6 у десятковому дробі. Вираз величин у дробовому вигляді

Ось, здавалося б, переведення десяткового дробу у звичайний. елементарна темаАле багато учнів її не розуміють! Тому сьогодні ми докладно розглянемо одразу кілька алгоритмів, за допомогою яких ви розберетеся з будь-якими дробами буквально за секунду.

Нагадаю, що існує як мінімум дві форми запису одного і того ж дробу: звичайний і десятковий. Десяткові дроби- це всілякі конструкції виду 0,75; 1,33; і навіть –7,41. А ось приклади звичайних дробів, які виражають ті самі числа:

Зараз розберемося: як від десяткового записуперейти до звичайної? І найголовніше: як зробити це максимально швидко?

Основний алгоритм

Насправді існує як мінімум два алгоритми. І ми зараз розглянемо обидва. Почнемо з першого — найпростішого та найзрозумілішого.

Щоб перевести десятковий дріб у звичайний, необхідно виконати три кроки:

Важливе зауваження щодо негативних чисел. Якщо у вихідному прикладі перед десятковим дробом стоїть знак мінус, то і на виході перед звичайним дробом теж повинен стояти мінус. Ось ще кілька прикладів:

Особливу увагу хотілося б звернути на останній приклад. Як бачимо, у дробі 0,0025 є багато нулів після коми. Через це доводиться аж чотири рази множити чисельник і знаменник на 10. Чи можна якось спростити алгоритм у цьому випадку?

Звичайно можна. І зараз ми розглянемо альтернативний алгоритм — він трохи складніший для сприйняття, але після невеликої практики працює набагато швидше за стандартний.

Швидший спосіб

У цьому алгоритмі також 3 кроки. Щоб отримати звичайний дрібз десяткової, потрібно виконати таке:

1. Порахувати, скільки цифр коштує після коми. Наприклад, у дробу 1,75 таких цифр дві, а 0,0025 — чотири. Позначимо цю кількість буквою $n$.
2. Переписати вихідне число у вигляді дробу виду $\frac(a)(((10)^(n)))$, де $a$ це всі цифри вихідного дробу (без «стартових» нулів зліва, якщо вони є), а $n$ - та сама кількість цифр після коми, яку ми порахували на першому кроці. Інакше кажучи, необхідно розділити цифри вихідного дробу на одиницю з $n$ нулями.
3. По можливості скоротити отриманий дріб.

От і все! На перший погляд, ця схема складніша за попередню. Але насправді він і простіший, і швидший. Судіть самі:

Як бачимо, у дробі 0,64 після коми стоїть дві цифри - 6 і 4. Тому $ n = 2 $. Якщо прибрати кому і нулі зліва (у даному випадку- всього один нуль), то отримаємо число 64. Переходимо до другого кроку: $ ((10) ^ (n)) = ((10) ^ (2)) = 100 $, тому в знаменнику стоїть саме сто. Ну а потім залишається лише скоротити чисельник і знаменник.

Ще один приклад:

Тут все трохи складніше. По-перше, цифр після коми вже три штуки, тобто. $n=3$, тому ділити доведеться $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. По-друге, якщо прибрати з десяткового запису кому, то ми отримаємо ось це: 0,004 → 0004. Згадаємо, що нулі зліва треба прибрати, тому за фактом у нас число 4. Далі все просто: ділимо, скорочуємо і отримуємо відповідь.

Зрештою, останній приклад:

Особливість цього дробу – наявність цілої частини. Тому на виході у нас виходить неправильний дріб 47/25. Можна, звичайно, спробувати розділити 47 на 25 із залишком і таким чином знову виділити цілу частину. Але для чого ускладнювати собі життя, якщо це можна зробити ще на етапі перетворень? Що ж, розберемося.

Що робити з цілою частиною

Насправді, все дуже просто: якщо ми хочемо отримати правильний дріб, то необхідно прибрати з неї цілу частину на час перетворень, а потім, коли отримаємо результат, знову дописати її праворуч перед дробовою рисою.

Наприклад, розглянемо те саме число: 1,88. Заб'ємо на одиницю (цілу частину) і подивимося на дріб 0,88. Вона легко перетворюється:

Потім згадуємо про втрачену одиницю і дописуємо її спереду:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

От і все! Відповідь вийшла тим самим, що і після виділення цілої частини в Минулого разу. Ще кілька прикладів:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \&& 13,8\to 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\end(align)\]

В цьому і полягає принадність математики: яким би шляхом ви не пішли, якщо всі обчислення виконані правильно, відповідь завжди буде одним і тим же.

Насамкінець хотів би розглянути ще один прийом, який багатьом допомагає.

Перетворення «на слух»

Давайте подумаємо про те, що взагалі таке десятковий дріб. Точніше, як ми читаємо її. Наприклад, число 0,64 - ми читаємо його як "нуль цілих, 64 сотих", правильно? Ну, або просто «64 соті». Ключове слово тут - "сотих", тобто. Число 100.

