Знаходження твору. Добуток чисел

Сума - це результат додавання, причому слово може відноситися не тільки до цифр.

Різниця - це те, що виходить після віднімання чисел.

Твір - те, що виходить після множення, слово має й інше значення.

Приватне – це те, що виходить після поділу.

I. Математичні поняття СУМА, РІЗНІСТЬ, ТВОРИ, ПРИВАТНЕвзаємопов'язані з математичними термінами ДОДАТОК, ВІДЛІНЕННЯ, ПРИМНОЖЕННЯ, ДІЛЕННЯ.

Усі визначення даються тут на безлічі натуральних чисел.

Кожній парі чисел ставиться у відповідність число, яке їх називають СУМИЙ.

Сума складається з стільки одиниць, скільки їх міститься в числах (складених) з цієї пари.

СУМАє результат складання чисел-доданків.

Віднімання - це операція, зворотна додавання. Вона полягає у знаходженні одного із доданків за сумою та іншому доданку. Ця суманазивається зменшуваним, даний доданок - віднімається, а шуканий доданок - РІЗНИЦЮ.

РІЗНІСТЬ- це число, що є результатом віднімання, залишок віднімання.

Кожній парі чисел можна поставити у відповідність число, яке складається з стільки одиниць, скільки їх міститься в першому числі з пари, взятих стільки разів, скільки одиниць міститься в другому числі з пари. Це відповідне таким чином парі чисел (вони називаються співмножниками) число називається ТВОРОМ.

ТВІР- Це результат множення.

Розподіл є операція, обернена до множення.

Поділ - це перебування одного з співмножників за твором та іншим співмножником. Цей твірназивається ділимим, даний співмножник - дільником, а шуканий співмножник - це ПРИВАТНЕтобто число, отримане від розподілу одного числа на інше.

II. ІНШІ ЗНАЧЕННЯ СЛОВ СУМА, РІЗНІСТЬ, ТВОРИ, ПРИВАТНЕ.

Усі використовувані як математичних понятьслова можуть мати інші лексичні значення.

СУМАв переносному значенніозначає сукупність, Загальна кількістьчогось.

Наприклад. Професіоналізм педагога полягає у сумі знань, умінь та навичок, що передаються їм своїм учням. Відсутність потрібної суми грошей змусила відмовитися від покупки.

РІЗНІСТЬмає значення різниці, відмінності в чомусь.

Наприклад. Різниця інтересів набагато гірша від різниці у віці. Дружба може початися з уявлення про спільність поглядів, а ворожнеча – з різниці поглядів.

ТВІРозначає щось вироблене у процесі праці, створення чогось, продукт праці, творчості, мистецтва тощо.

Наприклад. Висока художній твірзмушує людину думати над своїм життям. На конкурсі юних піаністів хлопчик грав твір П.І. Чайковського. Ця скринька - справжній витвір мистецтва.

ПРИВАТНЕ- це щось особисте, персональне, що належить лише одній людині, це її власність, її і лише її багатство. І чи то особисті думки, чи то майно чи щось інше, але воно належить тільки йому, приватній особі.

Наприклад. Подруга подарувала мені записникз написом Приватне. Чи добре протиставляти приватне громадському?

По суті, всі чотири слова у питанні, а саме сума, різницю, твір та приватне, відображаю чотири основні математичні діїякі є азами. Саме з навчання даним діям починається захоплюючий шлях у світ математики. Таким чином,

Сума, різниця, твір, приватне - це результат математичних дій, з яких ми всі починали своє знайомство з математикою. У житті ці слова ми теж використовуємо, але значення вкладаємо у них більше математичне, хоч складати можемо й не числа. Твір ще може бути художнім. Це зовсім інше значення слова, яке ми застосовуємо у житті.

Всі ці чотири терміни використовуються переважно в математиці.

Сума – це коли відбувається складання двох чисел;

Різниця-це віднімання одного числа з іншого;

Приватне - це розподіл одного числа інше;

Твір – це множення одного числа на інше.

