Концепція скалярного твору. Формула косинуса кута між векторами, заданими координатами

Скалярний твірвекторів (далі у тексті СП). Дорогі друзі! До складу іспиту з математики входить група завдань рішення векторів. Деякі завдання ми вже розглянули. Можете подивитися їх у категорії «Вектори». У цілому нині, теорія векторів нескладна, головне послідовно її вивчити. Обчислення та дії з векторами в шкільному курсіматематики прості, формули не складні. Загляньте в . У цій статті ми розберемо завдання на СП векторів (входять до ЄДІ). Тепер «занурення» у теорію:

Ч щоб знайти координати вектора, потрібно від координат його кінця віднятивідповідні координати його початку

І ще:

*Довжина вектора (модуль) визначається наступним чином:

Дані формули необхідно запам'ятати!

Покажемо кут між векторами:

Зрозуміло, що він може змінюватись у межах від 0 до 180 0(або радіанах від 0 до Пі).

Можемо зробити деякі висновки про знак скалярного твору. Довжини векторів мають позитивне значення, це очевидно. Отже знак скалярного твору залежить від значення косинуса кута між векторами.

Можливі випадки:

1. Якщо кут між векторами гострий (від 0 до 90 0), то косинус кута матиме позитивне значення.

2. Якщо кут між векторами тупий (від 90 0 до 180 0), то косинус кута матиме негативне значення.

*При нулі градусів, тобто коли вектори мають однаковий напрям, косинус дорівнює одиниціі, відповідно, результат буде позитивним.

При 180 про, тобто коли вектори мають протилежні напрямки, косинус дорівнює мінус одиниці,і, відповідно, результат буде негативним.

Тепер ВАЖЛИВИЙ МОМЕНТ!

При 90о, тобто коли вектори перпендикулярні один одному, косинус дорівнює нулю, Отже і СП дорівнює нулю. Цей факт (наслідок, висновок) використовується при вирішенні багатьох завдань, де йдеться про взаємне розташуваннявекторів, у тому числі і в задачах, що входять до відкритий банкзавдань із математики.

Сформулюємо твердження: скалярний добуток дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли дані вектори лежать на перпендикулярних прямих.

Отже, формули СП векторів:

Якщо відомі координати векторів або координати точок їх початків і кінців, то завжди зможемо знайти кут між векторами:

Розглянемо завдання:

27724 Знайдіть скалярний добуток векторів a та b .

Скалярний добуток векторів ми можемо знайти за однією з двох формул:

Кут між векторами невідомий, але ми легко можемо знайти координати векторів і далі скористатися першою формулою. Оскільки початки обох векторів збігаються з початком координат, то координати даних векторів дорівнюють координатам їх кінців, тобто

Як знайти координати вектора викладено у .

Обчислюємо:

Відповідь: 40

Знайдемо координати векторів та скористаємося формулою:

Щоб знайти координати вектора необхідно від координат кінця вектора відняти відповідні координати його початку, отже

Обчислюємо скалярний твір:

Відповідь: 40

Знайдіть кут між векторами a та b . Відповідь дайте у градусах.

Нехай координати векторів мають вигляд:

Для знаходження кута між векторами використовуємо формулу скалярного добутку векторів:

Косинус кута між векторами:

Отже:

Координати даних векторів дорівнюють:

Підставимо їх у формулу:

Кут між векторами дорівнює 45 градусів.

Відповідь: 45

Таким чином, довжина вектора розраховується, як квадратний корінь із суми квадратів його координат
. Аналогічно розраховується довжина-мірного вектора
. Якщо згадати, кожна координата вектора – це різницю між координатами кінця і початку, ми отримаємо формулу довжини відрізка, тобто. евклідова відстані між точками.

Скалярний твірдвох векторів на площині – це добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними:
. Можна довести, що скалярний твір двох векторів = (х 1, х 2) і = (y 1 , y 2) дорівнює сумі творів відповідних координат цих векторів:
= х 1 * y 1 + х 2 * y 2.

У n-мірному просторі скалярний добуток векторів X = (х 1, х 2, ..., х n) і Y = (y 1, y 2, ..., y n) визначається, як сума творів їх відповідних координат: X * Y = х 1 * y 1 + х 2 * y 2 + ... + х n * y n.

