Теорема про існування неявної заданої функції. Необхідні умови локального екстремуму функції кількох змінних

Теорема про неявної функції - загальна назвадля теорем, що гарантують локальне існування та описують властивості неявної функції, Т. е. функції

$y=f(x)$ , $f:X\to Y$ ,

заданою рівнянням

$F(x, y) = z_0$ , $F:X\times Y\to Z$

та значення $z_0\in Z$ фіксовано.

Одновимірний випадок

Найпростіша теорема про неявну функцію полягає в наступному.

Якщо функція $F:\R\times\R\to\R$

безперервна в деякій околиці точки $(x_0, y_0)$
$F(x_0,y_0)=0$ і
при фіксованому x функція F(x,y) строго монотонна по y в даній околиці,

тоді знайдеться такий двовимірний проміжок $I=I_x \times I_y$ , що є околицею точки $(x_0, y_0)$ , і така безперервна функція $f:I_x\to I_y$ , що для будь-якої точки $(x, y) \in I$

Зазвичай додатково передбачається, що функція $F$ є безперервно диференційованої в околиці точки $(x_0, y_0)$ . У цьому випадку строга монотонність випливає з умови $F_y"(x_0,y_0)\ne 0\quad$ , де $F_y"$ позначає приватну похідну $F$ по $y$ . Більше того, у цьому випадку функція $f$ також є безперервно диференційованою, і її похідна може бути обчислена за формулою

$f"(x) = - \frac(F_x"(x, f(x)))(F_y"(x, f(x))).$

Багатовимірний випадок

Нехай $\R^n$ і $\R^m$ - простір з координатами $x = (x_1, \ dots, x_n)$ і $y=(y_1,\dots,y_m)$ відповідно. Розглянемо відображення $F=(F_1,\ldots,F_m),$ $F_i = F_i(x, y),$ яке відображає деяку околицю $W$ крапки $(x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m$ у простір $\R^m$ .

Припустимо, що відображення $F$

$F \in C^(k)(W),$ $k \geq 1,$ тобто. $F$ є $k$ раз безперервно диференційованим в $W,$
$F(x_0,y_0)=0,$
якобіан відображення $y\mapsto F(x_0,y)$ не дорівнює нулюу точці $y_0,$ тобто. визначник матриці $\frac(\partial F)(\partial y)(x_0,y_0)$ не дорівнює нулю.

Тоді існують околиці $U$ і $V$ точок $x_0$ і $y_0$ у просторах $\R^n$ і $\R^m$ відповідно, причому $U\times V\subset W$ , та відображення $f: U \to V,$ $f \in C^(k)(U),$ такі, що

$F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)$

для всіх $x \in U$ і $y \in V$ . Відображення $f$ визначено однозначно.

Природним узагальненням попередньої теореми у разі не гладких відображень є наступна теоремаː

Припустимо, що відображення $F$ задовольняє наступним умовам?

$F$ є безперервним у $W,$
$F(x_0,y_0)=0,$
існують околиці $U$ і $V$ точок $x_0$ і $y_0$ у просторах $\R^n$ і $\R^m$ відповідно, причому $U\times V\subset W$ , такі, що для кожного фіксованого $x \in U$ відображення $y\mapsto F(x,y)$ є взаємно однозначним у $V$ .

Тоді існує таке безперервне відображення $f: U \to V$ , що

$F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)$

для всіх $x \in U$ і $y \in V$ .

