Багаточлени, які складаються з двох доданків, називаються. Значення слова багаточлен

Згідно з визначенням, багаточлен це алгебраїчний виразявляє собою суму одночленів.

Наприклад: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлени, а вираз z/(x - x*y^2 + 4) перестав бути многочленом оскільки вона перестав бути сумою одночленів. Багаточлен ще іноді називають поліномом, а одночлени, які входять до складу багаточлена членами багаточлена або мономами.

Комплексне поняття багаточлена

Якщо многочлен складається з двох доданків, його називають двочлен, якщо з трьох - трехчлен. Назви чотиричленів, п'ятичленів та інші не використовуються, а в таких випадках говорять просто, багаточлени. Такі назви, залежно від кількості доданків, ставлять усі на свої місця.

І термін одночлен стає інтуїтивно зрозумілим. З погляду математики, одночлен є окремим випадком многочлена. Одночлен це багаточлен, що складається з одного доданку.

Так само як і в одночлена, багаточлен має свій стандартний вигляд. Стандартним видом багаточлена називається такий запис багаточлена, при якому всі одночлени, що входять до нього як складові, записані в стандартному вигляді і наведені подібні члени.

Стандартний вид багаточлену

Процедура приведення багаточлена до стандартного виду полягає в тому, щоб привести кожен із одночленів до стандартного вигляду, а потім усі подібні одночлени між собою скласти. Додавання подібних членів багаточлена називають приведенням подібних.
Наприклад, наведемо подібні доданкиу многочлені 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Подібними тут є доданки 4*a*b^2*c^3 та 6*a*b^2*c^3. Сумою цих доданків буде одночлен 10*a*b^2*c^3. Отже, вихідний багаточлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можна переписати у вигляді 10*a*b^2*c^3 - a*b . Цей запис і буде стандартним видом багаточлена.

З того, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду, випливає також і той факт, що будь-який багаточлен можна привести до стандартного вигляду.

Коли багаточлен приведено до стандартного вигляду, можна говорити про таке поняття, як ступінь багаточлена. Ступенем многочлена називається найбільша ступінь одночлена, що входить до цього багаточлена.
Так, наприклад, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - багаточлен п'ятого ступеня, оскільки максимальний ступіньодночлена що входить у многочлен (5*x^3*y^2) п'ята.

Після вивчення одночленів переходимо до багаточленів. Ця стаття розповість про всі необхідні відомості, необхідні виконання дій над ними. Ми визначимо багаточлен із супутніми визначеннями члена багаточлена, тобто вільний і подібний, розглянемо багаточлен стандартного виду, введемо ступінь та навчимося його знаходити, попрацюємо з його коефіцієнтами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

Визначення многочлена треба було ще в 7 клас після вивчення одночленів. Розглянемо повне визначення.

Визначення 1

Багаточленомвважається сума одночленів, причому сам одночлен – це окремий випадокбагаточлена.

З визначення випливає, що приклади багаточленів можуть бути різними: 5 , 0 , − 1 , x, 5 · a · b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z і так далі. З визначення маємо, що 1+x, a 2 + b 2 і вираз x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5, 2 · y · x є многочленами.

Розглянемо ще визначення.

Визначення 2

Членами багаточленуназиваються його складові одночлени.

Розглянемо такий приклад, де маємо багаточлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , що складається з 4 членів: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 та − y 3. Такий одночлен вважатимуться многочленом, що з одного члена.

Визначення 3

Багаточлени, які мають у своєму складі 2 , 3 тричлени мають відповідну назву – двочлені тричлен.

Звідси випливає, що вираз виду x + y– є двочленом, а вираз 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – тричленом.

за шкільній програміпрацювали з лінійним двочленом виду a · x + b , де а та b є деякими числами, а х – змінною. Розглянемо приклади лінійних двочленів виду: x + 1, x · 7, 2 - 4 з прикладами квадратних тричленів x 2 + 3 · x − 5 та 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Для перетворення та рішення необхідно знаходити та наводити подібні доданки. Наприклад, багаточлен виду 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x має подібні доданки 1 і - 3, 5 х та 2 х. Їх поділяють у особливу групупід назвою таких членів багаточлена.

Визначення 4

Подібні члени багаточлену– це подібні доданки, що перебувають у багаточлені.

