Як визначити координати точки перетину прямих. Точка перетину двох прямих – визначення (методична технологія)

Тема 3. Теорія

Аналітична геометрія у просторі.

Рівняння площини та прямої лінії.

 Загальне рівняння площині є рівнянням алгебри першого порядку щодо координат (x; y; z)

- нормаль , вектор перпендикулярні площині.

Умови паралельності та перпендикулярності площин визначаються умовами колінеарності та перпендикулярності нормалей.

Деякі стандартні види рівнянь площини:

Власне, рівняння площини будуть отримані, якщо розкрити відповідний визначник по першому рядку.

 Формула для обчислення відстанівід заданої точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) до площині, заданою рівнянням Ах+By+ Cz+ D=0 :

.

Очевидно, якщо d=0 , то крапка М 1 належить площині.

 Пряма лінія у просторі визначається як лінія перетину двох не паралельних площин (будь-яких, що проходять через пряму).

Види рівнянь прямої у просторі:

Умови паралельності та перпендикулярності прямих у просторі визначаються як умови відповідно до колінеарності та перпендикулярності їх напрямних векторів. Нехай прямі (1) та (2) задані в канонічному або параметричному вигляді, тоді

.

 Умова перетину двох прямих у просторі – це умова комплонарності трьох векторів:

 Перехід від загальних рівнянь прямий до рівнянь у канонічному чи параметричному вигляді здійснюється так (можливий і зворотний перехід).

Задані рівняння прямої у загальному вигляді:
.

Знайдемо координати напрямного вектора:
як векторний витвірнормалей площин, що задають пряму.

Знайдемо будь-якуточку, що належить прямий. Вона також належить обом площинам, що задають пряму, тому її координати (x 0 , y 0 , z 0) можна знайти із системи рівнянь:

,

в якій одну з координат треба задати довільно (бо знаходимо будь-якуточку), але так, щоб система мала єдине рішення. Координати вектора і знайденої точки підставлять у канонічні чи параметричні рівняння.

Умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини формулюють як умови перпендикулярності та паралельності нормалі та напрямного вектора.

Для того, щоб вирішити геометричне завданняметодом координат, необхідна точка перетину, координати якої використовуються під час вирішення. Виникає ситуація, коли потрібно шукати координати перетину двох прямих на площині або визначити координати тих самих прямих у просторі. Ця стаття розглядає випадки знаходження координат точок, де перетинаються задані прямі.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необхідно дати визначення точок перетину двох прямих.

Розділ взаємного розташуванняпрямих на площині показує, що вони можуть збігатися, бути паралельними, перетинатися в одній спільній точці або схрещуються. Дві прямі, що знаходяться в просторі, називають перетинаються, якщо вони мають одну загальну точку.

Визначення точки перетину прямих звучить так:

Визначення 1

Крапка, в якій перетинаються дві прямі, називають їх точкою перетину. Інакше кажучи, що точка прямих, що перетинаються, і є точка перетину.

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Перед знаходженням координат точки перетину двох прямих, необхідно розглянути наведений нижче приклад.

Якщо площині є система координат О х у, то задаються дві прямі a і b . Прямий a відповідає загальне рівняннявиду A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 для прямий b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тоді M 0 (x 0 , y 0) є деякою точкою площини необхідно виявити, чи точка М 0 буде точкою перетину цих прямих.

Щоб вирішити поставлене завдання, необхідно дотримуватись визначення. Тоді прямі повинні перетинатися в точці, координати якої є розв'язуванням заданих рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Отже, координати точки перетину підставляються у всі задані рівняння. Якщо вони при підстановці дають правильне тотожність, тоді M 0 (x 0 y 0) вважається їх точкою перетину.

Приклад 1

Дані дві прямі, що перетинаються 5 x - 2 y - 16 = 0 і 2 x - 5 y - 19 = 0 . Чи точка М 0 з координатами (2 - 3) бути точкою перетину.

Рішення

Щоб перетин прямих був дійсним, необхідно, щоб координати точки М 0 задовольняли рівнянь прямих. Це перевіряється за допомогою їхньої підстановки. Отримуємо, що

5 · 2 - 2 · (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 · 2 - 5 · (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Обидві рівності вірні, отже М 0 (2 - 3) є точкою перетину заданих прямих.

Зобразимо дане рішенняна координатному прямому рисунку, наведеному нижче.

Відповідь:задана точказ координатами (2 , - 3) буде точкою перетину заданих прямих.

Приклад 2

Чи перетнуться прямі 5 x + 3 y - 1 = 0 і 7 x - 2 y + 11 = 0 у точці M 0 (2 , - 3) ?

