1 Що таке випадкова величина. Випадкові величини

Якщо класичнатеорія ймовірностей вивчала, в основному, події та ймовірність їх появи (настання), то сучаснатеорія ймовірностей вивчає випадкові явища та його закономірності з допомогою випадкових величин. Поняття випадкової величини, таким чином, є основним теоретично ймовірностей. Ще раніше проводилися події, що перебувають у появі того чи іншого числа. Наприклад, при киданні гральної кістки могли з'явитися числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед визначити число очок, що з'явилися, неможливо, оскільки воно залежить від багатьох випадкових причин, які повністю не можуть бути враховані. У цьому сенсі число очок є випадковою, а числа 1, 2, 3, 4, 5 і 6 є можливі значенняцієї величини.

Випадковою величиноюназивається величина, яка в результаті досвіду приймає те чи інше (причому, одне і тільки одне) можливе числове значення, наперед невідоме і залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Випадкові величини прийнято, як правило, позначати великими літерами, а їх можливе значення - відповідними малими літерами Наприклад, якщо випадкова величина має три можливі значення, то вони, відповідно, позначаються так:. Для зручності писатимемо: .

ПРИКЛАД 1. Число хлопчиків, що народилися, серед ста новонароджених є величина випадкова, яка має наступні можливі значення: 0, 1, 2, ..., 100.

ПРИКЛАД 2. Відстань, що пролетить снаряд при пострілі з гармати, є також випадкова. Справді, відстань залежить як від установки прицілу, а й багатьох інших причин (сили та напрями вітру, температури тощо. п.), які можуть бути повністю враховані. Можливі значення цієї величини, очевидно, належать деякому проміжку (інтервалу).

Зауважимо, що з кожною випадковою подією можна пов'язати якусь випадкову величину, що приймає значення R. Наприклад, досвід - Постріл по мішені; подія - Попадання в ціль; випадкова величина - Число попадань в ціль.

Повернемося до прикладів, наведених вище. У першому їх випадкова величина могла прийняти одне з наступних можливих значень: 0, 1, 2,..., 100. Ці значення відокремлені одне одного проміжками, у яких немає можливих значень. Таким чином, у цьому прикладі випадкова величина набуває окремих, ізольованих, можливих значень.

У другому прикладі випадкова величина могла прийняти будь-яке значення проміжку. Тут не можна відокремити одне можливе значення від іншого проміжком, який не містить можливих значень випадкової величини.

Вже зі сказаного можна укласти про доцільність розрізняти випадкові величини, що приймають лише окремі, ізольовані значення і випадкові величини, можливі значення яких заповнюють певний проміжок.

Дискретної ( перервний ) випадковою величиною називається така випадкова величина, яка приймає кінцеве чи лічильне безліч 1 різних значень. Іншими словами - це така випадкова величина, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з певними ймовірностями.

Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.

Безперервний називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного проміжку дійсної числової осі.

Вочевидь, по-перше, кількість можливих значень безперервної випадкової величини – нескінченно. По-друге, дискретна випадкова величина є окремим випадком безперервної випадкової величини.

Закон розподілу ймовірностей

I. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини

На перший погляд може здатися, що для завдання випадкової дискретної величини достатньо перерахувати всі її можливі значення. Насправді це негаразд: різні випадкові величини іноді може мати однакові переліки можливих значень, а відповідні ймовірності цих значень – різні. Тож повної характеристики мало знати значення випадкової величини, треба знати, наскільки часто ці значення зустрічаються у досвіді за його повторенні, тобто. потрібно ще вказати ймовірність їх появи.

Розглянемо випадкову величину . Поява кожного їх можливих значень свідчить про те, що сталося відповідно одна з подій, що утворюють повну групу 2 . Припустимо, що ймовірності цих подій відомі:

, . . . , ,

Тоді: відповідність, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями, називаєтьсязаконом розподілу ймовірностей випадкової величини , чи навіть – законом розподілу випадкової величини.