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Теорема про неявну функцію"

Література

Зорич В. А.Математичний аналіз, Будь-яке видання
Ільїн В. А., Позняк Е. Г.Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1, М., 1971
Колмогоров А. Н., Фомін С. В.Елементи теорії функцій та функціонального аналізу, 5 видавництво, М., 1981
Люстерник Л. А., Соболєв Ст І.Елементи функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1965
Микільський С. М.Курс математичного аналізу, 2 видавництва, т. 1-2, М., 1975
Понтрягін Л.С.Звичайні диференційне рівняння, 4 видавництва, М., 1974 - §33
Шварц Л.Аналіз, пров. з франц., т. 1, М., 1972

Примітки

Уривок, що характеризує теорему про неявну функцію

Але хоча всі й знали, що треба було піти, залишався ще сором свідомості того, що треба тікати. І потрібен був зовнішній поштовх, який би переміг цей сором. І поштовх цей з'явився в потрібний час. Це було так зване у французів le Hourra de l'Empereur [імператорське ура].
На другий день після поради Наполеон, рано-вранці, прикидаючись, що хоче оглядати війська і поле минулої та майбутньої битви, зі свитою маршалів і конвою їхав посередині лінії розташування військ. Козаки, що шастали біля видобутку, натрапили на самого імператора і мало не зловили його. Якщо козаки не спіймали цього разу Наполеона, то врятувало його те, що губило французів: видобуток, на який і в Тарутині і тут, залишаючи людей, кидалися козаки. Вони, не зважаючи на Наполеона, кинулися на здобич, і Наполеон встиг піти.
Коли ось les enfants du Don [сини Дону] могли зловити самого імператора в середині його армії, ясно було, що нічого більше робити, як тільки бігти якнайшвидше найближчою знайомою дорогою. Наполеон, з своїм сорокарічним черевцем, не відчуваючи в собі колишньої поворотливості і сміливості, зрозумів цей натяк. І під впливом страху, якого він набрався від козаків, одразу погодився з Мутоном і віддав, як кажуть історики, наказ про відступ назад на Смоленську дорогу.
Те, що Наполеон погодився з Мутоном і що війська пішли назад, не доводить того, що він наказав це, але що сили, що діяли на всю армію, у сенсі спрямування її Можайською дорогою, одночасно діяли і на Наполеона.

Коли людина перебуває в русі, вона завжди вигадує собі мету цього руху. Для того, щоб йти тисячу верст, людині необхідно думати, що щось добре є за цими тисячами верст. Потрібне уявлення про обітовану землю для того, щоб мати сили рухатися.
Обіцяна земля при наступі французів була Москва, при відступі була батьківщина. Але батьківщина була надто далеко, і для людини, що йде тисячу верст, неодмінно треба сказати собі, забувши про кінцеву мету: «Сьогодні я прийду за сорок верст на місце відпочинку та ночівлі», і в перший перехід це місце відпочинку заступає кінцеву мету і зосереджує на собі всі бажання та надії. Ті прагнення, які виражаються в окремій людинізавжди збільшуються в натовпі.
Для французів, що пішли назад старою Смоленською дорогою, остаточна метабатьківщини була надто віддалена, і найближча мета, до якої, у величезній пропорції посилюючись у натовпі, прагнули всі бажання та надії, – була Смоленськ. Не тому, щоб люди знали, що в Смоленську було багато провіанту та свіжих військ, не тому, щоб їм говорили це (навпаки, вищі чини армії і сам Наполеон знали, що там мало провіанту), але тому, що це могло їм одне дати. силу рухатися та переносити справжні поневіряння. Вони, і ті, що знали, і ті, які не знали, однаково обманюючи себе, як до обітованої землі, прагнули Смоленська.
Вийшовши на велику дорогу, французи з разючою енергією, зі швидкістю нечуваної побігли до своєї вигаданої мети. Крім цієї причини загального прагнення, що пов'язувала в одне ціле натовпу французів і надавала їм деяку енергію, була ще інша причина, яка їх пов'язувала. Причина ця полягала у кількості. Сама величезна маса їх, як у фізичному законітяжіння, притягувала до себе окремі атомилюдей. Вони рухалися своєю стотисячною масою як цілою державою.
Кожна людина з них хотіла тільки одного - віддатися в полон, позбутися всіх жахів та нещасть. Але, з одного боку, сила спільного прагнення мети Смоленська захоплювала кожною у тому самому напрямі; з іншого боку - не можна було корпусу віддатися в полон роті, і, незважаючи на те, що французи користувалися будь-яким зручним випадком для того, щоб позбутися один одного і при найменшому пристойному прийменнику віддаватися в полон, прийменники ці не завжди траплялися. Число їх і тісне, швидкий рухпозбавляло їх цієї можливості і робило для росіян не тільки важким, але неможливим зупинити цей рух, на який була вся енергія маси французів. Механічне розривання тіла не могло прискорити далі відомої межі процес розкладання.

