Додавання та множення подій їх властивості. Теорема складання ймовірностей несумісних подій

Необхідність у діях над ймовірностями настає тоді, коли відомі ймовірності деяких подій, а обчислити потрібно ймовірності інших подій, пов'язаних із даними подіями.

Додавання ймовірностей використовується тоді, коли потрібно обчислити ймовірність об'єднання чи логічної суми випадкових подій.

Суму подій Aі Bпозначають A + Bабо A ∪ B. Сумою двох подій називається подія, яка настає тоді і лише тоді, коли настає хоча б одна з подій. Це означає, що A + B– подія, яка настає тоді і лише тоді, коли під час спостереження сталася подія Aабо подія B, або одночасно Aі B.

Якщо події Aі Bвзаємно несумісні та його ймовірності дані, то ймовірність те, що в результаті одного випробування відбудеться одна з цих подій, розраховують, використовуючи додавання ймовірностей.

Теорема складання ймовірностей.Імовірність того, що відбудеться одне з двох взаємно не спільних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Наприклад, на полюванні зроблено два постріли. Подія А- попадання в качку з першого пострілу, подія У- Попадання з другого пострілу, подія ( А+ У) – попадання з першого чи другого пострілу чи з двох пострілів. Отже, якщо дві події Аі У- несумісні події, то А+ У- Настання хоча б однієї з цих подій або двох подій.

приклад 1.У ящику 30 м'ячиків однакових розмірів: 10 червоних, 5 синіх та 15 білих. Обчислити ймовірність того, що не дивлячись буде взято кольоровий (не білий) м'ячик.

Рішення. Приймемо, що подія А– «взято червоний м'ячик», а подія У– «взято синій м'ячик». Тоді подія – «взято кольоровий (не білий) м'ячик». Знайдемо ймовірність події А:

та події У:

Події Аі У- Взаємно несумісні, тому що якщо взято один м'ячик, то не можна взяти м'ячики різних квітів. Тому використовуємо складання ймовірностей:

Теорема складання ймовірностей для кількох несумісних подій.Якщо події становлять безліч подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1:

Сума ймовірностей протилежних подій також дорівнює 1:

Протилежні події утворюють безліч подій, а ймовірність повної множини подій дорівнює 1.

Імовірності протилежних подій зазвичай позначають малими літерами pі q. Зокрема,

з чого випливають такі формули ймовірності протилежних подій:

приклад 2.Ціль у тирі розділена на 3 зони. Імовірність того, що якийсь стрілець вистрілить у ціль у першій зоні дорівнює 0,15, у другій зоні – 0,23, у третій зоні – 0,17. Знайти ймовірність того, що стрілець потрапить у ціль і ймовірність того, що стрілок потрапить повз ціль.

Рішення: Знайдемо ймовірність того, що стрілок потрапить у ціль:

Знайдемо ймовірність того, що стрілець потрапить повз ціль:

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .

Складання ймовірностей взаємно спільних подій

Дві випадкові події називаються спільними, якщо наступ однієї події не виключає настання другої події в тому самому спостереженні. Наприклад, при киданні гральної кістки подією Авважається випадання числа 4, а подією У- Випадання парного числа. Оскільки число 4 є парним числом, ці дві події сумісні. У практиці зустрічаються завдання щодо розрахунку ймовірностей настання однієї з взаємно спільних подій.

Теорема складання можливостей для спільних подій.Імовірність того, що настане одна із спільних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій, з якої віднято ймовірність загального настання обох подій, тобто добуток ймовірностей. Формула ймовірностей спільних подій має такий вигляд:

Оскільки події Аі Усумісні, подія А+ Унастає, якщо настає одна з трьох можливих подій: або АВ. Відповідно до теореми складання несумісних подій, обчислюємо так:

Подія Анастане, якщо настане одна з двох несумісних подій: або АВ. Однак ймовірність настання однієї події з кількох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей усіх цих подій:

Аналогічно:

Підставляючи вирази (6) і (7) у вираз (5), отримуємо формулу ймовірності для спільних подій:

При використанні формули (8) слід враховувати, що події Аі Уможуть бути:

• взаємно незалежними;
• взаємно залежними.