Рішення

Для вирішення задачі необхідно підставити координати точки на всі рівняння. Отримаємо, що

5 · 2 + 3 · (-3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 · 2 - 2 · (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Друге рівність перестав бути вірним, отже, що задана точка належить прямий 7 x - 2 y + 11 = 0 . Звідси маємо, що точка М0 не точка перетину прямих.

Креслення наочно показує, що М 0 - це точка перетину прямих. Вони мають спільну точку з координатами (-1, 2).

Відповідь:точка з координатами (2 - 3) не є точкою перетину заданих прямих.

Переходимо до знаходження координат точок перетину двох прямих за допомогою заданих рівнянь на площині.

Задаються дві прямі, що перетинаються, a і b рівняннями виду A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , розташованих в О х у. При позначенні точки перетину М 0 отримаємо, що слід продовжити пошук координат за рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

З визначення очевидно, що М0 є загальною точкою перетину прямих. У цьому випадку її координати повинні задовольняти рівнянням A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 та A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Іншими словами, це і є рішення отриманої системи A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Отже, для знаходження координат точки перетину, необхідно всі рівняння додати до системи та розв'язати її.

Приклад 3

Задано дві прямі x - 9 y + 14 = 0 і 5 x - 2 y - 16 = 0 на площині. необхідно знайти їх перетин.

Рішення

Дані за умовою рівняння необхідно зібрати в систему, після чого отримаємо x - 9 y + 14 = 05 x - 2 y - 16 = 0 . Щоб вирішити його, дозволяється перше рівняння щодо x, підставляється вираз у друге:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 · 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Числа є координатами, які необхідно було знайти.

Відповідь: M 0 (4 2) є точкою перетину прямих x - 9 y + 14 = 0 і 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Пошук координат зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь. Якщо за умовою дано інший вид рівняння, слід привести його до нормального вигляду.

Приклад 4

Визначити координати точок перетину прямих x - 5 = y - 4 - 3 та x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Рішення

Для початку необхідно привести рівняння до загального вигляду. Тоді отримуємо, що x = 4 + 9 · y = 2 + λ , λ ∈ R перетворюється таким чином:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Після чого беремося за рівняння канонічного вигляду x - 5 = y - 4 - 3 і перетворимо. Отримуємо, що

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 · x = - 5 · y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Звідси маємо, що координати – точка перетину

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Застосуємо метод Крамера для знаходження координат:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Відповідь: M 0 (- 5, 1).

Є ще спосіб знаходження координат точки перетину прямих, що є на площині. Він застосовується, коли одна з прямих задається параметричними рівняннями, що мають вигляд x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тоді замість значення x підставляється x = x 1 + a x · λ і y = y 1 + a y · λ де отримаємо λ = λ 0 , відповідне точціперетину, що має координати x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Приклад 5

Визначити координати точки перетину прямої x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R та x - 5 = y - 4 - 3 .

Рішення

Необхідно виконати підстановку в x - 5 = y - 4 - 3 виразом x = 4 + 9 · λ , y = 2 + λ тоді отримаємо:

4 + 9 · λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

При рішенні отримуємо, що = - 1 . Звідси випливає, що є точка перетину між прямими x = 4 + 9 · y = 2 + λ , ∈ R і x - 5 = y - 4 - 3 . Для обчислення координат необхідно підставити вираз λ = - 1 параметричне рівняння. Тоді отримуємо, що x = 4 + 9 · (-1) y = 2 + (-1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Відповідь: M 0 (- 5, 1).

Для повного розуміння теми необхідно знати деякі нюанси.

Попередньо необхідно зрозуміти розташування прямих. При їхньому перетині ми знайдемо координати, в інших випадках рішення існувати не буде. Щоб не робити цю перевірку, можна складати систему виду A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 За наявності рішення робимо висновок про те, що прямі перетинаються. Якщо рішення відсутнє, то вони паралельні. Коли система має нескінченна безлічрішень, тоді кажуть, що вони збігаються.

Приклад 6

Дано прямі x 3 + y - 4 = 1 і y = 4 3 x - 4 . Визначити, чи мають вони спільну точку.

Рішення

Спрощуючи задані рівняння, отримуємо 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 і 43 x - y - 4 = 0 .

Слід зібрати рівняння до системи для наступного рішення:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Звідси видно, що рівняння виражаються один через одного, тоді отримаємо безліч рішень. Тоді рівняння x 3 + y - 4 = 1 і y = 4 3 x - 4 визначають одну й ту саму пряму. Тому немає точок перетину.

Відповідь:задані рівняння визначають одну й ту саму пряму.

