространства, в котором в качестве специальных множеств выделены «окрестности» точек (с условием, что точка принадлежит своей окрестности и каждая точка имеет хотя бы одну окрестность; наложение на окрестности дальнейших требований определяет тот или иной тип топологических пространств). Если всякая окрестность заданной точки имеет общие точки с некоторым множеством, то такая точка называется точкой прикосновения этого множества. Два множества можно назвать соприкасающимися, если хотя бы одно из них содержит точки прикосновения другого; пространство или фигура будет непрерывной, или, как говорят, связной, если её нельзя разбить на две несоприкасающиеся части; преобразование непрерывно, если оно не нарушает соприкосновений. Т. о., понятие топологического пространства служит для математического выражения понятия непрерывности. [Топологическое пространство можно определить также другими специальными множествами (замкнутыми, открытыми) или непосредственно отношением прикосновения, при котором любому множеству точек ставятся в соответствие его точки прикосновения.] Топологические пространства как таковые, множества в них и их преобразования служат предметом топологии. Предмет собственно Г. (в значительной её части) составляет исследование топологических пространств и фигур в них, наделённых ещё дополнительными свойствами.

2) Второй важнейший принцип определения тех или иных пространств и их исследования представляет введение координат. Многообразием называется такое (связное) топологическое пространство, в окрестности каждой точки которого можно ввести координаты, поставив точки окрестности во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие с системами из n действительных чисел x 1 , x 2 , (, xn . Число n есть число измерений многообразия. Пространства, изучаемые в большинстве геометрических теорий, являются многообразиями; простейшие геометрические фигуры (отрезки, части поверхностей, ограниченные кривыми, и т.п.) обычно - куски многообразий. Если среди всех систем координат, которые можно ввести в кусках многообразия, выделяются системы координат такого рода, что одни координаты выражаются через другие дифференцируемыми (то или иное число раз) или аналитическими функциями, то получают т. н. гладкое (аналитическое) многообразие. Это понятие обобщает наглядное представление о гладкой поверхности. Гладкие многообразия как таковые составляют предмет т. н. дифференциальной топологии. В собственно Г. они наделяются дополнительными свойствами. Координаты с принятым условием дифференцируемости их преобразований дают почву для широкого применения аналитических методов - дифференциального и интегрального исчисления, а также векторного и тензорного анализа (см. Векторное исчисление , Тензорное исчисление). Совокупность теорий Г., развиваемых этими методами, образует общую дифференциальную Г.; простейшим случаем её служит классическая теория гладких кривых и поверхностей, которые представляют собою не что иное, как одно- и двумерные дифференцируемые многообразия.

3) Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к общему принципу определения разных пространств, когда пространством считается множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных преобразований этого множества на себя. «Геометрия» такого пространства состоит в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются при преобразованиях из этой группы. Поэтому с точки зрения такой Г. фигуры можно считать «равными», если одна переходит в другую посредством преобразования из данной группы. Например, евклидова Г. изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная Г. - свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология - свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно однозначных и непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского, проективная Г. и др. Фактически этот принцип соединяется с введением координат. Пространство определяется как гладкое многообразие, в котором преобразования задаются функциями, связывающими координаты каждой данной точки и той, в которую она переходит (координаты образа точки задаются как функции координат самой точки и параметров, от которых зависит преобразование; например, аффинные преобразования определяются как линейные: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a in x n , i = 1, …, n ). Поэтому общим аппаратом разработки таких «геометрий» служит теория непрерывных групп преобразований. Возможна другая, по существу эквивалентная, точка зрения, согласно которой задаются не преобразования пространства, а преобразования координат в нём, причём изучаются те свойства фигур, которые одинаково выражаются в разных системах координат. Эта точка зрения нашла применение в теории относительности, которая требует одинакового выражения физических законов в разных системах координат, называемых в физике системами отсчёта.

4) Другой общий принцип определения пространств, указанный в 1854 Риманом, исходит из обобщения понятия о расстоянии. По Риману, пространство - это гладкое многообразие, в котором задан закон измерения расстояний, точнее длин, бесконечно малыми шагами, т. е. задаётся дифференциал длины дуги кривой как функция координат точки кривой и их дифференциалов. Это есть обобщение внутренней Г. поверхностей, определённой Гауссом как учение о свойствах поверхностей, которые могут быть установлены измерением длин кривых на ней. Простейший случай представляют т. н. римановы пространства, в которых в бесконечно малом имеет место теорема Пифагора (т. е. в окрестности каждой точки можно ввести координаты так, что в этой точке квадрат дифференциала длины дуги будет равен сумме квадратов дифференциалов координат; в произвольных же координатах он выражается общей положительной квадратичной формой; см. Римановы геометрии (См. Риманова геометрия)). Такое пространство, следовательно, евклидово в бесконечно малом, но в целом оно может не быть евклидовым, подобно тому как кривая поверхность лишь в бесконечно малом может быть сведена к плоскости с соответствующей точностью. Геометрии Евклида и Лобачевского оказываются частным случаем этой римановой Г. Наиболее широкое обобщение понятия расстояния привело к понятию общего метрического пространства как такого множества элементов, в котором задана «метрика», т. е. каждой паре элементов отнесено число - расстояние между ними, подчинённое только очень общим условиям. Эта идея играет важную роль в функциональном анализе (См. Функциональный анализ) и лежит в основе некоторых новейших геометрических теорий, таких, как внутренняя Г. негладких поверхностей и соответствующие обобщения римановой Г.