Частка - результат розподілу чисел, твір - результат множення чисел, сума - результат складання чисел, різницю - результат відрахування. Це елементарні математичні дії, які можна проводити із числами.

Це такі математичні поняття.

Сума – це результат складання. Числа, які складають, називають перший доданок і другий доданок. Позначається таким знаком: +.

Різниця – це результат віднімання. Числа, які віднімають, називають зменшуване (те, яке більше) і віднімається (те, яке менше). Позначається таким знаком: -.

Твір – це результат множення. Числа, які множать, називаються першим множником та другим множником. Позначається таким знаком: *.

Приватне – це результат поділу. Числа, які ділять, називаються поділеним (те, яке більше), дільником (те, яке менше). Позначається таким знаком: :.

Всі ці поняття проходять у початковій школі.

У математиці є чотири прості операції, які можна застосувати до двох чисел та отримати такі результати:

сума - це результат складання чисел,

різниця - це результат віднімання від одного числа іншого,

твір - це результат множення чисел,

приватне – це вже результат розподілу чисел.

Сумою в математиці назвемо число, яке отримаємо в результаті поповнення одного числа до іншого. Різниця це число протилежне доданню, це коли віднімають від більшого числаменше. Добутком назвемо число, яке вийде в результаті множення одного числа на інше. Різниця це протимолодше число твору. Отримуємо різницю так: ділимо одне число на інше.

Я математик з освіти, спеціальність: учитель математики. Пропрацювала все життя викладачем математики у педвузі.

Необхідно обмовитися. Мова надалі піде про суму, різницю, твір, приватний чисел.

Відповіді на ці питання хоч і прості, але викликають труднощі у учнів. Щоб можна було детальніше розглянути цю узагальнюючу тему, пропоную вашій увазі корисний матеріалза нею. Нотатка називається Математика для блондинок.

Мені сподобалася методика вивчення.

Задається провокаційне питання:

Різниця – це поділити чи помножити?

Намагаються зацікавити (жодна запропонована версія не є вірною!)))

Потім відповідають:

Різниця - це відібрати. Результат віднімання називається різниця.

Аналогічно одержують:

Сума – це скласти. Результат додавання називається сума.

Твір – це помножити. Результат множення називається твір.

Приватне – це поділ. Результат поділу називається приватний.

Таким простою мовоюпояснюються вірні поняття суми, різниці, твори та частки в математиці. Трохи спрощено записані лише словосполучення: різницю - це відібрати, сума - додати, твір - помножити, приватне - розділити. Якщо бути точними, то не стверджують.

Отже, результат складання чисел(доданків) - це їх сума, результат віднімання чисел(зменшуваного і віднімається) - це різниця, результат множення чисел(помножувачів) - це твір, а результат розподілу чисел(діленого на дільник), причому дільник не повинен бути дорівнює нулю, інакше розподіл не можна виконати, є приватнецих чисел.

Про інші значення цих слів не замислююся, математика затьмарює все.)))

Слова Сума, Різниця, Твір та Приватне дуже знайоме учням шкіл та інших навчальних закладівведи з цими визначенням їм припадати кожному уроці математики.

1) Сума

Сумою є результат, отриманий після складання (+) двох чи більше чисел.

Сумою також є підсумкова вартість товару (сума до оплати), загальна сукупністьзнань, вражень та багато чого.

2) Різниця

У математиці означає результат віднімання числа (-).

Слово різниця так само може вживатися як слово різниці чогось. Наприклад, різницю думок, різницю поглядів, різницю показників тощо.

3) твір

Добутком є ​​результат, отриманий після множення чисел (*).

Крім математики це слово ще вживається як позначення результату творчого процесу(Твор мистецтва), як дієслово від виробляти.

4) Чесне

Цим словом позначають результат розподілу двох чисел (:).

Слово приватне ми можемо почути при позначенні приналежності чогось одному власнику (приватна особа, приватна власність, приватна справа).