Операція множення векторів один на одного аналогічна множенню матриці-рядка на матрицю-стовпець. Наголосимо, що в результаті буде отримано число, а не вектор.

Скалярний добуток векторів має такі властивості (аксіоми):

1) Комутативне властивість: X * Y = Y * X.

2) Дистрибутивна щодо додавання властивість: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Для будь-якого дійсного числа 
.

4)
, якщо X-не нульовий вектор;
якщо X - нульовий вектор.

Лінійний векторний простір, в якому задано скалярний добуток векторів, що задовольняє чотирьом відповідним аксіомам, називається евклідовим лінійним векторнимпростором.

Легко помітити, що з множенні будь-якого вектора себе ми отримаємо квадрат його довжини . Тому по-іншому довжинувектор можна визначити, як квадратний корінь з його скалярного квадрата:.

Довжина вектора має такі властивості:

1) | X | = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, де– дійсне число;

3) | X * Y |  | X | * | Y | ( нерівність Коші-Буняківського);

4) |X+Y||X|+|Y| ( нерівність трикутника).

Кут між векторами в n-мірному просторі визначається, виходячи з поняття скалярного твору. Справді, якщо
, то
. Цей дріб не більше одиниці(згідно з нерівністю Коші-Буняковського), тому звідси можна знайти.

Два вектори називають ортогональнимиабо перпендикулярними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. З визначення скалярного твору випливає, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору. Якщо обидва ортогональні вектори ненульові, то обов'язковоcos= 0, тобто=/2 = 90 о.

Розглянемо ще раз рисунок 7.4. З малюнка видно, що косинус кута  нахилу вектора до горизонтальної осіможна розрахувати як
, а косинус кута нахилу вектора до вертикальної осіяк
. Ці числа прийнято називати напрямними косинусами. Легко переконатися, що сума квадратів направляючих косінусів завжди дорівнює одиниці: cos 2  + cos 2  = 1. Аналогічно можна запровадити поняття напрямних косінусів і для просторів більшої розмірності.

Базис векторного простору

Для векторів можна визначити поняття лінійної комбінації,лінійної залежностіі незалежностіаналогічно до того, як ці поняття були введені для рядків матриці. Також справедливо, що якщо вектори лінійно залежні, то принаймні один із них можна лінійно виразити через інші (тобто він є їхньою лінійною комбінацією). Правильне і зворотне твердження: якщо з векторів є лінійної комбінацією інших, всі ці вектори разом лінійно залежні.

Зазначимо, якщо серед векторів a l , a 2 ,...a m є нульовий вектор, то ця сукупність векторів обов'язково лінійно залежна. Справді, ми отримаємо  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, якщо, наприклад, прирівняємо коефіцієнт j при нульовому векторі до одиниці, а всі інші коефіцієнти – до нуля. При цьому не всі коефіцієнти дорівнюватимуть нулю ( j ≠ 0).

Крім того, якщо якась частина векторів із сукупності векторів лінійно залежні, то всі ці вектори - лінійно залежні. Справді, якщо якісь вектори дають нульовий вектор у своїй лінійній комбінації з коефіцієнтами, які не є одночасно нульовими, то до цієї суми творів можна додати інші вектори, помножені на нульові коефіцієнти, і вона, як і раніше, буде нульовим вектором.

Як визначити, чи вектори є лінійно залежними?

Наприклад, візьмемо три вектори: а 1 = (1, 0, 1, 5), а 2 = (2, 1, 3, -2) та а 3 = (3, 1, 4, 3). Складемо з них матрицю, в якій вони будуть стовпцями:

Тоді питання лінійної залежності зведеться до визначення рангу цієї матриці. Якщо він виявиться рівним трьом, то всі три стовпці – лінійно незалежні, а якщо виявиться менше, то це буде говорити про лінійну залежність векторів.

Оскільки ранг дорівнює 2, вектори лінійно залежні.

Зазначимо, що розв'язання задачі можна було б розпочати і з міркувань, які ґрунтуються на визначенні лінійної незалежності. А саме, скласти векторне рівняння  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, яке набуде вид l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, -2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тоді ми отримаємо систему рівнянь:

Рішення цієї системи методом Гауса зведеться до отримання тієї ж самої ступінчастої матриці, Тільки в ній буде ще один стовпець - вільних членів. Вони всі дорівнюватимуть нулю, оскільки лінійні перетвореннянулів що неспроможні призвести до іншого результату. Перетворена система рівнянь набуде вигляду:

Рішенням цієї системи буде (-с;-с; с), де с – довільне число; наприклад, (-1; -1; 1). Це означає, що якщо взяти  l = -1;  2 = -1 і  3 = 1, то  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, тобто. вектор насправді лінійно залежні.