Формула ймовірності для взаємно незалежних подій:

Формула ймовірності для взаємозалежних подій:

Якщо події Аі Унесумісні, їх збіг є неможливим випадком і, таким чином, P(AB) = 0. Четверта формула ймовірності для несумісних подій така:

приклад 3.На автоперегонах при заїзді на першій машині можливість перемогти, при заїзді на другій машині. Знайти:

• ймовірність того, що переможуть обидві автомашини;
• ймовірність того, що переможе хоча б одна машина;

1) Імовірність того, що переможе перша автомашина, не залежить від результату другої автомашини, тому події А(переможе перша автомашина) та У(переможе друга автомашина) – незалежні події. Знайдемо ймовірність того, що переможуть обидві машини:

2) Знайдемо ймовірність того, що переможе одна з двох автомашин:

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .

Вирішити завдання на складання ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 4.Впадають дві монети. Подія A- Випадання герба на першій монеті. Подія B- Випадання герба на другій монеті. Знайти ймовірність події C = A + B .

Розмноження ймовірностей

Множення ймовірностей використовують, коли слід обчислити ймовірність логічного добутку подій.

При цьому випадкові подіїмають бути незалежними. Дві події називаються взаємно незалежними, якщо настання однієї події не впливає на ймовірність настання другої події.

Теорема множення можливостей для незалежних подій.Імовірність одночасного наступу двох незалежних подій Аі Удорівнює добутку ймовірностей цих подій і обчислюється за такою формулою:

Приклад 5.Монету кидають тричі поспіль. Знайти ймовірність, що всі три рази випаде герб.

Рішення. Імовірність того, що при першому киданні монети випаде герб, вдруге, втретє. Знайдемо ймовірність того, що всі три рази випаде герб:

Вирішити завдання на множення ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 6.Є коробка з дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі, після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів грані від неграних не відрізняють. Яка ймовірність того, що після трьох ігор у коробці не залишиться неграних м'ячів?

Приклад 7. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що з літер вийде слово "кінець".

Приклад 8.З повної колоди карт (52 листи) виймаються одразу чотири карти. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

Приклад 9.Те саме завдання, що у прикладі 8, але кожна карта після виймання повертається в колоду.

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей, а також обчислювати добуток кількох подій - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей".

Імовірність того, що відбудеться хоча б одна з взаємно незалежних подій, можна обчислити шляхом віднімання з 1 твору ймовірностей протилежних подій, тобто за формулою:

приклад 10.Вантажі доставляють трьома видами транспорту: річковим, залізничним та автотранспортом. Імовірність того, що вантаж буде доставлено річковим транспортомстановить 0,82, залізничним транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Знайти ймовірність того, що вантаж буде доставлений хоча б одним із трьох видівтранспорту.

Тип завдання: 4

Умова

Імовірність того, що акумулятор не заряджений, дорівнює 0,15. Покупець у магазині набуває випадкової упаковки, яка містить два такі акумулятори. Знайдіть ймовірність того, що обидва акумулятори в цій упаковці будуть заряджені.

Рішення

Імовірність того, що акумулятор заряджено, дорівнює 1-0,15 = 0,85. Знайдемо ймовірність події «обидва акумулятори заряджені». Позначимо через A та B події «перший акумулятор заряджений» та «другий акумулятор заряджений». Отримали P(A) = P(B) = 0,85. Подія «обидва акумулятори заряджені» - це перетин подій A \cap B, його ймовірність дорівнює P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85 \ cdot 0,85 = 0,7225.