5) Соединение идеи Римана об определении «геометрии» в бесконечно малых областях многообразия с определением «геометрии» посредством группы преобразований привело (Э. Картан , 1922-25) к понятию о таком пространстве, в котором преобразования задаются лишь в бесконечно малых областях; иными словами, здесь преобразования устанавливают связь только бесконечно близких кусков многообразия: один кусок преобразуется в другой, бесконечно близкий. Поэтому говорят о пространствах со «связностью» того или иного типа. В частности, пространства с «евклидовой связностью» суть римановы. Дальнейшие обобщения восходят к понятию о пространстве как о гладком многообразии, на котором задано вообще «поле» какого-либо «объекта», которым может служить квадратичная форма, как в римановой Г., совокупность величин, определяющих связность, тот или иной тензор и др. Сюда же можно отнести введённые в недавнее время т. н. расслоенные пространства. Эти концепции включают, в частности, связанное с теорией относительности обобщение римановой Г., когда рассматриваются пространства, где метрика задаётся уже не положительной, а знакопеременной квадратичной формой (такие пространства также называют римановыми, или псевдоримановыми, если хотят отличить их от римановых в первоначальном смысле). Эти пространства являются пространствами со связностью, определённой соответствующей группой, отличной от группы евклидовых движений.

На почве теории относительности возникла теория пространств, в которых определено понятие следования точек, так что каждой точке Х отвечает множество V (X) следующих за нею точек. (Это является естественным математическим обобщением следования событий, определённого тем, что событие Y следует за событием X, если Х воздействует на Y, и тогда Y следует за Х во времени в любой системе отсчёта.) Т. к. само задание множеств V определяет точки, следующие за X, как принадлежащие множеству V (X) , то определение этого типа пространств оказывается применением первого из перечисленных выше принципов, когда «геометрия» пространства определяется выделением специальных множеств. Конечно, при этом множества V должны быть подчинены соответствующим условиям; в простейшем случае - это выпуклые конусы. Эта теория включает теорию соответствующих псевдоримановых пространств.

6) Аксиоматический метод в его чистом виде служит теперь либо для оформления уже готовых теорий, либо для определения общих типов пространств с выделенными специальными множествами. Если же тот или иной тип более конкретных пространств определяют, формулируя их свойства как аксиомы, то используют либо координаты, либо метрику и др. Непротиворечивость и тем самым осмысленность аксиоматической теории проверяется указанием модели, на которой она реализуется, как это впервые было сделано для геометрии Лобачевского. Сама модель строится из абстрактных математических объектов, поэтому «окончательное обоснование» любой геометрической теории уходит в область оснований математики вообще, которые не могут быть окончательными в полном смысле, но требуют углубления (см. Математика , Аксиоматический метод).

Перечисленные принципы в разных сочетаниях и вариациях порождают обширное разнообразие геометрических теорий. Значение каждой из них и степень внимания к её задачам определяются содержательностью этих задач и получаемых результатов, её связями с др. теориями Г., с др. областями математики, с точным естествознанием и задачами техники. Каждая данная геометрическая теория определяется среди других геометрических теорий, во-первых, тем, какое пространство или какого типа пространства в ней рассматриваются. Во-вторых, в определение теории входит указание на исследуемые фигуры. Так различают теории многогранников, кривых, поверхностей, выпуклых тел и т.д. Каждая из этих теорий может развиваться в том или ином пространстве. Например, можно рассматривать теорию многогранников в обычном евклидовом пространстве, в n -мерном евклидовом пространстве, в пространстве Лобачевского и др. Можно развивать обычную теорию поверхностей, проективную, в пространстве Лобачевского и т.д. В-третьих, имеет значение характер рассматриваемых свойств фигур. Так, можно изучать свойства поверхностей, сохраняющиеся при тех или иных преобразованиях; можно различать учение о кривизне поверхностей, учение об изгибаниях (т. е. о деформациях, не меняющих длин кривых на поверхности), внутреннюю Г. Наконец, в определение теории можно включать её основной метод и характер постановки задач. Так различают Г.: элементарную, аналитическую, дифференциальную; например, можно говорить об элементарной или аналитической Г. пространства Лобачевского. Различают Г. «в малом», рассматривающую лишь свойства сколь угодно малых кусков геометрического образа (кривой, поверхности, многообразия), от Г. «в целом», изучающей, как ясно из её названия, геометрические образы в целом на всём их протяжении. Очень общим является различение аналитических методов и методов синтетической Г. (или собственно геометрических методов); первые используют средства соответствующих исчислений: дифференциального, тензорного и др., вторые оперируют непосредственно геометрическими образами.