З вирішеного прикладу стає ясно, що й узяти число векторів більше, ніж розмірність простору, всі вони обов'язково будуть лінійно залежні. Справді, якби в цьому прикладі ми взяли п'ять векторів, то отримали б матрицю 4 х 5, ранг якої не міг би виявитися більшим за чотири. Тобто. максимальна кількість лінійно незалежних стовпців все одно не була б більшою за чотири. Два, три чи чотири чотиривимірні вектори можуть виявитися лінійно незалежними, а п'ять і більше – не можуть. Отже, на площині можуть бути лінійно незалежними не більше двох векторів. Будь-які три вектори у двовимірному просторі – лінійно залежні. У тривимірному просторі будь-які чотири (або більше) вектори завжди лінійно залежні. І т.п.

Тому розмірністьпростору можна визначити, як максимальна кількість лінійно незалежних векторів, які можуть бути в ньому.

Сукупність n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору R називають базисомцього простору.

Теорема. Кожен вектор лінійного простору можна у вигляді лінійної комбінації векторів базису, і до того ж єдиним способом.

Доведення. Нехай вектори e l , e 2 , ... n утворюють базисn-мірного простору R. Доведемо, що будь-який вектор Х є лінійною комбінацією цих векторів. Оскільки разом із вектором Х число векторів стане (n +1), ці (n +1) векторів будуть лінійно залежні, тобто. існують числа l , 2 ,..., n ,, не рівні одночасно нулю, такі що

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

У цьому 0, т.к. в іншому випадку ми отримали б l e l + 2 e 2 + ... + n e n = 0, де не всі коефіцієнти l, 2, ..., n рівні нулю. Це означає, що вектори базису виявилися б лінійно залежними. Отже, можна розділити обидві частини першого рівняння на:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n ,

де х j = -( j /),
.

Тепер доведемо, що таке уявлення у вигляді лінійної комбінації є єдиним. Припустимо неприємне, тобто. що існує інше уявлення:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Віднімемо з нього почленно отриманий вираз:

0 = (y l – х 1)e l + (y 2 – х 2)e 2 +...+ (y n – х n)e n

Так як вектори базису лінійно незалежні, отримаємо, що (y j - x j) = 0,
, тобто j = х j . Отже, вираз виявився тим самим. Теорему доведено.

Вираз Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n називають розкладаннямвектора Х за базисом e l , e 2 ,...e n , а числа х l , х 2 ,...х n - координатамивектора x щодо цього базису, або в цьому базисі.

Можна довести, що якщо n ненульових векторів n-вимірного евклідового простору попарно ортогональні, то вони утворюють базис. Справді, помножимо обидві частини рівності  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 на будь-який вектор е i . Отримаємо  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 для  i.

Вектори e l , e 2 ,...e n n-мірного евклідового простору утворюють ортонормований базис, якщо ці вектори попарно ортогональні і норма кожного їх дорівнює одиниці, тобто. якщо е i * e j = 0 приi≠jі | е i | = 1 для i.

Теорема (без підтвердження). У кожному n-мірному евклідовому просторі існує ортонормований базис.

Прикладом ортонормованого базису є система n одиничних векторів е i , у яких i-я компонента дорівнює одиниці, а інші компоненти дорівнюють нулю. Кожен такий вектор називається орт. Наприклад, вектори-орти (1, 0, 0), (0, 1, 0) і (0, 0, 1) утворюють базис тривимірного простору.

Скалярний добуток векторів

Продовжуємо розбиратися із векторами. На першому уроці Вектори для чайників ми розглянули поняття вектора, дії з векторами, координати вектора та найпростіші завдання із векторами. Якщо ви зайшли на цю сторінку вперше з пошуковика, настійно рекомендую прочитати вищезгадану вступну статтю, оскільки для засвоєння матеріалу необхідно орієнтуватися в термінах, позначеннях, що використовуються мною, мати базовими знаннямипро вектори та вміти вирішувати елементарні завдання. Цей урокє логічним продовженням теми, і на ньому я докладно розберу типові завдання, у яких використовується скалярне твір векторів Це дуже ВАЖЛИВО . Намагайтеся не пропускати приклади, до них додається корисний бонус – практика допоможе вам закріпити пройдений матеріал і «набити руку» на вирішенні поширених завдань. аналітичної геометрії.