ТЕОРІЯ НЕЯВНИХ ФУНКЦІЙ ТА ЇЇ ДОДАТКИ

§ 1. Поняття неявної функції

У математиці та її додатках доводиться стикатися з такими завданнями, коли змінна u, що є за змістом завдання функцією аргументів х, у, ... , задається за допомогою функціонального рівняння

F(u, х, у, ...) = 0. (1)

У цьому випадку кажуть, що uяк функція аргументів х, у, ... задана неявно . Так, наприклад, функція u = - , що розглядається у колі x 2 + y 2 ≤ 1 , може бути неявно задана за допомогою функціонального рівняння

F(uх, у) = u 2 + x 2 + y 2 – 1 = 0. (2)

Природно виникає питання, за яких умов функціональне рівняння (1) однозначно вирішимо щодо u, тобто. однозначно визначає явну функцію u= φ(х, у, ...)і більш тонке питання, за яких умов ця явна функціяє безперервної та диференційованої . Ці питання не є простими. Так функціональне рівняння (2), взагалі кажучи, визначає у колі x 2 + y 2 ≤ 1 крім зазначеної вище явної функції u = - , безліч інших функцій. Такими є функція u = + , а також будь-яка функція u, рівна + для деяких точок (х, у)з кола x 2 + y 2 ≤ 1 і рівна - для решти точок цього кола. Для з'ясування питання щодо умов, що забезпечують однозначну розв'язність рівняння (2) щодо uзвернемося до геометричної ілюстрації. Рівняння (2) визначає у просторі (u, х, у)сферу Sрадіуса 1 із центром на початку координат (рис.1). Візьмемо на сфері Sточку M 0 (u 0 , х 0 , у 0), що не лежить у площині Оху, тобто. таку, для якої u 0 ≠ 0. Очевидно, частина сфери S, що лежить у досить малій околиці точки M 0 , однозначно проектується на площину Оху . Аналітично це означає, що якщо розглядати функцію F(u, х, у) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 тільки у зазначеній околиці точки M 0 , то рівняння (2) однозначно можна розв'язати щодо u та визначає єдину явну функцію u = + при u 0 > 0 та u = - при u 0 < 0

Якщо ж на сфері S взяти точку M 1 (0, х 1, у 1), що лежить у площині Оху(див. рис. 1), то очевидно, що частина сфери S, що лежить в будь-який околиці M 1 неоднозначно проектується на площину Оху. Аналітично це означає, що якщо розглядати функцію F(u, х, у) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 у будь-якій околиці точки M 1 , то рівняння (2) не є однозначно розв'язним щодо u.

Звернемо увагу на те, що часта похідна функції F(u, х, у) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 не звертається в нуль у точці М 0 і звертається в нуль у точці М 1. Нижче ми встановимо, що для однозначної роздільної здатності в околиці точки М 0загального функціонального рівняння (1) щодо uВажливу роль грає необіг у нуль у точці М 0 приватної похідної . Попутно ми встановимо умови, за яких явна функція, що є єдине рішеннярівняння (1), є безперервної та диференційованої .

Надалі ми позначатимемо простір змінних (u, х, у, ...)символом R, а простір змінних (х, у, ...)символом R". Заради скорочення запису та для зручності геометричної ілюстрації будемо розглядати дві змінні х, у.

§ 2. Теорема про існування та диференційність

неявної функції та деякі її застосування

1. Теорема про існування та диференційованість неявної функції.