У наведеному вище прикладі маємо, що 1 і - 3 , 5 х і 2 х є подібними членами многочлена або подібними доданками. Для того, щоб спростити вираз, застосовують знаходження та приведення подібних доданків.

Багаточлен стандартного вигляду

У всіх одночленів і багаточленів є певні назви.

Визначення 5

Багаточлен стандартного видуназивають багаточлен, у якого кожен член, що входить до нього, має одночлен стандартного вигляду і не містить подібних членів.

З визначення видно, що можливе приведення багаточленів стандартного виду, наприклад, 3 · x 2 - x · y + 1 та __formula__, причому запис у стандартному вигляді. Вирази 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z та 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z багаточленами стандартного виду не є, тому що перший з них має подібні доданки у вигляді 3 · x 2 та − x 2, а другий містить одночлен виду x · y 3 · x · z 2 відрізняється від стандартного многочлена.

Якщо цього вимагають обставини, іноді многочлен наводиться до стандартного виду. Багаточлен стандартного виду вважається і поняття вільного члена многочлена.

Визначення 6

Вільним членом багаточленає багаточлен стандартного вигляду, що не має буквеної частини.

Інакше висловлюючись, коли запис многочлена у стандартному вигляді має число, його називають вільним членом. Тоді число 5 є вільним членом многочлена x 2 · z + 5 а багаточлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 вільного члена не має.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Визначення самого ступеня багаточлена базується на визначенні багаточлена стандартного виду та на ступенях одночленів, які є його складовими.

Визначення 7

Ступенем багаточлена стандартного виглядуназивають найбільший зі ступенів, що входять до його запису.

Розглянемо з прикладу. Ступінь многочлена 5 · x 3 - 4 дорівнює 3 тому, як одночлени, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0, а більше з них 3 відповідно. Визначення ступеня із многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x дорівнює найбільшому з чисел, тобто 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 і 1, отже 5 .

Слід з'ясувати, як знаходиться сама ступінь.

Визначення 8

Ступінь багаточлена довільного числа - це ступінь відповідного багаточлена в стандартному вигляді.

Коли многочлен записаний над стандартному вигляді, але потрібно знайти його ступінь, необхідно приведення до стандартного, після чого шукати ступінь.

Приклад 1

Знайти ступінь багаточлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 - 2 · a 12 − a 12.

Рішення

Для початку представимо багаточлен у стандартному вигляді. Отримаємо вираз виду:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При отриманні многочлена стандартного виду отримуємо, що чітко виділяються два з них - 2 · a 2 · b 2 · c 2 та y 2 · z 2 . Для знаходження ступенів порахуємо та отримаємо, що 2 + 2 + 2 = 6 та 2 + 2 = 4 . Видно, що найбільша їх дорівнює 6 . З визначення випливає, що саме 6 є ступенем многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , отже вихідного значення.

Відповідь: 6 .

Коефіцієнти членів багаточлену

Коли всі члени багаточлена є одночленами стандартного виду, то у такому випадку вони мають назву коефіцієнтів членів багаточлену.Інакше висловлюючись, їх можна називати коефіцієнтами многочлена.

При розгляді прикладу видно, що багаточлен виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 має у своєму складі 4 багаточлени: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x та 7 з відповідними коефіцієнтами 2 , − 0 , 5 , 3 і 7 . Значить, 2 , − 0 , 5 , 3 та 7 вважаються коефіцієнтами членів заданого багаточлена виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При перетворенні важливо звертати увагу на коефіцієнти, що стоять перед змінними.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

- багаточленами. У цій статті ми викладемо всі початкові та необхідні відомостіпро багаточлени. До них, по-перше, відноситься визначення багаточлена з супутніми визначеннями членів багаточлена, зокрема вільного члена та подібних членів. По-друге, зупинимося на багаточленах стандартного виду, дамо відповідне визначення та наведемо їх приклади. Нарешті, введемо визначення ступеня многочлена, розберемося, як його визначити, і скажемо про коефіцієнти членів многочлена.

Навігація на сторінці.

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

У 7 класі багаточлени вивчаються відразу після одночленів, це і зрозуміло, оскільки визначення багаточленадається через одночлени. Дамо це визначення, що пояснює, що таке багаточлен.

Визначення.

Багаточлен- Це сума одночленів; одночлен вважається окремим випадком многочлена.