Додавання векторів, множення вектора на число…. Було б наївним думати, що математики не вигадали щось ще. Крім уже розглянутих дій, існує низка інших операцій із векторами, а саме: скалярний добуток векторів, векторний добуток векторів і змішаний твір векторів . Скалярний твір векторів знайомий нам зі школи, два інших твори традиційно відносяться до курсу. вищої математики. Теми нескладні, алгоритм вирішення багатьох завдань трафаретний і зрозумілий. Єдине. Інформації пристойно, тому небажано намагатися освоїти-вирішувати ВСЕ І ВІДРАЗУ. Особливо це стосується чайників, повірте, автор зовсім не хоче почувати себе Чікатіло від математики. Ну і не від математики, звичайно, теж =) Більш підготовлені студенти можуть використовувати матеріали вибірково, відомому сенсі, «Добирати» знання, що бракують, для вас я буду невинним графом Дракулою =)

Прочинимо ж, нарешті, двері і захоплено подивимося, що відбувається, коли два вектори зустрічають один одного….

Визначення скалярного добутку векторів.
Властивості скалярного твору. Типові завдання

Поняття скалярного твору

Спочатку про кут між векторами. Думаю, всім інтуїтивно зрозуміло, що таке кут між векторами, але про всяк випадок трохи докладніше. Розглянемо вільні не нульові векторита . Якщо відкласти ці вектори від довільної точки, то вийде картинка, яку багато хто вже представив подумки:

Зізнаюся, тут я описав ситуацію лише на рівні розуміння. Якщо необхідно суворе визначеннякута між векторами, будь ласка, зверніться до підручника, для практичних завдань воно нам, в принципі, ні до чого. Також ТУТ І ДАЛІ я місцями ігноруватиму нульові вектори через їх малу практичну значущість. Застереження зробив спеціально для просунутих відвідувачів сайту, які можуть мені дорікнути за теоретичну неповноту деяких наступних тверджень.

У літературі значок кута часто пропускають і пишуть просто.

Визначення:Скалярним твором двох векторів і називається ЧИСЛО, рівне творудовжин цих векторів на косинус кута між ними:

Ось це вже цілком суворе визначення.

Акцентуємо увагу на суттєвій інформації:

Позначення:скалярний твір позначається через або просто.

Результат операції є ЧИСЛОМ: Помножується вектор на вектор, а виходить число Справді, якщо довжини векторів – це числа, косинус кута – число, їхній твір теж буде числом.

Відразу пара прикладів розминки:

Приклад 1

Рішення:Використовуємо формулу . У даному випадку:

Відповідь:

Значення косинуса можна знайти в тригонометричної таблиці . Рекомендую її роздрукувати - знадобиться практично у всіх розділах вежі і знадобиться багато разів.

Чисто з математичної погляду скалярне твір безрозмірно, тобто результат, у разі , просто число і все. З точки зору завдань фізики скалярний твір завжди має певний фізичний сенстобто після результату потрібно вказати ту чи іншу фізичну одиницю. Канонічний прикладпо обчисленню роботи сили можна знайти в будь-якому підручнику (формула точно являє собою скалярний твір). Робота сили вимірюється в Джоулях, тому і відповідь запишеться цілком конкретно, наприклад, .

Приклад 2

Знайти , якщо , а кут між векторами дорівнює.

Це приклад для самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку

Кут між векторами та значення скалярного твору

У Прикладі 1 скалярне твір вийшло позитивним, а Прикладі 2 – негативним. З'ясуймо, від чого залежить знак скалярного твору. Дивимося на формулу: . Довжини ненульових векторів завжди позитивні: тому знак може залежати тільки від значення косинуса.

Примітка: Для більш якісного розуміння наведеної нижче інформації краще вивчити графік косинуса в методичці Графіки та властивості функції . Подивіться, як поводиться косинус на відрізку.

Як уже зазначалося, кут між векторами може змінюватись у межах , і при цьому можливі наступні випадки:

1) Якщо кутміж векторами гострий: (від 0 до 90 градусів), то , і скалярний твір буде позитивним співспрямовані, то кут між ними вважається нульовим, і скалярне твір також буде позитивним. Оскільки , формула спрощується: .

