Лінійне рівняння виду ax b 0. Розв'язання простих лінійних рівнянь

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Привести подібні доданкиліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливо - рівняння звелося до конструкції $ 0 \ cdot x = 0 $. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. вірне числова рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або за підрахунком «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із самих простих завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить «ікси», переносимо в один бік, а без «іксів» — в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: мова йделише про окремих доданків. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертому кроці: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого фактудозволить вам не припускатися дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до більш складним рівнянням. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що у даного рівняннярішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що розв'язання рівнянь — це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко та грамотно виконувати прості діїпризводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження з приводу цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж доданок, то виконується це по наступному правилу: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі хотів би нагадати учням, що таке алгебраїчна сума. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми отримали остаточне рішення, Переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функціїшвидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

Система лінійних рівнянь - це поєднання з n лінійних рівнянь, кожне з яких містить змінних. Записується це так:

Багато хто, вперше зіштовхуючись із вищою алгеброю, помилково вважають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю змінних. У шкільній алгебрі так зазвичай і буває, проте для вищої алгебрице, взагалі кажучи, не так.

Рішення системи рівнянь - це послідовність чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), що рішенням кожного рівняння системи, тобто. при підстановці це рівняння замість змінних x 1 , x 2 , ..., x n дає правильну числову рівність.

Відповідно, вирішити систему рівнянь - значить знайти безліч її рішень або довести, що це безліч порожньо. Оскільки кількість рівнянь та кількість невідомих може не збігатися, можливі три випадки:

1. Система несумісна, тобто. множина всіх рішень порожня. Досить рідкісний випадок, який легко можна знайти незалежно від цього, яким методом вирішувати систему.
2. Система спільна та визначена, тобто. має одно рішення. Класичний варіант добре відомий ще зі шкільної лави.
3. Система спільна і визначено, тобто. має безліч рішень. Це найжорсткіший варіант. Недостатньо вказати, що «система має нескінченна безлічрішень» - треба описати, як влаштована ця множина.

Змінна x i називається дозволеною, якщо вона входить тільки в одне рівняння системи, причому з коефіцієнтом 1. Іншими словами, в інших рівняннях коефіцієнт при змінній x i має дорівнювати нулю.

Якщо в кожному рівнянні вибрати одну дозволену змінну, отримаємо набір дозволених змінних для всієї системи рівнянь. Сама система, записана в такому вигляді, теж називатиметься дозволеною. Взагалі кажучи, ту саму вихідну систему можна звести до різних дозволених, проте зараз нас це не хвилює. Ось приклади дозволених систем:

Обидві системи є дозволеними щодо змінних x 1 x 3 і x 4 . Втім, з тим самим успіхом можна стверджувати, що друга система - дозволена щодо x 1 , x 3 і x 5 . Достатньо переписати останнє рівняння у вигляді x 5 = x 4 .

Тепер розглянемо більше загальний випадок. Нехай у нас k змінних, з яких r є дозволеними. Тоді можливі два випадки:

1. Число дозволених змінних r дорівнює загальному числу змінних k: r = k. Отримуємо систему з k рівнянь, у яких r = k дозволених змінних. Така система є спільною та певною, т.к. x 1 = b 1 x 2 = b 2 ..., x k = b k;
2. Число дозволених змінних r менше загальної кількостізмінних k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, у наведених вище системах змінні x 2 x 5 x 6 (для першої системи) і x 2 x 5 (для другої) є вільними. Випадок, коли є вільні змінні, краще сформулювати як теореми:

Зверніть увагу: це дуже важливий момент! Залежно від того, як ви запишете підсумкову систему, та сама змінна може бути як дозволеної, і вільної. Більшість репетиторів з вищої математикирекомендують виписувати змінні лексикографічному порядку, тобто. за зростанням індексу. Однак ви зовсім не зобов'язані дотримуватися цієї поради.