Відповідь

Тип завдання: 4
Тема: Складання та множення ймовірностей подій

Умова

Імовірність того, що ручка бракована, дорівнює 0,05. Покупець у магазині набуває випадкової упаковки, яка містить дві ручки. Знайдіть ймовірність того, що обидві ручки в цій упаковці виявляться справними.

Рішення

Імовірність того, що справна ручка, дорівнює 1-0,05 = 0,95. Знайдемо ймовірність події «обидві справні ручки». Позначимо через A та B події «перша ручка справна» та «друга ручка справна». Отримали P(A) = P(B) = 0,95. Подія «обидві справні ручки» — це перетин подій A\cap B, його ймовірність дорівнює P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95 \ cdot 0,95 = 0,9025.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 4
Тема: Складання та множення ймовірностей подій

Умова

На малюнку зображено лабіринт. Жук заповзає до лабіринту у точці «Вхід». Розвернутися і повзти в зворотному напрямкужук не може, тому на кожному роздоріжжі він обирає один із шляхів, в якому ще не був. З якою ймовірністю жук прийде до виходу Д, якщо вибір подальшого шляхує випадковим.

Рішення

Розставимо на перехрестях стрілки у напрямках, якими може рухатися жук (див. рис.).

Виберемо на кожному з перехресть один напрямок з двох можливих і вважатимемо, що при попаданні на перехрестя жук рухатиметься по обраному нами напрямку.

Щоб жук досягнув виходу Д, потрібно, щоб у кожному перехресті було обрано напрям, позначений суцільною червоною лінією. Усього вибір напряму робиться 4 рази, щоразу незалежно від попереднього вибору. Імовірність того, що кожного разу вибрано суцільну червону стрілку, дорівнює \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 4
Тема: Складання та множення ймовірностей подій

Умова

Стоянка освітлюється ліхтарем із двома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,4. Знайдіть ймовірність того, що за рік хоч одна лампа не перегорить.

Рішення

Спочатку знайдемо ймовірність події "обидві лампи перегоріли протягом року", протилежної події з умови завдання. Позначимо через A і B події «перша лампа перегоріла протягом року» та «друга лампа перегоріла протягом року». За умовою P(A) = P(B) = 0,4. Подія «обидві лампи перегоріли протягом року» — це A cap B, його ймовірність дорівнює P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (оскільки події A і B незалежні).

Шукана ймовірність дорівнює 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,16 = 0,84.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 4
Тема: Складання та множення ймовірностей подій

Умова

У готелі стоять два кулери. Кожен може бути несправний з ймовірністю 0,2 незалежно від іншого кулера. Визначте ймовірність того, що хоча б один із цих кулерів справний.

Рішення

Спочатку знайдемо ймовірність події «обидва кулери несправні», протилежної події з умови завдання. Позначимо через A і B події «перший кулер несправний» та «другий кулер несправний». За умовою P(A) = P(B) = 0,2. Подія «обидва кулери несправні» - це A \ cap B , перетин подій A і B , його ймовірність дорівнює P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04(оскільки події A і B незалежні). Шукана ймовірність дорівнює 1-P (A \ cap B) = 1-0,04 = 0,96.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 4
Тема: Складання та множення ймовірностей подій

Умова

На іспиті з фізики студент відповідає на одне запитання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Механіка» дорівнює 0,25. Імовірність того, що це питання на тему «Електрика» дорівнює 0,3. Запитань, які б ставилися одразу до двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що студенту потрапить питання з однієї з цих двох тем.

Нехай події Аі У― несумісні, причому ймовірності цих подій відомі. Питання: як знайти ймовірність того, що настане одна з цих несумісних подій? Це питання відповідь дає теорема складання.

Теорема.Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

p(А + У) = p(А) + p(У) (1.6)

Доведення. Справді, нехай n – загальне числовсіх рівноможливих та несумісних (тобто елементарних) результатів. Нехай події Асприяє m 1 наслідків, а події У – m 2 результатів. Тоді згідно класичному визначеннюймовірності цих подій рівні: p(А) = m 1 / n, p(B) = m 2 / n .