Закон розподілу ймовірностей даної випадкової величини можна поставити таблично (ряд розподілу), аналітично (як формули) і графічно.

При табличному завданні закону розподілу дискретної випадкової величини перший рядок таблиці містить можливі значення, а другий - ймовірності, тобто.

З метою наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, навіщо у прямокутної системі координат будують точки , та був з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу. При цьому сума ординат побудованого багатокутника дорівнює одиниці.

Аналітично, закон розподілу дискретної випадкової величини можна записати, наприклад, використовуючи формулу Бернуллі для схеми повторення незалежних дослідів. Так, якщо позначити випадкову величину, якою є кількість бракованих деталей у вибірці, через , то можливі її значення будуть 0, 1, 2, . . . ,. Тоді, очевидно, формула Бернуллі встановлюватиме залежність між значеннями і ймовірністю() їх появи, де

,

що визначає закон розподілу даної випадкової величини.

II. Закон розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини

Згадаймо, що дискретна випадкова величина задається переліком її можливих значень та його ймовірностей. Такий спосіб завдання не є загальним: він не застосовується, наприклад, для безперервних випадкових величин.

Справді, розглянемо випадкову величину , можливі значення якої часто заповнюють інтервал. Чи можна скласти список всіх можливих значень? Очевидно, що цього не можна зробити. Цей приклад свідчить про доцільність дати загальний спосібзавдання будь-яких типів випадкових величин (як зазначалося, дискретна випадкова величина є окремим випадком безперервної випадкової величини). З цією метою вводять інтегральну функціюрозподілу.

Нехай – змінна, що набуває довільних дійсних значень (на осі:) . Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина набуде значення менше. Тоді, ймовірність події залежить від, тобто. є функцією від. Цю функцію прийнято позначати через і називати функцією розподілу випадкової величини або, ще - інтегральною функцією розподілу. Іншими словами:

інтегральною функцією розподілу називають функцію , що визначає для кожного значення R імовірність того, що випадкова величина прийме значення, що менше, тобто.

.

Геометрично цю рівність можна тлумачити так: є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що лежить ліворуч від точки.

Властивості інтегральної функції:

Доказ цієї властивості випливає з визначення інтегральної функції як ймовірності: вірогідність є невід'ємне число, що не перевищує одиниці.

Справді, нехай - подія, яка полягає в тому, що випадкова величина набуде значення менше; аналогічно,
- Подія, що полягає в тому, що випадкова величина прийме значення менше. Іншими словами:

Що й потрібно було показати.

Ця властивість цілком очевидна. Так, якщо - достовірна подія, а - неможлива подія, то

Але ,В результаті, можемо записати: що і потрібно показати.

Ми в основному вивчатимемо такі безперервні випадкові величини, функції розподілу яких безперервні.

.

Для безперервної випадкової величини наочнішою є не інтегральна, а диференціальна функція розподілу або, так звана, щільність розподілу випадкової величини.

Випадкова величина як фундаментальне поняття теорії ймовірності має велике значенняу її додатках. Це поняття є абстрактним виразом випадкової події. Понад те, оперувати з випадковими величинами іноді зручніше, ніж із випадковими подіями.

Випадковийназивається величина, яка в результаті досвіду може прийняти те чи інше (але одне) значення (до досвіду невідомо, яке саме).

Події прийнято означати великими літерами латинського алфавіту, ймовірність буквою Р,наприклад, Р(А).Реалізації події (випадкові величини) позначаються малими літерами: a 1 , a 2 , …, a n.

Оскільки в теорії ймовірностей та математичної статистикирозглядаються масові явища, то випадкова величина, як правило, характеризується можливими значеннями та його ймовірностями.

Серед випадкових величин, що зустрічаються в практиці, можна виділити дискретні і безперервні.

Дискретними випадковими величинаминазиваються такі, які приймають лише відокремлені один від одного значення і можуть бути перераховані заздалегідь.Наприклад, кількість автомобілів на заданій кілометровій ділянці дороги у конкретний момент часу; число бракованих вузлів деталей автомобіля в партії з nштук.