2) Якщо кутміж векторами тупий: (від 90 до 180 градусів), то , і відповідно, скалярний твір негативно: . Особливий випадок: якщо вектори спрямовані протилежно, то кут між ними вважається розгорнутим: (180 градусів). Скалярне твір теж негативно, оскільки

Справедливі та зворотні твердження:

1) Якщо , то кут між цими векторами гострий. Як варіант вектори сонаправлены.

2) Якщо , то кут між цими векторами тупий. Як варіант вектори спрямовані протилежно.

Але особливий інтереспредставляє третій випадок:

3) Якщо кутміж векторами прямий: (90 градусів), то й скалярний добуток дорівнює нулю: . Назад теж вірно: якщо , то . Компактне твердження формулюється так: Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні.. Коротка математичний запис:

! Примітка : повторимо основи математичної логіки : двосторонній значок логічного слідствазазвичай читають «тоді й тільки тоді», «у тому й лише в тому випадку». Як бачите, стрілки направлені в обидві сторони – «з цього випливає це, і назад – з того, випливає це». У чому, до речі, на відміну від одностороннього значка слідування? Значок стверджує, тільки те, Що «з цього випливає це», і не факт, що протилежне справедливе. Наприклад: , але не кожен звір є пантерою, тому в цьому випадку не можна використовувати . У той же час замість значка можна, можливовикористовувати односторонній значок. Наприклад, вирішуючи завдання, ми з'ясували, що й зробили висновок, що вектори ортогональні: – такий запис буде коректним, і навіть доречнішим, ніж .

Третій випадок має велику практичну значимість оскільки дозволяє перевірити, ортогональні вектори чи ні. Це завданнями вирішимо у другому розділі уроку.

Властивості скалярного твору

Повернемося до ситуації, коли два вектори співспрямовані. І тут кут з-поміж них дорівнює нулю, , і формула скалярного твори набуває вигляду: .

А що буде, якщо вектор помножити на себе? Зрозуміло, що вектор спрямований сам із собою, тому користуємося вищезгаданою спрощеною формулою:

Число називається скалярним квадратомвектора і позначаться як .

Таким чином, скалярний квадрат вектор дорівнює квадратудовжини даного вектора:

З цієї рівності можна отримати формулу для обчислення довжини вектора:

Поки що вона здається малозрозумілою, але завдання уроку все розставлять на свої місця. Для вирішення завдань нам також знадобляться властивості скалярного твору.

Для довільних векторів та будь-якого числа справедливі такі властивості:

1) - переміщувальний або комутативнийзакон скалярного твору

2) - Розподільчий або дистрибутивнийзакон скалярного твору Просто можна розкривати дужки.

3) - Сполучний або асоціативнийзакон скалярного твору Константу можна винести із скалярного твору.

Найчастіше, всілякі властивості (які ще й доводити треба!) сприймаються студентами як непотрібний мотлох, який лише необхідно визубрити і відразу після іспиту благополучно забути. Здавалося б, чого тут важливого, всі й так з першого класу знають, що з перестановки множників твір змінюється: . Повинен застерегти, у вищій математиці з подібним підходомлегко наламати дров. Так наприклад, переміщувальна властивістьне є справедливим для алгебраїчних матриць . Невірно воно і для векторного твору векторів . Тому, будь-які властивості, які вам зустрінуться в курсі вищої математики, як мінімум, краще вникати, щоб зрозуміти, що можна робити, а чого не можна.

Приклад 3

.

Рішення:Спочатку прояснимо ситуацію з вектором. Що це взагалі таке? Сума векторів і є цілком певним вектором, який і позначений через . Геометричну інтерпретаціюдій з векторами можна знайти у статті Вектори для чайників . Та ж петрушка з вектором – це сума векторів та .

Отже, за умовою потрібно знайти скалярний твір. За ідеєю, потрібно застосувати робочу формулу Але біда в тому, що нам невідомі довжини векторів і кут між ними. Зате в умові дано аналогічні параметри для векторів, тому ми підемо іншим шляхом:

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів, вульгарну скоромовкуможна знайти у статті Комплексні числа або Інтегрування дробово-раціональної функції . Повторюватися вже не буду До речі, розкрити дужки нам дозволяє дистрибутивна властивість скалярного твору. Маємо право.

