Формула лінеаризації функції багатьох змінних. Метод безпосередньої лінеаризації

Лінеарізація

Для того щоб оцінити невідомі параметри β 0 , … , β nнелінійної регресійної моделі, необхідно привести її до лінійного вигляду. Суть лінеаризаціїНелінійних за незалежними змінними регресійними моделями полягає в заміні нелінійних факторних змінних на лінійні. У загальному випадкуполіноміальної регресії процес заміни нелінійних змінних функцій п-гопорядку виглядає так: x = з 1,; х 2 = c 2; x З = з 3; ...; x п = c п.

Тоді рівняння множинної не лінійної регресіїможна записати у вигляді лінійного множинного регресійного рівняння

y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + … +β n x n i + ε i =>

=> y i = β 0 + β 1 c 1i + β 2 c 2i + … +β n c ni + ε i

Гіперболічну функцію також можна призвести до лінійного виду за допомогою заміни нелінійної факторної змінної на лінійну. Нехай 1/ х= с. Тоді вихідне рівняння гіперболічної функціїможна записати у перетвореному вигляді:

y i = β 0 + β 1 / x i + ε i => y i = β 0 + β 1 с i + ε i

Таким чином, і поліноміальну функцію будь-якого ступеня і гіперболоїд можна звести до моделі лінійної регресії, що дозволяє застосовувати до перетвореної моделі традиційні методи знаходження невідомих параметрів рівняння регресії (наприклад, класичний МНК) та стандартні методи перевірки різних гіпотез.

До другому класу нелінійних моделейвідносяться регресійні моделі, в яких результативна змінна y iнелінійно пов'язана з параметрами рівняння β 0 ,…, β n. До такого типу регресійних моделей відносяться:

1) статечна функція

y i = β 0 · x i β 1 · ε i

2) показова функція

y i = β 0 · β 1 x i · ε i

3) логарифмічна парабола

y i = β 0 · β 1 x i · β 2 x i · ε i 2

4) експоненційна функція

y i = e β 0 + β 1 x i · ε i

5) зворотна функція

та інші.

Нелінійні за параметрами регресійні моделі поділяються на моделі. підлягають лінеаризації (внутрішньо лінійні функції) та не підлягають лінеаризації (внутрішньо нелінійні функції) . Прикладом моделей, які можна звести до лінійної форми, є показова функція виду y i = β 0 · β 1 x i · ε i, де випадкова помилка ε iмультиплікативно пов'язана з факторною ознакою x i. Дця модель нелінійна за параметром β 1. Для її лінеаризації спочатку здійснимо процес логарифмування:

ln y i = ln β 0 + x i · ln β 1 + ln ε i

Потім скористаємося методом замін. Нехай ln y i= Y i; ln β 0= А; ln β 1 =В; ln ε i =Е i.

Тоді перетворена показова функція має наступний вигляд:

Y i = А+ У x i+ Е i.

Отже, показова функція y i = β 0 · β 1 x i · ε iє внутрішньо лінійною, і оцінки її параметрів можуть бути знайдені за допомогою традиційного методунайменших квадратів.

Якщо ж взяти показову функцію, Що включає випадкову помилку ε iадитивно, тобто. y i = β 0 · β 1 x i + ε i, то цю модельвже неможливо призвести до лінійного вигляду за допомогою логарифмування. Вона є внутрішньо нелінійною.

Нехай задана статечна функція виду y i = β 0 · x i β 1 · ε i. Прологарифмуємо обидві частини рівняння:

ln y i = ln β 0 + β 1 ·ln x i + ln ε i

Тепер скористаємося методом замін: ln y i= Y i; ln β 0= А; ln x i =X i; ln ε i = Е i.

chx=(e x +e - x)/2

shx = (e x -e -x) / 2

chx 2 +shx 2 = ch2x

c
thx=chx/shx

Лекція №12

Тема: «Лінеаризація»

Геометричний зміст диференціала функції та рівняння дотичної.