Теорема. Якщо в системі з n рівнянь змінні x 1 x 2 ..., x r - дозволені, а x r + 1 x r + 2 ..., x k - вільні, то:

1. Якщо встановити значення вільним змінним (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а потім знайти значення x 1 , x 2 , ..., x r , отримаємо одне з рішень.
2. Якщо двох рішеннях значення вільних змінних збігаються, то значення дозволених змінних теж збігаються, тобто. рішення рівні.

У чому сенс цієї теореми? Щоб отримати всі рішення дозволеної системи рівнянь, достатньо виділити вільні змінні. Потім, присвоюючи вільним змінним різні значення, отримуватимемо готові рішення. Ось і все – таким чином можна отримати всі рішення системи. Інших рішень немає.

Висновок: дозволена система рівнянь завжди спільна. Якщо кількість рівнянь у дозволеній системі дорівнює кількості змінних, система буде певною, якщо менше - невизначеною.

І все б добре, але постає питання: як із вихідної системи рівнянь отримати дозволену? Для цього існує

Рівняння в математиці так само важливі, як дієслова у російській мові. Без уміння знаходити корінь рівняння, важко стверджувати, що учень засвоїв курс алгебри. До того ж для кожного виду існують свої особливі шляхи вирішення.

Що це таке?

Рівняння - це два довільні вирази, що містять змінні величини, між якими поставлено знак рівності. Причому кількість невідомих величин може бути довільною. Мінімальна кількість- Одна.

Вирішити його - це означає дізнатися, чи є корінь рівняння. Тобто число, яке перетворює його на правильну рівність. Якщо його немає, то відповіддю є твердження, що «коріння немає». Але може бути протилежне, коли відповіддю є безліч чисел.

Які види рівнянь існують?

Лінійне. Воно містить змінну, ступінь якої дорівнює одиниці.

• Квадратне. Змінна стоїть зі ступенем 2 або перетворення призводять до появи такого ступеня.
• Рівняння вищого ступеня.
• Дробно-раціональне. Коли змінна величина перебуває у знаменнику дробу.
• З модулем.
• Ірраціональне. Тобто таке, що містить корінь алгебри.

Як вирішується лінійне рівняння?

Воно є основним. До такого виду прагнуть привести решту. Так як у нього знайти корінь рівняння досить легко.

• Спочатку потрібно виконати можливі перетворення, тобто розкрити дужки та навести подібні доданки.
• Перенести всі одночлени з змінною величиноюв ліву частинурівності, залишивши вільні члени у правій.
• Навести подібні члени у кожній частині рівняння, що розв'язується.
• У рівності, що вийшла, в лівій його половині стоятиме твір коефіцієнта і змінної, а в правій - число.
• Залишилося знайти корінь рівняння, розділивши число праворуч, коефіцієнт перед невідомою.

Як знайти коріння квадратного рівняння?

Спочатку його потрібно призвести до стандартного виглядутобто розкрити всі дужки, привести подібні доданки і перенести всі одночлени в ліву частину. У правій частині рівності має залишитися лише нуль.

• Скористайтеся формулою дискримінанта. Зведіть у квадрат коефіцієнт перед невідомим зі ступенем «1». Перемножте вільний одночлен і число перед змінною у квадраті з числом 4. З отриманого квадрата відніміть твір.
• Оцініть значення дискримінанта. Він негативний – рішення закінчено, оскільки в нього коріння немає. дорівнює нулю- Відповіддю буде одне число. Позитивний – два значення у змінної.

Як розв'язати кубічне рівняння?

Спочатку знайдіть корінь рівняння x. Він визначається шляхом підбору з чисел, які є дільниками вільного члена. Цей спосіб зручно розглянути на конкретному прикладі. Нехай рівняння має вигляд: х 3 – 3х 2 – 4х + 12 = 0.

Його вільний член дорівнює 12. Тоді дільниками, які потрібно перевірити, будуть позитивні та негативні числа: 1, 2, 3, 4, 6 та 12. Перебір можна закінчити вже на числі 2. Воно дає правильну рівність у рівнянні. Тобто його ліва частина виявляється рівною нулю. Значить число 2 це перший корінь кубічного рівняння.

