Графік функції натурального логарифму x. Властивості логарифмів та приклади їх рішень

Логарифмом числа b на підставі а називається показник ступеня, який потрібно звести число а щоб отримати число b.

Якщо то .

Логарифм - вкрай важлива математична величина , оскільки логарифмічне обчислення дозволяє не лише вирішувати показові рівняння, але й оперувати з показниками, диференціювати показові та логарифмічні функції, Інтегрувати їх і приводити до більш прийнятного виду, що підлягає розрахунку.

Вконтакте

Усі властивості логарифмів пов'язані безпосередньо з властивостями показових функцій. Наприклад, той факт, що означає, що:

Слід зауважити, що при вирішенні конкретних завдань, властивості логарифмів можуть виявитися більш важливими та корисними, ніж правила роботи зі ступенями.

Наведемо деякі тотожності:

Наведемо основні вирази алгебри:

;

.

Увага!може існувати тільки за x>0, x≠1, y>0.

Намагатимемося розібратися з питанням, що таке натуральні логарифми. Окремий інтерес у математиці представляють два види— перший має в основі число «10», і зветься «десятковий логарифм». Другий називається натуральним. Основа натурального логарифму - число "е". Саме про нього ми і детально говоритимемо в цій статті.

Позначення:

• lg x - десятковий;
• ln x - натуральний.

Використовуючи тотожність, можна побачити, що ln e = 1, як і те, що lg 10=1.

Графік натурального логарифму

Побудуємо графік натурального логарифму стандартним класичним способом за точками. За бажання, перевірити, чи правильно ми будуємо функцію, можна за допомогою дослідження функції. Однак, є сенс навчитися будувати його «вручну», щоб знати, як правильно порахувати логарифм.

Функція: y = ln x. Запишемо таблицю точок, якими пройде графік:

Пояснимо, чому ми вибрали саме такі значення аргументу х. Вся річ у тотожності: . Для натурального логарифму ця тотожність виглядатиме таким чином:

Для зручності ми можемо взяти п'ять опорних точок:

;

;

.

;

.

Таким чином, підрахунок натуральних логарифмів - досить нескладне заняття, більше того, він спрощує підрахунки операцій зі ступенями, перетворюючи їх на звичайне множення.

Побудувавши за точками графік, отримуємо приблизний графік:

Область визначення натурального логарифму (тобто все допустимі значенняаргументу Х) — усі числа більші за нуль.

Увага!До області визначення натурального логарифму входять тільки позитивні числа! До області визначення не входить х=0. Це неможливо виходячи з умов існування логарифму.

Область значень (тобто усі допустимі значення функції y = ln x) — усі числа в інтервалі .

Межа натурального log

Вивчаючи графік, виникає питання - як поводиться функція при y<0.

Очевидно, що графік функції прагне перетнути вісь, але не зможе цього зробити, оскільки натуральний логарифм при х<0 не существует.

Межа натуральної logможна записати таким чином:

Формула заміни основи логарифму

Мати справу з натуральним логарифмом набагато простіше, ніж з логарифмом, що має довільну основу. Саме тому спробуємо навчитися приводити будь-який логарифм до натурального, або висловлювати його по довільній основі через натуральні логарифми.

Почнемо з логарифмічної тотожності:

Тоді будь-яке число, або змінну можна представити у вигляді:

де х - будь-яке число (позитивне згідно з властивостями логарифму).

Даний вираз можна прологарифмувати з обох боків. Зробимо це за допомогою довільної основи z:

Скористаємося властивістю (тільки замість «с» у нас вираз):

Звідси отримуємо універсальну формулу:

.

Зокрема, якщо z=e, тоді:

.

Нам вдалося уявити логарифм з довільної основи через відношення двох натуральних логарифмів.

Вирішуємо завдання

Щоб краще орієнтуватися в натуральних логарифмах, розглянемо приклади кількох завдань.

Завдання 1. Необхідно розв'язати рівняння ln x = 3.

Рішення:Використовуючи визначення логарифму: якщо , то отримуємо:

Завдання 2. Розв'яжіть рівняння (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Рішення: Використовуючи визначення логарифму: якщо , то отримуємо:

.

Ще раз застосуємо визначення логарифму:

.

Таким чином:

.

Можна приблизно обчислити відповідь, а можна залишити її і в такому вигляді.

Завдання 3.Розв'яжіть рівняння.

Рішення:Зробимо підстановку: t = ln x. Тоді рівняння набуде наступного вигляду:

.

Перед нами квадратне рівняння. Знайдемо його дискримінант:

Перший корінь рівняння:

.

Другий корінь рівняння:

.

Згадуючи про те, що ми робили підстановку t = ln x, отримуємо:

У статистиці та теорії ймовірності логарифмічні величини зустрічаються дуже часто. Це не дивно, адже число е — найчастіше відображає темпи зростання експоненційних величин.