(3) У першому та останньому доданку компактно записуємо скалярні квадрати векторів: . У другому доданку використовуємо перестановочність скалярного произведения: .

(4) Наводимо подібні доданки: .

(5) У першому доданку використовуємо формулу скалярного квадрата , яку недавно згадувалося. В останньому доданку, відповідно, працює та сама штука: . Другий доданок розкладаємо по стандартною формулою .

(6) Підставляємо ці умови , та УВАЖНО проводимо остаточні обчислення.

Відповідь:

Негативне значенняскалярного твору констатує те що, що кут між векторами є тупим.

Завдання типове, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти скалярний добуток векторів і, якщо відомо, що .

Тепер ще одне поширене завдання, саме на нову формулу довжини вектора . Позначення тут трохи співпадатимуть, тому для ясності я перепишу її з іншою літерою:

Приклад 5

Знайти довжину вектора, якщо .

Рішеннябуде наступним:

(1) Поставляємо вираз вектора.

(2) Використовуємо формулу довжини: , при цьому як вектор «ве» у нас виступає ціле вираз .

(3) Використовуємо шкільну формулуквадрата суми. Зверніть увагу, як вона тут цікаво працює: - Це квадрат різниці, і, по суті, так воно і є. Бажаючі можуть переставити вектори місцями: – вийшло те саме з точністю до перестановки доданків.

(4) Подальше вже знайоме із двох попередніх завдань.

Відповідь:

Якщо йдеться про довжину, не забуваємо вказати розмірність - «одиниці».

Приклад 6

Знайти довжину вектора, якщо .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Продовжуємо вичавлювати корисні речі із скалярного твору. Знову подивимося на нашу формулу . За правилом пропорції скинемо довжини векторів у знаменник лівої частини:

А частини поміняємо місцями:

У чому зміст цієї формули? Якщо відомі довжини двох векторів та його скалярне твір, можна обчислити косинус кута між даними векторами, отже, і сам кут.

Скалярне твір – це число? Число. Довжини векторів – числа? Числа. Значить, дріб також є деяким числом . А якщо відомий косинус кута: , то за допомогою зворотної функціїлегко знайти і сам кут: .

Приклад 7

Знайти кут між векторами і якщо відомо, що .

Рішення:Використовуємо формулу:

на заключному етапіобчислень використаний технічний прийом– усунення ірраціональності у знаменнику. З метою усунення ірраціональності я примножив чисельник і знаменник на .

Отже, якщо , то:

Значення зворотних тригонометричних функційможна знаходити по тригонометричної таблиці . Хоча трапляється це рідко. У завданнях аналітичної геометрії значно частіше з'являється якийсь неповороткий ведмідь на кшталт , і значення кута доводиться знаходити приблизно, використовуючи калькулятор. Власне, таку картину ми ще неодноразово побачимо.

Відповідь:

Знову, не забуваємо вказувати розмірність – радіани та градуси. Особисто я, щоб свідомо «зняти всі питання», волію вказувати і те, і те (якщо за умовою, звичайно, не потрібно подати відповідь тільки в радіанах або лише в градусах).

Тепер ви зможете самостійно впоратися з більш складним завданням:

Приклад 7*

Дані - довжини векторів, і кут між ними. Знайти кут між векторами .

Завдання навіть не так складне, як багатоходове.
Розберемо алгоритм розв'язання:

1) За умовою потрібно знайти кут між векторами і тому потрібно використовувати формулу .

2) Знаходимо скалярне твір (див. приклади № 3, 4).

3) Знаходимо довжину вектора та довжину вектора (див. Приклади № 5, 6).

4) Кінцівка рішення збігається з Прикладом № 7 - нам відоме число, а значить, легко знайти і сам кут:

Коротке рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Другий розділ уроку присвячений тому ж скалярному твору. Координати. Буде навіть простіше, ніж у першій частині.

Скалярний добуток векторів,
заданих координатами в ортонормованому базисі

Відповідь:

Що й казати, мати справу з координатами значно приємніше.