Тепер необхідно розділити вихідне рівняння на різницю змінної та першого кореня. У конкретному прикладі це (х – 2). Нескладне перетворення призводить чисельник до такого розкладання на множники: (х - 2) (х + 2) (х - 3). Однакові множники чисельника і знаменника скорочуються, а дві дужки, що залишилися, при розкритті дають просте квадратне рівняння: х 2 - х - 6 = 0

Тут знайдіть два корені рівняння за принципом, описаним у попередньому розділі. Ними виявляються числа: 3 та -2.

Разом, у конкретного кубічного рівняннявийшло три корені: 2, -2 та 3.

Як розв'язуються системи лінійних рівнянь?

Тут запропоновано метод виключення невідомих. Він полягає в тому, щоб висловити одну невідому через іншу в одному рівнянні та підставити цей вираз в інше. Причому рішенням системи двох рівнянь з двома невідомими завжди є пара змінних величин.

Якщо змінні позначені літерами х 1 і х 2 , можна з першої рівності вивести, наприклад, х 2 . Потім воно підставляється на другий. Проводиться необхідне перетворення: розкриття дужок та приведення подібних членів. Виходить просте лінійне рівняння, корінь якого легко обчислити.

Тепер поверніться до першого рівняння і знайдіть корінь рівняння x 2 , використовуючи рівність, що вийшла. Ці два числа є відповіддю.

Для того, щоб бути впевненим у отриманій відповіді, рекомендується завжди робити перевірку. Її необов'язково записувати.

Якщо вирішується одне рівняння, то кожен з його коренів потрібно підставити у вихідну рівність і здобути однакові числав обох його частинах. Все зійшлося – рішення правильне.

При роботі з системою коріння необхідно підставляти у кожне рішення та виконувати всі можливі дії. Виходить вірна рівність? Отже рішення правильне.

У статті розглянемо принцип розв'язання таких рівнянь як лінійні рівняння. Запишемо визначення цих рівнянь, поставимо загальний вигляд. Розберемо всі умови знаходження рішень лінійних рівнянь, використовуючи, зокрема, практичні приклади.

Звернемо увагу, що матеріал нижче містить інформацію щодо лінійних рівнянь з однією змінною. Лінійні рівнянняіз двома змінними розглядаються в окремій статті.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке лінійне рівняння

Лінійне рівняння- Це рівняння, запис якого такий:
a · x = b, де x- Змінна, aі b- Деякі числа.

Таке формулювання використано у підручнику алгебри (7 клас) Ю.М.Макаричова.

Приклад 1

Прикладами лінійних рівнянь будуть:

3 · x = 11(Рівняння з однією змінною xпри а = 5і b = 10);

− 3 , 1 · y = 0 (лінійне рівняння зі змінною y, де а = - 3, 1і b = 0);

x = − 4і − x = 5 , 37(лінійні рівняння, де число aзаписано у явному вигляді і дорівнює 1 і - 1 відповідно. Для першого рівняння b = - 4;для другого - b = 5, 37) і т.п.

В різноманітних навчальних матеріалахможуть зустрічатися різні визначення. Наприклад, Віленкін Н.Я. до лінійних відносить також ті рівняння, які можна перетворити на вигляд a · x = bза допомогою перенесення доданків з однієї частини до іншої зі зміною знака та приведення подібних доданків. Якщо слідувати такому трактуванню, рівняння 5 · x = 2 · x + 6 -також лінійне.

А ось підручник алгебри (7 клас) Мордковіча А.Г. задає такий опис:

Визначення 2

Лінійне рівняння з однією змінною x – це рівняння виду a · x + b = 0, де aі b- Деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Приклад 2

Прикладом лінійних рівнянь такого виду можуть бути:

3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 · y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Але також наведено приклади лінійних рівнянь, які ми вже використовували вище: виду a · x = bнаприклад, 6 · x = 35.

