A належить b. Поняття множини

Ця темамістить чимало термінології, тому я додам зміст теми, що дозволить легше орієнтуватися у матеріалі.

Почнемо з того, що ж, власне, розуміти під словом "множина". На інтуїтивному рівні під безліччю розуміють певну сукупність об'єктів, які називаються елементами множини. Наприклад, можна говорити про безліч груш на столі, безліч букв у слові "множина" і так далі. Георг Кантор (німецький математик, засновник сучасної теоріїмножин) писав, що під "множиною я розумію взагалі все те багато, яке можливо мислити як єдине, тобто таку сукупність певних елементів, Яка за допомогою одного закону може бути поєднана в одне ціле ". Деякий час поняття множини, введене Кантором, належало досить очевидним і не вимагають додаткових пояснень. Здавалося, що поява робіт Больцано, та був і Кантора наприкінці 19 - початку 20 століття, покладе край багатьом питанням (наприклад, остаточно вирішить апорії Зенона, вирішить проблему нескінченності тощо.) і стане початком нової математики. Геніальний німецький математик Давид Гільберт зазначав, що "Ніхто не вижене нас із раю, створеного Кантором".

Однак поява парадоксів (Рассел, Буралі-Форті) поклала край "канторівському раю". Одне з формулювань парадоксу Рассела, відоме під назвою "парадокс цирульника" звучить так: у деякому селі цирульників голить тих і тільки тих жителів села, які не голяться самі. Хто ж тоді голить самого цирульника? Припустимо, він голить себе самостійно. Тобто. він належить до тих жителів села, які голяться самі, - а за умовою цих жителів цирульників не має права голити. Отже, припущення про те, що цирульник голиться сам, призводить до протиріччя. Спробуємо інакше: нехай цирульників не голиться сам. Якщо він сам не голиться, то згідно з умовою його зобов'язаний голити цирульників - знову протиріччя! Були спроби вирішити протиріччя теорії множин, запропонованої Кантором. Саму канторівську теорію множини математики назвали "наївною". Метою багатьох математичних праць стала побудова такої системи аксіом, у якій подібні парадокси були б неможливі. Але завдання виявилося не настільки простим. на НаразіНаскільки мені відомо, єдиної аксіоматики теорії множин немає. Найбільш поширеною вважається система аксіом Цермело-Френкеля (ZFC), в якій особняком стоїть так звана "аксіома вибору". Існують і варіації цієї системи: наприклад, автор B-методу Жан-Раймонд Абріал запропонував типізовану теорію множин, на підставі якої створив формальний метод розробки програм.

Позначення множин. Приналежність елемента до безлічі. Порожня безліч.

Зазвичай множини записуються у фігурних дужках. Наприклад, безліч усіх голосних букв російського алфавіту буде записано так:

$$\(а, е, е, і, о, у, ы, е, ю, я \) $$

А безліч усіх цілих цілих чисел, більших 8, але менших 15, буде такою:

$$\{9,10,11,12,13,14 \} $$

Безліч може взагалі не містити жодного елемента. І тут його називають порожнім безліччюта позначають як $\varnothing$.

Найчастіше в математичної літературимножини позначаються за допомогою великих букв латинського алфавіту. Наприклад:

$ $ A = \ (0, 5, 6, -9 \), \; B = \ (\ Delta, +, -5, 0 \).

Є й усталені позначення певних множин. Наприклад, безліч натуральних чиселприйнято позначати літерою $ N $; безліч цілих чисел - літерою $ Z $; безліч раціональних чисел- літерою $ Q $; безліч усіх дійсних чисел- літерою $ R $. Є й інші усталені позначення, але до них ми звертатимемося в міру необхідності.

Безліч, що містить кінцева кількістьелементів, що називають кінцевою множиною. Якщо безліч містить безліч елементів, його називають нескінченним.

Наприклад, зазначена вище множина $A=\(0, 5, 6, -9 \)$ - кінцева множина, бо містить 4 елементи (тобто кінцеве число елементів). Безліч натуральних чисел $N$ є нескінченним. Взагалі кажучи, ми не завжди можемо відразу з упевненістю сказати, нескінченно безліч чи ні. Наприклад, нехай $F$ - безліч простих чисел.

Що таке просте число: показати\сховати

Найпростішими числами називають такі натуральні числа більші 1, які діляться тільки на 1 або на саму себе. Наприклад, 2, 3, 5, 7 тощо. Для порівняння: число 12 не є простим числом, оскільки воно ділиться не тільки на 12 та 1, а ще й на інші числа (наприклад, на 3). Число 12 є складовим.

Виникає питання: безліч $F$ чи ні? Чи існує найбільш проста кількість? Для відповіді це питання знадобилася ціла теорема, доведена Евклідом, у тому, що безліч простих чисел - нескінченно.

Під потужністю множинидля кінцевих множин розуміють кількість елементів даної множини. Потужність множини $A$ позначається як $|A|$.

Наприклад, оскільки кінцеве безліч $A=\(0, 5, 6, -9 \)$ містить 4 елементи, то потужність безлічі $A$ дорівнює 4, тобто. $ | A | = 4 $.

Якщо нам відомо, що об'єкт $a$ належить безлічі $A$, то записують це так: $a\in A$. Наприклад, для вищезгаданої множини $A$ можна записати, що $5\in A$, $-9\in A$. Якщо ж об'єкт $a$ не належить величезній кількості $A$, то позначається це так: $a\notin A$. Наприклад, $19\notin A$. До речі, сказати, елементами множин можуть бути й інші множини, наприклад:

$$ M=\(-9,1,0, \(a, g\), \varnothing \) $$

Елементами множини $M$ є числа -9, 1, 0, а також безліч $ \(a,\; g\)$ і порожня безліч$\varnothing$. Взагалі, для спрощення сприйняття безліч можна представляти як портфель. Порожня множина - порожній портфель. Ця аналогія знадобиться трохи далі.