рівняння прямої: Y=kx+b

y 0 = f (x 0) = kx 0 + b

k-кутовий коефіцієнт прямий

k=tg=f'(x 0)

Y=f(x0)+f(x0)-f'(x0)x0

Y=f(x)+f'(x 0)(x-x 0)

∆f(x 0)=f'(x 0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в деякій

O(x 0) f(x 0)=f'(x 0)+f'(x 0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y 1 =f(x 0)+f'(x 0)(x-x 0) a =f'(x 0)+f'(x 0)∆x

df(x 0)=f'(x 0)∆x

Геометричний зміст диференціала:

df(x 0) – це збільшення ординати під час руху за дотичною проведеною до графіку функції точки (х 0 ;f(x 0).

Зауваження: Часто говорять про дотичну проведену в точці х 0 .

Лінеарізація функції.

Визначення: Заміна функції в околиці даної точки лінійної функції називається лінеаризацією функції, точніше О (х 0) замінюється відрізком дотичної в точці х 0 .

(
*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Якщо в рівності (*) відкинути праву частину, то ми

отримаємо наближену рівність:

f(x)f(x 0)+f'(x 0)(x-x 0), xx 0

Y=f(x 0)+f'(x 0)(x-x 0) – рівняння дотичної у точці х 0

Формула отримана з визначення диференціала у точці х 0 функції

f(x)=f(x 0)+f(x 0)∆x+o∆x при ∆х0 – називається критерієм диференційності функції у точці х 0 .

Наближені обчислення та оцінка похибки обчислення.

Можна приблизно обчислювати значення функції в точках близьких до заданої точки.

Проведемо лінеаризацію вибраного кореня.

f’(x) х=8 =(3 x)’ x =8 =1/3x -2/3  x =8 =1/12

3 x2+1/12(x-8), x8

3 x2+0,001/12

Y кас =2+1/12(x-8)

3 x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8

Похибки обчислення.

f(x)-f(x 0)=df(x 0)+o(x-x 0) при хх 0

∆f(x 0)df(x 0), xx 0

∆ 1 =∆f(x 0)df(x 0)

f(x)=10 x у точці х 0 =4, якщо ∆х=0,001 х=40,001

10 4 ∆=10 4 23

f'(x)=10 x ln10; f'(4)=10 4 ln10=23000; ln102,2

∆23000  0,001 = 23

Вивчення поведінки функції з допомогою першої похідної.

Зліва від М 0 tg >0; Праворуч від М 0 tg <0

tg f’(x)>0 зліва від М 0

tg f’(x)<0 справа от М 0

Теорема: Нехай y=f(x) диференційована  x(a,b) та f'(x)>0 (f'(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

A (|x1 | x2) b

x 1 ,x 2 (a,b) x 1

Потрібно довести: f(x 1)

Застосуємо теорему Лангранджа на відрізку (х 1, х 2) Теорема.

f(x 2)-f(x 1)=f'(c)(x 2 -x 1) де c(x 1 ,x 2)

f(x 2)-f(x 1)>0  f(x 2)>f(x 1)

Екстремуми функції.

М можна вказати О(х 1) у якій всі значення функції

f(x)

f(x)>f(x 1) b та О  2 (х 1). Значні функції у точці М 1 , М 3 та М 5 –

max; M 2 і М 4 – min – такі точки називаються точками

екстремумуабо точками локального max та min.

Визначення: (точки екстремуму)

Нехай функція f(x) визначена в деякій О(х 0) і f(x)>f(x 0)

О(х 0) або f(x)

З примітка:

f(x)f(x 1) в О  1 (х 1)

f(x)f(x 2) в О  2 (х 2)

кажуть, що точки х 1 і х 2 точки не суворого локального

екстремуму.