Из всего разнообразия геометрических теорий фактически более всего развиваются n -мерная евклидова Г. и риманова (включая псевдориманову) Г. В первой разрабатывается, в особенности, теория кривых и поверхностей (и гиперповерхностей разного числа измерений), причём особое развитие получает исследование поверхностей «в целом» и поверхностей, существенно более общих, чем гладкие, изучавшиеся в классической дифференциальной Г.; сюда же включаются многогранники (многогранные поверхности). Затем нужно назвать теорию выпуклых тел, которая, впрочем, в большой части может быть отнесена к теории поверхностей в целом, т.к. тело определяется своей поверхностью. Далее - теория правильных систем фигур, т. е. допускающих движения, переводящие всю систему саму в себя и какую-либо её фигуру в любую другую (см. Федоровские группы (См. Фёдоровская группа)). Можно отметить, что значительное число важнейших результатов в этих областях принадлежат сов. геометрам: очень полная разработка теории выпуклых поверхностей и существенное развитие теории общих невыпуклых поверхностей, разнообразные теоремы о поверхностях в целом (существования и единственности выпуклых поверхностей с заданной внутренней метрикой или с заданной той пли иной «функцией кривизны», теорема о невозможности существования полной поверхности с кривизной, всюду меньшей какого-либо отрицательного числа, и др.), исследование правильного деления пространства и др.

В теории римановых пространств исследуются вопросы, касающиеся связи их метрических свойств с топологическим строением, поведение геодезических (кратчайших на малых участках) линий в целом, как, например, вопрос о существовании замкнутых геодезических, вопросы «погружения», т. е. реализации данного n -мерного риманова пространства в виде n -мерной поверхности в евклидовом пространстве какого-либо числа измерений, вопросы псевдоримановой Г., связанные с общей теорией относительности, и др. К этому можно добавить развитие разнообразных обобщений римановой Г. как в духе общей дифференциальной Г., так и в духе обобщений синтетической Г.

В дополнение следует упомянуть алгебраическую геометрию (См. Алгебраическая геометрия), развившуюся из аналитической Г. и исследующую прежде всего геометрические образы, задаваемые алгебраическими уравнениями; она занимает особое место, т.к. включает не только геометрические, но также алгебраические и арифметические проблемы. Существует также обширная и важная область исследования бесконечномерных пространств, которая, однако, не причисляется к Г., а включается в функциональный анализ, т.к. бесконечномерные пространства конкретно определяются как пространства, точками которых служат те или иные функции. Тем не менее в этой области есть много результатов и проблем, носящих подлинно геометрический характер и которые поэтому следует относить к Г.

Значение геометрии. Применение евклидовой Г. представляет самое обычное явление всюду, где определяются площади, объёмы и т.п. Вся техника, поскольку в ней играют роль формы и размеры тел, пользуется евклидовой Г. Картография, геодезия, астрономия, все графические методы, механика немыслимы без Г. Ярким примером является открытие И. Кеплер ом факта вращения планет по эллипсам; он мог воспользоваться тем, что эллипс был изучен ещё древними геометрами. Глубокое применение Г. представляет геометрическая кристаллография, послужившая источником и областью приложения теории правильных систем фигур (см. Кристаллография).

Более отвлечённые геометрические теории находят широкое применение в механике и физике, когда совокупность состояний какой-либо системы рассматривается как некоторое пространство (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Так, все возможные конфигурации (взаимное расположение элементов) механической системы образуют «конфигурационное пространство»; движение системы изображается движением точки в этом пространстве. Совокупность всех состояний физической системы (в простейшем случае - положения и скорости образующих систему материальных точек, например молекул газа) рассматривается как «фазовое пространство» системы. Эта точка зрения находит, в частности, применение в статистической физике (См. Статистическая физика) и др.