Приклад 7

Знайти координати точки прямих, що перетинаються 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 і 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Рішення

За умовою можливо таке, що прямі не будуть перетинатися. Необхідно скласти систему рівнянь та вирішувати. Для вирішення необхідно використовувати метод Гаусса, оскільки за його допомогою можна перевірити рівняння на сумісність. Отримуємо систему виду:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Здобули неправильну рівність, отже система не має рішень. Робимо висновок, що прямі є паралельними. Точок перетину немає.

Другий спосіб розв'язання.

Спочатку необхідно визначити наявність перетину прямих.

n 1 → = (2 , 2 - 3) є нормальним вектором прямої 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 тоді вектор n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - нормальний вектор для прямої 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Необхідно виконати перевірку колінеарності векторів n 1 → = (2 , 2 - 3) та n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Отримаємо рівність виду 22 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Воно правильне, оскільки 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Звідси випливає, що вектори колінеарні. Значить, прямі є паралельними і немає точок перетину.

Відповідь:точок перетину немає, прямі паралельні.

Приклад 8

Знайти координати перетину заданих прямих 2 x - 1 = 0 та y = 5 4 x - 2 .

Рішення

Для вирішення складаємо систему рівнянь. Отримуємо

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Знайдемо визначник основної матриці. Для цього 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Бо він не дорівнює нулю, система має 1 рішення. Звідси випливає, що прямі перетинаються. Вирішимо систему для знаходження координат точок перетину:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Отримали, що точка перетину заданих прямих має координати M 0 (1 2 - 11 8) .

Відповідь: M 0 (1 2 - 11 8) .

Знаходження координат точки перетину двох прямих у просторі

Так само знаходяться точки перетину прямих простору.

Коли задані прямі a і b координатної площиниО х у z рівняннями площин, що перетинаються, то є пряма a , яка може бути визначена за допомогою заданої системи A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 а пряма b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Коли точка М 0 є точкою перетину прямих, її координати повинні бути рішеннями обох рівнянь. Отримаємо лінійні рівнянняв системі:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Розглянемо такі завдання на прикладах.

Приклад 9

Знайти координати точки перетину заданих прямих x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 та 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Рішення

Складаємо систему x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 і розв'яжемо її. Щоб знайти координати, потрібно вирішувати через матрицю. Тоді отримаємо основну матрицю виду A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 і розширену T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Визначаємо ранг матриці за Гаусом.

Отримуємо, що

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Звідси випливає, що ранг розширеної матриці має значення 3 . Тоді система рівнянь x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 27 – 4 = 0 у результаті дає лише одне рішення.

Базисний мінор має визначник 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 тоді останнє рівняння не підходить. Отримаємо, що x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y -3. Розв'язання системи x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 · 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Отже, маємо, що точка перетину x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 і 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 має координати (1, - 3, 0).

Відповідь: (1 , - 3 , 0) .

Система виду A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 має лише одне рішення. Значить, прямі a та b перетинаються.

В інших випадках рівняння не має рішення, тобто і загальних точоктеж. Тобто неможливо знайти точку з координатами, оскільки її немає.

Тому система виду A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 вирішується методом Гаусса. За її несумісності прямі перетинаються. Якщо рішень безліч, то вони збігаються.

Можна зробити рішення за допомогою обчислення основного та розширеного рангу матриці, після чого застосувати теорему Кронекера-Капеллі. Отримаємо одну, множину або повну відсутність рішень.

Приклад 10

Задані рівняння прямих x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 і x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Знайти точку перетину.

Рішення

Для початку складемо систему рівнянь. Отримаємо, що x + 2 y – 3 z – 4 = 0 2 x – y + 5 = 0 x – 3 z = 0 3 x – 2 y + 2 z – 1 = 0 . вирішуємо її методом Гауса:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Вочевидь, що система немає рішень, отже прямі не перетинаються. Крапки перетину немає.

Відповідь:немає точки перетину.

Якщо прямі задані за допомогою кононічних або параметричних рівнянь, потрібно привести до вигляду рівнянь площин, що перетинаються, після чого знайти координати.

Приклад 11

Задано дві прямі x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R та x 2 = y - 3 0 = z 5 в О х у z . Знайти точку перетину.

Рішення

Задаємо прямі рівняннями двох площин, що перетинаються. Отримуємо, що

x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Знаходимо координати 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 для цього порахуємо ранги матриці. Ранг матриці дорівнює 3 , а базисний мінор 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 означає, що з системи необхідно виключити останнє рівняння. Отримуємо, що

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Вирішимо систему методом Крамер. Отримуємо, що x = – 2 y = 3 z = – 5 . Звідси отримуємо, що перетин заданих прямих дає точку з координатами (- 2, 3, - 5).