Ми відразу домовимося, що в цій статті під лінійним рівнянням з однією змінною ми розумітимемо рівняння запису a · x + b = 0, де x- Змінна; a, b – коефіцієнти. Подібна формалінійного рівняння нам бачиться найбільш виправданою, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівнянняпершого ступеня. А інші рівняння, зазначені вище, та рівняння, наведені рівносильними перетвореннями на вигляд a · x + b = 0, Визначимо, як рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь.

За такого підходу рівняння 5 · x + 8 = 0 – лінійне, а 5 · x = − 8- Рівняння, що зводиться до лінійного.

Принцип розв'язання лінійних рівнянь

Розглянемо, як визначити, чи буде задане лінійне рівняння мати коріння і, якщо так, то скільки і як його визначити.

Визначення 3

Факт наявності коренів лінійного рівняння визначаться значеннями коефіцієнтів aі b.Запишемо ці умови:

• при a ≠ 0лінійне рівняння має єдиний корінь x = - b a;
• при a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння не має коріння;
• при a = 0і b = 0лінійне рівняння має безліч коренів. По суті в даному випадкуБудь-яке число може стати коренем лінійного рівняння.

Дамо пояснення. Нам відомо, що в процесі розв'язування рівняння можливо здійснювати перетворення заданого рівняння в рівносильне йому, а значить має те ж коріння, що вихідне рівняння, або також не має коріння. Ми можемо робити наступні рівносильні перетворення:

• перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши знак на протилежний;
• помножити або розділити обидві частини рівняння на те саме число, не рівне нулю.

Таким чином, перетворимо лінійне рівняння a · x + b = 0, перенісши доданок bз лівої частини у праву частину зі зміною знака. Отримаємо: a · x = − b.

Отже, виробляємо поділ обох частин рівняння на рівне нулю число а,отримавши в результаті рівність виду x = - b a. Тобто, коли a ≠ 0 ,вихідне рівняння a · x + b = 0рівносильно рівності x = - ba , в якому очевидний корінь - ba .

Методом від протилежного можна продемонструвати, що знайдений корінь - єдиний. Задамо позначення знайденого кореня - b a як х 1 .Висловимо припущення, що є ще один корінь лінійного рівняння з позначенням х 2 .І звичайно: x 2 ≠ x 1 ,а це, у свою чергу, спираючись на визначення рівних чиселчерез різницю, рівносильно умові x 1 − x 2 ≠ 0 .З урахуванням вищесказаного ми можемо скласти такі рівності, підставивши коріння:
a · x 1 + b = 0і a · x 2 + b = 0.
Властивість числових рівностей дає можливість зробити почленное віднімання частин рівностей:

a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0, звідси: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0і далі a · (x 1 - x 2) = 0 .Рівність a · (x 1 − x 2) = 0є невірною, оскільки раніше умовою було поставлено, що a ≠ 0і x 1 − x 2 ≠ 0 .Отримана суперечність і служить доказом того, що при a ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0має лише один корінь.

Обґрунтуємо ще два пункти умов, що містять a = 0.

Коли a = 0лінійне рівняння a · x + b = 0запишеться як 0 · x + b = 0. Властивість множення числа на нуль дає нам право стверджувати, що яке б число не було взято як x, підставивши його на рівність 0 · x + b = 0отримаємо b = 0 . Рівність справедлива при b = 0; в інших випадках, коли b ≠ 0 ,рівність стає невірною.

Таким чином, коли a = 0та b = 0 , будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння a · x + b = 0, оскільки при виконанні цих умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо вірну числову рівність 0 = 0 . Коли ж a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0зовсім не матиме коріння, оскільки при виконанні зазначених умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо неправильну числову рівність b = 0.