Теорема: (Ферма) (про необхідність умови екстремуму функції, що диференціюється)

Нехай y=f(x) диференційована в точки x 0 і точка x 0 – точка екстремуму, тоді f(x 0)=0

Доказ: Зауважимо, що х 0 точка екстремуму, то її околиці f(x) – f(x 0) зберігає знак. Запишемо умову ∆f(x 0)=f(x)-f(x 0)(x-x 0)+o(x-x 0)

f(x)-f(x 0)=(x-x 0) то при х – досить близьких до х 0 знак виразу, що стоїть у квадратних дужках, збігається зі знаком f'(x 0)0 (x-x 0) – змінює знак при переході черех точку х 0  f'(x 0) = 0

Лекція №13

Ведуча: Голубєва Зоя Миколаївна

Тема: «Екстремуми»

Примітка:

Про братне твердження неправильне. Через те, що твір у цій точці дорівнює нулю, годі було, що це екстремум.

xO -  (1)f(x)<0

xO +  (1)f(x)<0

x=1 – не точка екстремуму.

Теорема (Роль):

Нехай функція y=f(x) безперервна на відрізку і диференційована (a,b). Крім того, на кінцях інтервалу вона приймає рівні значення f(a)=f(b), тоді  с(a,b): f(c)=0

Доведення: Така як функція безперервна на відрізку , то другий теоремі Вейштрасса є найбільше і найменше значення (m,M), якщо m=M, то f(x)const (x) (const)’=0.

Нехай m

Примітка:Умову диференціювання не можна відкинути.

безперервна на відрізку

Геометричний зміст.

f'(x)=0, то дотична  осі х. Теорема не стверджує, що це єдина точка.

Теорема Лангранджа:

Нехай функція y=f(x) безперервна на відрізку і диференційована на відрізку (а,b), тос(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доведення :

F(x)=f(x)+xде- поки що невідоме число.

F(x) – безперервна на відрізку як сума безперервної функції

f(x) – диференційована на відрізку як сума функції, що диференціюється.

Виберемо число  так, щоб на відрізку F(x) приймало рівне значення.

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =/

F(x) – задовольняє умові теореми Роллера на відрізку c(a,b):F’(c)=0, тобто F’(x)=f’(x)+

0=f'(c)+  f'(c)=-=/

Тобто на кривій, яка нахилена

до осі х під таким же кутом як і січна

/=tg=f(x)  c(a,b)

Примітка:

Часто точку можна представити в

потрібному вигляді:

с=х 0 +∆х

0<(c-x 0)/(x-x 0)=<1

c-x 0 = (x-x 0)

c=x 0 +(x-x 0) 1

f(x)-f(x 0)=f'(x 0 +∆x)(x-x 0)

∆f(x 0)=f'(x 0 +∆x)∆x

Теорема: (Про необхідні та достатні умови екстремуму за першою похідною)

Нехай y=f(x) безперервна на відрізку і диференційована О(х 0). Якщо f'(x) змінює знак під час переходу через точку х 0 , то точка х 0 – точка екстремуму. Якщо змінює знак:

з + на - це точка максимуму

с – на + то це точка мінімуму

Доведення :х 1 О - (х 0) на ;c 1 (x 1 ,x 0)f(x 0)-f(x 1)=f'(c 1)(x 0 -x 1) f(x 0)>f(x 1)x 1 O - (x 0)

 х 2 О + (х 0) на ;c 2 (x 0 ,x 2)f(x 2)-f(x 0)=f'(c 2)(x 2 -x 0) f(x 2)

f(x 0)>f(x)xO(x 0)точка x точка максимуму.

Якщо в точці х 0 існує похідна, то вона обов'язково дорівнює 0 в силі теореми Ферма. Але можуть бути точки, у яких f(x) існує, а f'(x) не існує.

Принцип вирішення таких завдань:

Умова: знайти найбільше та найменше значення функції не відрізку .