Впервые понятие о многомерном пространстве зародилось в связи с механикой ещё у Ж. Лагранж а, когда к трём пространств. координатам х, у, z в качестве четвёртой формально присоединяется время t . Так появляется четырёхмерное «пространство - время», где точка определяется четырьмя координатами х, у, z, t . Каждое событие характеризуется этими четырьмя координатами и, отвлеченно, множество всех событий в мире оказывается четырёхмерным пространством. Этот взгляд получил развитие в геометрической трактовке теории относительности, данной Г. Минковским (См. Минковский), а потом в построении А. Эйнштейн ом общей теории относительности. В ней он воспользовался четырехмерной римановой (псевдоримановой) Г. Так геометрические теории, развившиеся из обобщения данных пространственного опыта, оказались математическим методом построения более глубокой теории пространства и времени. В свою очередь теория относительности дала мощный толчок развитию общих геометрических теорий. Возникнув из элементарной практики, Г. через ряд абстракций и обобщений возвращается к естествознанию и практике на более высокой ступени в качестве метода.

С геометрической точки зрения многообразие пространства - времени обычно трактуется в общей теории относительности как неоднородное римановского типа, но с метрикой, определяемой знакопеременной формой, приводимой в бесконечно малой области к виду

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(с - скорость света в вакууме). Само пространство, поскольку его можно отделить от времени, оказывается также неоднородным римановым. С современной геометрической точки зрения лучше смотреть на теорию относительности следующим образом. Специальная теория относительности утверждает, что многообразие пространства - времени есть псевдоевклидово пространство, т. е. такое, в котором роль «движений» играют преобразования, сохраняющие квадратичную форму

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

точнее, это есть пространство с группой преобразований, сохраняющих указанную квадратичную форму. От всякой формулы, выражающей физический закон, требуется, чтобы она не менялась при преобразованиях группы этого пространства, которые суть так называемые преобразования Лоренца. Согласно же общей теории относительности, многообразие пространства - времени неоднородно и лишь в каждой «бесконечно малой» области сводится к псевдоевклидову, т. е. оно есть пространство картановского типа (см. раздел Современная геометрия). Однако такое понимание стало возможно лишь позже, т.к. само понятие о пространствах такого типа появилось после теории относительности и было развито под её прямым влиянием.

В самой математике положение и роль Г. определяются прежде всего тем, что через неё в математику вводилась непрерывность. Математика как наука о формах действительности сталкивается прежде всего с двумя общими формами: дискретностью и непрерывностью. Счёт отдельных (дискретных) предметов даёт арифметику, пространств. непрерывность изучает Г. Одним из основных противоречий, движущих развитие математики, является столкновение дискретного и непрерывного. Уже деление непрерывных величин на части и измерение представляют сопоставление дискретного и непрерывного: например, масштаб откладывается вдоль измеряемого отрезка отдельными шагами. Противоречие выявилось с. особой ясностью, когда в Древней Греции (вероятно, в 5 в. до н. э.) была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата: длина диагонали квадрата со стороной 1 не выражалась никаким числом, т.к. понятия иррационального числа не существовало. Потребовалось обобщение понятия числа - создание понятия иррационального числа (что было сделано лишь много позже в Индии). Общая же теория иррациональных чисел была создана лишь в 70-х гг. 19 в. Прямая (а вместе с нею и всякая фигура) стала рассматриваться как множество точек. Теперь эта точка зрения является господствующей. Однако затруднения теории множеств показали её ограниченность. Противоречие дискретного и непрерывного не может быть полностью снято.

Общая роль Г. в математике состоит также в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов. Так, Г. характеризуется не только своим предметом, но и методом, идущим от наглядных представлений и оказывающимся плодотворным в решении многих проблем др. областей математики. В свою очередь, Г. широко использует их методы. Т. о., одна и та же математическая проблема может сплошь и рядом трактоваться либо аналитически, либо геометрически, или в соединении обоих методов.

В известном смысле, почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и Г., а в смысле метода - из сочетания выкладок и геометрических представлений. Это видно уже в понятии совокупности всех вещественных чисел как числовой прямой, соединяющей арифметические свойства чисел с непрерывностью. Вот некоторые основные моменты влияния Г. в математике.

1) В возникновении и развитии анализа Г. наряду с механикой имела решающее значение. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объемов, начатого ещё древними учёными, причём площадь и объём как величины считались определёнными; никакое аналитическое определение интеграла не давалось до 1-й половины 19 в. Проведение касательных было одной из задач, породивших дифференцирование. Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и сохраняет своё значение. В самой терминологии анализа виден геометрический источник его понятий, как, например, в терминах: «точка разрыва», «область изменения переменной» и т.п. Первый курс анализа, написанный в 1696 Г. Лопиталем (См. Лопиталь), назывался: «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий». Теория дифференциальных уравнений в большей части трактуется геометрически (интегральные кривые и т.п.). Вариационное исчисление возникло и развивается в большой мере на задачах Г., и её понятия играют в нём важную роль.

2) Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже 18-19 вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, т. е. путём построения «комплексной плоскости». В теории функций комплексного переменного геометрическими методам отводится существенная роль. Само понятие аналитической функции w = f (z ) комплексного переменного может быть определено чисто геометрически: такая функция есть Конформное отображение плоскости z (или области плоскости z ) в плоскость w . Понятия и методы римановой Г. находят применение в теории функций нескольких комплексных переменных.

3) Основная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке ) рассматриваются как точки «функционального пространства», причём отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций - как расстояние, и т.п.). Тогда многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, оказывающееся во многих случаях очень плодотворным. Вообще, представление тех или иных математических объектов (функций, фигур и др.) как точек некоторого пространства с соответствующим геометрическим толкованием отношений этих объектов является одной из наиболее общих и плодотворных идей современной математики, проникшей почти во все её разделы.

4) Г. оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику - теорию чисел. В алгебре используют, например, понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу. В свою очередь нужно отметить также графические методы расчётов (см. Номография) и геометрические методы современной теории вычислений и вычислительных машин.

5) Логическое усовершенствование и анализ аксиоматики Г. играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.

В целом взаимопроникновение Г. и др. областей математики столь тесно, что часто границы оказываются условными и связанными лишь с традицией. Почти или вовсе не связанными с Г. остаются лишь такие разделы, как абстрактная алгебра, математическая логика и некоторые др.

Лит.: Основные классические работы. Евклид, Начала, пер. с греч., кн. 1-15, М. - Л.,1948-50; Декарт Р., Геометрия, пер. с латин., М. - Л., 1938; Монж Г., Приложения анализа к геометрии, пер. с франц., М. - Л., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz - Р., 1822; Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых поверхностях, пер. с нем., в сборнике: Об основаниях геометрии, М., 1956; Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 1-3, М. - Л., 1946-51; Больаи Я., Appendix. Приложение,..., пер. с латин., М. - Л., 1950; Риман Б., О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии, пер. с нем., в сборнике: Об основаниях геометрии, М., 1956; Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа»), там же; Картан Э., Группы голономии обобщенных пространств, пер. с франц., в кн.: VIII-й Международный конкурс на соискание премии имени Николая Ивановича Лобачевского (1937 год), Казань, 1940; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. - Л., 1948.

История. Кольман Э., История математики в древности, М., 1961; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Cantor М., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

б) Элементарная геометрия. Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, М., 1938; Погорелов А. В., Элементарная геометрия, М., 1969.

в) Аналитическая геометрия. Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Погорелов А. В., Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968.

д) Начертательная и проективная геометрия. Глаголев Н. А., Начертательная геометрия, 3 изд., М. - Л., 1953; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

е) Риманова геометрия и её обобщения. Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 2 изд., М. - Л., 1964; Норден А. П., Пространства аффинной связности, М. - Л., 1950; Картан Э., Геометрия римановых пространств, пер. с франц., М. - Л., 1936; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948.

Некоторые монографии по геометрии. Федоров Е. С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М. - Л., 1950; его же, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. - Л., 1948; Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; его же, Выпуклые поверхности, пер. с англ., М., 1964; Картан Э., Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства, пер. с франц., М. - Л., 1936; Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М. - Л., 1948; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. - Л., 1937; его же, Теория конгруенций, М. - Л., 1950; Схоутен И. А., Стройк Д. Дж., Введение в новые методы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1-2, М. - Л., 1939-48; Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; Милнор Дж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965.

Словарь иностранных слов русского языка

Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности .

Полагают, что имеется область Ω и в ней область A. На Ω наудачу бросается точка. Событие А – попадание точки в область А.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области Ω, т.е.

Область Ω может быть одномерной, двумерной, трехмерной и n-мерной.

Пример . В круг радиуса R=50 бросается точка. Найти вероятность ее попадания во вписанный в круг квадрат.

Решение . P(A) = =; (R =; a =)

6. Сумма событий и ее свойства. Примеры.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В - совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В - несовместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А, или события В.

Свойства:

А + В = В + А – коммутативность сложения.

А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность сложения.

А(В + С) = (А+В)(А+С) – законы дистрибутивности.

Примеры.

1) Событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие В – попадание в цель при втором выстреле, тогда событие С = А + В есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

2) Если событие А – появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие В – появление карты бубновой масти, то С = А + В есть появление карты красной масти, безразлично – червонной или бубновой.

7. Теорема сложения вероятностей (с доказательством) и ее следствия. Примеры. 8 Произведение событий и его свойства.

9. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры

Вероятность Р(В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность р(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается РА(В), или Р(В/А), или Р(В/А).

Теорема Умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, независимы.

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е.

В противном случае, если РА(В) не равно Р(В) событие В называется зависимым от А.

Несколько событий А,В,М… называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимо любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события А,В,М называются зависимыми.

Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

10. Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть события H1 , H2 ,K, Hn образуют полную группу попарно несовместных событий. Такие события называются гипотезами. Пусть событие A происходит вместе с гипотезами H1 , H2 ,K, Hn. Тогда для вероятности события A справедлива формула

P (A )  P (H 1)  P H (A )  P (H 2)  P H (A ) K P (H n )  P H (A ) .

Доказательство. A  AH 1  AH 2 K AH n . Так как H 1 , H 2 ,K, H n попарно несовместные, тоAH 1 , AH 2 ,K, AH n также попарно несовместные. По правилу сложения вероятностей имеем

P (A )   P (A H i )   P (H i )  P H i (A ) .

Что и требовалось доказать.

Пример. На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году – с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе – в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов?

Решение. Другими словами, нужно вычислить вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом. Обозначим следующие события: A воздействие вредных выбросов, H1 ветер дует с севера,H2 ветер дует с запада. По условию имеем

Геометрия - это наука, изучающая пространственные отношения и формы предметов.

Евклидова геометрия - это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида.

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) - одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Прямая линия, ограниченная с одного конца и неограниченная с другого, называется лучом.

Часть прямой, ограниченная с двух сторон, называется отрезком.

Угол - это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (стороны угла), исходящими из одной точки (вершина угла). Применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. Угол в 90° называется прямым; угол, меньший чем 90°, называется острым; угол, больший чем 90°, называется тупым.

Смежные углы - это углы, имеющие общую вершину и общую сторону; две другие стороны являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов равна 180°. Вертикальные углы - это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Все перпендикуляры к одной и той же прямой параллельны между собой, и обратно, прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой образуются восемь углов, которые попарно называются: соответственные углы (эти углы попарно равны); внутренние накрест лежащие углы (они попарно равны); внешние накрест лежащие углы (они попарно равны); внутренние односторонние углы (их сумма равна 180°); внешние односторонние углы (их сумма равна 180°).

Теорема Фалеса . При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки.

Аксиомы геометрии . Аксиома принадлежности: через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну. Аксиома порядка: среди любых трех точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

Aксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов: если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой. Аксиома параллельных прямых: через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда): для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A1, A2, …, An, лежащих на прямой AB, таких что отрезки AA1, A1A2, …, An-1An конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An.

Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником.
В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником, шестиугольником и т. д. Сумма длин называется периметром и обозначается p.
Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180°*(n-2), где n - число углов (или сторон) многоугольника.

Треугольник - это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; стороны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник. Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны. Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.

В прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:

Площадь прямоугольного треугольника :

Радиус вписанной окружности:

В произвольном треугольнике:

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность:

где а - сторона, n - число сторон многоугольника, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности (апофема правильного многоугольника).

Площадь правильного многоугольника:

Длины сторон и диагоналей связаны формулой:

Основные свойства треугольников:

• против большей стороны лежит больший угол и наоборот;
• против равных сторон лежат равные углы и наоборот;
• сумма углов треугольника равна 180°;
• продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним;
• любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

Признаки равенства треугольников: треугольники равны, если равны:

• две стороны и угол между ними;
• два угла и прилегающая к ним сторона;
• три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

• равны их катеты;
• катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
• гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
• катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
• катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или ее продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника - снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Формула для высоты треугольника:

Медиана - это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса - это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Формула для биссектрисы треугольника:

Срединный перпендикуляр - это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга. В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном - снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора . В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: c2 = a2 + b2.

В общем случае (для произвольного треугольника) имеем: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, где C - угол между сторонами a и b.

Четырехугольник - фигура, образованная четырьмя точками (вершинами), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырьмя последовательно соединяющими их отрезками (сторонами), которые не должны пересекаться.

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними - высотой.

Свойства параллелограмма:

• противоположные стороны параллелограмма равны;
• противоположные углы параллелограмма равны;
• диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам;
• сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон.

Площадь параллелограмма:

Радиус вписанной в параллелограмм окружности:

Прямоугольник - это параллелограмм, все углы которого равны 90°.

Основные свойства прямоугольника.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (по теореме Пифагора).

Площадь прямоугольника: S = ab.

Диаметр прямоугольника:

Радиус описанной около прямоугольника окружности:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят их углы пополам.

Площадь ромба выражается через диагонали:

Квадрат - это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами. Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно, следовательно, он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Площадь квадрата:

Радиус описанной около квадрата окружности:

Радиус вписанной в квадрат окружности:

Диагональ квадрата:

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называюся основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами. Расстояние между основаниями есть высота. Отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны.

Площадь трапеции: , где a и b - основания, h - высота.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из свойства трапеции, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из ее оснований превращается в точку.