Теорема 1. Нехай функція F(u, х, у) диференційована в деякій околиці точкиM 0 (u 0 , х 0 , у 0) простору R, причому приватна похідна безперервна в точціM 0 . Тоді, якщо у точціM 0 функція F звертається в нуль, а приватна похідна не звертається в нуль, то для будь-якого досить малого позитивного числа ε, знайдеться така околиця точкиM 0 '(х 0 , у 0) простору R", що в межах цієї околиці існує єдина функціяu= φ(х, у), яка задовольняє умову |u - u 0 | < ε і є рішенням рівняння

F(u, х, у) = 0 (3)

ЗАМЕЧАННЯ 1. В умовах теореми 1 можна опустити вимогу безперервності приватної похідної у точці M 0 Але тоді доведеться додатково зажадати, щоб ця похідна не зверталася в нуль не тільки в самій точці M 0 , Але й у певній околиці цієї точки і зберігала певний знак у цій околиці.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМИ 1.

1.Насамперед доведемо, що для досить малого ε>0 в околиці точкиM 0 '(х 0, у 0) існує єдина функціяu= φ(х, у), яка задовольняє умову |u - u 0 | < ε і є рішенням рівняння (3). Щоб зробити доказ наочнішим, супроводжуватимемо його геометричною ілюстрацією. З аналітичної геометріївідомо, що рівняння (3) визначає у просторі Rдеяку поверхню S(рис. 2), причому, через умови F(M 0 ) = 0 , точка, крапка M 0 лежить на цій поверхні. З геометричної точкизору однозначна роздільність рівняння (3) щодо uозначає, що частина поверхні S, що лежить у безпосередній близькості до точки M 0 , може бути однозначно спроектована на координатну площину Оху.

Заради визначеності вважатимемо, що приватна похідна позитивна у точці M 0 . Тоді з безперервності зазначеної похідної в M 0 та з теореми про стійкість знака безперервної функціївипливає, що знайдеться така околиця точки M 0 , всюди в межах якої позитивна . Це околиця ми можемо взяти у вигляді кулі Ω досить малого радіусу з центром у точці M 0 . Фіксуємо далі додатне число ε настільки малим, щоб кожна з точок M 1 (u 0 - ε, х 0 , у 0)і M 2 (u 0 + ε, х 0, у 0)лежала всередині кулі Ω (для цього достатньо взяти ε меншим радіусу кулі Ω). Підкреслимо, що при цьому знизу ε обмежено лише банкрутом, і ми можемо брати його як завгодно малим – це буде використано нами нижче.

Розглянемо функцію F(u, х 0 , у 0)однією змінною на сегменті u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε . З геометричної точки зору це означає, що ми розглядаємо функцію трьох змінних F(u, х, у)вздовж відрізка М 1 М 2(Рис. 2). Оскільки похідна (u, х 0 , у 0)позитивна на сегменті u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε то функція F(u, х 0 , у 0) зростає у цьому сегменті. Але тоді, оскільки ця функція дорівнює нулю всередині зазначеного сегмента (тобто при u = u 0 ), то F(u, х 0 , у 0) має від'ємне значенняна лівому кінці і позитивне значення правому кінці зазначеного сегмента, тобто.

F(M 1 ) < 0, F(M 2) > 0

Далі розглянемо функції F(u - ε, х, у)і F(u + ε, х, у)двох змінних хі у, Т. е., висловлюючись геометричним мовою, розглянемо функцію F(u, х, у)на двох площинах, паралельних координатній площині Оху, перша з яких проходить через точку M 1 а друга - через точку M 2 . Оскільки F(M 1 ) < 0, F(M 2 ) > 0 та функція F(u, х, у)безперервна усюди в кулі Ω, то за теоремою про стійкість знака безперервної функції на зазначених площинах знайдуться такі околиці точок M 1 і M 2 , в межах яких функція Fзберігає ті самі знаки, що й у точках M 1 і M 2 . Ці околиці ми можемо взяти у вигляді відкритих квадратів із центрами у точках M 1 і M 2 і з малою стороною 2δ (на рис. 2 зазначені квадрати заштриховані). Аналітично той факт, що функція F(u, х, у)зберігає постійний знакна зазначених квадратах, що виражається нерівностями