Записане визначення дозволяє навести скільки завгодно прикладів багаточленів. Будь-який з одночленів 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , і т.п. є багаточлен. Також за визначенням 1+x , a 2 +b 2 і це багаточлени.

Для зручності опису многочленів запроваджується визначення члена многочлена.

Визначення.

Члени багаточлена– це складові багаточленів одночлени.

Наприклад, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 складається з чотирьох членів: 3·x 4 , −2·x·y , 3 та −y 3 . Одночлен вважається багаточленом, що складається з одного члена.

Визначення.

Багаточлени, які складаються з двох та трьох членів, мають спеціальні назви – двочлені тричленвідповідно.

Так x + y - це двочлен, а 2 · x 3 · q-q · x · x +7 · b - тричлен.

У школі найчастіше доводиться працювати з лінійним двочленом a x + b , де a і b – деякі числа, а x – змінна, а також з квадратним тричленом a x 2 + b x x c , де a , b і c - деякі числа, а x - змінна. Ось приклади лінійних двочленів: x+1 , x·7,2−4 , а приклади квадратних тричленів: x 2 +3·x−5 і .

Багаточлени у своєму записі можуть мати подібні доданки. Наприклад, в многочлені 1+5·x−3+y+2·x подібними доданками є 1 та −3 , а також 5x і 2x. Вони мають свою особливу назву – такі члени багаточлена.

Визначення.

Подібними членами багаточленуназиваються подібні доданки в многочлен.

У попередньому прикладі 1 і -3, як і пара 5 x і 2 x, є подібними членами многочлена. У багаточленах, які мають подібні члени, можна спрощення їх виду виконувати приведення подібних членів .

Багаточлен стандартного вигляду

Для многочленів, як й у одночленів, існує так званий стандартний вид. Озвучимо відповідне визначення.

Виходячи з даного визначення, можна навести приклади багаточленів стандартного вигляду. Так багаточлени 3·x 2 −x·y+1 та записані у стандартному вигляді. А вирази 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z та x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не є багаточленами стандартного виду, так як у першому з них містяться подібні члени 3· x 2 і −x 2 , а у другому – одночлен x y 3 x z 2 , вид якого відмінний від стандартного.

Зауважимо, що за потреби завжди можна привести багаточлен до стандартного вигляду.

До многочленів стандартного виду належить ще одне поняття – поняття вільного члена многочлена.

Визначення.

Вільним членом багаточленаназивають членом багаточлена стандартного вигляду без буквеної частини.

Інакше кажучи, якщо запису многочлена стандартного виду є число, його називають вільним членом. Наприклад, 5 – це вільний член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 немає вільного члена.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Ще одним важливим супутнім визначеннямє визначення ступеня багаточлена. Спочатку визначимо ступінь багаточлена стандартного виду, це визначення базується на ступенях одночленів, що у його складі.

Визначення.

Ступінь багаточлена стандартного вигляду– це найбільший із ступенів одночленів, що входять до його запису.

Наведемо приклади. Ступінь многочлена 5·x 3 −4 дорівнює 3 , оскільки одночлени 5·x 3 і −4, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0 відповідно, найбільше з цих чисел є 3 , воно і є ступенем многочлена за визначенням. А ступінь багаточлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·xдорівнює найбільшому з чисел 2+3=5 , 4+1=5 та 1 , тобто 5 .

Тепер з'ясуємо, як знайти рівень багаточлена довільного вигляду.

Визначення.

Ступенем багаточлена довільного виглядуназивають ступінь відповідного йому багаточлен стандартного виду.

Отже, якщо багаточлен записаний над стандартному вигляді, і потрібно знайти його ступінь, потрібно привести вихідний многочлен до стандартного вигляду, і знайти ступінь отриманого многочлена – вона й буде шуканою. Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть ступінь багаточлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12.

Рішення.

Спочатку потрібно подати багаточлен у стандартному вигляді:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2.

В отриманий многочлен стандартного виду входять два одночлени −2·a 2 ·b 2 ·c 2 та y 2 ·z 2 . Знайдемо їх ступеня: 2+2+2=6 та 2+2=4 . Очевидно, найбільша з цих ступенів дорівнює 6 вона за визначенням є ступенем багаточлена стандартного виду −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2, Отже, і ступенем вихідного многочлена., 3 x і 7 многочлена 2 x -0,5 x x y +3 x +7 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебраі почала математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Розкладання багаточлена п'ятого ступеня на квадратичні множники за допомогою інтерполяційного багаточлена Лагранжа

Визначення інтерполяційного багаточлена Лагранжа п'ятого ступеня.