Підмножина. Універсальна множина. Рівність множин. Булеан.

Безліч $A$ називають підмножиноюмножини $B$, якщо всі елементи множини $A$ є також елементами множини $B$. Позначення: $A\subseteq B$.

Наприклад, розглянемо безліч $K=\( -9,5\)$ і $T=\(8,-9,0,5,p, -11\)$. Кожен елемент множини $K$ (тобто -9 і 5) є також елементом множини $T$. Отже, безліч $K$ є підмножина безлічі $T$, тобто. $K\subseteq T$.

Оскільки всі елементи будь-якого безлічі $A$ належать самому безлічі $A$, то безліч $A$ є підмножиною безлічі $A$. Порожня безліч $\varnothing$ є підмогою будь-якої множини. Тобто. для довільної множини $A$ вірно наступне:

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введемо ще одне визначення – універсальна множина.

Універсальна безліч(Універсум) $ U $ має тим властивістю, що всі інші множини, що розглядаються в даній задачі, є його підмножинами.

Іншими словами, універсум містить у собі елементи всіх множин, які розглядаються в рамках якогось завдання. Наприклад, розглянемо таке завдання: проводиться опитування студентів якоїсь академгрупи. Кожному студенту пропонується вказати мобільних операторів РФ, сім-картки яких він використовує. Дані цього опитування можна подати у вигляді множин. Наприклад, якщо студент Василь використовує сім-картки від МТС та Life, то можна записати наступне:

$$ Vasilij = \ (MTC, Life \) $$

Подібні множини можна скласти для кожного студента. Універсумом у цій моделі буде безліч, в якій перераховані всі оператори Росії. В принципі, як універсум можна взяти також безліч, в якій перераховані всі оператори СНД, а також безліч усіх мобільних операторів світу. І це буде протиріччям, бо будь-який оператор Росії входить у безліч операторів як СНД, і всього світу. Отже, універсум визначається лише в рамках якоїсь конкретного завданняПри цьому часто можна розглянути кілька універсальних множин.

Безліч $A$ і $B$ називаються рівнимиякщо вони складаються з одних і тих же елементів. Іншими словами, якщо кожен елемент множини $A$ є також елементом множини $B$, і кожен елемент множини $B$ є також елементом множини $A$, то $A=B$.

Визначення рівності множин можна записати і по-іншому: якщо $A subseteq B $ і $ B subseteq A $, то $ A = B $.

Розглянемо пару множин: перше буде $\(\Delta, k\)$, а друге - $\(k, \Delta\)$. Кожен елемент першої множини (тобто $\Delta$ і $k$) є також елементом другої множини. Кожен елемент другої множини (тобто $k$ і $\Delta$) є також елементом другої множини. Висновок: $ \ (\ Delta, k \) = \ (k, \ Delta \) $. Як бачите, порядок запису елементів у багатьох ролі не грає.

Розглянемо ще пару множин: $ X = \ (k, \ Delta, k, k, k \) $ і $ Y = \ (\ Delta, k \) $. Кожен елемент множини $X$ є також елементом множини $Y$; кожен елемент множини $Y$ є також елементом множини $X$. Отже, $ \ (k, \ Delta, k, k, k \) = \ (\ Delta, k \) $. З урахуванням подібних рівностей у теорії множин прийнято однакові елементи не повторювати у записі двічі. Наприклад, безліч цифр числа 11111115555599999 буде такою: $\(1,5,9\)$. Є, звичайно, винятки: так звані мультимножини. У записі мультимножин елементи можуть повторюватися, проте в класичної теоріїмножин повторення елементів не допускаються.

Використовуючи поняття рівності множин, можна класифікувати підмножини.

Якщо $A\subseteq B$, причому $A\neq B$, то безліч $A$ називають власним (строгим) підмножиноюбезлічі $B$. Також кажуть, що безліч $A$ строго включено до безлічі $B$. Записують це так: $A \subset B$.

Якщо ж якесь підмножина безлічі $A$ збігається з самим безліччю $A$, то це підмножина називають невласним. Іншими словами, безліч $A$ є невласним підмножиною безлічі $A$.

Наприклад, для розглянутих вище безлічі $K=\( -9,5\)$ і $T=\(8,-9,0,5,p, -11\)$ маємо: $K\subseteq T$, при це $K\neq T$. Отже, безліч $K$ є власним підмножиною безлічі $T$, що записується як $K\subset T$. Можна сказати й так: безліч $K$ строго включено до безлічі $T$. Запис $K\subset T$ більш конкретна, ніж $K\subseteq T$. Справа в тому, що записуючи $K\subset T$ ми гарантуємо, що $K\neq T$. Тоді як запис $K\subseteq T$ не виключає випадку рівності $K=T$.

Примітка щодо термінології: показати\сховати

Взагалі, тут є якась плутанина в термінології. Наведене вище визначення невласних множин прийнято в американській та частині вітчизняної літератури. Однак в іншій частині вітчизняної літератури є дещо інше трактування поняття невласних множин.

Якщо $A\subseteq B$, причому $A\neq B$ і $A\neq \varnothing$, то безліч $A$ називають власним (строгим) підмножиною безлічі $B$. Також кажуть, що безліч $A$ строго включено до безлічі $B$. Записують це так: $A \subset B$. Безліч $B$ і $\varnothing$ називаються невласними підмножинами безлічі $B$.

Іншими словами, порожня множина в такому трактуванні виключається зі своїх підмножин і перетворюється на розряд невласних. Вибір термінології – справа смаку.

Безліч всіх підмножин якоїсь множини $A$ називають булеаномабо ступенембезлічі $A$. Позначається булеан як $P(A)$ або $2^A$.