А що щодо 0,004? Це ж «нуль цілих, 4 тисячні» або просто «чотири тисячні». Так чи інакше, ключове слово- «тисячних», тобто. 1000.

Ну, і що в цьому такого? А те, що саме ці числа зрештою «спливають» у знаменниках на другому етапі алгоритму. Тобто. 0,004 — це «чотири тисячні» або «4 розділити на 1000»:

Спробуйте потренуватися самі це дуже просто. Головне - правильно прочитати вихідний дріб. Наприклад, 2,5 - це «2 цілих, 5 десятих», тому

А якесь 1,125 — це «1 ціла, 125 тисячних», тому

У останньому прикладі, звичайно, хтось заперечить, мовляв, не кожному учневі очевидно, що 1000 ділиться на 125. Але тут треба пам'ятати, що 1000 = 103, а 10 = 2∙5, тому

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5 \ cdot 5 = 8 \ cdot 125 \ end (align) \]

Таким чином, будь-який ступінь десятки розкладається лише на множники 2 і 5 — саме ці множники потрібно шукати і в чисельнику, щоб у результаті все скоротилося.

На цьому урок закінчено. Переходимо до складнішої зворотної операції- див.

Поняття десяткового дробу

Дроби, у яких знаменник є ступенем числа 10, часто записують у простішій формі, без знаменника, відокремлюючи цілу та дробові частини один від одного комою (вважають при цьому, що ціла частинаправильного дробу дорівнює 0).

Наприклад,

Записані в такій формі дроби називаються десятинними дробами. Так що і 2,7-різні форми запису того самого числа: перша - у вигляді звичайного дробу, друга-у виглядідесяткового дробу. Поки що ми розглядатимемо лише позитивні десяткові дроби.

Десяткова форма запису дробів дозволяє записувати їх, порівнювати та виконувати з ними арифметичні діїза правилами, дуже схожими на правила запису, порівняння та дій з натуральними числами.

Нагадаємо, що в десятковій системіОбчислення значення кожної цифри залежить від розряду (позиції), в якому вона записана. При цьому одиниці сусідніх розрядів відрізняються у 10 разів. Наприклад, десяток у 10 разів менший за сотню, одиниця в 10 разів менша за десяток.

Перший розряд після коми називають розрядом десятих.

Наприклад, число 2,7 складається з 2 цілих та семи десятих-читають «дві цілих сім десятих».

Другий розряд після коми називають розрядом сотих.

Наприклад, число 0,35 складається з 0 цілих, 3 десятих і 5 сотих-читають «нуль цілих тридцять п'ять сотих».

Щоб краще зрозуміти правила запису та читання десяткових дробів, розглянемо таблицю розрядів та наведені в ній приклади запису чисел.

Для запису числа в десятковій формітреба врахувати, що
Так що запис числа містить 1 тисячну та 9 десятитисячних і не містить цілих одиниць, десятих, сотих – у десятковому дробі у відповідних розрядах пишуть нулі.

Потрібно пам'ятати, що після коми в записі десяткового дробу має бути стільки цифр, скільки нулів містить знаменник цього дробу.

дробового числа.

Десятковий запис дробового числає набір двох і більше цифр від $0$ до $9$, між якими знаходиться так звана \textit(десяткова кома).

Приклад 1

Наприклад, $35,02$; $ 100,7 $; $ 123 \ 456,5 $; $54,89$.

Крайня ліва цифра в десятковому записі числа не може бути нулем, винятком є ​​лише випадок, коли десяткова кома стоїть відразу після першої цифри $0$.

Приклад 2

Наприклад, $ 0,357 $; $0,064$.

Часто десяткову кому замінюють десятковою точкою. Наприклад, $35.02$; $100.7$; $ 123 \ 456.5 $; $54.89$.

Визначення десяткового дробу

Визначення 1

Десяткові дроби- Це дробові числа, які представлені в десятковому записі.

Наприклад, $121,05$; $ 67,9 $; $345,6700$.

Десяткові дроби використовуються для компактнішого запису правильних звичайних дробів, знаменниками яких є числа $10$, $100$, $1 \ 000$ і т.д. та змішані числа, знаменниками дробової частини яких є числа $10$, $100$, $1\000$ тощо.

Наприклад, звичайний дріб$\frac(8)(10)$ можна записати у вигляді десяткового дробу $0,8$, а змішане число $405\frac(8)(100)$ -- у вигляді десяткового дробу $405,08$.

Читання десяткових дробів

Десяткові дроби, які відповідають правильним звичайним дробам, читаються так само, як і звичайні дроби, тільки попереду додається фраза «нуль цілих». Наприклад, звичайного дробу $\frac(25)(100)$ (читається «двадцять п'ять сотих») відповідає десятковий дріб $0,25$ (читається «нуль цілих двадцять п'ять сотих»).