Оскільки події Аі Унесумісні, то жоден з наслідків, які сприяють події А, не сприяє подію У(Див. схему нижче).

Тому події А+Усприятимуть m 1 + m 2 результатів. Отже, для ймовірності p(А+В) Отримаємо:

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

p(А) + p(У) + p(З) + … + p(D) = 1.

Справді, нехай події А,У,З, … , Dутворюють повну групу. Через це вони є несумісними та єдино можливими. Тому подія А + В + С + … +D, що у появі (в результаті випробування) хоча одного з цих подій, є достовірним, тобто. А+В+С+…+D = і p(А+В+С+ …+D) = 1.

Через несумісність подій А,У,З, … , Dсправедлива формула:

p(А+В+С+ …+D) = p(А) + p(У) + p(З) + … + p(D) = 1.

приклад.В урні 30 куль, з них 10 червоних, 5 синіх та 15 білих. Знайти ймовірність вилучення червоного або синьої куліза умови, що з урни витягли лише одну кулю.

Рішення. Нехай подія А 1 – вилучення червоної кулі, а подія А 2 – вилучення синьої кулі. Дані події несумісні, причому p(А 1) = 10 / 30 = 1 / 3; p(А 2) = 5/30 = 1/6. По теоремі складання отримаємо:

p(А 1 + А 2) = p(А 1) + p(А 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Зауваження 1.Підкреслимо, що за змістом завдання необхідно насамперед встановити характер подій, що розглядаються – чи є вони несумісними. Якщо наведену теорему застосовувати до спільних подій, то результат буде неправильним.

Тема: 15. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ

Імовірності та їх слідства

1. Теорема складання ймовірностей спільних подій.

2. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

3. Умовна ймовірність події. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

4. Теорема складання ймовірностей спільних подій.

5. Формула повної ймовірності, формула Бейєса.

6. Повторення випробувань.

1. Теорема складання ймовірностей спільних подій.

Сумоюкількох подій називається подія, що полягає у настанні хоча б однієї з даних подій.

Якщо події А і В – спільні, то їх сума А+В означає наступ або події А, або події, або обох подій разом. Якщо А і В – несумісні події, їх сума А+В означає наступ чи події А, чи події У.

Творомдвох подій А і В називають подію АВ, що полягає у спільній появі цих подій.

Теорема: Імовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Наслідок: Сума ймовірностей несумісних подій А 1, ..., А n, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р(А1) + Р(А2)+... +Р(Аn) = 1

2. Теорема множення ймовірностей незалежних

подій .

Дві події називаються незалежними,якщо ймовірність появи одного з них не залежить від того, чи з'явилася чи не з'явилася інша подія.

Декілька подій називаються взаємно незалежними (або незалежними в сукупності), якщо кожна з них і будь-яка комбінація, складена з решти (частини чи всіх) подій, є незалежними подіями.

Якщо події А 1 ,А 2 ,...,А n взаємно незалежні, те й протилежні події також взаємно незалежні.

Теорема: Імовірність твору кількох взаємно незалежних подій дорівнює твору ймовірностей цих подій. .

Р(А 1 А 2 ,...А n ) = Р(А 1 )  Р(А 2 )  ...  Р(А n )

Для двох подій Р(АВ) = Р(А)  Р(В)

Завдання. Два товарознавці працюють незалежно один від одного. Ймовірність пропустити бракований виріб першим товарознавцем 0,1; другим 0,2. Яка ймовірність того, що при перегляді виробу обидва товарознавці не пропустять шлюб.

Рішення: подія А - шлюб пропустив І товарознавець, подію В - шлюб пропустив ІІ товарознавець.

Де подія А – шлюб не пропустить I товарознавець,

подія У - шлюб не пропустить II товарознавець.

Так як обидва працюють незалежно один від одного, то А та В незалежні події.