Нехай безліч $A$ містить $n$ елементів. Булеан безлічі $A$ містить $2^n$ елементів, тобто.

$$ \left| P(A) \right|=2^(n),\;\; n = | A |. $$

Розглянемо пару прикладів використання введених вище понять.

Приклад №1

Виберіть із запропонованого списку ті твердження, які є вірними. Відповідь аргументуйте.

1. $ \ (-3,5, 9 \) \ subseteq \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $;
2. $ \ (-3,5, 9 \) \ subset \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $;
3. $ \ (-3,5, 9 \) \ in \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $;
4. $\varnothing \subseteq \varnothing$;
5. $\varnothing=\(\varnothing \)$;
6. $\varnothing \in \varnothing$;
7. $ A = \ (9, -5, 8 \ (7, 6 \) \); \; | A | = 5 $.

1. Нам задані дві множини: $\(-3,5, 9 \)$ і $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Кожен елемент першої множини є також елементом другої множини. Отже, перше безліч є підмножина другого, тобто. $ \ (-3,5, 9 \) \ subseteq \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $. Твердження першого пункту - правильне.
2. У першому пункті ми з'ясували, що $(-3,5, 9 \)\subseteq \(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. У цьому дані множини не рівні між собою, тобто. $ \ (-3,5, 9 \) \ neq \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $. Отже, безліч $\(-3,5, 9 \)$ є власним (в іншій термінології суворим) підмножиною безлічі $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Цей факт записується як $\(-3,5,9\)\subset\(-3, 9, 8, 5, 4, 6\)$. Отже, твердження другого пункту є істинним.
3. Безліч $\(-3,5, 9 \)$ не є елементом безлічі $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Твердження третього пункту помилкове. Для порівняння: затвердження $(-3,5, 9 \)\in \(9, 8, 5, 4, \(-3,5,9\), 6 \)$ істинно.
4. Порожня множина є підмогою будь-якої множини. Тому твердження $\varnothing\subseteq\varnothing$ істинне.
5. Твердження хибне. Безліч $\varnothing$ не містить елементів, а безліч $\(\varnothing \)$ містить один елемент, тому рівність $\varnothing=\(\varnothing \)$ невірна. Щоб це було наочніше, можна звернутися до аналогії, що я описав вище. Безліч – це портфель. Порожня безліч $varnothing$ - порожній портфель. Безліч $\(\varnothing \)$ - портфель, усередині якого лежить порожній портфель. Природно, що порожній портфель і непустий портфель, усередині якого є щось - різні портфелі :)
6. Порожня множина не містить елементів. Жодного. Тому твердження $\varnothing\in\varnothing$ є хибним. Для порівняння: твердження $\varnothing\in\(\varnothing \)$ істинно.
7. Безліч $A$ містить 4 елементи, а саме: 9, -5, 8 та $\(7, 6 \)$. Тому потужність множини $A$ дорівнює 4, тобто. $ | A | = 4 $. Отже, твердження у тому, що $|A|=5$ - хибно.

Відповідь: Твердження в пунктах №1, №2, №4 - істинні

Приклад №2

Записати булеан множини $A=\(-5,10,9\)$.

Безліч $A$ містить 3 елементи. Іншими словами: потужність множини $A$ дорівнює 3, $ | A | = 3 $. Отже, багато $A$ має $2^3=8$ підмножин, тобто. булеан множини $A$ складатиметься з восьми елементів. Перерахуємо всі підмножини множини $A$. Нагадаю, що порожня множина $varnothing$ є підмножиною будь-якої множини. Отже, підмножини такі:

$$ \varnothing, \(-5 \), \( 10\), \( 9\), \(-5,10 \), \(-5, 9 \), \(-10, 9 \) , \(-5, 10, 9 \) $$

Нагадаю, що підмножина $\(-5, 10, 9 \)$ є невласною, тому що збігається з безліччю $A$. Всі інші підмножини – власні. Всі записані вище підмножини є елементами булеану множини $A$. Отже:

$$ P(A)=\left\(\varnothing, \(-5 \), \( 10\), \( 9\), \(-5,10 \), \(-5, 9 \) , \(-10, 9 \), \(-5, 10, 9 \) \right\) $$

Булеан знайдено, залишається лише записати відповідь.

Відповідь: $P(A)=\left\(\varnothing, \(-5 \), \( 10\), \( 9\), \(-5,10 \), \(-5, 9 \) , \(-10, 9 \), \(-5, 10, 9 \) \right\)$.

Способи завдання множин.

Перший спосіб- це простий перелік елементів множини. Звичайно, такий спосіб підходить лише для кінцевих множин. Наприклад, за допомогою даного способубезліч перших трьохнатуральних чисел буде записано так:

$$ \{1,2,3\} $$

Часто в літературі можна зустріти позначення такого характеру: $ T = (0,2,4,6,8, 10, \ ldots \) ​​$. Тут безліч задається не перерахуванням елементів, як здається здавалося б. Перерахувати всі парні не негативні числа, які складають безліч $T$, неможливо, бо цих чисел нескінченно багато. Запис виду $T=\(0,2,4,6,8, 10, \ldots \)$ допускається лише тоді, коли не викликає різночитань.