Десяткові дроби, які відповідають змішаним числам, читаються так само як і змішані числа. Наприклад, змішаному числу$43\frac(15)(1000)$ відповідає десятковий дріб $43,015$ (читається «сорок три цілих п'ятнадцять тисячних»).

Розряди у десяткових дробах

У записі десяткового дробу значення кожної цифри залежить від позиції. Тобто. у десяткових дробах також має місце поняття розряду.

Розряди в десяткових дробах до десяткової коминазиваються так само, як і розряди в натуральних числах. Розряди в десяткових дробах після коми винесені до таблиці:

Малюнок 1.

Приклад 3

Наприклад, у десятковому дробі $56,328$ цифра $5$ стоїть у розряді десятків, $6$ - у розряді одиниць, $3$ - у розряді десятих, $2$ - у розряді сотих, $8$ - у розряді тисячних.

Розряди в десяткових дробах розрізняють за старшинством. При читанні десяткового дробу рухаються зліва направо - від старшогорозряду до молодшому.

Приклад 4

Наприклад, у десятковому дробі $ 56,328 $ старшим (вищим) розрядом є розряд десятків, а молодшим (нижчим) - розряд тисячних.

Десятковий дріб можна розкласти за розрядами аналогічно розкладу за розрядами натурального числа.

Приклад 5

Наприклад, розкладемо за розрядами десятковий дріб $37,851$:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Кінцеві десяткові дроби

Визначення 2

Кінцевими десятковими дробаминазивають десяткові дроби, у записах яких міститься кінцеве числосимволів (цифр).

Наприклад, $ 0,138 $; $ 5,34 $; $ 56,123456 $; $350 972,54$.

Будь-який кінцевий десятковий дріб можна перевести в звичайний дріб або змішане число.

Приклад 6

Наприклад, кінцевого десяткового дробу $7,39$ відповідає дробове число$7\frac(39)(100)$, а кінцевого десяткового дробу $0,5$ відповідає правильний звичайний дріб $\frac(5)(10)$ (або будь-який дріб, який дорівнює йому, наприклад, $\frac(1) (2)$ або $\frac(10)(20)$.

Переведення звичайного дробу в десятковий дріб

Переклад звичайних дробів зі знаменниками $10, 100, \dots$ у десяткові дроби

Перед переведенням деяких правильних звичайних дробів у десяткові їх потрібно попередньо підготувати. Результатом такої підготовки має бути однакова кількість цифр у чисельнику та кількість нулів у знаменнику.

Суть попередньої підготовки» правильних звичайних дробів до переведення в десяткові дроби - дописування зліва в чисельнику такого числа нулів, щоб Загальна кількістьцифр дорівнювало числу нулів у знаменнику.

Приклад 7

Наприклад, підготуємо звичайний дріб $ frac (43) (1000) $ до переведення в десятковий і отримаємо $ frac (043) (1000) $. А звичайний дріб $\frac(83)(100)$ підготовки не потребує.

Сформулюємо правило переведення правильного звичайного дробу зі знаменником $10$, або $100$, або $1 \ 000$, $\dots$ в десятковий дріб:

записати $0$;

після нього поставити десяткову кому;

записати число з чисельника (разом із дописаними нулями після підготовки, якщо вона була потрібна).

Приклад 8

Перевести правильний звичайний дріб $\frac(23)(100)$ у десятковий.

Рішення.

У знаменнику стоїть число $100$, яке містить $2$ два нулі. У чисельнику стоїть число $23$, запису якого $2$.цифри. отже, підготовку для цього дробу до переведення до десяткового проводити не потрібно.

Запишемо $0$, поставимо десяткову кому і запишемо число $23$ із чисельника. Отримаємо десятковий дріб $0,23$.

Відповідь: $0,23$.

Приклад 9

Записати правильний дріб $\frac(351)(100000)$ у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

У чисельнику даного дробу $3$ цифри, а число нулів у знаменнику - $5$, тому цей звичайний дріб потрібно підготувати до переведення в десятковий. Для цього необхідно дописати $5-3=2$ нуля ліворуч у чисельнику: $\frac(00351)(100000)$.

Тепер можемо скласти потрібний десятковий дріб. Для цього запишемо $0$, потім поставимо кому і запишемо число з чисельника. Отримаємо десятковий дріб $0,00351$.

Відповідь: $0,00351$.

Сформулюємо правило перекладу неправильних звичайних дробів зі знаменниками $10$, $100$, $\dots$ у десяткові дроби:

записати число із чисельника;

відокремити десятковою комою стільки цифр справа, скільки нулів у знаменнику вихідного дробу.

Приклад 10

Перевести неправильний звичайний дріб $\frac(12756)(100)$ у десятковий дріб.

Рішення.

Запишемо число з чисельника $12756$, потім відокремимо десятковою комою $2$ цифри праворуч, т.к. у знаменнику вихідного дробу $2$ нуля. Отримаємо десятковий дріб $127,56$.