Щоб розкласти наведений багаточлен п'ятийступеня на множники необхідне виконання рівності: f(x)=φ(x) g(x). При цьому ступінь багаточленів φ(x) і g(x) має бути не вищим за п'ятий.

Для визначення цілого багаточлену не вище п'ятоїступеня із заданою таблицею значень існує формула інтерполяційного багаточлена Лагранжа (ІМЛ)):

φ(x) = F(x)· , де F(x)=(x-x 1)·(x-x 2)·(x-x 3)·(x-x 4)·(x-x 5)(x-x 6), Fʹ(x k) значення похідної функції F(x) у точках x k .

Де потрібно задати на площині координати 6 точок.

Для визначення множників φ(x) та g(x) виберемо довільно шість цілих значень x = x 1; x 2; x 3; x 4; x 5; x 6 і будемо підставляти їх у рівність f(x) = φ(x) · g (x). Отримаємо:

f(x 1)= φ(x 1)·g(x 1) ; f(x 2)= φ(x 2)·g(x 2); f(x 3)= φ(x 3)·g(x 3);

f(x 4)= φ(x 4)·g(x 4) ; f(x 5)=φ(x 5)·g(x 5); f (x 6) = φ (x 6) · g (x 6).

Ці рівності показують, що кожне значення φ(x k) шуканого множника φ(x) є дільником числа f(x k).

Для побудови множника φ(x) скористаємося ІМЛі як f(x k) будемо підставляти довільні цілі числа А k , а значення x k виберемо як послідовних цілих чисел близьких до нуля, тобто.

x 1 = -3; x 2 = -2; x 3 = -1; x 4 = 0; x 5 = 1; x 6 =2.

У розгорнутому вигляді ІМЛφ(x) виглядає так:

φ(x) = F(x) , де F(x)=(x+3)·(x+2)·(x+1)·x·(x-1)·(x-2). (2).

Для побудови множника φ(x) за допомогою ІМЛнеобхідно задати числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 .

Визначення:числа А 1; А 2; А 3; А 4; А 5; А 6 взяті з формули ІМЛзаписані в ряд називаються Лагранжева поряд.

Розкладання многочлена на лінійні множники за допомогою ІМЛ.

Теорема 1(Узагальнення схеми Горнера)

Багаточлен φ(x) є лінійним, якщо числа А1; А 2; А 3; А 4; А 5; А 6 утворюють зростаючу послідовність цілих чисел.

Доведення:наведемо багаточлен (2) до найменшого спільному знаменнику, тобто. до 120 F (x), що вийшов чисельник запишемо у вигляді многочлена п'ятого ступеня у якого коефіцієнти містять числа А 1 ; А 2; А 3; А 4; А 5; А 6 . Для того щоб багаточлен (2) був лінійним необхідно прирівняти до нуля коефіцієнти при «х» п'ятого, четвертого, третього і другого ступеня, а коефіцієнт при «х» першого ступеня прирівняти до 120. В результаті отримаємо наступну систему з п'яти рівнянь з шістьма змінними:

5·А 2 +80·А 3 -150·А 4 +80·А 4 -5·А 6 =0

4·А 1 +30·А 2 -120·А 3 +40·А 4 +60·А 5 -6·А 6 =120.

Якщо зафіксувати число А 6 всі інші виразяться такими формулами: А 1 =А 6 -5; А 2 =А 6 -4; А 3 =А 6 -3; А 4 =А 6 -2; А 5 =А 6 -1.

Ми отримали зростаючу послідовність цілих чисел.

З теореми випливає, що лінійний множник має наступний вигляд: φ(x)=x+А 4 (3).

Визначення: послідовність чисел заданих даними співвідношеннями А1 = А6-5; А 2 = А6 -4; А 3 = А 6 -3; А4 = А6-2; А 5 = А 6 -1; А 6 називають лінійним Лагранжовим рядом.

Визначення: лінійний Лагранжевий ряд називається « кандидатомякщо всі його числа А k є дільниками відповідних значень функції f(x k), де k=1;2;3;4;5;6.