Розберемо поняття множення на прикладі:

Туристи перебували в дорозі три дні. Щодня вони проходили однаковий шлях 4200 м. Яку відстань вони пройшли за три дні? Розв'яжіть задачу двома способами.

Рішення:
Розглянемо завдання докладно.

Першого дня туристи пройшли 4200м. По-друге той же шлях пройшли туристи 4200м і в третій день - 4200м. Запишемо математичною мовою:
4200 +4200 +4200 = 12600м.
Ми бачимо закономірність число 4200 повторюється три рази, отже можна суму замінити множенням:
4200⋅3 = 12600м.
Відповідь: туристи за три дні пройшли 12 600 метрів.

Розглянемо приклад:

Щоб нам не писати довгий запис, можна записати його у вигляді множення. Число 2 повторюється 11 разів тому приклад з множенням виглядатиме так:
2⋅11=22

Підведемо підсумок. Що таке множення?

множення– це дія, що замінює повторення n разів доданку m.

Запис m⋅n та результат цього виразу називають добутком чисел, А числа m і n називають множниками.

Розглянемо сказане з прикладу:
7⋅12=84
Вираз 7⋅12 та результат 84 називаються добутком чисел.
Числа 7 та 12 називаються множниками.

У математиці є кілька законів множення. Розглянемо їх:

Переміщувальний закон множення.

Розглянемо завдання:

Ми віддали по два яблука 5 своїм друзям. Математично запис виглядатиме так: 2⋅5.
Або ми віддали по 5 яблук двом своїм друзям. Математично запис виглядатиме так: 5⋅2.
У першому і другому випадку ми роздамо однакову кількість яблук, що дорівнює 10 штук.

Якщо ми помножимо 2⋅5=10 та 5⋅2=10, то результат не зміниться.

Властивість переміщувального закону множення:
Від зміни місць множників твір не змінюється.
m⋅ n=n⋅m

Сполучний закон множення.

Розглянемо з прикладу:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 або 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 отримаємо,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅ b) ⋅ c= a⋅(b⋅ c)

Властивість поєднаного закону множення:
Щоб число помножити на добуток двох чисел, можна спочатку його помножити на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий.

Змінюючи кілька множників місцями і укладаючи в дужки, результат чи твір не зміниться.

Ці закони є вірними для будь-яких натуральних чисел.

Розмноження будь-якого натурального числа на одиницю.

Розглянемо приклад:
7⋅1=7 або 1⋅7=7
a⋅1=a або 1⋅a= a
При множенні будь-якого натурального числа на одиницю твором завжди буде теж число.

Розмноження будь-якого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 або 0⋅6=0
a⋅0=0 або 0⋅a=0
При множенні будь-якого натурального числа на нуль добуток дорівнює нулю.

Запитання до теми “Умноження”:

Що таке твір чисел?
Відповідь: добутком чисел або множення чисел називається вираз m⋅n, де m – доданок, а n – число повторень цього доданка.

Навіщо потрібно множення?
Відповідь: щоб не писати довге додавання чисел, а писати скорочено. Наприклад, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Що результат множення?
Відповідь: значення твору.

Що означає запис множення 3⋅5?
Відповідь: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Якщо помножити мільйон на нуль, чому дорівнюватиме твір?
Відповідь: 0

Приклад №1:
Замініть суму твором: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Відповідь: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Приклад №2:
Запишіть у вигляді твору: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Рішення:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Завдання №1:
Мама купила 3 ​​коробки цукерок. У кожній коробці по 8 цукерок. Скільки цукерок купила мати?
Рішення:
В одній коробці 8 цукерок, а у нас таких 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 цукерки
Відповідь: 24 цукерки.

Завдання №2:
Вчителька малювання сказала приготувати своїм вісьмом учням по сім олівців на урок. Скільки олівців разом було у дітей?
Рішення:
Можна порахувати сумою завдання. Перший учень мав 7 олівців, другий учень мав 7 олівців і т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запис вийшов незручний і довгий, замінимо суму на твір.
7⋅8=56
Відповідь 56 олівців.