Хід рішення:

Знаходимо точки в яких похідна або дорівнює 0 або не існує f'(x)=0 або f'(x) x 1 x n

Обчислюємо знак функції на кінцях відрізка і цих точках f(a),f(b),f(x 1)….f(x n)

Вибираємо найбільше та найменше mf(x)

Визначення: точки в яких функція визначена, а похідна або дорівнює нулю, або немає критичними точками.

1. Усі змінні виражаються через x 1 x 2
2. Усі математичні операції виражаються через узвичаєні символи (+,-,*,/,^). Наприклад, x 1 2 +x 1 x 2 записуємо як x1^2+x1*x2 .

де - Член другого порядку малості, що відкидається.
Таким чином, функція f(x) апроксимується в точці x 0 лінійною функцією:
,
де x0 – точка лінеаризації.
Зауваження. Лінеарізацію слід використовувати з великою обережністю, оскільки іноді вона дає дуже грубе наближення.

Загальне завдання нелінійного програмування

Приклад №1.

Побудуємо допустиму область S (див. мал.).


Допустима область S складається з точок кривої h(x)=0, що лежить між точкою (2;0), яка визначається обмеженням x 2 ≥0, і точкою (1;1), що визначається обмеженням g(x) ≥0.
В результаті лінеаризації задачі в точці x 0 = (2; 1) отримуємо наступну ЗЛП:

Тут є відрізок прямий , обмежений точками (2.5; 0.25) і (11/9; 8/9). Лінії рівня лінеаризованої цільової функції є прямі з нахилом -2, тоді як лінії рівня вихідної цільової функції – кола з центром у точці (0; 0). Зрозуміло, що розв'язанням лінеаризованої задачі є точка x 1 = (11/9; 8/9). У цій точці маємо:

так що обмеження-рівність порушується. Зробивши нову лінеаризацію в точці x 1, отримуємо нове завдання:


Нове рішення лежить на перетині прямих та і має координати x 2 =(1.0187; 0.9965). Обмеження - рівність ( ) все ще порушується, але вже меншою мірою. Якщо зробити ще дві ітерації, то отримаємо дуже гарне наближення до рішення x * = (1; 1), f (x *) = 2

Таблиця - Значення цільової функції для деяких ітерацій:

Зазвичай, автоматичні системи описують нелінійними диференціальними рівняннями. Але в багатьох випадках їх можна лінеаризувати, тобто замінити вихідні нелінійні рівняння лінійними, що наближено описують процеси в системі. Процес перетворення нелінійних рівнянь на лінійні називають лінеаризацією.

В атоматичних системах має підтримуватись певний заданий режим. При цьому режимі вхідні та вихідні величини ланок системи змінюються за певним законом. Зокрема, у системах стабілізації вони набувають певних постійних значень. Але через різні фактори, що обурюють, фактичний режим відрізняється від необхідного (заданого), тому поточні значення вхідних і вихідних величин не рівні значенням, відповідним заданому режиму. У автоматичній системі, що нормально функціонує, фактичний режим трохи відрізняється від необхідного режиму і відхилення вхідних і вихідних величин входять до неї ланок від необхідних значень малі. Це дозволяє зробити лінеаризацію, розкладаючи нелінійні функції, що входять до рівнянь, до ряду Тейлора. Лінеаризацію можна проводити за ланками.

приклад 2.1. Проілюструємо викладене з прикладу ланки, описуваного рівнянням (2.1). Нехай заданому режиму відповідають

Позначимо відхилення реальних значень і, і від необхідних через . Тоді й підставимо ці висловлювання в (2.1) і, розглядаючи як функцію від незалежних змінних, розкладемо її в ряд Тейлора в точці (2.3) і відкинемо малі члени вищого порядку, ніж відхилення. Тоді (2.1) набуде вигляду

Тут зірочка зверху позначає, що відповідні функції та похідні обчислюються при значеннях аргументу, що визначаються співвідношеннями (2.3). Коли в системі встановлюється заданий режим, рівняння (2.1) набуває вигляду . Віднімаючи це рівняння з (2.4), отримаємо шукане рівняння ланки у відхиленнях:

Якщо час t не входить у вихідне рівняння (2.1) і, крім того, заданий режим є статичним - величини не залежать від часу, то коефіцієнти лінеаризованого рівняння (2.5) є постійними.