3. Умовна ймовірність події. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Подія В називають залежнимвід події А якщо поява події А змінює ймовірність появи події В.

Імовірність події В, знайдена за умови, що подія А сталася, називається умовною ймовірністюподії і позначається Р А (В).

Теорема : Імовірність спільної появи двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну вірогідність іншого, знайдену у припущенні, що перша подія вже настала, тобто.

Р(АВ) = Р(А) Р А (В) або Р(АВ) = Р(В) Р У (А)

Теорема множення ймовірностей може бути поширена на будь-яке число m залежних подій А1А2...Аm.

Р(А 1 А 2 ..А m )=Р(А 1 ) 

причому ймовірність наступної події обчислюється у припущенні, що всі попередні відбулися.

Завдання.У коробці 2 білих та 3 синіх ручки. З коробки виймають поспіль дві ручки. Знайти ймовірність того, що обидві ручки білі.

Рішення: подія А – обидві ручки білі, подія В – поява першої білої ручки, подія С – поява другої білої ручки.

Тоді А = В З.

Оскільки перша ручка повертається в коробку, тобто. склад коробки змінився, то події і залежні.

Р(В) = 2/5; Імовірність події З бачимо, що вже сталося, тобто. Р B (С) = ¼.

Шукана ймовірність

Складання та множення ймовірностей. У цій статті йтиметься про вирішення завдань з теорії ймовірностей. Раніше ми з вами вже розбирали деякі найпростіші завдання, для їх вирішення достатньо знати та розуміти формулу (раджу повторити).

Є тіни завдання трохи складніше, для їх вирішення необхідно знати і розуміти: правило складання ймовірностей, правило множення ймовірностей, поняття залежні та незалежні події, протилежні події, спільні та несумісні події. Не лякайтеся визначень, все просто)).У цій статті ми з вами саме такі завдання розглянемо.

Трохи важливої ​​та простої теорії:

несумісними якщо поява одного з них виключає появу інших. Тобто може статися лише одне певна подія, чи інше.

Класичний приклад: при киданні гральної кістки (кубика) може випасти лише одиниця, або тільки двійка, або тільки трійка і т.д. Кожна з цих подій несумісна з іншими та вчинення одного з них виключає вчинення іншого (в одному випробуванні). Те саме з монетою — випадання «орла» унеможливлює випадання «решки».

Також це стосується і складніших комбінацій. Наприклад, горять дві лампи освітлення. Кожна з них може перегоріти або не перегоріти протягом якогось часу. Існують варіанти:

1. Перегорає перша і перегорає друга
2. Перегорає перша та не перегорає друга
3. Не перегорає перша та перегорає друга
4. Не перегорає перша та перегорає друга.

Всі ці 4 варіанти подій несумісні — вони разом відбутися просто не можуть і жодна з них із будь-яким іншим...

Визначення: Події називаються спільнимиякщо поява одного з них не виключає появу іншого.

Приклад: з колоди карт буде взято даму і з колоди карт буде взято карту пік. Розглядаються дві події. Дані події не виключають одна одну - можна витягнути даму пік і, таким чином, відбудуться обидві події.

Про суму ймовірностей

Сумою двох подій А і В називається подія А + В, яка полягає в тому, що настане або подія А або подія або обидва одночасно.

Якщо відбуваються несумісніподії А і В, то ймовірність суми даних подій дорівнює сумі ймовірностей подій:

Приклад з гральної кісткою:

Кидаємо гральна кістка. Яка ймовірність випадання числа меншого за чотири?

Числа менші за чотири це 1,2,3. Ми знаємо, що можливість випадання одиниці дорівнює 1/6, двійки 1/6, трійки 1/6. Це несумісні події. Можемо застосувати правило додавання. Імовірність випадання числа меншого за чотири дорівнює:

Справді, якщо виходити з поняття класичної ймовірності: то число різних результатів дорівнює 6 (число всіх граней кубика), число сприятливих результатів дорівнює 3 (випадання одиниці, двійки або трійки). Шукана ймовірність дорівнює 3 до 6 або 3/6 = 0,5.