Відповідь: (- 2 , 3 , - 5) .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Продовжимо знайомитись з геометричними алгоритмами. На минулому уроці ми виявили рівняння прямої лінії за координатами двох точок. У нас вийшло рівняння виду:

Сьогодні ми напишемо функцію, яка за рівняннями двох прямих ліній знаходитиме координати їхньої точки перетину (якщо така є). Для перевірки рівності дійсних чисел будемо використовувати спеціальну функцію RealEq().

Крапки на площині описуються парою дійсних чисел. При використанні речового типу операції порівняння краще оформити спеціальними функціями.

Причина відома: на типі Real у системі програмування Паскаль немає відношення порядку, тому записи виду a = b, де a і b речові числакраще не використовувати.
Сьогодні ми введемо у вжиток функцію RealEq() для реалізації операції “=” (суворо одно):

Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (Строго одно) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Завдання. Встановлено рівняння двох прямих: і . Знайти точку їхнього перетину.

Рішення. Очевидне рішення полягає в тому, щоб розв'язати систему рівнянь прямих: Давайте перепишемо цю систему дещо інакше:
(1)

Введемо позначення: , , . Тут D - визначник системи, а - визначники, що виходять в результаті заміни стовпця коефіцієнтів за відповідним невідомим стовпцем вільних членів. Якщо , то система (1) є певною, тобто має єдине рішення. Це рішення можна знайти за такими формулами: , , які називаються формулами Крамера. Нагадаю, як обчислюється визначник другого порядку. У визначнику розрізняють дві діагоналі: головну та побічну. Головна діагональ складається з елементів, взятих у напрямку від лівого верхнього кута визначника в нижній правий кут. Побічна діагональ – з правого верхнього до нижнього лівого. Визначник другого порядку дорівнює добутку елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі.

У програмному коді для перевірки перевірки рівності використовується функція RealEq(). Обчислення над речовими числами виробляються з точністю до _Eps = 1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real = 1e-7; (точність обчислень) var a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d, dx, dy: Real; Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (Строго одно) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Ми склали програму, за допомогою якої можна, знаючи рівняння ліній, знайти координати їхньої точки перетину.

Якщо прямі перетинаються у точці, її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння однієї прямої.
2) Скласти рівняння другої прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

приклад 13.

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Точку перетину доцільно шукати аналітичним методом Вирішимо систему:

Відповідь:

П.6.4. Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

приклад 14.

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все що потрібно - акуратно підставити числа у формулу та провести обчислення:

Відповідь:

П.6.5. Кут між прямими.

приклад 15.

Знайти кут між прямими.

1. Перевіряємо перпендикулярні прямі:

Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.
2. Кут між прямими знайдемо за допомогою формули:

Таким чином:

Відповідь:

Криві другого порядку. Окружність

Нехай на площині задана прямокутна система координат 0ху.

Кривий другого порядкуназивається лінія на площині, що визначається рівнянням другого ступеня щодо поточних координат точки М(х, у, z). У загальному випадку це рівняння має вигляд:

де коефіцієнти А, У, З, D, E, L – будь-які дійсні числа, причому хоча б одне з чисел А, B, З на відміну від нуля.

1.Окружністюназивається безліч точок на площині, відстань від яких до фіксованої точки М 0 (х 0 , у 0) постійно і дорівнює R. Точка М 0 називається центром кола, а число R - її радіусом

– рівняння кола з центром у точці М 0 (х 0 , у 0) та радіусом R.

Якщо центр кола збігається з початком координат, маємо:

– канонічне рівняння кола.

Еліпс.

Еліпсомназивається безліч точок на площині, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок є постійна величина (причому ця величина більше відстаней між даними точками). Дані точки називаються фокусами еліпса.

- Канонічне рівняння еліпса.

Ставлення називається ексцентриситетомеліпса і позначається: , . Оскільки , то< 1.

Отже, зі зменшенням ставлення прагне 1, тобто. b мало відрізняється від а і форма еліпса стає ближчою до форми кола. У граничному випадку при , Виходить коло, рівняння якого є

х 2 + у 2 = а2.

Гіперболу

Гіперболоюназивається безліч точок на площині, кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней до двох даних точок, званих фокусами, є величина постійна (за умови, що ця величина менша за відстань між фокусами і не дорівнює 0).

Нехай F 1 , F 2 – фокуси, відстань між ними позначимо через 2с параметром параболи).

- канонічне рівняння параболи.

Зауважимо, що рівняння при негативному р також визначає параболу, яка буде розташована зліва від осі 0у. Рівняння описує параболу, симетричну щодо осі 0у, що лежить вище осі 0х при р > 0 і лежить нижче осі 0х при р< 0.