Для дискретних випадкових величинхарактерно, що вони приймають окремі, ізольовані значення,які можна заздалегідь перерахувати. Наприклад, кількість автомобілів на заданій ділянці дороги може набувати лише цілих чисел 0, 1,2, ..., пі залежить від часу доби та інтенсивності руху.

Існують випадкові величини іншого типу, які найчастіше зустрічаються і мають велике практичне значення.

Безперервною випадковою величиноюназивається така, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий проміжок(інтервал числової осі). Інтервал числової осі може бути кінцевим чи нескінченним. Прикладами безперервних випадкових величин є час безвідмовної роботи автомобіля у заданих дорожніх умовах, швидкість руху автомобіля на заданій дорозі, помилка виміру.

На відміну від дискретнихможливі значення безперервних випадкових величин не можна заздалегідь перерахувати, оскільки вони постійно заповнюють певний проміжок.

Випадкові величини позначаються зазвичай великими літерами латинського алфавіту. X, Y, Z, Т,а їх можливі значення відповідними малими x i , y i , z i , t i, де i = 1, 2, .... п.

Розглянемо дискретну випадкову величину Xз можливими значеннями x 1 , x 2 , …, x n.В результаті проведення багаторазових дослідів величина Тможе прийняти кожне із значень x i, Т. е.:

X = x 1; X = x 2; …; X = x n.

Позначимо ймовірність цих подій буквою рз відповідними індексами:

P(X = x 1) = p 1; P(X = x 2) = p 2; …; P(X = x n) = p n.

Виходячи з того, що події x iутворюють повну групу несумісних подій, тобто ніяких інших подій відбутися не може, сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини Т дорівнює одиниці.

Ця сумарна ймовірність якимось чином розподілена між окремими значеннямивипадкової величини

Дискретну випадкову величинуможна повністю описати з імовірнісної точки зору, якщо точно вказати ймовірність кожної події, тобто встановити цей розподіл. Цим буде встановлено закон розподілу випадкової величини.

Законом розподілу випадкової величининазивається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм ймовірностями. Знаючи його, можна до досвіду судити про те, які значення випадкової величини з'являтимуться частіше і які рідше. Способи чи форми подання закону розподілу випадкової величини різні.

Найпростішою формоюзавдання закону розподілу дискретної випадкової величини Т є ряд розподілуабо таблиця, в якій перераховані можливі значення цієї величини та відповідні їм ймовірності.

Випадкова величина- це величина, яка набирає в результаті досвіду одне з безлічі значень, причому поява того чи іншого значення цієї величини до її виміру не можна точно передбачити.

Формальне математичне визначеннянаступне: нехай - ймовірнісний простір, Тоді випадковою величиною називається функція , що вимірюється щодо і борелевської σ-алгебри на . Імовірнісна поведінкаокремої (незалежно з інших) випадкової величини повністю описується її розподілом.

Визначення [ред.]

Простір елементарних подій[ред.]

Простір елементарних подій у разі кидання гральної кістки

Якщо кидається гральна кістка, то в результаті верхньою граннюможе бути одна з шести граней з кількістю точок від однієї до шести. Випадання будь-якої грані в даному випадкуу теорії ймовірностей називається елементарною подією, тобто

Безліч всіх граней утворює простір елементарних подій, підмножини якого називаються випадковими подіями. У разі одноразового підкидання ігрової кістки прикладами подій є

Алгебра подій

Безліч випадкових подій утворює алгебру подій, якщо виконуються такі умови:

Якщо замість третьої умови задовольняє іншу умову: об'єднання лічильного підродини також належить , то безліч випадкових подій утворює σ-алгебру подій.

Алгебра подій є окремим випадком σ-алгебри множин.

Найменша серед усіх можливих -алгебр, елементами якої є всі інтервали на речовій прямій, називається борелівською σ-алгеброю на безлічі речових чисел.