*Вірогідність суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без урахування їх спільної появи: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ)

Про множення ймовірностей

Нехай відбуваються дві несумісні події А та В, їх ймовірності відповідно дорівнюють Р(А) та Р(В). Добутком двох подій А і В називають таку подію А В, яка полягає в тому, що ці події відбудуться разом, тобто відбудеться і подія А і подія В. Імовірність такої події дорівнює добутку ймовірностей подій А і В.Обчислюється за такою формулою:

Як ви вже помітили логічна зв'язка"І" означає множення.

Приклад із тією ж гральною кісткою:Кидаємо гральну кістку двічі. Яка ймовірність випадання двох шісток?

Імовірність випадання шістки вперше дорівнює 1/6. Вдруге так само дорівнює 1/6. Імовірність випадання шістки і вперше і вдруге дорівнює добутку ймовірностей:

Говорячи простою мовою: коли в одному випробуванні відбувається деяка подія, І далі відбувається інше (інші), то ймовірність того що вони відбудуться разом дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Завдання з гральною кісткою ми вирішували, але користувалися лише логічними міркуваннями, Формулу твору не використовували. У розглянутих нижче задачах без формул не обійтися, вірніше з ними буде отримати результат простіше і швидше.

Варто сказати ще про один нюанс. При міркуваннях у розв'язанні задач використовується поняття ОДНОЧАСНІСТЬ вчинення подій. Події відбуваються одночасно - це не означає, що вони відбуваються в одну секунду (в один момент часу). Це означає, що вони у деякий проміжок часу (при одному випробуванні).

Наприклад:

Дві лампи перегорають протягом року (може бути сказано одночасно протягом року)

Два автомати ламаються протягом місяця (може бути сказано - одночасно протягом місяця)

Гральна кістка кидається три рази (окуляри випадають одночасно, це означає при одному випробуванні)

Біатлоніст робить п'ять пострілів. Події (постріли) відбуваються під час випробування.

Події А і В є незалежними, якщо ймовірність будь-якого з них не залежить від появи чи не появи іншої події.

Розглянемо завдання:

Дві фабрики випускають однакові стекла для автомобільних фар. Перша фабрика випускає 35% цього скла, друга - 65%. Перша фабрика випускає 4% бракованого скла, а друга - 2%. Знайдіть ймовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим.

Перша фабрика випускає 0,35 продукції (скла). Імовірність купити браковане скло з першої фабрики дорівнює 0,04.

Друга фабрика випускає 0,65 стекол. Імовірність купити браковане скло з другої фабрики дорівнює 0,02.

Імовірність те, що скло куплено першої фабриці І у своїй воно виявиться бракованим дорівнює 0,35∙0,04 = 0,0140.

Імовірність того, що скло куплено на другій фабриці І при цьому воно виявиться бракованим дорівнює 0,65 0,02 = 0,0130.

Купівля в магазині бракованого скла передбачає, що воно (браковане скло) куплено або з першої фабрики, або з другої. Це несумісні події, тобто отримані ймовірності складаємо:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Відповідь: 0,027

Якщо гросмейстер А. грає білими, він виграє в гросмейстера Б. з ймовірністю 0,62. Якщо А. грає чорними, то А. виграє Б. з ймовірністю 0,2. Гросмейстери А. і Б. грають дві партії, причому у другій партії змінюють колір фігур. Знайдіть ймовірність того, що А. виграє обидва рази.

Можливість виграти першу та другу партію не залежать одна від одної. Сказано, що гросмейстер повинен виграти обидва рази, тобто виграти вперше І при цьому виграти ще й вдруге. У разі, коли незалежні події мають відбутися спільно ймовірності цих подій перемножуються, тобто використовується правило множення.