Для всіх кандидатів будуємо лінійний множник φ(x) за формулою (3) та перевіряємо його на ділимість з f(x).

З теореми випливає, що лінійний множник має наступний вигляд φ(x)=x+А 4 ,

де А 4 є дільником вільного члена, тобто. f(0). Аналогічно визначається лінійний множник наведеного багаточлена за схемою Горнера.

Приклад: f(x) = x 5-8x4+2x3-16x2+x-8. За схемою Горнер знайдемо значення многочлена при х = -3; -2; -1; 0;1;2. Для цього складемо таблицю 1:

Останній стовпець таблиці 1 перепишемо першим рядком таблиці 2. Виберемо у цьому рядку число, що має найменше числодільників. У прикладі це число -8. Запишемо у стовпчик усі його дільники. Кожному дільнику числа -8 запишемо рядок лінійний Лагранжевий ряд. З Лагранжових рядів, що вийшли, виберемо «кандидатів». Побудуємо за допомогою «кандидатів» багаточлен φ(x) за формулою (3) і перевіримо їх на подільність з даним багаточленом f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8.

Таблиця 2:

У наведеній вище таблиці 2 зафарбовані сірим кольоромпрямокутники, у яких перебувають числа, які є дільниками відповідних значень функції f(x). У цій таблиці міститься рядок або Лагранжевий ряд усі числа, якого є дільниками відповідних значень функції f(x). Цей ряд є єдиним кандидатом. У цьому низці А 4 = -8, підставляючи формулу φ(x)=x- А 4 , знаходимо φ(x)=x- 8.

Перевірка: x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8 = (x-8) · (x 4 +2x 2 +1). Справжній кандидат виділимо чорним кольором.

Розкладання багаточлена на квадратичні множники за допомогою ІМЛ.

Теорема 2. Множник φ(x) є квадратичним якщо числа А 1; А 2; А 3; А 4; А 5; А 6 пов'язані між собою такими співвідношеннями:

А 1 = 5 · (А 5 +4) -4 · А 6

А 2 = 4 · (А 5 +3) -3 · А 6

А 3 = 3 · (А 5 +2) -2 · А 6

А 4 = 2 · (А 5 +1) -1 · А 6

Доведення:Доказ: наведемо многочлен (1) до найменшого спільного знаменника, тобто. до 120 · F (x), що вийшов чисельник запишемо у вигляді багаточлена п'ятого ступеня у якого коефіцієнти містять числа А 1; А 2; А 3; А 4; А 5; А 6 . Для того щоб багаточлен (1) був квадратичним необхідно прирівняти до нуля коефіцієнти при «х» п'ятого, четвертого і третього ступеня, а коефіцієнт при «х» другого ступеня прирівняти до 120. В результаті отримаємо наступну систему з чотирьох рівнянь з шістьма змінними:

А 1 +5 А 2 -10 А 3 +10 А 4 -5 А 5 + А 6 = 0

5·А 2 -20·А 3 +30·А 4 -20·А 5 +5·А 6 =0

5·А 1 -35·А 2 +70·А 3 -50·А 4 +5·А 5 +5·А 6 =0

5·А 2 +80·А 3 -150·А 4 +80·А 5 -5·А 6 =120.

Якщо зафіксувати два числа А 5 і А 6 всі інші виразяться наступними формулами:

А 1 = 5 · (А 5 +4) -4 · А 6; А 2 = 4 · (А 5 +3) -3 · А 6;

А 3 = 3 · (А 5 +2) -2 · А 6; А 4 = 2 · (А 5 +1) -1 · А 6 .

З теореми випливає, що квадратичний множник висловиться формулою φ(x)=x 2 +(А 6 - А 5 -3) · x + А 4 . (4)

Визначення:Послідовність цілих чисел, заданих наступними

співвідношеннями А 1 = 5 · (А 5 +4) -4 · А 6; А 2 = 4 · (А 5 +3) -3 · А 6; А 3 = 3 · (А 5 +2) -2 · А 6; А 4 = 2 · (А 5 +1) -1 · А 6 називається квадратичним Лагранжовим рядом

Визначення: квадратичний Лагранжевий ряд називається «кандидатом» якщо всі числа А k є дільниками відповідних значень функції f(x k), k=1;2;3;4;5;6.

Для всіх кандидатів будуємо квадратичний множник φ(x) за формулою (4) та перевіряємо його на ділимість з f(x).

Спрощений вид квадратичних лагранжових рядів.

Формули квадратичного Лагранжового ряду можна спростити. Для цього літерою «d» позначимо різницю А 5 - А 6 тоді числа квадратичного Лагранжевого ряду будуть виглядати більше простими формуламита зручними для їх побудови:

Приклад:А 5 = 7; А 6 = 10 скласти квадратичний лагранжевий ряд.

Знайдемо d=7-10=-3, тоді за формулами таблиці знайдемо числа ряду:

Відповідь: 15; 10; 7; 6; 7; 10.

Розглянемо приклад розкладання наведеного багаточлена п'ятого ступеня на множники: f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20.

За схемою Горнер знайдемо значення функції при х = -3; -2;-1; 0;1;2. Для цього складемо таблицю:

1. Визначимо, чи має даний багаточлен, лінійнімножники. Для цього в рядок таблиці №3 запишемо значення функції, що вийшло. З них виберемо число, що має найменшу кількість дільників. У прикладі це число «2». Запишемо у стовпчик усі його цілі дільники. Для кожного дільника числа «2» у рядок запишемо лінійні лагранжові ряди. З них виберемо кандидатів і перевіримо на ділимість із даним багаточленом f(x).

Таблиця №3:

У цій таблиці №3 сірим кольором відзначені клітини, у яких перебувають числа, які є дільниками відповідних значень функції f(x). Порожні клітини заповнювати немає необхідності, оскільки побудований квадратичний Лагранжевий ряд із числом у сірій клітині наперед не є «кандидатом». З цієї №3 таблиці видно, що «кандидатів» немає. Це означає, що даний многочлен f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20 на лінійні множники не розкладається.

Визначимо, чи має цей багаточлен квадратичні множники. Для цього в рядок таблиці № 4 запишемо значення функції, що вийшло. З них виберемо два числа, що мають найменшу кількість дільників. У нашому прикладі це числа «2» та «-6» запишемо їхні дільники до стовпчиків. Для кожної пари дільників чисел «2» і «-6» у рядок запишемо квадратичні лагранжові ряди. З них виберемо кандидатів і перевіримо їх на ділимість із даним багаточленом f(x).

Таблиця №4:

У цій таблиці №4 ми бачимо двох «кандидатів». З їх допомогою за формулою φ(x) = x 2 + (А 6 - А 5 -3) x + А 4 знайдемо квадратнімножники: ? 1 (x) = x 2 -3х + 4; φ 2 (x) = x 2 + x-4.

Перевірка показує, що один із двох множників є істинним φ 1 (x)=x 2 -3х+ 4, а інший множник виявився стороннім.

Відповідь: x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20 = (x 2 -3х + 4) · (x 3 -2x 2 +3x-5).

У цій таблиці №4 отримали 32 квадратичних Лагранжових ряди. Це число визначається кількістю різних пар дільників, як позитивних, і негативних, двох значень функції, які розташовані двома стовпчиками поруч.

Зменшення числа квадратичних лагранжових рядів.

Якщо значення функції число дільників, яких мінімально, розташовані не по сусідству, можна скористатися наступною теоремою:

Теорема 3Нехай відомі А 4 і А 6 тоді А 5 = (А 4 + А 6 · 1): 2-1

Нехай відомі А 3 і А 6 тоді А 5 = (А 3 + А 6 · 2): 3-2

Нехай відомі А 2 і А 6 тоді А 5 = (А 2 + А 6 · 3): 4-3

Нехай відомі А1 і А6 тоді А5 = (А1 + А6 · 4): 5-4.

Доказ: доведемо останню рівність А 5 = (А 1 + А 6 · 4): 5-4. За визначенням квадратичних Лагранжових чисел, А 1 =5 · (А 5 +4) -4 · А 6 підставимо це число у вихідну рівність отримаємо А 5 = (5 · (А 5 +4) -4 · А 6 + А 6 · 4): 5-4 = (5 · А 5 +20): 5-4 = А 5 +4-4 = А 5 що і потрібно довести. Інші рівність доводяться аналогічно.

Ця теорема дозволяє зменшити кількість квадратичних Лагранжових рядів. Розглянемо вже вирішений нами приклад f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20

і вирішимо його на випадок коли ми розглядаємо квадратичні Лагранжеві ряди побудованих за допомогою дільників А4 і А6.