Другий спосіб- Задати безліч за допомогою так званої характеристичної умови (характеристичного предикату) $ P (x) $. У цьому випадку безліч записується в такому вигляді:

$$\(x| P(x)\)$$

Запис $\(x| P(x)\)$ читається так: "безліч всіх елементів $x$, для яких висловлювання $P(x)$ істинно". Що означає словосполучення "характеристичне умова" простіше пояснити з прикладу. Розглянемо такий вислів:

$$P(x)="x\; - \;натуральне\; число,\; остання\; цифра\; якого \;рівна\; 7"$$

Підставимо в цей вислів замість $x$ число 27. Ми отримаємо:

$$P(27)="27\; - \;натуральне\; число,\; остання\; цифра\; якого \;рівна\; 7"$$

Це справжнє висловлювання, тому що 27 дійсно є натуральним числом, остання цифра якого дорівнює 7. Підставимо в цей вислів число $\frac(2)(5)$:

$$P\left(\frac(2)(5)\right)="\frac(2)(5)\; - \;натуральне\; число,\; остання\; цифра\; якого \;рівна\" ; 7"$$

Це висловлювання хибно, оскільки $\frac(2)(5)$ перестав бути натуральним числом. Отже, для деяких об'єктів $x$ висловлювання $P(x)$ може бути хибним, для деяких - істинним (а для деяких взагалі не визначено). Нас будуть цікавити лише об'єкти, котрим вислів $P(x)$ буде істинно. Саме це об'єкти і утворюють безліч, задане з допомогою характеристичного умови $P(x)$ (див. приклад №3).

Третій спосіб- задати безліч за допомогою так званої процедури, що породжує. Породжувальна процедура описує, як отримати елементи множини з уже відомих елементівчи інших об'єктів (див. приклад №4).

Приклад №3

Записати безліч $A=\(x| x\in Z \wedge x^2< 10\}$ перечислением элементов.

Безліч $A$ задано за допомогою характеристичної умови. Характеристична умова даному випадкувиражено записом "$x\in Z \wedge x^2< 10$" (знак "$\wedge$" означает "и"). Расшифровывается эта запись так: "$x$ - целое число, и $x^2 < 10$". Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.

$$ A=\(0,-1,1,-2,2,-3,3\) $$

Безліч $A$ тепер задано за допомогою переліку елементів.

Відповідь: $ A = \ (0,-1,1,-2,2,-3,3 \) $.

Приклад №4

Описати елементи множини $M$, яке задано такою процедурою, що породжує:

1. $3\in M$;
2. Якщо елемент $x\in M$, то $3x\in M$.
3. Безліч $M$ - є підмножиною будь-якої множини $A$, що відповідає умовам №1 і №2.

Давайте поки дамо спокій умову №3 і подивимося, які елементи входять у безліч $M$. Число 3 туди входить згідно з першим пунктом. Оскільки $3\in M$, відповідно до пункту №2 маємо: $3\cdot 3\in M$, тобто. $9\in M$. Оскільки $9\in M$, відповідно до пункту №2 отримаємо: $3\cdot 9\in M$, тобто. $27\in M$. Так як $ 27 in M ​​$, то за тим же пунктом № 2 маємо: $ 81 in M ​​$. Коротше кажучи, збудована безліч 3, 9, 27, 81 і так далі - це натуральні ступеніЧисла 3.

$ $ 3 ^ 1 = 1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$

Отже, здається, що безліч задано. І виглядає воно так: $ (3,9,27,81, ldots). Проте чи справді умови №1 та №2 визначають лише цю безліч?

Розглянемо багато всіх натуральних чисел, тобто. $N$. Число 3 - натуральне, тому $3\in N$. Висновок: безліч $N$ задовольняє пункт №1. Далі, для будь-якого натурального числа $x$ безліч $N$ містить і число $3x$. Наприклад, 5 та 15, 7 та 21, 13 та 39 і так далі. Значить, безліч $N$ задовольняє умову №2. І, до речі, не тільки безліч $N$ задовольняє умовам №1 і №2. Наприклад, безліч всіх непарних натуральних чисел $N_1=\(1,3,5,7,9,11, \ldots\)$ теж підходить під умови пунктів №1 та №2. Як же вказати, що нам потрібно саме безліч $(3,9,27,81,ldots)?

Визначення.Безліч - це сукупність деяких об'єктів, об'єднаних за якоюсь ознакою.

Елементи, що становлять безліч, зазвичай позначаються малими латинськими літерами, А саме безліч - великою латинською літерою. Знак ∈ використовується для позначення приналежності елемента до множини. Запис a∈A означає, що елемент a належить множині A. Якщо об'єкт x не є елементом множини A, пишуть x∉A. Наприклад, якщо A - це безліч парних чисел, то 2∈A, а 1∉A. Безліч A і B вважаються рівними (пишуть A = B), якщо вони складаються з тих самих елементів.

Якщо множина містить кінцеве число елементів, його називають кінцевим; інакше безліч називається нескінченним. Якщо безліч A, звичайно, символом |A| буде позначатись кількість його елементів. Безліч, що не містить жодного елемента, називається порожнім і позначається символом ∅. Вочевидь, |∅|=0.

приклад. Нехай A - безліч дійсних рішень квадратного рівняння x 2 + px + q = 0. Безліч A звісно, ​​|A|≤2. Якщо дискримінант D = p 2 -4q негативний, множина A порожня. Безліч дійсних рішень квадратичної нерівності x 2 +px+q≤0 звичайно, якщо D≤0, і нескінченно, якщо D>0.

Кінцева множина може бути задана перерахуванням всіх її елементів,

чи описуються їхні характеристики. Якщо множина A складається з елементів x, y, z, пишуть A = (x, y, z,). Наприклад, A = (0, 2, 4, 6, 8) - множина парних десяткових цифр або - множина натуральних чисел, що задовольняють умові х + 2 = 1.

Введемо поняття індексованого сімейства множин, що використовується в подальшому. Нехай I - кілька, кожному елементу якого i зіставлено однозначно певне безліч A i . Елементи множини I називають індексами, а сукупність множин A i називають індексованим сімейством множин і позначають через (A i) i ∈ I .