Всі наведені міркування дають нам можливість записати алгоритм, що дає змогу знайти рішення будь-якого лінійного рівняння:

• за видом запису визначаємо значення коефіцієнтів aі bта аналізуємо їх;
• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число стане коренем заданого рівняння;
• при a = 0і b ≠ 0
• при a, відмінному від нуля, починаємо пошук єдиного кореня вихідного лінійного рівняння:

1. перенесемо коефіцієнт bу праву частину зі зміною знака на протилежний, наводячи лінійне рівняння до виду a · x = − b;
2. обидві частини отриманої рівності ділимо на число a, що дасть нам корінь заданого рівняння, що шукається: x = - b a .

Власне описана послідовність дій і є відповідь на питання, як знаходити рішення лінійного рівняння.

Насамкінець уточнимо, що рівняння виду a · x = bвирішуються за схожим алгоритмом з єдиною відмінністю, що число bу такому записі вже перенесено в потрібну частину рівняння, і при a ≠ 0можна відразу виконувати розподіл частин рівняння на число a.

Таким чином, щоб знайти рішення рівняння a · x = b,використовуємо такий алгоритм:

• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число може стати його коренем;
• при a = 0і b ≠ 0задане рівняння не матиме коріння;
• при a, не рівному нулю, обидві частини рівняння поділяються на число a, що дає можливість знайти єдиний корінь, який дорівнює b a.

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Необхідно вирішити лінійне рівняння 0 · x − 0 = 0.

Рішення

Після запису заданого рівняння бачимо, що a = 0і b = − 0(або b = 0,що те саме). Таким чином, задане рівняння може мати безліч коренів або будь-яке число.

Відповідь: x- Будь-яке число.

Приклад 4

Необхідно визначити, чи має коріння рівняння 0 · x + 2, 7 = 0.

Рішення

За записом визначаємо, що а = 0, b = 2, 7. Таким чином, задане рівняння не матиме коріння.

Відповідь:вихідне лінійне рівняння немає коренів.

Приклад 5

Задано лінійне рівняння 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 .Потрібно вирішити його.

Рішення

По запису рівняння визначаємо, що а = 0,3; b = - 0 , 027 що дозволяє нам стверджувати наявність єдиного кореня у заданого рівняння.

Наслідуючи алгоритм, переносимо b у праву частину рівняння, змінивши знак, отримуємо: 0,3 · x = 0,027.Далі розділимо обидві частини отриманої рівності на а = 0 3 тоді, x = 0 027 0 3 .

Здійснимо поділ десяткових дробів:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0, 09

Отриманий результат є коренем заданого рівняння.

Коротко рішення запишемо так:

0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .

Відповідь: x = 0,09.

Для наочності наведемо рішення рівняння запису a · x = b.

Приклад N

Задані рівняння: 1) 0 · x = 0; 2) 0 · x = − 9; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Потрібно вирішити їх.

Рішення

Усі задані рівняння відповідають запису a · x = b. Розглянемо по черзі.

У рівнянні 0 · x = 0, a = 0 і b = 0що означає: будь-яке число може бути коренем цього рівняння.

У другому рівнянні 0 · x = − 9: a = 0 і b = − 9 ,таким чином, це рівняння не матиме коріння.

По виду останнього рівняння - 3 8 · x = - 3 3 4 запишемо коефіцієнти: a = - 3 8, b = - 3 3 4, тобто. рівняння має єдиний корінь. Знайдемо його. Поділимо обидві частини рівняння на a отримаємо в результаті: x = - 3 3 4 - 3 8 . Спростимо дріб, застосувавши правило поділу негативних чисел з наступним перекладом змішаного числав звичайний дрібі розподілом звичайних дробів:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10

Коротко рішення запишемо так:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 x = 10 .

Відповідь: 1) x– будь-яке число, 2) рівняння немає коренів, 3) x = 10 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Навчитися вирішувати рівняння - це одне з головних завдань, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з найпростішого, коли воно складається з однієї невідомої, і переходячи до складніших. Якщо не засвоєно дій, які потрібно виконати з рівняннями з першої групи, буде важко розібратися з іншими.

Для продовження розмови потрібно домовитись про позначення.