- (product) Результат множення. Добуток чисел, алгебраїчних виразіввекторів або матриць; може бути показано точкою, косий хрестик або просто написанням їх послідовно одна одною, тобто. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… Економічний словник

Наука про цілі числа. Поняття цілого числа, а також арифметичних операцій над числами відоме з давніх часів і є однією з перших математичних абстракцій. Особливе місцесеред цілих чисел, тобто чисел ..., 3 … Велика Радянська Енциклопедія

Сущ., с., упот. часто Морфологія: (ні) чого? твори, чому? твору, (бачу) що? твір, чим? твором, про що? про твір; мн. що? твори, (ні) чого? творів, чому? творам, (бачу) що? твори,… … Тлумачний словникДмитрієва

Матриця математичний об'єкт, записуваний як прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця) і допускає алгебраїчні операції (складення, віднімання, множення та інших.) між ним та інші подібними об'єктами. Правила виконання… … Вікіпедія

В арифметиці під множенням розуміють короткий запис суми однакових доданків. Наприклад, запис 5*3 означає «5 скласти із собою 3 рази», тобто є просто коротким записомдля 5+5+5. Результат множення називається твором, а … Вікіпедія

Розділ теорії чисел, основним завданням якого є вивчення властивостей цілих чисел полів алгебраїчних чиселкінцевого ступеня над полем раціональних чисел. Всі цілі числа поля розширення До поля ступеня п можуть бути отримані за допомогою… Математична енциклопедія

Теорія чисел, або вища арифметика розділ математики, що вивчає цілі числа та подібні об'єкти. Теоретично чисел в широкому значеннірозглядаються як алгебраїчні, так і трансцендентні числа, а також функції різного походження, які… … Вікіпедія

Розділ теорії чисел, які вивчаються закономірності розподілу простих чисел(п. ч.) серед натуральних чисел. Центральною є проблема найкращого асимптотич. вирази при функції p(х), що позначає число п. ч., що не перевершують х, а ... Математична енциклопедія

- (у зарубіжної літератури scalar product, dot product, inner product) операція над двома векторами, результатом якої є число (скаляр), що не залежить від системи координат і характеризує довжини векторів співмножників і кут між ...

Певна на векторному просторі L над полем K симетрична ермітова форма, що розглядається зазвичай як складова частина визначення цього простору, що робить простір (залежно від типу простору та властивостей внутрішнього … Вікіпедія

Книги

• Збірник завдань з мат-ці, Бачурін В.. Розглянуті в книзі питання з математики цілком відповідають змісту будь-якої з трьох програм: підготовчих відділень, вступних іспитів. Хоча ця книга називається…
• Жива матерія. Фізика живого та еволюційних процесів, Яшин А.А.. У цій монографії узагальнено дослідження автора за останні кілька років. Експериментальні результати, представлені в книзі, отримані Тульською науковою школоюбіофізики полів та…

Якщо концертний зал висвітлюється 3 люстрами по 25 лампочок у кожній, то всього лампочок у цих люстрах буде 25 + 25 + 25, тобто 75.

Суму, в якій всі доданки рівні один одному, записують коротше: замість 25 + 25 + 25 пишуть 25 3. Отже, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 називають творомчисел 25 та 3, а числа 25 та 3 називають множниками.

Мал. 43. Добуток чисел 25 та 3

Помножити число m на натуральне число n означає знайти суму n доданків, кожне з яких дорівнює m.

Вираз m n та значення цього виразу називають твором чиселmіn. Числа, які перемножують називають множниками. Тобто. m та n – множники.

Твори 7 4 і 4 7 дорівнюють тому самому числу 28 (рис. 44).

Мал. 44. Добуток 7 4 = 4 7

1. Добуток двох чисел не змінюється при перестановці множників.

переміщальним

a × b = b × a .