F(u 0 - ε, х, у)< 0

При | x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ (4)

F(u 0 + ε, х, у) > 0

Вибір сторони зазначених квадратів ми підпорядкуємо ще одній умові: візьмемо δ настільки малим, щоб обидва зазначені квадрати лежали всередині кулі Ω (це свідомо можна зробити, бо центри квадратів M 1 і M 2 є внутрішніми точками кулі Ω). За такого вибору δ будь-яка точка простору (u, х, у)координати якої задовольняють нерівності

| x - x 0 |< δ , | y – y 0 |< δ , | u - u 0 |< ε (5)

лежатиме всередині кулі Ω. З геометричної точки зору нерівності (5) визначають відкритий прямокутний паралелепіпедз центром у точці M 0 та зі сторонами, паралельними осям координат uх, уі відповідно рівними 2?, 2? і 2?. Цей паралелепіпед ми позначатимемо символом П. Так як паралелепіпед П лежить усередині кулі Ω, то всюди в паралелепіпеді П (включаючи відкриті квадрати, що лежать у його підставах) похідна позитивна . Крім того, через нерівності (4), функція F( u , х, у) негативна на нижній підставі і позитивна на верхній підставі П .

Доведемо тепер, що рівняння (3) однозначно можна розв'язати щодо u, якщо функцію F(u, х, у)розглядати лише для значень uх, у, що лежать усередині паралелепіпеда П. Уяснимо, що потрібно довести. Нехай M'(х, у) -будь-яка точка простору R"координати якої задовольняють нерівності

| x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ (6)

Інакше кажучи, нехай M'(х, у)- будь-яка точка площини Оху, що лежить всередині квадрат з центром в точці M 0 '(х 0, у 0)та зі сторонами, рівними 2δ. Потрібно довести, що для координат х, украпки М"знайдеться, і до того ж єдине , число uз інтервалу u 0 – ε < u < u 0 + ε таке, що F(u, х, у) = 0. (З геометричної точки зору це означає, що будь-яка пряма, паралельна осі uі перетинає паралелепіпед П, перетинає поверхню Sвсередині паралелепіпеда П тільки в одній точці.)

Зафіксувавши значення хі у, що задовольняють нерівності (6), розглянемо функцію F(u, х, у)аргументу uна сегменті u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε , тобто розглянемо функцію F(u, х, у)на відрізку M 1 ’ M 2 ’ де M 1 ’ і M 2 ’ - Точки перетину прямий, що проходить через точку M'(х, у)і паралельної осі Ou, З основами паралелепіпеда П(див. рис. 2). Оскільки похідна (u, х, у)позитивна на сегменті u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε , то функція F(u, х, у)зростає на цьому сегменті (або, що те саме, зростає на відрізку M 1 ’ M 2 ’ ). Але тоді з умов F(M 1 ’) < 0, F(M 2 ’) > 0 випливає, що всередині сегмента u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε знайдеться одне єдине значення uтаке, що F(u, х, у) = 0(або, висловлюючись геометрично, усередині відрізка M 1 ’ M 2 ’ знайдеться єдина точка М, що лежить на поверхні S).

Нехай тепер функція u= φ(х, у)символізує те правило, за допомогою якого кожній точці M'(х, у)з околиці (6) ставиться у відповідність однина uз інтервалу u 0 – ε < u < u 0 + ε, для котрого F(u, х, у) = 0. Ми довели, що на околиці (6) існує єдина функція u= φ(х, у), що задовольняє умову | u – u 0 | < ε і є розв'язком рівняння (3).