Кажуть, що множина B є підмножиною множини A і пишуть B⊂A, якщо всякий елемент множини B є елементом множини A. Наприклад, безліч натуральних чисел N є підмножиною множини цілих чисел Z, а останнє у свою чергу є підмножиною безлічі раціональних чисел Q, тобто N⊂Z та Z⊂Q, або, коротше, N⊂Z⊂Q. Легко бачити, що якщо B⊂A і A⊂B, то множини A і B складаються з одних і тих же елементів, і, отже, A=B, інакше . Поряд із позначенням B⊂A використовується також A⊃B, що має той самий сенс.

Підмножини множини A, відмінні від ∅ та A, називаються власними. Порожня множина і множина А називаються невласними підмножинамимножини А. Сукупність усіх підмножин множини А називається його булеаном, або безліччю-ступенемі позначається через Р(А) або 2 А.

приклад. Нехай A = (a, b, c). Тоді безліч 2 A складається з наступних елементів:

(∅), (a), (b), (c), (a, b), (a, c), (b, c), (a, b, c).

Якщо безліч A звичайно і містить n елементів, це безліч має 2 n підмножин, тобто |2 A |=2 | A | .

Усі операції над множинами можна ілюструвати з допомогою діаграм Ейлера-Венна. Якщо деяке універсальне безліч, що містить як підмножини всі інші множини, позначити U і зобразити його у вигляді всієї площини, будь-яка безліч можна зобразити у вигляді частини площини, тобто. у вигляді деякої фігури, що лежить на площині.

Об'єднанням чи сумоюмножин А і В називають таку множину С, яка складається з елементів множини А, або елементів множини, або з елеметів обох цих множин, тобто. . Наприклад, якщо A = (1, 2, 3) та B = (2, 3, 4), то A∪B = (1, 2, 3, 4).

Перетином або творомдвох множин А і В називається така множина, яка складається з елементів, що належать одночасно обом множинам, тобто. . Наприклад, якщо A = (1, 2, 3) та B = (2, 3, 4), то A∩B = (2, 3).

Різницядвох множин А і В називається безліч, що складається з тих і тільки тих елементів, які входять до А і одночасно не входять до, тобто.

Наприклад, якщо A = (1, 2, 3) і B = (2, 3, 4), то AB = (1).

Якщо, зокрема, А - підмножина U, то різниця U\A позначається та називається доповненняммножини А.

Симетричною різницею (кільцевою сумою)множин А і В називається безліч, тобто. . Наприклад, якщо A = (1, 2, 3) і B = (2, 3, 4), то A B = (1, 4).

Закони алгебри множин:

1. Комутативний закон: .

2. Асоціативний закон: .

3. Дистрибутивний закон:

4. Закони ідемпотентності: , зокрема

5. Закони поглинання:

6. Закони де Моргана (двоїстості):

7. Закон подвійного доповнення:

8. Закон включення:

9. Закон рівності:

приклад 1.Перевіримо перший із законів де Моргана. Покажемо спочатку, що . Припустимо, що . Тоді x∉A∩B, тому x не належить хоча б одному з множин A і B. Таким чином, x∉A або x∉B, тобто або .

Це означає, що. Ми показали, що довільний елементмножини є елементом множини. Отже, . Зворотнє включення доводиться аналогічно. Достатньо повторити всі кроки попереднього міркування у зворотному порядку.

приклад 2.Довести включення

Рішення.Найлегше це зробити за діаграмою Ейлера-Венна

З будь-якої пари елементів a та b (не обов'язково різних) можна скласти новий елемент - упорядковану пару(a, b). Упорядковані пари (a,b) і (c,d) вважають рівними та пишуть (a,b) = (c,d), якщо a = c та b = d. Зокрема, (a,b) = (b,a) лише тому випадку, коли a=b. Елементи a і b називають координатами упорядкованої пари (a, b).

Прямим (декартовим) твороммножин A і B називається безліч всіх упорядкованих пар (a,b), де a∈A і b∈B. Прямий твірмножин A та B позначається через A×B. Відповідно до визначення маємо

A×B = ((a,b)|a∈A, b∈B). Твір називається декартовий квадрат.

приклад 3.Дано множини А = (1; 2); B = (2; 3). Знайти.

Рішення.

Таким чином, декартове твір не підпорядковується комутативному закону.

приклад 4.Нехай З яких елементів складаються безлічі?

Рішення.Запишемо множини А; В; З, перерахувавши їх елементи:

А = (3; 4; 5; 6); B = (2; 3); C = (2). Тоді Подібно до пар, можна розглядати впорядковані трійки, четвірки і, взагалі, впорядковані набори елементів довільної довжини. Упорядкований набір елементів довжини n позначається через (a 1 , a 2 , a n). Для таких наборів також використовується назва кортеж довжини n. Допускаються навіть кортежі довжини 1 - це просто одноелементні множини. Кортежі (a 1 , a 2 , a n) та (b 1 , b 2 , b n) вважаються рівними, якщо a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n .

За аналогією з твором двох множин визначимо прямий добуток множин A 1 , A 2 , A n як безліч всіх кортежів (a 1 , a 2 , a n) таких, що a 1 ∈A 1 , a 2 ∈A 2 , a n ∈A n . Позначається прямий добуток через A 1 × A 2 × A n .

Поняття прямого твору може бути узагальнено у разі довільного сімейства множин (A i) i ∈ I . Назвемо I-кортежем набір елементів (A i) i ∈ I такий, що a i ∈A i для кожного i∈I. Прямий добуток сімейства множин (A i) i ∈ I - це безліч, що складається з усіх I-кортежів. Для позначення цієї множини використовується символ Π i ∈ I A i та його різновиди, подібні до тих, які застосовуються для позначення перетину та об'єднання сімейства множин.