Ймовірність [ред.]

Якщо кожній елементарній події поставити у відповідність число , для якого виконується умова:

то вважається, що задані ймовірності елементарних подій. Імовірність події як лічильного підмножини простору елементарних подій визначається як сума ймовірностей тих елементарних подій, які належать цій події. Вимога рахунку є важливою, оскільки, інакше сума буде не визначена.

Розглянемо приклад визначення ймовірності різних випадкових подій. Наприклад, якщо подія є порожнім безліччю, його ймовірність дорівнює нулю :

Якщо подією є простір елементарних подій, його ймовірність дорівнює одиниці:

Імовірність події (підмножини простору елементарних подій) дорівнює сумі ймовірностей тих елементарних подій, які включає в себе подію, що розглядається.

Визначення випадкової величини [ред.]

Випадковою величиною називається функція , вимірна щодо та борелівської σ-алгебри на .

Випадкову величину можна визначити й іншим еквівалентним способом. Функція називається випадковою величиною, якщо для будь-яких дійсних чисел і безліч подій, таких що , належить.

Приклади [ред.]

дорівнює середньому арифметичному всіх значень, що приймаються.

.

,

тобто математичне очікуванняне визначене.

Класифікація [ред.]

Випадкові величини можуть набувати дискретних, безперервних і дискретно-безперервних значень. Відповідно випадкові величини класифікують на дискретні, безперервні та дискретно-безперервні (змішані).

На схемі випробувань може бути визначена окрема випадкова величина (одномірна/скалярна), так і ціла системаодновимірних взаємопов'язаних випадкових величин (багатомірна/векторна).

• Приклад змішаної випадкової величини - час очікування під час переходу через автомобільну дорогуу місті на нерегульованому перехресті.
• У нескінченних схемах (дискретних чи безперервних) спочатку елементарні результати зручно описувати кількісно. Наприклад, номери градацій типів нещасних випадків під час аналізу ДТП; час безвідмовної роботи приладу під час контролю якості тощо.
• Числові значення, описують результати дослідів, можуть характеризувати необов'язково окремі елементарні результати у схемі випробувань, а й відповідати якимось складнішим подіям.

З одного боку, з однією схемою випробувань та з окремими подіями в ній одночасно може бути пов'язано відразу кілька числових величин, які необхідно аналізувати спільно.

• Наприклад, координати (абсцису, ордината) якогось розриву снаряда при стрільбі за наземною метою; метричні розміри (довжина, ширина тощо) деталі при контролі якості; результати медобстеження (температура, тиск, пульс та ін.) при діагностиці хворого; дані перепису населення (за віком, статтю, достатком тощо).

Оскільки значення числових характеристик схеми випробування відповідають у схемі деяким випадковим подіям(З їх певними ймовірностями), то й самі ці значення є випадковими (з тими самими ймовірностями). Тому такі числові характеристикиі прийнято називати випадковими величинами. У цьому розклад ймовірностей за значеннями випадкової величини називається законом розподілу випадкової величини.

Методи опису [ред.]

Частково задати випадкову величину, описавши цим всі її ймовірні властивості як окремої випадкової величини, можна за допомогою функції розподілу, щільності ймовірності і характеристичної функції, Визначаючи ймовірності можливих її значень. Функція розподілу F(x) є ймовірністю того, що значення випадкової величини менше речового числа x. З цього визначення випливає, що можливість потрапляння значення випадкової величини в інтервал

Випадкова величина, взагалі кажучи, може набувати значень у будь-якому вимірному просторі. Тоді її частіше називають випадковим векторомабо випадковим елементом. Наприклад,

також [ред.]

• Випадковий процес
• Функція розподілу
• Математичне очікування

[ред.]

1. 1 2 Чернова Н. І.Розділ 1. § 2. Елементарна теоріяймовірностей// Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
2. Чернова Н. І.Глава 3. § 1. Алгебра та сигма-алгебра подій // Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
3. Чернова Н. І.РОЗДІЛ 1 § 2. Елементарна теорія ймовірностей// Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
4. 1 2 Чернова Н. І.Глава 6. Випадкові величини та його розподілу § 1. Випадкові величини // Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.