В інформатиці, програмуванні та теорії обчислювальних машин, логарифми зустрічаються досить часто, наприклад, щоб зберегти в пам'яті N знадобиться бітів.

У теоріях фракталів та розмірності логарифми використовуються постійно, оскільки розмірності фракталів визначаються тільки за їх допомогою.

У механіці та фізицінемає такого розділу, де не використовувалися логарифми. Барометричний розподіл, усі принципи статистичної термодинаміки, рівняння Ціолковського та інше — процеси, які математично можна описати лише за допомогою логарифмування.

У хімії логарифмування використовують у рівняннях Нернста, описи окислювально-відновних процесів.

Вражаюче, але навіть у музиці, з метою дізнатися кількість частин октави, використовують логарифми.

Натуральний логарифмФункція y=ln x її властивості

Доказ основної властивості натурального логарифму

Графік функції натурального логарифму. Функція повільно наближається до позитивної нескінченності зі збільшенням xі швидко наближається до негативної нескінченності, коли xпрагне до 0 («повільно» і «швидко» в порівнянні з будь-якою статечною функцією від x).

Натуральний логарифм- це логарифм на основі , де e (\displaystyle e)- ірраціональна константа, що дорівнює приблизно 2,72. Він позначається як ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x)або іноді просто log ⁡ x (\displaystyle \log x)якщо підстава e (\displaystyle e)мається на увазі. Іншими словами, натуральний логарифм числа x- це показник ступеня, в який потрібно звести число e, Щоб отримати x. Це визначення можна розширити і комплексні числа .

Натуральний логарифм може бути визначений геометрично для будь-якого позитивного речовинного числа aяк площа під кривою y = 1 x (\displaystyle y=(\frac(1)(x)))на проміжку [1; a] (\displaystyle). Простота цього визначення, яке узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується цей логарифм, пояснює походження назви "натуральний".

Якщо розглядати натуральний логарифм як дійсну функцію дійсної змінної, то вона є зворотною функцією до експоненційної функції, що призводить до тотожностей:

Подібно до всіх логарифмів, натуральний логарифм відображає множення до складу:

1.1. Визначення ступеня для цілого показника ступеня

1.2. Нульовий ступінь.

1.3. Негативний ступінь.

1.4. Дробний ступінь, корінь.

Наприклад: X 1/2 = √X.

1.5. Формула складання ступенів.

1.6.Формула віднімання ступенів.

1.7. Формула множення ступенів.

1.8. Формула зведення дробу на ступінь.

2. Число e.

E = lim(1+1/N), за N → ∞.

З точністю 17 знаків число e дорівнює 2.71828182845904512.

3. Рівність Ейлера.

E (i*пі) + 1 = 0

4. Експонентна функція exp (x)

5. Похідна експоненційної функції

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Визначення функції логарифм

Y = Log b(x).

Логарифм показує в яку міру треба звести число - основу логарифму (b), щоб отримати задане число(X). Функція логарифм визначена для X більше нуля.

Наприклад: Log 10 (100) = 2.

6.2. Десятковий логарифм

Y = Log 10 (x).

Позначається Log(x): Log(x) = Log 10(x).

Приклад використання десяткового логарифму - децибел.

6.3. Децибел

6.4. Двійковий логарифм

Y = Log 2(x).

Позначається Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральний логарифм

Y = Log e(x).

Позначається Ln(x): Ln(x) = Log e(X)
Натуральний логарифм — зворотна функція експоненційної функції exp (X).

6.6. Характерні точки

6.7. Формула логарифму твору

6.8. Формула приватного логарифму

6.9. Формула логарифму ступеня

6.10. Формула перетворення до логарифму з іншою основою

Приклад:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формули корисні у житті

Часто виникають завдання перерахунку обсягу в площу або в довжину і зворотне завдання- Перерахунок площі в обсяг. Наприклад, дошки продаються кубами (кубометрами), а нам потрібно розрахувати яку площу стіни можна обшити дошками, що містяться в певному обсязі, див. розрахунок дощок, скільки дощок у кубі. Або, відомі розміри стіни, треба розрахувати кількість цегли, див. розрахунок цегли.

Дозволяється використовувати матеріали сайту за умови встановлення активного посилання на джерело.

нерідко беруть цифру е = 2,718281828 . Логарифми з цієї підстави називають натуральним. Під час проведення обчислень із натуральними логарифмами загальноприйнято оперувати знаком ln, а не log; при цьому число 2,718281828 , Які визначають основу, не вказують.

Тобто формулювання матиме вигляд: натуральний логарифмчисла х- це показник ступеня, в який потрібно звести число e, Щоб отримати x.