У разі коли безліч A множиться сама на себе, твір називають (декартовим) ступенем і використовують експоненційні позначення. Так, відповідно до визначення A × A = A 2 , A × A × A = A 3 і т. д. Вважається, що A 1 = A і A 0 = ∅.

Безпосередньо із визначень випливає справедливість наступних співвідношень (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);

(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);

(AB) × C = (A × C) \ (B × C).

1. Судоплат С.В., Овчиннікова Є.В. Елементи дискретної математики. М.: ІНФРА-М, Новосибірськ, 2002.

2. Асєєв Г.Г., Абрамов О.М., Сітніков Д.Е. Дискретна математика. Харків, "Торсинг", 2003.

3. Нефьодов В.М., Осипова В.А. Курс дискретної математики М.: Наука, 1973.

4. Лавров І.А., Максимова Л.Л. Завдання з теорії множин, математичної логікита теорії алгоритмів. М.: ФІЗМАТЛІТ, 2001.

Безліч- це набір будь-яких об'єктів, які називаються елементами цієї множини.

Наприклад: безліч школярів, безліч машин, безліч чисел .

У математиці безліч розглядається набагато ширше. Ми не сильно заглиблюватимемося в цю тему, оскільки вона відноситься до вищої математикиі спочатку може створювати труднощі на навчання. Ми розглянемо лише ту частину теми, з якою мали справу.

Позначення

Безліч найчастіше позначають великими літерами латинського алфавіту, яке елементи - малими. При цьому елементи полягають у фігурних дужках.

Наприклад, якщо наших друзів звуть Том, Джон та Лео , то ми можемо встановити безліч друзів, елементами якого будуть Том, Джон та Лео.

Позначимо безліч наших друзів через заголовну латинську букву F(friends), потім поставимо знак рівності та у фігурних дужках перерахуємо наших друзів:

F = ( Том, Джон, Лео )

Приклад 2. Запишемо багато дільників числа 6.

Позначимо через будь-яку заголовну латинську літеру цю множину, наприклад, через букву D

потім поставимо знак рівності та у фігурних дужках перерахуємо елементи даної множини, тобто перерахуємо дільники числа 6

D = (1, 2, 3, 6)

Якщо якийсь елемент належить заданій множині, то ця приналежність вказується за допомогою знака ∈ . Наприклад, дільник 2 належить множині дільників числа 6 (множині D). Записується це так:

Читається як: «2 належить безлічі дільників числа 6»

Якщо якийсь елемент не належить заданій множині, то ця не приналежність зазначається за допомогою закресленого знака приналежності ∉. Наприклад, дільник 5 не належить множині D. Записується це так:

Читається як: «5 не належитьбезлічі дільників числа 6″

Крім того, безліч можна записувати прямим перерахуванням елементів, без великих букв. Це може бути зручним, якщо множина складається з невеликої кількості елементів. Наприклад, поставимо безліч з одного елемента. Нехай цим елементом буде наш друг Том:

( Том )

Задамо множину, що складається з одного числа 2

{ 2 }

Задамо безліч, що складається з двох чисел: 2 та 5

{ 2, 5 }

Безліч натуральних чисел

Це перше безліч з яким ми почали працювати. Натуральними числами називають числа 1, 2, 3 тощо.

Натуральні числа виникли через потребу людей порахувати інші об'єкти. Наприклад, порахувати кількість курей, корів, коней. Натуральні числа виникають природним чиномза рахунку.

У минулих уроках, коли ми вживали слово «число», Найчастіше передбачалося саме натуральне число.

У математиці безліч натуральних чисел позначається великою латинською літерою N.

Наприклад, вкажемо, що число 1 належить множині натуральних чисел. Для цього записуємо число 1, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказуємо, що одиниця належить до множини N

1 ∈ N

Читається як: «одиниця належить безлічі натуральних чисел»

Безліч цілих чисел

Безліч цілих чисел включає всі позитивні і , а також число 0.

Безліч цілих чисел позначається великою латинською літерою Z .

Вкажемо, наприклад, що число −5 належить множині цілих чисел:

−5 ∈ Z

Вкажемо, що 10 належить безлічі цілих чисел:

10 ∈ Z

Вкажемо, що 0 належить безлічі цілих чисел:

У майбутньому всі позитивні та негативні числа ми називатимемо одним словосполученням. цілі числа.

Безліч раціональних чисел

Раціональні числа, це ті самі звичайні дроби, які ми вивчаємо до цього дня.

Раціональне число - це число, яке може бути представлене у вигляді дробу , де a- чисельник дробу, b- Знаменник.

У ролі чисельника та знаменника можуть бути будь-які числа, у тому числі й цілі (за винятком нуля, оскільки на нуль ділити не можна).

Наприклад, уявімо, що замість aкоштує число 10, а натомість b- Число 2

10 розділити на 2 і 5. Бачимо, що число 5 може бути представлене у вигляді дробу , а значить число 5 входить до множини раціональних чисел.

Легко помітити, що число 5 відноситься і до безлічі цілих чисел. Отже безліч цілих чисел входить до безлічі раціональних чисел. Отже, до множини раціональних чисел входять як звичайні дроби, а й цілі числа виду −2, −1, 0, 1, 2.

Тепер уявімо, що замість aстоїть число 12, а замість b- Число 5.

12 розділити на 5 і 2,4. Бачимо, що десятковий дріб 2,4 може бути представлена ​​у вигляді дробу, а значить вона входить до множини раціональних чисел. Звідси робимо висновок, що у безліч раціональних чисел входять як прості дроби і цілі числа, а й десяткові дроби.

Ми вирахували дріб і отримали відповідь 2,4. Але ми могли б виділити в цьому дробі цілу частину:

При виділенні цілої частини в дробі виходить змішане число. Бачимо, що змішане число також може бути представлене у вигляді дробу . Значить до множини раціональних чисел входять і змішані числа.