Ланки та системи, які описуються лінійними рівняннями, називають відповідно лінійними ланками та лінійними системами.

Рівняння (2.5) було отримано за таких припущень: 1) відхилення вихідний і вхідний величин досить малі; 2) функція має безперервні приватні похідні за всіма своїми аргументами в околиці точок, що відповідають заданому режиму. Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то лінеарізацію проводити не можна. З приводу першої умови слід зазначити таке: не можна раз і назавжди встановити, які відхилення вважати малими. Це від виду нелінійності.

Часто нелінійну залежність між окремими змінними, що входять до рівняння ланки, задають у вигляді кривої. У таких випадках лінеаризацію можна зробити графічно.

Геометрично лінеаризація нелінійної залежності між двома змінними (рис. 2.2) означає заміну вихідної кривої А відрізком її дотичної в точці О, що відповідає заданому режиму, і паралельне перенесення початку координат в цю точку.

Залежно від того, входить чи ні час явно до рівняння, системи поділяють на стаціонарні та нестаціонарні.

Автоматичні системи управління (ланки) називають стаціонарними якщо вони при постійних зовнішніх впливах описуються рівняннями, які не залежать явно від часу. Це означає, що властивості системи з часом не змінюються. Інакше система називається нестаціонарною. Для лінійних систем можна дати таке визначення: стаціонарними лінійними системами (ланками) називають системи (ланки), які описуються лінійними рівняннями з постійними коефіцієнтами; нестаціонарними лінійними системами (ланками) або системами зі змінними параметрами - системи (ланки), які описуються лінійними рівняннями зі змінними коефіцієнтами.

Лінеаризація (моделювання) функцій перетворення засобу вимірювання

Вступ

Розвиток науки та техніки, підвищення вимог до якості продукції та ефективності виробництва призвели до радикальної зміни вимог до вимірювань. Один із основних аспектів цих вимог – забезпечення можливості досить достовірної оцінки похибки вимірів. Відсутність даних про точність вимірювань або недостатньо достовірні її оцінки повністю або значною мірою знецінюють інформацію про властивості об'єктів та процесів, якість продукції, про ефективність технологічних процесів, про кількість сировини, продукції тощо, що отримується в результаті вимірювань. Некоректна оцінка похибки вимірювань загрожує великими економічними втратами, котрий іноді технічними наслідками. Занижена оцінка похибки вимірювань веде до збільшення браку продукції, неекономічного або неправильного обліку витрат матеріальних ресурсів, неправильних висновків при наукових дослідженнях, помилкових рішень при розробці та випробуваннях зразків нової техніки. Завищена оцінка похибки вимірювань, наслідком чого, як правило, є помилковий висновок про необхідність застосування точніших засобів вимірювань (СІ), що викликає непродуктивні витрати на розробку, промисловий випуск та експлуатацію СІ. Прагнення максимально наблизити оцінку похибки вимірювань до її дійсного значення так, щоб вона при цьому залишалася в ймовірнісному сенсі "оцінкою зверху", - одна з характерних тенденцій розвитку сучасної практичної метрології. Ця тенденція набуває особливо великого практичного значення там, де необхідна точність вимірювань наближається до точності, яку можуть забезпечувати зразкові СІ та де підвищення коректності оцінок точності вимірювань по суті є одним із резервів підвищення точності вимірювань. Похибка вимірів обумовлена, у випадку, низкою чинників. Вона залежить від властивостей застосовуваних СІ, способів використання СІ (методик виконання вимірювань), правильності калібрування та повірки СІ, умов, у яких виробляються виміри, швидкості (частоти) зміни вимірюваних величин, алгоритмів обчислень, похибки, що вноситься оператором. Отже, завдання оцінки похибки вимірів у сучасних умовах, зокрема, технічних вимірів – складне комплексне завдання.