2.Докажемо тепер, що функція u = φ(х, у) безперервна в будь-якій точці M '(х, у) околиці (6) . Тому що для будь-якої точки M'(х, у)з околиці (6) виконані ті ж умови (а саме будь-якій точці M '(х, у) з околиці (6) відповідає точка M(u, х, у)простору Rтака, що функція F(u, х, у)звертається в нуль у точці М, що диференціюється в околиці точки Мі має в цьому околиці відмінну від нуля приватну похідну ), що і для точки M 0 '(х 0, у 0), то достатньо довести безперервність функції u= φ(х, у)лише у точці M 0 '(х 0, у 0). Потрібно довести, що для будь-якого досить малого позитивного ε існує позитивна кількість δ таке, що для будь-яких хі у, що задовольняють нерівності | x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ , справедлива нерівність | u – u 0 | < ε де u= φ(х, у), u 0 = φ(х 0, у 0). Якщо взяти як ε то число, яке вибрано вище під час розгляду пункту 1, то існування δ забезпечується нерівностями (5). Залишається зауважити, що в міркуваннях пункту 1 позитивне число може бути взяте як завгодно малим (Це зазначалося у пункті 1).

3. Залишається довести диференційність функції u= φ(х, у)у будь-якій точці M'(х, у)околиці (6). В силу зауваження, зробленого у пункті 2, достатньо довести диференційність функції u= φ(х, у)у самій точці M 0 '(х 0, у 0). Щоб це зробити, обчислимо повне збільшення Δ uфункції u= φ(х, у)у точці M 0 '(х 0, у 0) Δ xі Δ y. Оскільки F(u 0 , х 0, у 0) = 0і F(u 0 + Δ uх 0 + Δx, у 0 + Δy) = 0 , то повне збільшення Δ F функції F(u, х, у) у точці M 0 '(х 0, у 0), що відповідає збільшенням аргументів Δ u, Δ xі Δ y, одно нулю . Але через умови диференційованості функції F(u, х, у)у точці M 0 (u 0 , х 0 , у 0)це повне збільшення має вигляд

Тут всі приватні похідні , і беруться у точці M 0 (u 0 , Х 0, у 0); α, β та γ→0при

Отже, ми отримуємо

Відповідно до різницевої форми умови безперервності функції u= φ(х, у)у точці M 0 '(х 0, у 0) Δ u→ 0 при. Таким чином, можна стверджувати, що α, β та γ→0 лише за умови .

За умовою теореми приватна похідна відмінна від нуля в точці M 0 . Оскільки γ→0 при, то при досить малих Δ x та Δ y вираз не звертається в нуль . У такому разі формулу (7) можна поділити на в результаті чого ми отримаємо

За теоремою про граничне значення частки двох функцій можемо стверджувати, що

де μ і υ→0 при.

Зіставляючи формули (8) і (9), остаточно отримаємо

Формула (10) доводить диференційність функції u= φ(х, у)у точці M 0 '(х 0, у 0). Тим самим було теорема 1 повністю доведена.

2. Наведений доказ без будь-яких труднощів переноситься на випадок неявної функції, яка залежить не від двох, а від будь-якого кінцевого числааргументів x 1 , х 2 , …,x m(І, зокрема, від одного аргументу). Випадок двох аргументів хі умає лише ту перевагу, що допускає наочну геометричну ілюстрацію у просторі (u, х, у) .

2.Обчислення приватних похідних неявно заданої функції. Зупинимося на обчисленні похідних приватних функції, неявно заданої за допомогою рівняння (3). Нехай виконані умови теореми 1. Тоді для повного збільшення функції u= φ(х, у)справедливе уявлення (10). Це уявлення дозволяє стверджувати, що приватні похідні функції u= φ(х, у)визначаються формулами

Аналогічні формули справедливі й у випадку, коли неявно задана функція залежить немає від двох, як від будь-якого кінцевого числа аргументів x 1 , х 2 , …,x m. В цьому випадку (k = 1, 2, …, m)

Якщо ми хочемо забезпечити існування у неявно заданої функції u= φ(х, у)приватних похідних другого порядку, то, природно, доводиться посилити вимоги, накладені на процедуру F(u, х, у)в теоремі 1 саме доводиться додатково вимагати, щоб функція F(u, х, у)була двічі диференційована в точці, що розглядається. У цих припущеннях зупинимося на обчисленні приватних похідних другого порядку .