Подобие плоских фигур . Если изменить все размеры плоской фигуры одно и то же число раз (отношение подобия), то старая и новая фигуры называются подобными. Два многоугольника подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:

• все их соответственные углы равны (достаточно двух углов);
• все их стороны пропорциональны;
• две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключенные между этими сторонами, равны.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон, диаметров).

Геометрическое место точек - это множество всех точек, удовлетворяющих определенным заданным условиям.

Окружность - это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается - r. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности называется дугой. Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности - хордой. Хорда, проходящая через центр круга, называется диаметром и обозначается d. Диаметр - это наибольшая хорда, по величине равная двум радиусам: d = 2r.

Где а - действительная, b - мнимая полуось.

Уравнение плоскости в пространстве:
Ax + By + Cz + D = 0,
где x, y, z - прямоугольные координаты переменной точки плоскости, A, B, C - постоянные числа.
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка называется точкой касания.

Свойства касательной:

• касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания;
• из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны.

Сегмент - это часть круга, ограниченная дугой и соответствующей хордой. Длина перпендикуляра, проведенного из середины хорды до пересечения с дугой, называется высотой сегмента.

Сектор - это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги.

Углы в круге . Центральный угол - угол, образованный двумя радиусами. Вписанный угол - это угол, образованный двумя хордами, проведенными из их одной общей точки. Описанный угол - угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки.

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Радианная мера любого угла - это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к ее радиусу.

Соотношения между элементами круга.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга, то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг, прямые.

Угол, образованный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Угол, образованный двумя секущими, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.

Угол, образованный касательной и секущей, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Описанный угол, образованный двумя касательными, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой пересечения, равны.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Хорда, перпендикулярная диаметру, делится в их точке пересечения пополам.

Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности. Описанным около круга называется многоугольник, стороны которого являются касательными к окружности. Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника, называется описанной около многоугольника; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными, называется вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника эта возможность существует всегда.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба (квадрата). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырехугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180°. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг, если только она равнобочная. Правильный многоугольник - это многоугольник с равными сторонами и углами.

Правильный четырехугольник - это квадрат; правильный треугольник - равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180°(n - 2)/n , где n - число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O, равноудаленная от всех его вершин, которая называется центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудален от всех его сторон. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема.

Основные аксиомы стереометрии.

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести одну и только одну плоскость.

Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей, образующих в этом случае пучок плоскостей. Прямая, через которую проходят все плоскости пучка, называется осью пучка. Через любую прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Через две прямые не всегда можно провести плоскость, тогда эти прямые называются скрещивающимися.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжать, но они не являются параллельными прямыми, так как не лежат в одной плоскости. Только параллельные прямые являются непересекающимися линиями, через которые можно провести плоскость. Разница между скрещивающимися и параллельными прямыми состоит в том, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а скрещивающиеся - нет. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести одну и только одну плоскость. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть длина отрезка, соединяющего ближайшие точки, расположенные на скрещивающихся прямых. Непересекающиеся плоскости называются параллельными плоскостями. Плоскость и прямая либо пересекаются (в одной точке), либо нет. В последнем случае говорят, что прямая и плоскость параллельны друг другу.

Перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и ежащей на прямой, перпендикулярной плоскости.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проекцией отрезка на плоскость P является отрезок, концы которого являются проекциями точек данного отрезка.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная к ребру, дает в ее пересечении с полуплоскостями угол называемый линейным углом двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Многогранный угол . Если через точку провести множество плоскостей, которые последовательно пересекаются друг с другом по прямым, то получим фигуру, называемую многогранным углом. Плоскости, образующие многогранный угол называются его гранями; прямые, по которым последовательно пересекаются грани называются ребрами многогранного угла. Минимальное количество граней многогранного угла равно трем.

Параллельные плоскости вырезают на ребрах многогранного угла, пропорциональные отрезки и образуют подобные многоугольники.

Признаки параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки параллельности плоскостей:

• Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
• Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Признаки перпендикулярности прямой и плоскости.
• Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
• Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.

Признаки параллельности прямых в пространстве:

• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат xy:
ax + bx + c = 0, где a, b, c - постоянные числа, x и y -координаты переменной точки M(x,y) на прямой.

Признаки параллельности прямых:

Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.

Многогранник - это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, их вершины - вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник - выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Куб - объемная фигура с шестью равными гранями.

Объем и площадь поверхности куба:

Призмой называется многогранник, две грани которого (основания призмы) - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани - параллелограммы.

Отрезки, соединяющие соответствующие вершины, называются боковыми ребрами. Высота призмы - это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть, соответственно треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Площадь боковой поверхности прямой призмы:
S бок = P*H, где P - периметр основания, а H - высота.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней, и все они - параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Если четыре боковые грани параллелепипеда - прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его ребра a, b, c связаны соотношением d2 = a2 + b2 + c2. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны.

Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
V = a*b*c, S полн = 2(ab + ac + bc).

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) является произвольным многоугольником, а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть, соответственно, треугольной, четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Треугольная пирамида является тетраэдром, четырехугольная - пятигранником и т. д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота падает в центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны; все боковые грани - равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключенное между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними - высотой. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, - правильная. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды - равные равнобочные трапеции.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
, где P - периметр основания; h - высота боковой грани (апофема правильной пирамиды).

Объем усеченной пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:
,
где P и P’ - периметры оснований; h - высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирамиды).

Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой, сохраняющей свое направление и пересекающейся с заданной линией (кривой). Эта линия называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Части этих плоскостей называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями - высота цилиндра. Цилиндр прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание - круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым. Призма является частным случаем цилиндра.

Объем, площади боковой и полной поверхностей цилиндра:
,
где R - радиус оснований; H - высота цилиндра.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра.

Сечения, параллельные основанию, - круги того же радиуса.

Сечения, параллельные образующим цилиндра, - пары параллельных прямых.

Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим, - эллипсы.

Коническая поверхность образуется при движении прямой, проходящей все время через неподвижную точку, и пересекающей за данную линию, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими конической поверхности; точка - ее вершиной. Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом, другая - его продолжением.

Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.

Конус - это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью, не проходящей через вершину.

Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, называется высотой конуса.

Пирамида является частным случаем конуса. Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса:
,
где r - радиус; Sосн - площадь; P - длина окружности основания; L - длина образующей; H - высота конуса.

Объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса:

Конические сечения.

Сечения кругового конуса, параллельные его основанию, - круги.

Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей, - эллипс.

Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих, - парабола.

Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей. В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конус).

Сферическая поверхность - это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферической поверхности.

Шар (сфера) - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара - круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.

Объем шара в полтора раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра.

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:
(x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)= R2,
здесь x, y, z - координаты переменной точки на сфере;
x0, y0, z0 - координаты центра;
R - радиус сферы.

Объем шара и площадь сферы:

Объем шарового сегмента и площадь сегментной поверхности:
,
где h - высота шарового сегмента.

Объем и площадь полной поверхности шарового сектора:
,
где R - радиус шара; h - высота шарового сегмента.

Объем и площадь полной поверхности шарового слоя:
,
где h - высота; r1 и r2 - радиусы оснований шарового слоя.

Объем и площадь поверхности тора:
,
где r - радиус круга; R - расстояние от центра круга до оси вращения.

Средняя кривизна поверхности S в точке A0:

Части шара . Часть шара (сферы), отсекаемая от него какой-либо плоскостью, называется шаровым (сферическим) сегментом. Круг называется основанием шарового сегмента. Отрезок перпендикуляра, проведенного из центра круга до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферическую поверхность, называется шаровым слоем; кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Расстояние между основаниями шарового пояса - его высота. Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной - центр шара, называется шаровым сектором.

Симметрия.

Зеркальная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии. Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова, они называются зеркально равными.

Центральная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно центра C, если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам. Точка C в этом случае называется центром симметрии.

Симметрия вращения. Тело обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360° / n (n - целое число) вокруг некоторой прямой AB (оси симметрии) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n=2 имеем осевую симметрию.

Примеры видов симметрии. Шар (сфера) обладает и центральной, и зеркальной и симметрией вращения. Центром симметрии является центр шара; плоскостью симметрии является плоскость любого большого круга; осью симметрии - диаметр шара.

Круглый конус обладает осевой симметрией; ось симметрии - ось конуса.

Прямая призма обладает зеркальной симметрией. Плоскость симметрии параллельна ее основаниям и расположена на одинаковом расстоянии между ними.

Симметрия плоских фигур.

Зеркальноосевая симметрия. Если плоская фигура симметрична относительно плоскости (что возможно, если только плоская фигура перпендикулярна этой плоскости), то прямая, по которой эти плоскости пересекаются, является осью симметрии второго порядка данной фигуры. В этом случае фигура называется зеркально-симметричной.

Центральная симметрия. Если плоская фигура имеет ось симметрии второго порядка, перпендикулярную плоскости фигуры, то точка, в которой пересекаются прямая и плоскость фигуры, является центром симметрии.

Примеры симметрии плоских фигур.

Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Его центр симметрии - точка пересечения диагоналей.
Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Ее ось симметрии - перпендикуляр, проведенный через середины оснований трапеции.

Ромб имеет и центральную, и осевую симметрию. Его ось симметрии - любая из его диагоналей; центр симметрии - точка их пересечения.