У підсумку ми приходимо до висновку, що безліч раціональних чисел містять у собі:

• цілі числа
• звичайні дроби
• десяткові дроби
• змішані числа

Безліч раціональних чисел позначається великою латинською літерою Q.

Наприклад, вкажемо, що дріб належить безлічі раціональних чисел. Для цього записуємо саму дріб, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказуємо, що дріб належить безлічі раціональних чисел:

∈ Q

Вкажемо, що десятковий дріб 4,5 належить безлічі раціональних чисел:

4,5 ∈ Q

Вкажемо, що змішане число належить до безлічі раціональних чисел:

∈ Q

Вступний урок по безлічі завершено. У майбутньому ми розглянемо безліч набагато краще, а поки що розглянутого в даному уроцібуде достатньо.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Теорія множин.

Безліч. Порожня безліч. Універсальна множина. Підмножини. Власне підмножина. Способи завдання множин. Потужність множини. Рівнопотужні множини. Кінцеві та лічильні множини. Операції над множинами (об'єднання, перетин, доповнення, різниця, симетрична різниця). Закони алгебри множин. Характеристичні функції. Декартове твір множин. Відносини та властивості відносин. Функції на множинах.

Визначення множини.

Безліч- це сукупність певних об'єктів, що розрізняються, причому таких, що для кожного можна встановити, належить цей об'єкт даному безлічі чи ні.

Безліч зазвичай позначаються великими латинськими літерами, а елементи множини - малими. Елементами множин можуть бути будь-які об'єкти, наприклад числа, символи, слова, об'єкти реального світу. Зокрема, елементами множини можуть бути інші множини.

Наприклад:

A = (a, b, c) - безліч A, що складається з 3 елементів

N = (1, 2, 3, …) - безліч N цілих чисел

Елементи множини є унікальними, тобто один і той же елемент не може включатися в безліч кілька разів (на відміну від векторів і мультимножин). Вважається, що при додаванні до множини елемента, який у ньому вже присутній, множина не змінюється.

Порядок запису елементів множини не є суттєвим (на відміну від запису елементів векторів, де порядок важливий).

Таким чином, безлічі вважаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів.

Якщо певний об'єкт є елементом множини , цей факт записується так: і читається «х належить А». Аналогічно, якщо елемент не є елементом множини, використовується запис («y не належить А»).

Порожня безліч - Це безліч, що не містить елементів. Порожня множина може бути позначена з використанням фігурних дужок: = ( ). Однак, множина B = ( ) не є порожнім: це безліч, що містить один елемент, який є порожнім безліччю.

Універсальна безлічЕ – безліч всіх об'єктів, що розглядаються у цій задачі.

Кінцеві та нескінченні множини. Якщо кількість елементів множини звичайно (тобто існує натуральне число, що дорівнює кількості елементів множини), то така множина називається кінцевою . В іншому випадку безліч називається нескінченним .

Потужність множини або кардинальне число |A|(іноді card(A)). Потужність множини є узагальненням поняття кількості елементів на нескінченні множини. Для кінцевих множин потужність дорівнює кількості елементів множини.

Потужність порожньої множини за визначенням дорівнює нулю: .

Рівнопотужні множини– це множини, між елементами яких можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Рахункова безліч- безліч, рівномірне безлічі натуральних чисел.

Безліч А називають підмножиноюмножини B (позначається або ) якщо всі елементи, які належать множині A, так само належать і множині B.

У цьому випадку B називають надмножиною A

Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

Будь-яка множина є підмножиною самого себе:

Математичний аналіз

Безліч-це сукупність об'єктів будь-якої природи. Багато позначаються великими літерами, а елементи безліч малими літерами. Елементи множин полягають у фігурні дужки.

Якщо елемент xналежить безлічі X, то записують x∈Х (∈ - Належить).
Якщо множина А є частиною множини В, то записують А ⊂ В (⊂ - Утримується).

Безліч може бути задано одним із двох способів: перерахуванням та за допомогою визначального властивості.

Наприклад, перерахуванням задані такі множини:

§ А = (1,2,3,5,7) - безліч чисел

§ Х = (x 1, x 2, ..., x n) - безліч деяких елементів x 1, x 2, ..., x n

§ N = (1,2, ..., n) - безліч натуральних чисел

§ Z=(0,±1,±2,...,±n) - безліч цілих чисел

Безліч (-∞;+∞) називається числовий прямийа будь-яке число - точкою цієї прямої. Нехай a - довільна точка числової прямої і - позитивне число. Інтервал (a-δ; a+δ) називається δ-околицею точки а.

Багато Х обмежено зверху (знизу), якщо існує таке число c, що для будь-якого x ∈ X виконується нерівність x≤с (x≥c). Число з у цьому випадку називається верхньою (нижньою) граннюмножини Х. Множина, обмежена і зверху і знизу, називається обмеженим. Найменша (найбільша) із верхніх (нижніх) граней множини називається точною верхньою (нижньою) граннюцієї множини.

Два множини А і В рівні(А=В), якщо вони складаються з тих самих елементів.
Наприклад, якщо А=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), то А=В.

Об'єднанням (сумою)множин А і В називається безліч А ∪ В, елементи якого належать хоча б одному з цих множин.
Наприклад, якщо А=(1,2,4), B=(3,4,5,6), то А ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Перетином (твором)множин А і В називається безліч А ∩ В, елементи якого належать як множині А, так і множині В.
Наприклад, якщо А=(1,2,4), B=(3,4,5,2), то А ∩ В = (2,4)

Різницямножин А і В називається безліч АВ, елементи якого належать множині А, але не належать множині В.
Наприклад, якщо А = (1,2,3,4), B = (3,4,5), то АВ = (1,2)

Симетричною різницеюмножин А і В називається безліч А Δ В, що є об'єднанням різниць множин АВ і ВА, тобто А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Наприклад, якщо А=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), то А Δ В = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2,5) ,6)

2. Метод математичної індукції(Приклад). Нерівність Бернуллі.