Так, ln(7,389...)= 2, оскільки e 2 =7,389... . Натуральний логарифм самого числа e= 1, тому що e 1 =e, а натуральний логарифм одиниці дорівнює нулю, так як e 0 = 1.

Саме число евизначає межу монотонної обмеженої послідовності

обчислено, що е = 2,7182818284... .

Дуже часто для фіксації в пам'яті якогось числа, цифри необхідного числа асоціюють з якоюсь видатною датою. Швидкість запам'ятовування перших дев'яти знаків числа епісля коми зросте, якщо помітити, що 1828 - це рік народження Льва Толстого!

На сьогоднішній день існують достатньо повні таблицінатуральних логарифмів.

Графік натурального логарифму(функції y =ln x) є наслідком графіка експоненти дзеркальним відображеннямщодо прямої у = хі має вигляд:

Натуральний логарифм може бути знайдений для кожного позитивного речового числа aяк площа під кривою y = 1/xвід 1 до a.

Елементарність цього формулювання, яке стиковується з багатьма іншими формулами, в яких задіяний натуральний логарифм, стало причиною утворення назви «натуральний».

Якщо аналізувати натуральний логарифм, як речову функцію дійсної змінної, вона виступає зворотною функцієюдо експоненційної функції, що зводиться до тотожностей:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

За аналогією з усіма логарифмами, натуральний логарифм перетворює множення на додавання, поділ на віднімання:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(Х/у) = lnx - lny

Логарифм може бути знайдений для кожної позитивної основи, яка не дорівнює одиниці, а не тільки для e, але логарифми для інших основ відрізняються від натурального логарифму тільки постійним множником, і зазвичай визначаються в термінах натурального логарифму.

Проаналізувавши графік натурального логарифму,отримуємо, що він існує при позитивних значенняхзмінної x. Він монотонно зростає у своїй області визначення.

При x → 0 межею натурального логарифму виступає мінус нескінченність ( -∞ ).При x → +∞ межею натурального логарифму виступає плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих xлогарифм збільшується досить повільно. Будь-яка статечна функція x aз позитивним показником ступеня aзростає швидше за логарифму. Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремуми у нього відсутні.

Використання натуральних логарифмівдуже раціонально під час проходження вищої математики. Так, використання логарифму зручно для знаходження відповіді рівнянь, у яких невідомі фігурують як показник ступеня. Застосування в розрахунках натуральних логарифмів дає можливість значно полегшити. велика кількість математичних формул. Логарифми на підставі е присутні при вирішенні значної кількості фізичних завданьі природним чиномвходять до математичний описокремих хімічних, біологічних та інших процесів. Так, логарифми використовуються розрахунку постійної розпаду відомого періоду напіврозпаду, чи обчислення часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони виступають у головної роліу багатьох розділах математики та практичних наук, до них вдаються у сфері фінансів для вирішення великої кількостізавдань, зокрема й розрахунку складних відсотків.

Наведено основні властивості натурального логарифму, графік, область визначення, безліч значень, основні формули, похідна, інтеграл, розкладання в статечний рядта подання функції ln x за допомогою комплексних чисел.

Визначення

Натуральний логарифм- це функція y = ln x, зворотна до експоненти , x = e y , що є логарифмом на основі числа е : ln x = log e x.

Натуральний логарифм широко використовується в математиці, оскільки його похідна має найпростіший вид: (ln x)′ = 1/ x.

Виходячи з визначення, основою натурального логарифму є число е:
е ≅ 2,718281828459045...;
.

Графік функції y = ln x.

Графік натурального логарифму (функції y = ln x) Виходить з графіка експоненти дзеркальним відображенням щодо прямої y = x .

Натуральний логарифм визначено за позитивних значень змінної x . Він монотонно зростає у своїй області визначення.

При x → 0 межею натурального логарифму є мінус нескінченність (-∞).

При x → + ∞ межею натурального логарифму є плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих логарифм зростає досить повільно. Будь-яка статечна функція x a з позитивним показником ступеня a росте швидше за логарифм.

Властивості натурального логарифму

Область визначення, безліч значень, екстремуми, зростання, спадання

Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні властивостінатурального логарифму представлені у таблиці.

Значення ln x

ln 1 = 0

Основні формули натуральних логарифмів

Формули, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Будь-який логарифм можна виразити через натуральні логарифми за допомогою формули заміни основи:

Докази цих формул представлені у розділі "Логарифм".

Зворотня функція

Зворотною для натурального логарифму є експонента.

Якщо то

Якщо то .

Похідна ln x

Похідна натурального логарифму:
.
Похідна натурального логарифму від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Інтеграл обчислюється інтегруванням частинами:
.
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексної змінної z:
.
Виразимо комплексну змінну zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або
.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде тим самим числом при різних n .

Тому натуральний логарифм як функція від комплексного змінного є неоднозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.