Уманська А.К. Лінеаризація (моделювання)

функцій перетворення засобу виміру. -

Челябінськ: ЮУрДУ, ПС; 2012.18с.4іл.,

бібліогр. список - 1 наймен.

На основі вихідних даних проведена лінеаризація (моделювання) функції перетворення засобу вимірювання та розраховані похибки.

Завдання

ЗАВДАННЯ 1.

Чутливість СІ та граничну нестабільність чутливості. Чутливість СІ:

Гранична нестабільність чутливості:

ЗАВДАННЯ 2.

Граничні відносні похибки, наведені до виходу та входу СІ

Знайдемо похибку вихідного сигналу.

За визначенням:

Знайдемо похибку вихідного сигналу, наведену до виходу СІ.

За визначенням:

Визначимо значення відносної похибки при значеннях вхідної вимірюваної величини:

ЗАВДАННЯ 3.

Визначити абсолютну, відносну та наведену похибки нелінійності при апроксимації функції перетворення СІ у вигляді дотичної в початковій точці.

Визначити найбільшу похибку нелінійності. Рівняння дотичної має вигляд:

Крапка, через яку проходить дотична

Кутовий коефіцієнт дотичної:

Визначимо похибки лінеаризації:

Абсолютна похибка:

Відносна погрішність:

Наведене значення похибки (у точці x=x н):

Графік апроксимації функції перетворення у вигляді дотичної в початковій точці:

ЗАВДАННЯ 4

Визначити відносну та абсолютну похибки нелінійності при апроксимації функції перетворення СІ у вигляді хорди, що проходить через початкову та кінцеву точки діапазону вимірювання. Визначити найбільшу похибку нелінійності.

Рівняння хорди має вигляд:

Точки, через які проходить хорда:

Функція лінеаризації набуває вигляду:

Визначимо похибки лінеаризації.

Абсолютна похибка:

Відносна погрішність:

Максимальна похибка нелінійності при x е :

Знайдемо похибку:

Графік апроксимації функції перетворення у вигляді хорди, що проходить через початкову та кінцеву точки нашого діапазону.

ЗАВДАННЯ 5.

Апроксимувати функцію перетворення СІ на інтервалі: лінійною функцією виду: , те щоб найбільша похибка лінеаризації була мінімальна: . Визначити граничні відносну та наведену похибки лінеаризації. функція апроксимації.

Абсолютна похибка лінеаризації.

засіб виміру похибка нелінійність

Запишемо умову оптимізації системи:

похибка в кінці діапазону виміру:

похибка в екстремальній точці:

Розкриємо модулі та запишемо рівняння:

Визначимо похибку в

ЗАВДАННЯ 6.

Апроксимувати функцію перетворення СІ на інтервалі: лінійною функцією виду: , те щоб найбільша похибка лінеаризації була мінімальна: .

Визначити граничні відносну та наведену похибки лінеаризації.

функція апроксимації.

Абсолютна похибка лінеаризації.

Похибка набуває найменшого значення в точці, в якій:

Умова оптимізації системи:

Складемо систему:

З рішення системи отримаємо:

Функція апроксимації має вигляд:

Визначимо похибки.

Гранична наведена похибка лінеаризації дорівнює:

Графік апроксимації функції перетворення лінійної функції виду з мінімальною найбільшою похибкою.

Висновок

Побудувавши лінійні моделі функцій перетворення засобів виміру різними методами, ми переконалися, що метод моделювання функції перетворення лінійної функцією виду: , те щоб найбільша похибка лінеаризації була мінімальна, найефективніший, т.к. у ньому була найменша похибка та постійна чутливість.

бібліографічний список

1. Аксьонова, О.М. Елементарні способи оцінки похибок результатів прямих та непрямих вимірів / навчальний посібник для вузів. - М: Вид-во Логос; Університетська книга, 2007.