Твори (5 3) 2 = 15 2 і 5 (3 2) = 5 6 мають те саме значення 30. Значить, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).

Мал. 45. Твір (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на першому множнику, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.

Цю властивість множення називають сполучним. За допомогою літер його записують так:

а (bс) = (аbс).

Сума n доданків, кожне з яких дорівнює 1, дорівнює n. Тому правильна рівність 1 n = n.

Сума n доданків, кожне з яких дорівнює нулю, дорівнює нулю. Тому правильна рівність 0 n = 0.

Щоб переміщувальна властивістьмноження було правильно при n = 1 і n = 0, домовилися, що m 1 = m та m 0 = 0.

Перед літерними множникамизазвичай не пишуть знак множення: замість 8 хпишуть 8 хзамість аbпишуть аb.

Опускають знак множення перед дужками. Наприклад, замість 2 ( а +b) пишуть 2 (а+b) , а замість ( х+ 2) (у + 3) пишуть (х + 2) (у + 3).

Замість ( ab) з пишуть abc.

Коли запису твори немає дужок, множення виконують порядку зліва направо.

Твори читають, називаючи кожен множник у родовому відмінку. Наприклад:

1) 175 60 – добуток ста сімдесяти п'яти та шістдесяти;

2) 80 (х+ 1 7) - твір р.п. р.п.

вісімдесяти та суми ікс та сімнадцяти

Розв'яжемо завдання.

Скільки трицифрових чисел (рис. 46) можна скласти із цифр 2, 4, 6, 8, якщо цифри в записі числа не повторюються?

Рішення.

Першою цифрою числа може бути будь-яка з чотирьохданих цифр, другий – будь-яка з трьохінших, а третьої – будь-яка з двохрешти. Виходить:

Мал. 46. ​​До завдання складення тризначних чисел

Усього з даних цифр можна скласти 4 3 2 = 24 тризначні числа.

Розв'яжемо завдання.

У правління фірми входять 5 осіб. Зі свого складу правління має обрати президента і віце-президента. Скільки способами це можна зробити?

Рішення.

Президентом фірми можна обрати одну з 5 осіб:

Президент:

Після того, як президента обрано, віце-президентом можна вибрати будь-якого з чотирьох членів правління, що залишилися (рис. 47):

Мал. 47. До завдання про вибори

Отже, обрати президента можна п'ятьма способами, і для кожного обраного президента чотирма способами можна вибрати віце-президента. Отже, загальне числоСпособів обрати президента та віце-президента фірми дорівнює: 54 = 20 (див. рис. 47).

Вирішимо ще завдання.

Із села Анікєєво до села Большово ведуть чотири дороги, а з села Большово до села Виноградове – три дороги (рис. 48). Скількими способами можна дістатися з Анікеєва до Виноградова через село Большове?

Мал. 48. До завдання про дороги

Рішення.

Якщо з А до Б добиратися 1-ою дорогою, то продовжити шлях є три способи (рис. 49).

Мал. 49. Варіанти шляху

Так само міркуючи, отримуємо по три способи продовжити шлях, почавши добиратися і по 2-й, і по 3-й, і по 4-й дорозі. Отже, всього виходить 43 = 12 способів дістатися з Анікеєва у Виноградові.

Вирішимо ще одне завдання.

Сім'ї, що складається з бабусі, тата, мами, дочки та сина, подарували 5 різних чашок. Скільки можна розділити чашки між членами сім'ї?

Рішення. У першого члена сім'ї (наприклад, бабусі) є 5 варіантів вибору, у наступного (нехай це буде тато) залишається 4 варіанти вибору. Наступний (наприклад, мама) буде вибирати вже з 3 чашок, наступний - з двох, останній же отримує одну чашку, що залишилася. Покажемо ці методи на схемі (рис. 50).