За правилом диференціювання складної функціїми отримаємо такі формули для зазначених повних приватних похідних:

Переходимо до обчислення похідних приватних другого порядку неявно заданої функції. Заради визначеності обчислимо похідну. Диференціюючи першу з формул (11) уі зважаючи на те, що кожна з приватних похідних і залежить від трьох аргументів uх, у, перший з яких сам є функцією хі у, будемо мати

Вставляючи в отриману формулу вираз, що визначається другий з формул (11), остаточно матимемо

Абсолютно аналогічно обчислюються приватні похідні та. Аналогічним методом можуть бути обчислені і приватні похідні третього та наступних порядків (за умови, що функція F(u, х, у)диференційована у цій точці відповідне число разів).

Приміри. 1) Обчислити приватну похідну функції u= φ(х, у), заданою за допомогою рівняння x + y + u – e - (x + y + u) = 0 .

Насамперед, користуючись формулами (11), обчислимо приватні похідні першого порядку. Далі очевидно, що = 0 .

2) Те ж питання для функції, заданої рівнянням u 2 + x 2 + y 2 - a 2 = 0 . Використовуючи формули (11), отримаємо . Далі, матимемо

3.Особливі точки поверхні та плоскої кривої.Розглянемо деяку поверхню S(плоську криву L), що визначається в заданій декартовій прямокутній системі координат рівнянням F(х, у,z)=0 (F(х, у,) = 0). Щодо функції F(х, у,z) (F(х, у,))припустимо, що вона має безперервні приватні похідні першого порядку за всіма аргументами всюди в деякій околиці будь-якої точки поверхні S(кривий L). Будемо називати цю точку поверхні S(кривий L) особливою, якщо в цій точці перетворюються на нуль всі приватні похідні першого порядку функції F(х, у,z) (F(х, у,)). В околиці особливої точки не можна застосувати до рівняння F(х, у,z)=0 (F(х, у,) = 0)теорему 1, т. е. не можна стверджувати, що це рівняння можна розв'язати хоча б щодо однієї зі змінних х, у, z (х, у). Таким чином, ділянка поверхні S(кривий L), що прилягає до особливої точки, може не допускати однозначного проектування на жодну з координатних площин(На жодну з осей координат). Структура поверхні S(кривий L) на околиці особливої точки може бути дуже складною і вимагає додаткового дослідження.

Точки поверхні S(кривий L), які не є особливими, прийнято називати звичайними . В околиці звичайної точки діє теорема 1, так що прилегла до звичайної точки ділянка поверхні S(кривий L) допускає однозначне проектування хоча б на одну з координатних площин (хоча б на одну з осей координат), що суттєво полегшує дослідження цієї ділянки.

Приміри. 1) Знайти особливі точки кругового конуса x 2 + y 2 – z 2 = 0.

Оскільки F(х, у,z) = x 2 + y 2 – z 2 , то, . Єдиною особливою точкою є початок координат. Добре відомо, що на околиці цієї точки поверхня конуса не може бути однозначно спроектована на жодну з координатних площин (рис. 15.3).

2) Те саме питання щодо плоскої кривої x 2 - y 2 + x 3 = 0 .

Приватні похідні мають вигляд, . Обидві приватні похідні перетворюються на нуль у двох точках площини. (0, 0) і (- , 0) . З цих двох точок лише перша належить аналізованої кривою, т. е. є особливою. Побудувавши криву x 2 - y 2 + x 3 = 0 на околиці точки (0, 0) Ми переконаємося в тому, що ця точка є точкою самоперетину графіка (рис. 15.4). Ясно, що на околиці цієї точки криву не можна однозначно спроектувати ні на вісь Ох, ні на вісь Оу.

4.Умови, що забезпечують існування для функції y=f(x)зворотної функції.Застосуємо теорему 1 для з'ясування умов, під час яких функція y=f(x)має в деякій околиці точки x 0 обернену функцію x=f -1 (y), визначену в деякій околиці точки y 0 , де y 0 = f(x 0). Розглянемо функцію y=f(x)як функцію, що визначається функціональним рівнянням виду F(х, y) = f(x) – у = 0.