Література [ред.]

• Гнєденко Б. В.Курс теорії імовірності. - 8-ме вид. дод. та випр. – К.: Едиторіал УРСС, 2005. – 448 с.
• Математичний енциклопедичний словник/ Гол. ред. Прохоров Ю. В.. - 2-ге вид. - М: « Радянська енциклопедія», 1998. – 847 с.
• Тихонов В.І., Харісов В.М. Статистичний аналізта синтез радіотехнічних пристроїв та систем. - Навчальний посібник для ВНЗ. - М: Радіо і зв'язок, 1991. - 608 с. - ISBN 5-256-00789-0
• Чернова Н. І.Теорія імовірності. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.

ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ТА ХАРАКТЕРИСТИКИ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Випадкові величини, їх класифікація та способи опису.

Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, але яке саме заздалегідь не відомо. Для випадкової величини, таким чином, можна вказати лише значення, одне з яких вона обов'язково прийме в результаті досвіду. Ці значення надалі називатимемо можливими значеннями випадкової величини. Оскільки випадкова величина кількісно характеризує випадковий результат досвіду, може розглядатися як кількісна характеристикавипадкової події.

Випадкові величини зазвичай позначаються великими літерамилатинського алфавіту, наприклад, X..Y..Z, які можливі значення- відповідними малими буквами.

Розрізняють три типи випадкових величин:

Дискретні; Безперервні; Змішані.

Дискретноюназивається така випадкова величина, число можливих значень якої утворює лічильну множину. У свою чергу, лічильним називається безліч, елементи якого можна пронумерувати. Слово «дискретний» походить від латинського discretus, що означає «переривчастий, що складається з окремих частин» .

Приклад 1. Дискретною випадковою величиною є число бракованих деталей Х партії з nтук. Справді, можливими значеннями цієї випадкової величини є цілих чисел від 0 до n.

Приклад 2. Дискретною випадковою величиною є число пострілів до першого влучення в ціль. Тут, як і в прикладі 1, можливі значення можна пронумерувати, хоча в граничному випадку можливе значення нескінченно великим числом.

Безперервнийназивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий інтервал числової осі, іноді званий інтервалом існування цієї випадкової величини. Таким чином, на будь-якому кінцевому інтервалі існування число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно велике.

Приклад 3. Безперервною випадковою величиною є витрата електроенергії для підприємства протягом місяця.

Приклад 4. Безперервною випадковою величиною є помилка виміру висоти за допомогою висотоміру. Нехай із принципу роботи висотоміра відомо, що помилка лежить у межах від 0 до 2 м. Тому інтервалом існування цієї випадкової величини є інтервал від 0 до 2 м.

Закон розподілу випадкових величин.

Випадкова величина вважається повністю заданою, якщо на числовій осі вказано її можливі значення та встановлено закон розподілу.

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Про випадкову величину кажуть, що вона розподілена за цим законом, або підпорядкована цьому закону розподілу. Як закони розподілу використовуються ряд ймовірностей, функція розподілу, щільність ймовірності, характеристична функція.

Закон розподілу дає повний ймовірний опис випадкової величини. За законом розподілу можна судити до досвіду про те, які можливі значення випадкової величини з'являтимуться частіше, а які – рідше.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, аналітично (як формули) і графічно.

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.

Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини. 1

Події Х 1 , Х 2 ,..., Х n , які в тому, що в результаті випробування випадкова величина X прийме відповідно значення х 1 , x 2 ,... х n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини), тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Таким чином, для будь-якої дискретної випадкової величини

(Ця одиниця якось розподілена між значеннями випадкової величини, звідси термін «розподіл»).

Ряд розподілу може бути зображений графічно, якщо осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а по осі ординат - відповідні їх ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, яка називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей (рис. 1).