Загальний вид лінійного рівняння з однією невідомою та принцип його вирішення

Будь-яке рівняння, яке може призвести до запису такого виду:

а * х = в,

називається лінійним. Це загальна формула. Але часто у завданнях лінійні рівняння записані у неявному вигляді. Тоді потрібно виконати тотожні перетворення, щоб отримати загальноприйнятий запис. До цих дій належать:

• розкриття дужок;
• переміщення всіх доданків зі змінною величиною в ліву частину рівності, а інших - у праву;
• приведення подібних доданків.

Якщо невідома величина стоїть у знаменнику дробу, потрібно визначити її значення, у яких вираз нічого очікувати мати сенсу. Інакше кажучи, потрібно дізнатися область визначення рівняння.

Принцип, яким вирішуються все лінійні рівняння, зводиться до того що, щоб розділити значення правої частини рівності на коефіцієнт перед змінної. Тобто «х» дорівнюватиме в/а.

Приватні випадки лінійного рівняння та їх вирішення

Під час міркувань можуть виникати такі моменти, коли лінійні рівняння приймають один із особливих видів. Кожен із них має конкретне рішення.

У першій ситуації:

а * х = 0, причому а ≠ 0.

Вирішенням такого рівняння завжди буде х = 0.

У другому випадку «а» набуває значення дорівнює нулю:

0 * х = 0.

Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто має нескінченну кількість коренів.

Третя ситуація виглядає так:

0 * х = в, де у ≠ 0.

Це рівняння немає сенсу. Тому що коріння, яке задовольняє йому, не існує.

Загальний вигляд лінійного рівняння із двома змінними

З його назви стає зрозумілим, що невідомих величин у ньому вже дві. Лінійні рівняння із двома зміннимивиглядають так:

а * х + в * у = с.

Оскільки в записі зустрічаються дві невідомі, то відповідь буде виглядати як пара чисел. Тобто недостатньо вказати лише одне значення. Це буде неповна відповідь. Пара величин, у яких рівняння перетворюється на тотожність, є рішенням рівняння. Причому у відповіді завжди першою записують ту змінну, яка йде раніше за абеткою. Іноді кажуть, що ці числа йому задовольняють. Причому таких пар може бути безліч.

Як вирішити лінійне рівняння із двома невідомими?

Для цього потрібно просто підібрати будь-яку пару чисел, яка виявиться правильною. Для простоти можна прийняти одну з невідомих рівною якомусь простому числу, а потім знайти другу.

При вирішенні часто доводиться виконувати дії спрощення рівняння. Вони називаються тотожними перетвореннями. Причому для рівнянь завжди справедливі такі властивості:

• кожне доданок можна перенести на протилежну частину рівності, замінивши в нього знак на протилежний;
• ліву та праву частини будь-якого рівняння дозволено ділити на одне й те саме число, якщо воно не дорівнює нулю.

Приклади завдань із лінійними рівняннями

Перше завдання.Розв'язати лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15)/(х + 3) = 4.

У рівнянні, яке йде в цьому списку першим, досить просто виконати поділ 20 на 4. Результат дорівнюватиме 5. Це і є відповідь: х=5.

Третє рівняння вимагає, щоб було виконано тотожне перетворення. Воно полягатиме у розкритті дужок та приведенні подібних доданків. Після першої дії рівняння набуде вигляду: 8х - 8 + 2х = 8 - 4х. Потім треба перенести всі невідомі до лівої частини рівності, а решта — до правої. Рівняння виглядатиме так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. Після приведення подібних доданків: 14х = 16. Тепер воно виглядає так само, як і перше, і рішення його легко. Відповіддю буде х = 8/7. Але в математиці потрібно виділяти цілу частину з неправильного дробу. Тоді результат перетвориться, і «х» дорівнюватиме одній цілій і одній сьомій.