Тоді питання про існування зворотної функції збігається з питанням розв'язання щодо хвказаного функціонального рівняння. Як наслідок теореми 1 та зауваження 1 перед доказом цієї теореми, ми отримаємо таке твердження: якщо функція y=f(x) має відмінну від нуля похідну в деякій околиці точки х 0 то для цієї функції в околиці х 0 існує зворотна функція x=f -1 (y), визначена і диференційована в околиці точки у 0 , де y 0 = f(x0). Похідна зазначеної зворотної функції у точці y 0 в силу другої з формул (11) дорівнює .

Якщо функція задана рівнянням у = ƒ (х), дозволеним щодо у, то функція задана у явному вигляді (явна функція).

Під неявним завданнямфункції розуміють завдання функції як рівняння F(x;y)=0, не дозволеного щодо у.

Будь-яку явно задану функцію у = ƒ (х) можна записати як неявно задану рівнянням ƒ (х) -у = 0, але не навпаки.

Не завжди легко, а іноді і неможливо розв'язати рівняння щодо у (наприклад, у+2х+cosy-1=0 або 2 у -х+у=0).

Якщо неявна функція задана рівнянням F(x; у)=0, то для знаходження похідної від у по х немає необхідності вирішувати рівняння щодо у: досить продиференціювати це рівняння по x, розглядаючи при цьому як функцію х,і отримане потім рівняння дозволити щодо ".

Похідна неявної функції виражається через аргумент х і функцію у.

Теорема існування та диференційованості функції, заданої неявно

Нехай функція F(x,y) задовольняє умовам

F(x 0,y 0) = 0 ;

приватні похідні F"xі F"yбезперервні в деякій околиці точки ( x 0,y 0) ;

F"y(x 0,y 0) ≠ 0 .

рівняння F(x,y) = 0 визначає неявно в деякій околиці точки x 0 єдину безперервну функцію y(x) , що задовольняє умову y(x 0) =y 0 .

функція y(x) має похідну, безперервну в околиці точки x 0 .

З'ясуємо зміст умов теореми.

Існування безперервної неявної функції y=f(x) в околиці точки ( x 0,y 0) випливає з теореми існування, оскільки:

умова 1 гарантує існування точки, координати якої задовольняють рівняння F(x,y) = 0 ;

з умови 2 випливає безперервність функції F(x,y) в околиці точки ( x 0,y 0) , а з умови 3 - її монотонність по yпри кожному фіксованому xз цієї околиці.

Отже, умови 1–3 забезпечують виконання умов існування неявної функції y(x) , яка задовольняє умову y(x 0) =y 0 і безперервної в околиці точки x 0.

Обчислення приватних похідних функцій, заданих неявно.

При виконанні відповідних умов рівняння задає неявно функцію. Це ж рівняння може задавати неявно функцію.

Похідна неявна функція. При обчисленні похідної неявної функції скористаємося правилом диференціювання складної функції. Продиференціюємо рівняння: . Звідси отримаємо формулу похідної функції, заданої неявно:. Таким же способом неважко отримати формули для приватних похідних функції декількох змінних, заданої неявно, наприклад, рівнянням :,.

Необхідні умови локального екстремуму функції кількох змінних. Локальний екстремум функцій кількох змінних. Необхідні умови для безумовного локального екстремуму.

Визначення : Нехай дана функція n-Змінних

Нехай дана точка M 0 з координатами , точка M 0 називається локальним max(min) якщо   окр точки M 0: x  окр справедливо

(x   окр ), окр називається безліч (в nмірному просторі).

Точка локальногоmaxабоminназиваються точкою екстремуму.

Необхідні умови екстремуму функції багатьох змінних.

Визначення:стаціонарної точки. Якщо функція диференційована в точці M 0 необхідною умовою існування екстремуму в цій точці є вимога її стаціонарності: