Перетворення многочлена. Перетворення багаточленів за допомогою формул скороченого множення
Багаточленом називають суму одночленів. Якщо всі члени багаточлена записати в стандартному вигляді (див. п. 51) і виконати приведення таких членів, то вийде багаточлен стандартного виду.
Будь-яке ціле вираження можна перетворити на многочлен стандартного виду - у цьому полягає мета перетворень (спрощень) цілих виразів.
Розглянемо приклади, у яких цілий вираз слід привести до стандартного виглядубагаточлена.
Рішення. Спочатку наведемо до стандартного вигляду члени багаточлена. Отримаємо Після приведення подібних членів отримаємо багаточлен стандартного вигляду
Рішення. Якщо перед дужками стоїть знак плюс, то дужки можна опустити, зберігши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:
Рішення. Якщо перед дужками стоїть зіак «мінус», то дужки можна опустити, змінивши знаки всіх доданків ув'язнених у дужки. Скориставшись цим правилом паскриття дужок, отримаємо:
Рішення. Добуток одночлена та багаточлена згідно з розподільчим законом дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного члена багаточлена. Отримуємо
Рішення. Маємо
Рішення. Маємо
Залишилося навести таких членів (вони підкреслені). Отримаємо:
53. Формули скороченого множення.
У деяких випадках приведення цілого виразу до стандартного виду багаточлена здійснюється з використанням тотожностей:
Ці тотожності називають формулами скороченого множення,
Розглянемо приклади, у яких необхідно перетворити заданий вираз у миогочлеи стандартного виду.
приклад 1. .
Рішення. Скориставшись формулою (1), отримаємо:
Приклад 2. .
Рішення.
Приклад 3. .
Рішення. Скориставшись формулою (3), отримаємо:
приклад 4.
Рішення. Скориставшись формулою (4), отримаємо:
54. Розкладання багаточленів на множники.
Іноді можна перетворити багаточлен на твір кількох співмножників - багаточленів або одпочленів. Таке тотожне перетворенняназивається розкладанням многочлена на множники. І тут кажуть, що многочлен ділиться кожен із цих множників.
Розглянемо деякі способи розкладання багаточленів на множники,
1) Винесення загального множника за дужку. Це перетворення є безпосереднім наслідком розподільчого закону (для наочності потрібно лише переписати цей закон «праворуч наліво»):
Приклад 1. Розкласти на множники багаточленів
Рішення. .
Зазвичай при винесенні загального множника за дужки кожну змінну, що входить у всі члени многочлена, виносять з найменшим показником, який вона має у цьому багаточлені. Якщо всі коефіцієнти многочлена - цілі числа, то як коефіцієнт загального множника беруть найбільший за модулем спільний дільниквсіх коефіцієнтів многочлена.
2) Використання формул скороченого множення. Формули (1) - (7) з п. 53, будучи прочитаними «праворуч наліво, у багатьох випадках виявляються корисними для розкладання багаточленів на множники.
Приклад 2. Розкласти на множники.
Рішення. Маємо. Застосувавши формулу (1) (різницю квадратів), отримаємо . Застосувавши
тепер формули (4) і (5) (сума кубів, різницю кубів), отримаємо:
Приклад 3. .
Рішення. Спочатку винесемо за дужку загальний множник. Для цього знайдемо найбільший спільний дільник коефіцієнтів 4, 16, 16 та найменші показникиступенів, з якими змінні а та b входять до складових даний багаточлен одночлени. Отримаємо:
3) Спосіб угруповання. Він заснований на тому, що переміщувальний та сполучний законидодавання дозволяють групувати члени багаточлена у різний спосіб. Іноді вдається таке угруповання, що після винесення за дужки загальних множників у кожній групі в дужках залишається один і той самий багаточлен, який у свою чергу як загальний множник може бути винесений за дужки. Розглянемо приклади розкладання многочлена на множники.
приклад 4. .
Рішення. Зробимо угруповання наступним чином:
У першій групі винесемо за дужку загальний множник у другій – загальний множник 5. Отримаємо Тепер багаточлен як загальний множник винесемо за дужку: Таким чином, отримуємо:
Приклад 5.
Рішення. .
Приклад 6.
Рішення. Тут ніяке угруповання не призведе до появи у всіх групах одного й того ж багаточлена. У таких випадках іноді виявляється корисним уявити якийсь член багаточлена у вигляді деякої суми, після чого знову спробувати застосувати спосіб угруповання. У нашому прикладі доцільно подати у вигляді суми.
Приклад 7.
Рішення. Додамо та віднімемо одночлен Отримаємо
55. Багаточлени від однієї змінної.
Багаточлен, де a, b - числа змінна, називається многочленом першого ступеня; багаточлен де а, b, с - числа змінна, називається многочленом другого ступеня або квадратним тричленом; многочлен де а, b, з, d - числа змінна називається многочленом третього ступеня.