У решті прикладів змінні перебувають у знаменнику. Це означає, що спочатку потрібно дізнатися, за яких значень рівняння визначені. Для цього потрібно виключити числа, за яких знаменники звертаються до нуля. У першому прикладі це «-4», у другому воно «-3». Тобто ці значення слід виключити з відповіді. Після цього потрібно помножити обидві частини рівності на вирази у знаменнику.

Розкривши дужки та навівши подібні доданки, у першому з цих рівнянь вийде: 5х + 15 = 4х + 16, а у другому 5х + 15 = 4х + 12. Після перетворень рішенням першого рівняння буде х = -1. Друге виявляється рівним "-3", це означає, що останнє рішень не має.

Друге завдання.Розв'язати рівняння: -7х + 2у = 5.

Припустимо, що перша невідома х = 1, тоді рівняння набуде вигляду -7 * 1 + 2у = 5. Перенісши в праву частину рівності множник «-7» і змінивши у нього знак на плюс, вийде, що 2у = 12. Значить, у =6. Відповідь: одне з розв'язків рівняння х = 1, у = 6.

Загальний вигляд нерівності з однією змінною

всі можливі ситуаціїдля нерівностей представлені тут:

• а * х > в;
• а*х< в;
• а * х ≥в;
• а * х ≤ ст.

Загалом воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.

Правила тотожних перетворень нерівності

Так само як лінійні рівняння та нерівності можна видозмінювати за певними законами. Вони зводяться до наступного:

1. до лівої та правою частинаминерівності можна додати будь-яке буквене або числове вираз, причому знак нерівності залишиться тим самим;
2. також можна і помножити або розділити на те саме додатне число, Від цього знову знак не змінюється;
3. при множенні або розподілі на те саме від'ємне числорівність залишиться вірною за умови зміни знака нерівності на протилежний.

Загальний вигляд подвійних нерівностей

У завданнях можуть бути такі варіанти нерівностей:

• в< а * х < с;
• в ≤ а * х< с;
• в< а * х ≤ с;
• у ≤ а * х ≤ с.

Подвійними воно називається, тому що обмежене знаками нерівності із двох сторін. Воно вирішується з допомогою тих самих правил, як і звичайні нерівності. І знаходження відповіді зводиться до ряду тотожних перетворень. Поки що не буде отримано найпростіше.

Особливості вирішення подвійних нерівностей

Першою є його зображення на координатної осі. Використовувати цей спосіб для простих нерівностейнемає необхідності. А ось у складних випадкахможе бути просто необхідним.

Для зображення нерівності слід зазначити на осі всі точки, які вийшли під час міркувань. Це і неприпустимі значення, Що позначаються виколотими точками, і значення з нерівностей, що виявилися після перетворень. Тут також важливо правильно намалювати крапки. Якщо нерівність сувора, тобто< или >, то ці значення виколоті. У несуворих нерівностях точки потрібно зафарбовувати.

Потім слід позначити сенс нерівностей. Це можна зробити за допомогою штрихування або дуг. Їхнє перетинання вкаже відповідь.

Друга особливість пов'язані з його записом. Тут пропонується два варіанти. Перший – це остаточна нерівність. Другий – у вигляді проміжків. Ось із ним буває, що виникають труднощі. Відповідь проміжками завжди виглядає як змінна зі знаком приналежності та дужок із числами. Іноді проміжків виходить кілька, тоді між дужками потрібно написати символ "і". Ці знаки виглядають так: ∈ та ∩. Дужки проміжків теж грають свою роль. Кругла ставиться тоді, коли точку виключено із відповіді, а прямокутна включає це значення. Знак нескінченності завжди стоїть у круглій дужці.

Приклади розв'язання нерівностей

1. Вирішити нерівність 7 - 5х ≥ 37.

Після нескладних перетворень виходить: -5х ≥ 30. Розділивши на «-5» можна отримати такий вираз: х ≤ -6. Це вже відповідь, але її можна записати і по-іншому: х∈(-∞;-6).

2. Вирішіть подвійна нерівність -4 < 2x + 6 ≤ 8.

Спочатку потрібно скрізь відняти 6. Вийде: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].