Таблиця №5:

У цій таблиці №5 ми отримали 24 квадратичні Лагранжеві ряди. Так як у формулі суму А 4 і А 6 необхідно ділити на 2, тому дільники А 4 і А 6 повинні бути обидва парними, або обидва непарними. За рахунок цього зменшилася кількість квадратичних лагранжових рядів. Якщо використовувати цю теорему 3 для запису квадратичних Лагранжових рядів, побудованих за допомогою А 1 і А 6 число рядів зменшиться до 12.

Таблиця №6:

У таблиці №6 число квадратичних Лагранжових рядів зменшилося до 12, тому що А 5 знаходиться за формулою (4A 1 +A 6):5-4 і А 5 як ціле число має бути меншим або рівним -6. У всіх таблицях чорний виділений рядок є «дійсним кандидатом». Інші кандидати є «уявними».

Для многочлена шостого ступеня можна довести, що квадратичний множник можна знайти за формулою: ? А 2; А 3; А 4; А 5; А 6; А 7 утворюють квадратичний лагранжевий ряд.

Висновки:

Цей метод розкладання, що використовує ІМЛ, є узагальненням «схеми Горнера».

Даним методом можна визначити квадратичні множники для багаточленів вище п'ятого ступеня.

Даним методом можна досліджувати властивості Лагранжових чисел для визначення кубічних багаточленів у розкладанні багаточленів п'ятого та вище ступеня.

Література:

1. А. Н. Чеботарьов «Основи теорії Галуа», ОМТІ ГТТІ, 1934р., 1ч.

2. «Числа та багаточлени», укладач А.А. Єгоров - М.: бюро Квантум, 2000 / додаток до журналу "Квант" № 6, 2000р.

Поняття багаточлена

Визначення багаточлена: багаточлен – це сума одночленів. Приклад багаточлена:

тут бачимо суму двох одночленів, але й є многочлен, тобто. сума одночленів.

Доданки, у тому числі складається многочлен, називаються членами многочлена.

Чи є різницю одночленів багаточленом? Так, є, адже різниця легко наводиться до суми, приклад: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Одночлени також вважають багаточленами. Але в одночлені немає суми, тоді чому його вважають багаточленом? А до нього можна додати нуль та отримати його суму з нульовим одночленом. Отже, одночлен – це окремий випадок багаточлена, він складається з одного члена.

Число нуль - це нульовий багаточлен.

Стандартний вид багаточлену

Що таке багаточлен стандартного вигляду? Багаточлен є сума одночленів і якщо всі ці одночлени, що становлять багаточлен, записані у стандартному вигляді, крім того серед них не повинно бути подібних, тоді багаточлен записаний у стандартному вигляді.

Приклад багаточлена у стандартному вигляді:

тут багаточлен складається з 2 одночленів, кожен з яких має стандартний вигляд, серед одночленів немає подібних.

Тепер приклад багаточлена, який не має стандартного вигляду:

тут два одночлени: 2a і 4a є подібними. Потрібно їх скласти, тоді багаточлен набуде стандартного вигляду:

Ще приклад:

Цей багаточлен наведено до стандартного вигляду? Ні, у нього другий член не записаний у стандартному вигляді. Записавши його у стандартному вигляді, отримуємо багаточлен стандартного вигляду:

Ступінь багаточлена

Що таке ступінь багаточлену?

Ступінь багаточлена визначення:

Ступінь багаточлена - найбільший ступінь, який мають одночлени, що становлять даний багаточлен стандартного виду.

приклад. Який ступінь багаточлена 5h? Ступінь многочлена 5h дорівнює одному, адже цей многочлен входить лише один одночлен і ступінь його дорівнює одному.

Інший приклад. Який ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4+1? Ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 дорівнює дев'яти, адже до цього багаточлена входять два одночлени, найбільший ступіньмає перший одночлен 5a 2 h 3 s 4 а його ступінь дорівнює 9-ти.

Ще приклад. Який ступінь багаточлена 5? Ступінь многочлена 5 дорівнює нулю. Отже, ступінь многочлена, що складається лише у складі, тобто. без літер, що дорівнює нулю.

Останній приклад. Який ступінь нульового многочлена, тобто. нуля? Ступінь нульового багаточлена не визначено.