Взагалі якщо о, змінна, то багаточлен
називається лсмогочленол ступеня (щодо х); , m-члени многочлена, коефіцієнти, старший член многочлена, а - коефіцієнт при старшому члені, вільний член многочлена. Зазвичай многочлен записують по спадних ступенях змінної, т. е. ступеня змінної поступово зменшуються, зокрема, першому місці стоїть старший член, останньому - вільний член. Ступінь многочлена – це ступінь старшого члена.
Наприклад, багаточлен п'ятого ступеня, у якому старший член, 1 - вільний член багаточлена.
Коренем багаточлена називають таке значення при якому багаточлен перетворюється на нуль. Наприклад, число 2 є коренем багаточлена, оскільки
Добрий вечір.
Ця посада присвячена швидкого перетворенняФур'є. Будуть розглянуті пряме та зворотне перетворення (у комплексних числах). У наступній частині я планую розглянути їх застосування в деяких завданнях олімпіадного програмування (зокрема, одне завдання про «схожість» рядків), а також розповісти про реалізацію перетворення на цілих числах.
БПФ - це алгоритм, що обчислює значення багаточлена ступеня n=2
kв деяких nточках за час O(n⋅log n) («наївний» метод виконує те саме завдання за час O(n 2
)). За той же час можна виконати та зворотне перетворення. Так як складати, віднімати і множити масиви чисел набагато легше, ніж багаточлени (особливо множити), БПФ часто застосовується для прискорення обчислень з багаточленами довгими числами.
Визначення та способи застосування
Для початку давайте визначимося, що таке багаточлен:P(x)=a 0 +xa 1 +x 2 a 2 +x 3 a 3 +... +x n-1 a n-1
Комплексні числа
Якщо Ви знайомі з комплексними числами, то можете пропустити цей пункт, інакше ось коротке визначення:x=a+ib, де i 2 =-1
Тут aназивається речової (Real) частиною, а b- уявний ( Imaginary). У цих числах, як неважко помітити, можна видобувати корінь із негативних (та й взагалі будь-яких) чисел - це дуже зручно при роботі з многочленам - як випливає з основної теореми алгебри, у кожного багаточлена ступеня nє рівно n комплексного коріння(З урахуванням кратності).
Також їх дуже зручно представляти у вигляді точок на площині:
Ще одним чудовою властивістюкомплексних чисел є те, що їх можна подати у вигляді x=(cosα+ i sinα) r, де α - полярний кут «числа» (називається аргументом), а r- Відстань від нуля до нього ( модуль). А при множенні двох чисел:
a=(cosα+ i⋅sinα) r a
b=(cosβ+ i⋅sinβ) r b
ab=(cosα+ i⋅sinα)(cosβ+ i⋅sinβ) r a r b
ab=(cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ+ i(sinα⋅cosβ+cosβ⋅sinα)) r a r b
ab=(cos(α+β)+ i⋅sin(α+β)) r a r b
Їхні модулі перемножуються, а аргументи складаються.
Комплексне коріння з 1
Тепер давайте зрозуміємо, як виглядають комплексне коріння n-ого ступеня з 1 . Нехай x n =1 , Тоді його модуль, очевидно, дорівнює одиниці, а n⋅arg x=2 π k, де k- ціле. Це означає, що після nмноження числа на самого себе (тобто зведення в n-ю ступінь) його аргумент стане «кратним» 2 π (360 градусів).Згадаймо формулу числа, якщо відомий аргумент та модуль, отримуємо:
α= 2 π⋅ x/n, де 0 x
ω i=cosα+ i⋅sinα
Тобто. якщо помалювати, то ми отримаємо просто крапки на колі через рівні проміжки:
Прошу помітити три речі, якими ми активно користуватимемося (без них нічого не вийде):
ω a ⋅ω b =ω ( a+b)mod n
ω 0 +ω 1 +ω 2 +... +ω n-1 =0
ω 0 n/2 =ω 2 n/2 =ω 4 n/2 =... =1 (при парному n)
Через ці властивості саме у цих точках ми й вважатимемо значення многочлена. Зрозуміло, що результати необов'язково будуть речовими, тому в програмі потрібно працювати з комплексними числами.
Чому сума коренів - нуль
Доказ дуже простий: нехай φ=ω 0 +ω 1 +... . Домножимо обидві частини на ω 1 (! = 1). Т.к. ω i ⋅ω 1 =ω i+1 , то φ⋅ω 1 =ω 1 +ω 2 +... +ω n-1 +ω 0 . Від перестановки доданків сума не змінюється, тому φ=φ⋅ω 1 відповідно φ⋅(ω 1 -1 )=0 . Т.к. ω 1 != 1, то φ= 0 .Як працює
Вважатимемо, що наш багаточлен має ступінь n=2 k. Якщо ні, доповнимо старші коефіцієнти нулями до найближчого ступеня двійки.Основна ідея БПФ дуже проста:
Нехай:
A(x)=a 0 +xa 2 +x 2 a 4 +... +x n/2 -1 a n-2 (парні коефіцієнти P)
B(x)=a 1 +xa 3 +x 2 a 5 +... +x n/2 -1 a n-1 (непарні коефіцієнти P).
Тоді P(x)=A(x 2 )+x⋅B(x 2 ).
Тепер застосуємо принцип «поділяй і володарюй»: щоб порахувати значення Pв nточках (ω 0 ,ω 1 ,... ), порахуємо значення Aі Bрекурсивно у n/2 точках (ω 0 ,ω 2 ,... ). Тепер значення P(ω i) відновити досить просто:
P(ω i)=A(ω 2 i)+ω i ⋅B(ω 2 i)
Якщо позначити за ξ i =ω 2 iточки, в яких ми вважаємо значення багаточлена ступеня n/2 , формула зміниться:
P(ω i)=A(ξ i)+ω i ⋅B(ξ i)
Її вже можна заганяти в програму, не забувши, що iприймає значення від 0 до n-1 , а ξ iвизначено лише від 0 до n/2 -1 . Висновок – треба буде взяти iза модулем n/2 .
Час роботи виражається рекурентною формулою T(n)=O(n)+2 T(n/2 ). Це досить відоме співвідношення і воно розкривається в O(n⋅log 2 n) (грубо кажучи, глибина рекурсії - log 2 nрівнів, на кожному рівні сумарно за всіма викликами виконується O(n) Операцій).
Напишемо щось
Ось приклад неефективної рекурсивної реалізації БПФ:Slow FFT
#includeМожете додати введення-виведення та перевірити правильність своєї реалізації. Для багаточлена P(x)=4 +3 x+2 x 2 +x 3 +0 ⋅x 4 +0 ⋅x 5 +0 ⋅x 6 +0 ⋅x 7 значення повинні вийти такими:
P(w 0 )=(1 0 .0 0 0 ,0 .0 0 0 )
P(w 1 )=(5 .4 1 4 ,4 .8 2 8 )
P(w 2 )=(2 .0 0 0 ,2 .0 0 0 )
P(w 3 )=(2 .5 8 6 ,0 .8 2 8 )
P(w 4 )=(2 .0 0 0 ,0 .0 0 0 )
P(w 5 )=(2 .5 8 6 ,-0 .8 2 8 )
P(w 6 )=(2 .0 0 0 ,-2 .0 0 0 )
P(w 7 )=(5 .4 1 4 ,-4 .8 2 8 )
Якщо це так – можете засікати час рекурсивного та наївного методу на великих тестах.
У мене на багаточлені ступеня 2 12 ця реалізація працює 62 мс, наївна – 1800 мс. Різниця очевидна.
Позбавляємося рекурсії
Для того, щоб зробити процедуру нерекурсивною, доведеться подумати. Найлегше, як мені здається, провести аналогію з MergeSort (сортування злиттям) та намалювати картинку, на якій показані всі рекурсивні виклики:
Як бачимо, можна зробити один масив, заповнити його спочатку значеннями fft( a 0 ), fft( a 4 ), fft( a 2 ), ... . Як неважко зрозуміти, номери a i- це «розгорнуті» у двійковому поданні числа 0 ,1 ,2 ,3 ,... . Наприклад, 1 1 0 =0 0 1 2 ,4 1 0 =1 0 0 2 або 6 =1 1 0 2 ,3 =0 1 1 2 . Зрозуміти це можна так: при спуску на нижній рівень рекурсії у нас визначається ще один молодший біт (з кінця). А за «нормальної» нумерації біт визначається з початку. Тому потрібно "розгорнути" число. Це можна зробити «в лоб» за O(n⋅log 2 n), а можна динамічним програмуванням за O(n) за наступним алгоритмом:
- Пробіжимося циклом від 0 до n-1
- Зберігатимемо і динамічно перераховуватимемо номер старшого одиничного біта числа. Він змінюється лише тоді, коли поточне число - ступінь двійки: збільшується на 1.
- Коли ми знаємо старший біт числа, перевернути все число нескладно: «відрізаємо» старший біт (XOR), перевертаємо залишок (вже пораховане значення) і додаємо «відрізану» одиницю
Аргументами процедури для злиття двох блоків будуть два vector"а (природно, за посиланням, вихідний і результат), номер стартового елемента першого блоку (другий йде відразу після) і довжина блоків. Можна було б звичайно зробити і iterator"ами - для більшої STL Але ми все одно будемо переносити цю процедуру всередину основний для стислості.
Об'єднання блоків
void fft_merge(const vcd &src, vcd &dest, int start, int len) ( int p1 = start; // Позиція в першому блоці int en1 = start + len; // Кінець першого блоку int p2 = start + len; // Позиція у другому блоці int en2 = star + len * 2; // Кінець другого блоку int pdest = start; // Поточна позиція в масиві int nlen = len * 2; // Довжина нового блоку for (int i = 0; i< nlen; i++) { double alpha = 2 * M_PI * i / nlen; cd w = cd(cos(alpha), sin(alpha)); // Текущий корень dest = src + w * src; if (++p1 >= en1) p1 = start; if (++p2> = en2) p2 = start + len; )І основна процедура перетворення:
<< k) < n) k++; vi rev(n); rev = 0; int high1 = -1; for (int i = 1; i < n; i++) { if ((i & (i - 1)) == 0) // Проверка на степень двойки. Если i ей является, то i-1 будет состоять из кучи единиц. high1++; rev[i] = rev; // Переворачиваем остаток rev[i] |= (1 << (k - high1 - 1)); // Добавляем старший бит } vcd cur(n); for (int i = 0; i < n; i++) cur[i] = as]; for (int len = 1; len < n; len <<= 1) { vcd ncur(n); for (int i = 0; i < n; i += len * 2) fft_merge(cur, ncur, i, len); cur.swap(ncur); } return cur; }
Оптимізація
На багаточлен ступеня 2 1 6 рекурсія працює 640 мс, без рекурсії – 500. Поліпшення є, але програму можна зробити ще швидше. Скористаємося тією властивістю, що ω i =-ω i+n/2 . Отже, можна не рахувати двічі корінь і a i ⋅ω j- синус, косинус та множення комплексних чисел дуже затратні операції.fft_merge()
for (int i = 0; i< len; i++) { double alpha = 2 * M_PI * i / nlen; cd w = cd(cos(alpha), sin(alpha)); // Текущий корень cd val = w * src; dest = src + val; dest = src - val; pdest++; if (++p1 >= en1) p1 = start; if (++p2> = en2) p2 = start + len; )Перехо з такою оптимізацією називається «перетворенням метелика». Програма почала працювати 260 мс. Для закріплення успіху давайте передрахуємо все коріння з 1 і запишемо їх у масив:
fft_merge()
int rstep = roots.size() / nlen; // Крок у масиві з корінням for (int i = 0; i< len; i++) { cd w = roots; cd val = w * src;fft()
roots = vcd(n); for (int i = 0; i< n; i++) { double alpha = 2 * M_PI * i / n; roots[i] = cd(cos(alpha), sin(alpha)); }Тепер швидкість роботи – 78 мс. Оптимізація у 8 разів у порівнянні з першою реалізацією!
Оптимізація за кодом
На даний момент весь код перетворення займає близько 55 рядків. Не сотню, але це досить багато – можна коротше. Для початку позбавимося купи зайвих змінних і операцій у fft_merge:void fft_merge(const vcd &src, vcd &dest, int start, int len) ( int p1 = start; //int en1 = start + len; // Не використовується, див. кінець циклу int p2 = start + len; //int en2 = start + len * 2; // Аналогічно int pdest = start; // int nlen = len * 2; // Використовується тільки в наступному рядку // int rstep = roots.size() / nlen; size() / (len * 2);for (int i = 0; i< len; i++) { //cd w = roots; // Также используется только в следующей строчке //cd val = w * src; cd val = roots * src; dest = src + val; dest = src - val; pdest++, p1++, p2++; //if (++p1 >= en1) p1 = start; // Так як у нас тепер цикл не до 2len, а тільки до len, переповнення не може бути //if (++p2 >= en2) p2 = start + len; // Забираємо)))
Тепер можна перемістити цикл із fft_mergeв основну процедуру (також можна прибрати p2, оскільки p2=p1+len- У мене це також дало невеликий виграш за часом. Що цікаво, якщо прибрати p1=pdest, то у мене особисто виграш за часом вбивається):
fft()
for (int len = 1; len< n; len <<= 1) { vcd ncur(n); int rstep = roots.size() / (len * 2); for (int pdest = 0; pdest < n;) { int p1 = pdest; for (int i = 0; i < len; i++) { cd val = roots * cur; ncur = cur + val; ncur = cur - val; pdest++, p1++; } pdest += len; } cur.swap(ncur); }Як бачите, саме перетворення займає не так багато – 17 рядків. Решта - передрахунок коренів і розворот чисел. Якщо Ви готові заощадити код в обмін на час роботи ( O(n⋅log 2 n) замість O(n)), можете замінити 13 рядків розвороту чисел на наступні шість:
На початку процедури fft()
vcd cur(n); for (int i = 0; i< n; i++) { int ri = 0; for (int i2 = 0; i2 < k; i2++) // Перебираем биты от младших к старшим ri = (ri << 1) | !!(i & (1 << i2)); // И приписываем в конец числа cur[i] = as; }В результаті тепер код виглядає так:
vcd fft(const vcd &as) ( int n = as.size(); int k = 0; // Довжина n у бітах while ((1<< k) < n) k++; vector
Зворотне перетворення
Отримати значення многочлена в точках - це, звичайно, добре, але перетворення Фур'є вміє більше - за цими значеннями побудувати сам багаточлен, причому за той самий час! Виявляється, якщо застосувати перетворення Фур'є до масиву значень, як до коефіцієнтів многочлена, потім розділити результат на nі перевернути відрізок з 1 до n-1 (нумерація з 0 ), ми отримаємо коефіцієнти вихідного многочлена.Код тут дуже простий - все вже написано. Думаю, Ви впораєтеся.
Доведення
Нехай ми застосовуємо зворотне перетворення до многочлена P(x) з коефіцієнтами v i(вихідний многочлен мав коефіцієнти a i):v i =a 0 +ω i a 1 +ω 2 i a 2 +ω 3 i a+...
Подивимося на результат перетворення:
b i =v 0 +ω i v 1 +ω 2 i v 2 +ω 3 i v 3 +...
Підставимо значення v j(Пам'ятаємо, що ω a ω b =ω a+bmodn :
Тепер давайте доведемо один чудовий факт: при x≠0 , ω 0 +ω x +ω 2 x +... +ω ( n-1 )x =0 .
Доводиться аналогічно тому, що сума коренів - нуль: позначимо за φ суму, домножимо обидві частини на ω xі побачимо, що вийшло.
Тепер застосуємо цей факт до обчислення значення b i. Зауважимо, що всі рядки, крім одного, в якому міститься a n-i, обнуляться.
Таким чином:
b i =a n-i ⋅(ω 0 +ω 0 +ω 0 +ω 0 +... )
b i =a n-i ⋅n
Що і потрібно було довести.
Застосування
Взагалі кажучи, про застосування я вже говорив трохи на початку статті. Зокрема, тепер перемноження багаточленів можна виконувати таким чином:Швидке перемноження багаточленів
vcd a, b; // Багаточлени // Читання багаточленів vcd a_vals = fft(a); vcd b_vals = fft (b); vcd c_vals(a_vals.size()); for (int i = 0; i< a_vals.size(); i++) c_vals[i] = a_vals[i] * b_vals[i]; vcd c = fft_rev(c_vals); // Вывод ответаЛегко помітити, що час роботи цієї програми - O(n⋅log 2 n) і найбільш трудомісткі операції - перетворення Фур'є. Також можна помітити, що якщо нам потрібно обчислити складніший вираз із двома багаточленами, то, як і раніше, можна виконувати лише три притвори - додавання і віднімання також працюватимуть за лінійний час. На жаль, з поділом не все так просто, оскільки багаточлен може випадково прийняти значення 0 в якійсь із точок. UPD2:не забудьте, що ступінь твору двох багаточленів ступеня nбуде рівна 2nтому при введенні слід додати «зайві» нульові старші коефіцієнти.
Якщо уявити число у десятковій (чи більше) системі числення, як многочлен з коефіцієнтами - цифрами, то множення довгих чисел також можна виконувати дуже швидко.
І, насамкінець, завдання, яке я розберу в наступному пості: у вас є два рядки однакової довжини порядку 1 0 5 з літер A, T, G, C. Потрібно знайти такий циклічний зсув одного з рядків, щоб збіглася максимальна кількість символів. Очевидно, наївне рішення за O(n 2 ), але є рішення за допомогою БПФ.
Успіхів!
UPD:Виклав код повністю на
Серед різних виразів, що розглядаються в алгебрі, важливе місце посідають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.
Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.
Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.
За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.
Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.
Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:
Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.
Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються протилежними знаками.
Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена
За допомогою розподільної властивості множення можна перетворити (спростити) на багаточлен добуток одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.
Цей результат зазвичай формулюють як правила.
Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.
Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.
Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів
Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.
Зазвичай користуються наступним правилом.
Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.
Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів
З деякими висловлюваннями в перетвореннях алгебри доводиться мати справу частіше, ніж з іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.
Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суми дорівнює сумі квадратів та подвоєного добутку.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.
Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.
Завдяки курсу алгебри відомо, що всі висловлювання вимагають перетворення для зручнішого рішення. Визначення цілих виразів сприяє тому, що спочатку виконуються тотожні перетворення. Перетворюватимемо вираз у многочлен. Наприкінці розберемо кілька прикладів.
Визначення та приклади цілих виразів
Визначення 1Цілі вирази– це числа, змінні або вирази зі складанням або відніманням, які записуються у вигляді ступеня з натуральним показником, які також мають дужки або поділ, відмінний від нуля.
Виходячи з визначення, маємо, що приклади цілих виразів: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 і так далі, причому змінні види a , b , p , q , x , z вважають за цілі вирази. Після їх перетворення сум, різниць, творів виразу набудуть вигляду
x + 1 , 5 · y 3 · 2 · 3 · 7 − 2 · y − 3 , 3 − x · y · z 4 , - 6 7 , 5 · (2 · x + 3 · y 2) 2 − - ( 1 − x) · (1 + x) · (1 + x 2)
Якщо у виразі є розподіл на число, відмінне від нуля виду x: 5 + 8: 2: 4 або (x + y) : 6 , тоді поділ може позначатися за допомогою дробової риси, як x + 3 5 - 3 , 2 · x + 2 . При розгляді виразів виду x: 5 + 5: x або 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c видно, що такі вирази не можуть бути цілими, тому що в першому є поділ на змінну x , а у другому на вираз із змінною.
Многочлен і одночлен є цілими висловлюваннями, із якими зустрічаємося у шкільництві під час роботи з раціональними числами. Інакше кажучи, цілі вирази не включають записи ірраціональних дробів. Інша назва – це цілі ірраціональні вирази.
Які перетворення цілих виразів можливі?
Цілі висловлювання розглядаються під час вирішення як основні тотожні перетворення, розкриття дужок, групування, приведення подібних.
Приклад 1
Розкрити дужки і навести подібні доданки в 2 · (a 3 + 3 · a · b - 2 · a) - 2 · a 3 - (5 · a · b - 6 · a + b) .
Рішення
Для початку необхідно застосувати правило розкриття дужок. Отримаємо вираз виду 2 · (a 3 + 3 · a · b - 2 · a) - 2 · a 3 - (5 · a · b - 6 · a + b) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · (−2 · a) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b
Після цього можемо навести такі складові:
2 · a 3 + 6 · a · b - 4 · a - 2 · a 3 - 5 · a · b + 6 · a - b = = (2 · a 3 - 2 · a 3) + (6 · a · b − 5 · a · b) + (−4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .
Після їх приведення отримуємо багаточлен виду a · b + 2 · a - b.
Відповідь: 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = a · b + 2 · a − b.
Приклад 2
Зробити перетворення (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .
Рішення
Наявне поділ можна замінювати множенням, але зворотне число. Тоді необхідно виконати перетворення, після яких вираз набуде вигляду (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Тепер слід зайнятися приведенням подібних доданків. Отримаємо, що
(x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 = 3 2 · (x - 1) + 2 21 · x 2 + 1 = = 3 2 · x - 3 2 + 2 21 · x 2 + 2 21 = 2 21 · x 2 + 3 2 · x - 59 42 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42
Відповідь: (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .
Приклад 3
Подати вираз 6 · x 2 · y + 18 · x · y - 6 · y - (x 2 + 3 · x - 1) · (x 3 + 4 · x) у вигляді твору.
Рішення
Розглянувши вираз, видно, що перші три доданки мають загальний множник виду 6 · y, який слід винести за дужки під час перетворення. Тоді отримаємо, що 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x)
Видно, що отримали різницю двох виразів виду 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) та (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) із загальним множником x 2 + 3 · x − 1 , який потрібно винести за дужки. Отримаємо, що
6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − (x 3 + 4 · x))
Розкривши дужки, маємо вираз виду (x 2 + 3 · x - 1) · (6 · y - x 3 - 4 · x), яке необхідно було знайти за умовою.
Відповідь:6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · ( 6 · y − x 3 − 4 · x)
Тотожні перетворення вимагають суворе виконання порядку дій.
Приклад 4
Перетворити вираз (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8.
Рішення
Ви насамперед виконуються дії у дужках. Тоді маємо, що 3 · 2 − 6 2: 9 = 3 · 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2. Після перетворень вираз набуває вигляду 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Відомо що 2 3 = 8 і (x 2) 4 = x 2 · 4 = x 8, Тоді можна дійти виразу виду 8 · x 8 + 4 · x: 8 . Другий доданок вимагає заміни поділу на множення з 4 · x: 8. Згрупувавши множники, отримуємо, що
8 · x 8 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x
Відповідь:(3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 1 2 · x .
Перетворення на багаточлен
Більшість випадків перетворення цілих виразів – це уявлення як многочлена. Будь-яке вираз можна у вигляді многочлена.Будь-який вираз може бути розглянуто як багаточлени, з'єднані арифметичними знаками. Будь-яка дія над многочленами у результаті дає многочлен.
Для того, щоб вираз був представлений у вигляді багаточлена, необхідно виконувати всі дії з багаточленами згідно з алгоритмом.
Приклад 5
Подати у вигляді многочлена 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (4 · x - x · (15 · x + 1)).
Рішення
У цьому виразі почати перетворення з виразу виду 4 · x − x · (15 · x + 1) , причому за правилом на початку виконавши множення або поділ, після чого додавання або віднімання. Помножимо – x на 15 · x + 1 тоді отримаємо 4 · x − x · (15 · x + 1) = 4 · x − 15 · x 2 − x = (4 · x − x) − 15 · x 2 = 3 · x − 15 · x 2. Задане вираз набуде вигляду 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (3 · x - 15 · x 2) .
Далі потрібно зробити будівництво в 2 рівень многочлена 2 · x − 1, отримаємо вираз виду (2 · x − 1) 2 = (2 · x − 1) · (2 · x − 1) = 4 · x 2 + 2 · x · (− 1) − 1 · 2 · x − 1 · (− 1 ) = = 4 · x 2 − 4 · x + 1
Тепер можна перейти до вигляду 2 · (2 · x 3 - 1) + (4 · x 2 - 4 · x + 1) · (3 - x) + (3 · x - 15 · x 2).
Розберемо множення. Видно, що 2 · (2 · x 3 - 1) = 4 · x 3 - 2 і (4 · x 2 - 4 · x + 1) · (3 - x) = 12 · x 2 - 4 · x 3 - 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3
тоді можна зробити перехід до виразу виду (4 · x 3 - 2) + (16 · x 2 - 4 · x 3 - 13 · x + 3) + (3 · x - 15 · x 2).
Виконуємо додавання, після чого прийдемо до виразу:
(4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) = = 4 · x 3 − 2 + 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3 + 3 · x − 15 · x 2 = = (4 · x 3 − 4 · x 3) + (16 · x 2 − 15 · x 2) + (− 13 · x + 3 · x) + (−2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 · x + 1 = x 2 − 10 · x + 1 .
Звідси випливає, що вихідний вираз має вигляд x 2 − 10 · x + 1.
Відповідь: 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (4 · x - x · (15 · x + 1)) = x 2 - 10 · x + 1.
Множення та зведення в ступінь багаточлена говорить про те, що необхідно використовувати формули скороченого множення для прискорення процесу перетворення. Це сприяє тому, що дії будуть виконані раціонально та правильно.
Приклад 6
Перетворити 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) .
Рішення
З формули квадрата отримаємо, що (2 · m + n) 2 = (2 · m) 2 + 2 · (2 · m) · n + n 2 = 4 · m 2 + 4 · m · n + n 2, Тоді добуток (m − 2 · n) · (m + 2 · n) дорівнює різниці квадратів m і 2 · n , таким чином, дорівнює m 2 − 4 · n 2. Отримаємо, що вихідний вираз набуде вигляду 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) = 4 · (4 · m 2 + 4 · m · n + n 2) + (m 2 - 4) · n 2) = = 16 · m 2 + 16 · m · n + 4 · n 2 + m 2 - 4 · n 2 = 17 · m 2 + 16 · m · n
Відповідь: 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) = 17 · m 2 + 16 · m · n.
Щоб перетворення було занадто довгим, необхідно заданий вираз приводити до стандартного виду.
Приклад 7
Спростити вираз виду (2 · a · (−3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2 ) + (5 · a · b · (− 3) · b 2)
Рішення
Найчастіше багаточлени та одночлени даються не стандартного виду, тому доводиться виконувати перетворення. Слід перетворити, щоб отримати вираз виду − 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3. Для того, щоб навести подібні, необхідно попередньо зробити множення за правилами перетворення складного виразу. Отримуємо вираз виду
− 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b - 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 - 15 · a · b 3 = = (−12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 · a · b 3) = 6 · a 2 · b
Відповідь: (2 · a · (−3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2 ) + + (5 · a · b · (− 3) · b 2) = 6 · a 2 · b
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
19. Візьмемо формулу
ми її читали так: «різниця числа a та b». Ми можемо у цій формулі число a замінити нулем; тоді вона звернеться до
0 – b або просто –b.
Від нуля відняти b означає, відповідно до того, що ми знаємо про віднімання відносних чисел, до нуля приписати число b, взяте зі зворотним знаком. Тому вираз –b має розуміти, як число, обернене за знаком числу b. Якщо, наприклад, b = +5, то -b = -5; якщо b = –4, то –b = +4 тощо. п. Якщо ми напишемо вираз +a, його треба розуміти, як число, рівне числу a. Якщо a = +5 то +a = +5; якщо a = -4, то + a = 4 і т.п.
Тому формулу
ми можемо розуміти, без відмінності результату, або в значенні
або в сенсі
Таким чином ми завжди можемо замінювати віднімання додаванням і будь-яку різницю розуміти, як суму двох чисел:
a – b є сума чисел a та (–b)
x – y є сума чисел x та (–y)
–a – b є сума чисел (–a) та (–b) тощо.
Ті формули, де, з погляду арифметики, мають місце кілька додавань і віднімань, напр.,
a – b + c + d – e – f,
ми можемо тепер, з погляду алгебри, розуміти тільки як суму, а саме:
a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).
Тому прийнято такі вирази називати ім'ям «алгебраїчна сума».
20. Візьмемо якусь алгебраїчну суму
a – b – c або –3bc² + 2ab – 4a²b тощо.
Прийнято називати ці вирази ім'ям багаточлен, причому це слово замінює собою слово "сума" або назву "алгебраїчна сума". Ми знаємо, що
a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) тощо.
Окремо кожен доданок називають ім'ям член багаточлена.
Перший багаточлен,
складається з трьох членів: (+a), (–b) та (+c).
Другий багаточлен,
-abc - 3bc² + 2ab - 4a²b,
складається з чотирьох членів: (–abc), (–3bc²), (+2ab) та (–4a²b).