3. Аксіоматика множини дійсних чисел: операція додавання, операція множення, відношення порядку.
4. Аксіоматика множини дійсних чисел: аксіома Архімеда, аксіома Дедекінда.

АРХІМЕДА АКСІОМУ

Аксіома, спочатку сформульована для відрізків, полягає в тому, що відклавши достатню кількість разів менший з двох заданих відрізків, завжди можна отримати відрізок, що перевищує більший з них. Аналогічно А. а. формулюється для площ, обсягів, позитивних чиселі т. д. Взагалі, для даної величини має місце А. а., якщо для будь-яких двох значень цієї величини таких, що завжди можна знайти ціле число т,що; на цьому заснований процес послідовного поділу в арифметиці та геометрії (див. Евкліда алгоритм). Значення А. а. з'ясувалося з повною чіткістю після того, як у 19 ст. було виявлено існування величин, по відношенню до яких ця аксіома несправедлива,-т.з. неархімедових величин

Дедекінда аксіома

одна з аксіом безперервності (див. безперервності аксіоми). Д. а. говорить: якщо всі точки прямої розбиті на два непорожні класи, причому всі точки першого класу розташовані лівіше за всі точки другого, то існує або сама права точка першого класу, або сама ліва точка другого

5. Модуль дійсного числа та його властивості.

Абсолютною величиною (або модулем ) дійсного числа хназивається невід'ємне число , що визначається співвідношенням
Властивості модуля . 1. . 2. . 3. Нерівності та рівносильні. 4. Модуль суми двох дійсних чисел менший або дорівнює сумімодулів цих чисел:

Ця властивість справедлива для будь-кого кінцевого числадоданків.

5. Модуль різниці двох дійсних чисел більший або дорівнює різницімодулів цих чисел:
. 6. Модуль добутку чисел дорівнює творумодулів цих чисел:
. Ця властивість справедлива для будь-якого кінцевого числа співмножників. 7. Модуль частки двох чисел (якщо дільник відмінний від нуля) дорівнює частці модулів цих чисел:

6. Межі числових множин. Точні верхні та нижні межічислових множин.
7. Дійсна функція дійсного аргументу: елементарні функції їх область визначення та графік, складні та неелементарні функції.
8. Способи завдання функцій, арифметичні діїнад функціями.
9. Проста класифікаціяфункцій дійсного аргументу.
10. Межа числової послідовності та її геометричний зміст.
11. Властивості послідовностей, що сходяться: теорема 1. Єдиність межі (з доказом). Теорема 2.
12. Нескінченно малі та нескінченно великі числові послідовності: визначення. Зв'язок між ними.
13. Леми про нескінченно малі числові послідовності. Наслідки. приклади.
14. Теореми про межі числових послідовностей. Наслідки.
15. Обчислення меж числових послідовностей: правила розкриття невизначеностей виду, . Висновок. приклад.
16. Граничний перехід у нерівностях: Теорема 1. (Про збереження знака межі). Теорема 2 ( граничний перехіду нерівностях). Теорема 3 (про стиснуту послідовність). Теорема Вейєрштраса.
17. Число e (з підтвердженням). Натуральні логарифми.
18. Граничні точки множини.
19. Визначення межі функції в точці по Коші та її геометричний зміст.
20. Визначення межі функції у точці за Гейном. Основні теореми про межу функції. Обчислення межі функції у точці: правило розкриття невизначеності виду Приклад.
21. Межа функції по множині. Односторонні межі. Зауваження.
22. Перша чудова межа (з доказом). Наслідки.
23. Друга чудова межа. Зауваження. Чудові межі, пов'язані з показовою та логарифмічною функціями. Заміна змінної під знаком межі. приклад.
24. Безперервність та точки розриву функції. Властивості безперервних функцій.
25. Похідні простих функцій: визначення похідної функції, геометричне значення похідної функції. Рівняння дотичної та нормалі до кривої.
26. Основні правила диференціювання функцій. Похідні елементарних функцій. приклад.
27. Похідна складної функції. Логарифмічне диференціювання. Похідна показово-статечної функції.
28. .Диференціал функції та її геометричний і механічний смысл. Висновок.
29. Основні правила знаходження диференціала функції. Диференціал складної функції. Інваріантність форми диференціалу першого ладу. .
30. Похідні та диференціали вищих порядків функції. Механічний та геометричний зміст другої похідної. Формула Лейбниця.
31. Основні теореми диференціювання: теорема Ферма, теорема Роля та його геометричний зміст.
32. Основні теореми диференціювання: теорема Лагранжа, теорема Коші та їх геометричний зміст.
33. Додатки похідної: правило Лопіталя для розкриття невизначеностей виду та розкриття невизначеностей виду. приклад.
34. Первісна функціїта невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтегралу. Таблиця головних інтегралів.
35. Методи інтегрування функцій: безпосереднє інтегрування; метод заміни змінної; метод інтегрування частинами.
36. Визначення та властивості певного інтеграла.
37. Обчислення певного інтегралу. Формула Ньютона-Лейбніца. Методи інтегрування в певному інтегралі: заміна змінної, метод інтегрування частинами.
38. Числові ряди. Східність та розбіжність числових рядів. Необхідна ознаказбіжності рядів.
39. Достатні ознакизбіжності числових рядів: ознака порівняння, гранична ознакапорівняння.
40. Достатні ознаки збіжності числових рядів: радикальна ознака Коші, ознака Даламбер.