Приклад 14

Знайти скалярний добуток векторів і , якщо

Це приклад самостійного рішення. Тут можна використовувати асоціативність операції, тобто не рахувати, а відразу винести трійку за межі скалярного твору і домножити на неї останню чергу. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

На закінчення параграфа провокаційний приклад на обчислення довжини вектора:

Приклад 15

Знайти довжини векторів , якщо

Рішення:знову напрошується спосіб попереднього розділу: , але існує й інша дорога:

Знайдемо вектор:

І його довжину за тривіальною формулою :

Скалярний твір тут взагалі не при справах!

Як не при справах воно і при обчисленні довжини вектора:
Стоп. А чи не скористатися очевидною властивістю довжини вектора? Що можна сказати про довжину вектора? Цей вектордовше за вектор у 5 разів. Напрямок протилежний, але це не відіграє ролі, адже розмова про довжину. Очевидно, що довжина вектора дорівнює добутку модулячисла на довжину вектора:
- Знак модуля «з'їдає» можливий мінус числа.

Таким чином:

Відповідь:

Формула косинуса кута між векторами, заданими координатами

Тепер у нас є повна інформація, щоб раніше виведену формулу косинуса кута між векторами виразити через координати векторів:

Косинус кута між векторами площини.та , заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:
.

Косинус кута між векторами простору, заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Приклад 16

Дано три вершини трикутника. Знайти (кут при вершині).

Рішення:За умовою креслення виконувати не потрібно, але все-таки:

Необхідний кут позначений зеленою дугою. Відразу згадуємо шкільне позначення кута: – особливу увагуна середнюлітеру - це і є потрібна нам вершина кута. Для стислості можна було також записати просто.

З креслення цілком очевидно, що кут трикутника збігається з кутом між векторами і іншими словами: .

Проведений аналіз бажано навчитися виконувати подумки.

Знайдемо вектори:

Обчислимо скалярний твір:

І довжини векторів:

Косинус кута:

Саме такий порядок виконання завдання рекомендую чайникам. Більше підготовлені читачі можуть записувати обчислення «одним рядком»:

Ось і приклад поганого значення косинуса. Отримане значення не є остаточним, тому немає особливого сенсу позбавлятися ірраціональності у знаменнику.

Знайдемо сам кут:

Якщо подивитися на креслення, то результат цілком правдоподібний. Для перевірки кут можна виміряти і транспортиром. Не пошкодіть покриття монітора =)

Відповідь:

У відповіді не забуваємо, що питалося про кут трикутника(а не про кут між векторами), не забуваємо вказати точну відповідь: і наближене значення кута: знайдене за допомогою калькулятора.

Ті, хто отримав задоволення від процесу, можуть обчислити кути і переконатися в справедливості канонічної рівності

Приклад 17

У просторі заданий трикутник координатами своїх вершин. Знайти кут між сторонами та

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку

Невеликий заключний розділ буде присвячений проекціям, у яких також «замішано» скалярний твір:

Вектор проекції на вектор. Вектор проекції на координатні осі.
Напрямні косинуси вектор

Розглянемо вектори та:

Спроектуємо вектор на вектор, для цього з початку та кінця вектора опустимо перпендикуляривектор (зелені пунктирні лінії). Уявіть, що вектор перпендикулярно падають промені світла. Тоді відрізок (червона лінія) буде «тінь» вектора. В даному випадку проекцією вектора на вектор є ДОВжина відрізка. Тобто ПРОЕКЦІЯ – ЦЕ ЧИСЛО.

Дане ЧИСЛО позначається так: «великим вектором» позначають вектор КОТРИЙпроектують, «маленьким підрядковим вектором» позначають вектор НАякий проектують.

Сам запис читається так: "проекція вектора "а" на вектор "бе"".

Що станеться, якщо вектор «бе» буде «надто коротким»? Проводимо пряму лінію, що містить вектор "бе". І вектор «а» проектуватиметься вже на напрям вектора «бе», Просто - на пряму, що містить вектор «бе». Те саме станеться, якщо вектор «а» відкласти в тридесятому царстві – він все одно легко спроектується на пряму вектор «бе».

Якщо кутміж векторами гострий(як на малюнку), то

Якщо вектори ортогональні, то (проекцією є точка, розміри якої вважаються нульовими).

Якщо кутміж векторами тупий(на малюнку подумки переставте стрілочку вектора), то (та сама довжина, але взята зі знаком мінус).

Відкладемо ці вектори від однієї точки:

Очевидно, що при переміщенні вектора його проекція не змінюється