Мал. 50. Схема до розв'язання задачі

Отримали, кожен вибір чашки бабусею відповідає чотири можливих вибору тата, тобто. всього 5 4 способів. Після того, як тато вибрав чашку, у мами є три варіанти вибору, у дочки – два, у сина – один, тобто. всього 3 2 1 способів. Остаточно отримуємо, що для розв'язання задачі треба знайти добуток 5 4 3 2 1.

Зауважимо, що отримали добуток усіх натуральних чисел від 1 до 5. Такі твори записують коротше:

5 4 3 2 1 = 5! (Читають: «п'ять факторіал»).

Факторіал числа- Добуток всіх натуральних чисел від 1 до цього числа.

Отже, відповідь задачі: 5! = 120, тобто. чашки між членами сім'ї можна розподілити сто двадцятьма способами.

Завдання 1.2
Дано два цілих числа Х і Т. Якщо вони мають різні знаки, то надати Х значення твору цих чисел, а Т - значення їх різниці по модулю. Якщо числа мають однакові знаки, то надати Х значення різниці по модулю вихідних чисел, а Т - значення добутку цих чисел. Нові значення Х та Т вивести на екран.

Завдання теж нескладне. "Незрозумілі" можуть виникнути тільки в тому випадку, якщо ви забули, що таке різницю по модулю (сподіваюся, що таке твір двох цілих чисел, ви все-таки пам'ятаєте))).

Різниця за модулем двох чисел

Різниця по модулю двох цілих чисел (хоча не обов'язково цілих - це не має значення, просто в наше завдання числа цілі) - це, говорячи по простому, коли результатом обчислення є модуль різниці двох чисел.

Тобто спочатку виконується операція віднімання одного числа з іншого. А потім обчислюється модуль результату цієї операції.

Математично це можна записати так:

Якщо хтось забув, що таке модуль або як його обчислити в Паскалі, див.

Алгоритм визначення символів двох чисел

Розв'язання завдання загалом досить просте. Проблема у новачків може викликати лише визначення символів двох чисел. Тобто треба відповісти на запитання: як дізнатися, чи мають числа однакові знаки чи різні.

Спочатку напрошується почергове порівняння чисел із нулем. Це припустимо. Але вихідний код буде досить великим. Тому правильніше використовувати такий алгоритм:

1. Помножити числа один на одного
2. Якщо результат менший за нуль, значить у чисел різні знаки
3. Якщо результат дорівнює нулю або більше нуля, то у чисел однакові знаки

Цей алгоритм я виконав у вигляді окремої. А сама програма вийшла такою, як показано у прикладах на Паскалі та С++ нижче.

Розв'язання задачі 1.2 на Паскалі program checknums; var A, X, T: integer; //************************************************ **************** // Перевіряє, чи мають числа N1 та N2 однакові знаки. Якщо так, то // повертає TRUE, інакше - FALSE //************************************ **************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //************************************************ **************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //**************************** ************************************ begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Якщо числа мають однакові знаки begin A:= (X - T); //Отримати різницю по модулю вихідних чисел T: = X * T; end else // Якщо числа мають різні знаки begin A: = X * T; T: = Abs (X - T); end; X: = A; //Записати до Х значення А WriteLn("X = ", X); // Вивести Х WriteLn("T = ", T); // Вивести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.

Розв'язання задачі 1.2 на С++#include #include using namespace std; int A, X, T; //************************************************ **************** // Перевіряє, чи мають числа N1 та N2 однакові знаки. Якщо так, то // повертає TRUE, інакше - FALSE //************************************ **************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //*********************************************** ***************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //*************************** ************************************* int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Якщо числа мають однакові знаки (A = abs(X - T); //Отримати різницю за модулем вихідних чисел T = X * T; ) else // Якщо числа мають різні знаки ( A = X * T; T = abs (X - T); ) X = A; // Записати в Х значення А cout

Оптимізація

Цю просту програмуможна ще трохи спростити, якщо не використовувати функцію та трохи переробити вихідний код програми. У цьому загальна кількість рядків вихідного коду трохи скоротиться. Як це зробити – подумайте самі.