Доданки можна переставляти в будь-якому порядку:
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.
Цю властивість суми тепер можна виразити інакше: члени багаточлена можна переставляти у будь-якому порядку. Це й зроблено вище для многочлена –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, причому отже попереду тепер виявився член (+2ab). Це дозволило дещо спростити вираз: попереду знак + не можна писати. Звичайно, треба подібні перестановки робити відразу, не укладаючи попередньо (як вище) кожен доданок у дужки.
Ще приклад:
1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.
Перший член цього многочлена був спочатку (+1) - знак + передбачався перед одиницею; коли ми переносимо цей член на інше, крім першого, місце (вище ми перенесли його на останнє місце), то цей знак + пропускати не можна.
Ми можемо помітити, що в попередньому прикладі ми перестановкою членів багаточлена досягли деякого порядку: на першому місці стоїть член з літерою a в 4-му ступені, на наступному – член з літерою a у 3-му ступені, потім йде член з літерою a в Другого ступеня, потім - a в 1-го ступеня і, нарешті, член, де букви a зовсім немає.
Подібне розташування членів багаточлена виражають словами «багаточлен розташований за низхідними ступенями літери a».
Ось ще приклади такого розташування:
3x 5 – 2ax 3 + b (за низхідними ступенями літери x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (за низхідними ступенями літери a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (за низхідними ступенями літери b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (за низхідними ступенями літери x).
Вживають часто й зворотне «за висхідними ступенями» розташування, у якому ступінь обраної літери поступово підвищується, причому у 1-му члені або цієї літери немає, або вона має тут найменший ступінь порівняно з іншими членами. Про другий із попередніх прикладів ми могли б сказати, що тут багаточлен розташований за висхідними ступенями літери b. Ось приклади:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (за висхідними ступенями літери a);
-x + x 2 - 3x 3 - 4x 4 (за висхідними ступенями літери х);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (за висхідними ступенями літери x);
a 3 – 2ab + b 2 (за висхідними ступенями літери b або за низхідними ступенями літери a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (за низхідними ступенями літери x або за висхідними ступенями літери y).
21. Багаточлен про двох членів називається двочленом(напр., 3a + 2b), про трьох членах – тричлен (напр., 2a² – 3ab + 4b²) і т. д. Можливо говорити про суму з одного доданку (інше доданок дорівнює нулю), або про багаточлен про одного члена. Тоді вже, звичайно, назва «багаточлен» недоречна і використовується назва «одночлен». Кожен член будь-якого багаточлена, взятий окремо, є одночленом. Ось приклади найпростіших одночленів:
2; -3a; a²; 4x³; -5x4; ab; ab²; -3abc; і т.д.
Майже всі одночлени з вище написаних є творами двох або більше множників, причому більшість з них мають і числовий множник і буквені. Напр., в одночлені –3abc є числовий множник –3 та літерні множники a, b та c; в одночлені 4x³ є числовий множник +4 (знак + мається на увазі) і літерний множник x³ тощо.
,
то зручніше, переставивши множників те щоб числові множники виявилися поруч, тобто.
,
ці числові множники перемножити – отримаємо
-4a²bc² (точки, знаки множення пропускаємо).
Прийнято також, у більшості випадків, числовий множник писати попереду. Пишуть:
4a, а не a 4
–3a²b, а не a²(–3)b 
Числовий множник одночлена називається коефіцієнтом.
Якщо в одночлен не написаний числовий множник, наприклад, ab, то можна завжди його розуміти. Справді
a = (+1) ∙ a; ab = (+1) ab;
-a = (-1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ тощо.
Отже, у одночленів a², ab, ab² мається на увазі, у кожного коефіцієнт 1 (точніше: +1). Якщо напишемо одночлени –ab, –a², –ab² тощо, то вони мають на увазі коефіцієнт –1.
22. Більш складні приклади багаточленів та одночленів.
(a + b)² + 3(a – b)² … ця формула виражає суму двох доданків: першим є квадрат суми чисел a та b, а другим – добуток числа 3 на квадрат різниці тих самих чисел. Тому цю формулу слід визнати двочленом: перший член є (a + b)² і другий 3(a – b)². Якщо взяти вираз (a + b)² окремо, то через попередній, його треба вважати одночленом, причому його коефіцієнт = +1.
a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … має визнати за тричлен (сума трьох доданків): перший член є a(b – 1) та його коефіцієнт = +1 , другий член -b(a - 1), його коефіцієнт = -1, третій член - (a - 1) (b - 1), його коефіцієнт = - 1.
Іноді штучно зменшують кількість членів многочлена. Так тричлен
можна, наприклад, розглядати за двочлен, причому a + b, наприклад, вважають за один член (за один доданок). Щоб це ясніше відзначити, користуються дужками:
Тоді член (a + b) має на увазі коефіцієнт +1
[Справді (a + b) = (+1) (a + b)].