Імовірність добутку зазначених подій дорівнюватиме 0,62∙0,2 = 0,124.

Відповідь: 0,124

На іспиті з геометрії школяреві дістається одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Вписане коло» дорівнює 0,3. Імовірність того, що це питання на тему «Паралелограм», дорівнює 0,25. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.

Тобто необхідно знайти ймовірність того, що школяреві дістанеться питання або на тему «Вписане коло», або на тему «Паралелограм». У даному випадкуймовірності підсумовуються, тому що ці події несумісні і може статися будь-яка з цих подій: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несумісні події – це події, які можуть статися одночасно.

Відповідь: 0,55

Біатлоніст п'ять разів стріляє по мішенях. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,9. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші чотири рази потрапив у мішені, а останній схибив. Результат округліть до сотих.

Оскільки біатлоніст потрапляє у мету з ймовірністю 0,9, він промахується з ймовірністю 1 – 0,9 = 0,1

*Промах та попадання це події, які при одному пострілі не можуть статися одночасно, сума ймовірностей цих подій дорівнює 1.

Йдеться скоєння кількох (незалежних) подій. Якщо відбувається подія і при цьому відбувається інше (наступні) одночасно (випробування), то ймовірності цих подій перемножуються.

Імовірність твору незалежних подій дорівнює твору їхньої ймовірності.

Таким чином, ймовірність події «потрапив, потрапив, потрапив, потрапив, промахнувся» дорівнює 0,9 0,9 0,9 0,9 0,1 = 0,06561.

Округлюємо до сотих, отримуємо 0,07

Відповідь: 0,07

У магазині стоять два платіжні автомати. Кожен може бути несправний з ймовірністю 0,07 незалежно від іншого автомата. Знайдіть ймовірність того, що хоча б один автомат справний.

Знайдемо ймовірність того, що несправні обидва автомати.

Ці події незалежні, отже ймовірність дорівнюватиме добутку ймовірностей цих подій: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Отже, ймовірність того, що справні обидва автомати або якийсь із них дорівнюватиме 1 – 0,0049 = 0,9951.

*Справні обидва і якийсь один повністю – відповідає умові «хоч би один».

Можна уявити ймовірність всіх (незалежних) подій для перевірки:

1. «несправний-несправний» 0,07 ∙ 0,07 = 0,0049

2. «справний-несправний» 0,93 ∙ 0,07 = 0,0651

3. «несправний-справний» 0,07∙0,93 = 0,0651

4. «справний-справний» 0,93∙0,93 = 0,8649

Щоб визначити ймовірність того, що справний хоча б один автомат, необхідно скласти ймовірність незалежних подій 2,3 та 4: Достовірною подією називається подія, яка, напевно, відбудеться в результаті досвіду. Подія називається неможливим,якщо вона ніколи не станеться внаслідок досвіду.

Наприклад, якщо з коробки, що містить тільки червоні та зелені кулі, навмання виймають одну кулю, то поява серед вийнятих куль білої – неможлива подія. Поява червоної та поява зеленої куль утворюють повну групу подій.

Визначення:Події називаються рівноможливими якщо немає підстав вважати, що одна з них з'явиться в результаті досвіду з більшою ймовірністю.

У наведеному вище прикладі поява червоної та зеленої куль – рівноможливі події, якщо в коробці знаходиться однакова кількість червоних та зелених куль. Якщо ж у коробці червоних куль більше, ніж зелених, то поява зеленої кулі – подія менш імовірна, ніж поява червоної.

Ми розглянемо ще завдання, де використовується сума і добуток ймовірностей подій, не пропустіть!

На цьому все. Успіхів вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

Марія Іванівна лає Васю:
- Петрове, ти чому вчора не був у школі?!
— Мені мама вчора штани випрала.
- Ну і що?
— А я йшов повз будинок і побачив, що Ваші висять. Думав, не прийдете.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.