прикладУ лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 грош. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Усього продається 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, який купив один квиток.

Рішення. Можливі значення випадкової величини X - чистого виграшу однією квиток - рівні 0-7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш відповідно до відеомагнітофона, телевізора або автомобіля). Враховуючи, що з 1000 квитків кількість тих, хто не виграв, становить 990, а вказаних виграшів відповідно 5, 4 і 1, і використовуючи класичне визначенняймовірності, отримаємо.

Одним із найважливіших основних понять теорії ймовірностей є поняття про випадкову величину.

Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме.

Приклади випадкових величин:

1) кількість попадань при трьох пострілах;

2) кількість дзвінків, що надходили на телефонну станцію за добу;

3) частота влучення при 10 пострілах.

У всіх трьох наведених прикладах випадкові величини можуть приймати окремі ізольовані значення, які можна заздалегідь перерахувати.

Так, у прикладі 1) ці значення:

у прикладі 2):

у прикладі 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Такі випадкові величини, що приймають лише відокремлені один від одного значення, які можна заздалегідь перерахувати, називаються перервними або дискретними випадковими величинами.

Існують випадкові величини іншого типу, наприклад:

1) абсцису точки влучення при пострілі;

2) помилка зважування тіла на аналітичних терезах;

3) швидкість літального апарату на момент виходу задану висоту;

4) вага навмання взятого зерна пшениці.

Можливі значення таких випадкових величин не відокремлені одна від одної; вони безперервно заповнюють деякий проміжок, який іноді має різко виражені межі, а частіше – невизначені межі, розпливчасті.

Такі випадкові величини, можливі значення яких постійно заповнюють деякий проміжок, називаються безперервними випадковими величинами.

Поняття випадкової величини грає дуже важливу рольтеоретично ймовірностей. Якщо «класична» теорія ймовірностей оперувала переважно з подіями, то сучасна теорія ймовірностей вважає за краще, де тільки можливо, оперувати з випадковими величинами.

Наведемо приклади типових для теорії ймовірностей прийомів переходу від подій до випадкових величин.

Виробляється досвід, внаслідок якого може виникнути або з'явитися певна подія. Замість події можна розглянути випадкову величину , що дорівнює 1, якщо подія відбувається, і дорівнює 0, якщо подія не відбувається. Випадкова величина, очевидно, є перервною; вона має два можливі значення: 0 і 1. Ця випадкова величина називається характеристичною випадковою величиною події. Насправді часто замість подій виявляється зручніше оперувати їх характерними випадковими величинами. Наприклад, якщо проводиться ряд дослідів, у кожному з яких можлива поява події, то загальне числоПоява події дорівнює сумі характеристичних випадкових величин події у всіх дослідах. При вирішенні багатьох практичних завданькористування таким прийомом виявляється дуже зручним.

З іншого боку, дуже часто для обчислення ймовірності події зручно пов'язати цю подію з якоюсь безперервною випадковою величиною (або системою безперервних величин).

Нехай, наприклад, вимірюються координати якогось об'єкта для того, щоб побудувати точку М, що зображує цей об'єкт на панорамі (розгортці) місцевості. Нас цікавить подія , яка полягає в тому, що помилка R у положенні точки М не перевищить заданого значення (рис. 2.4.1). Позначимо випадкові помилки у вимірі координат об'єкта. Очевидно, подія рівнозначна попаданню випадкової точки М з координатами у межі кола радіуса з центром у точці О. Іншими словами, для виконання події випадкові величини і повинні задовольняти нерівності

Імовірність події є нічим іншим, як ймовірність виконання нерівності (2.4.1). Ця можливість може бути визначена, якщо відомі властивості випадкових величин .

Такий органічний зв'язок між подіями та випадковими величинами вельми характерний для сучасної теоріїймовірностей, яка де тільки можливо, переходить від «схеми подій» до «схеми випадкових величин». Остання схема порівняно з першою є набагато більш гнучкий і універсальний апарат для вирішення завдань, що відносяться до випадкових явищ.