Матеріальна точка руху прямолінійна за законом. Фізичний зміст похідної

Фізичний змістпохідною. До складу ЄДІ з математики входить група завдань для вирішення яких необхідне знання та розуміння фізичного сенсу похідної. Зокрема, є завдання, де дано закон руху певної точки (об'єкта), виражений рівняннямі потрібно знайти його швидкість у певний момент часу руху, або час, через який об'єкт придбає певну задану швидкість.Завдання дуже прості, вирішуються вони на одну дію. Отже:

Нехай заданий закон руху матеріальної точки x (t) уздовж координатної осі, де x координата точки, що рухається, t - час.

Швидкість у певний час – це похідна координати за часом. У цьому полягає механічний сенс похідної.

Аналогічно, прискорення – це похідна швидкість за часом:

Таким чином, фізичний сенс похідної це швидкість. Це може бути швидкість руху, швидкість зміни будь-якого процесу (наприклад зростання бактерій), швидкість виконання роботи (і так далі, прикладних завданьбезліч).

Крім того, необхідно знати таблицю похідних (знати її потрібно також як таблицю множення) і правила диференціювання. Якщо конкретно, то вирішення обумовлених завдань необхідно знання перших шести похідних (див. таблицю):

Розглянемо завдання:

x (t) = t 2 - 7t - 20

де x t – час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 5 c.

Фізичний зміст похідної це швидкість (швидкість руху, швидкість зміни процесу, швидкість роботи і т.д.)

Знайдемо закон зміни швидкості: v(t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 маємо:

Відповідь: 3

Вирішити самостійно:

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = 6t 2 – 48t + 17, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- Час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 9 c.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, де xt- Час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 6 с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = -t 4 + 6t 3 + 5t + 23

де x- Відстань від точки відліку в метрах,t- Час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 3 с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x(t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

де x – відстань від точки відліку в метрах, t – час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 6 м/с?

Знайдемо закон зміни швидкості:

Для того, щоб знайти, в який момент часуtшвидкість дорівнювала 3 м/с, необхідно вирішити рівняння:

Відповідь: 3

Вирішіть самостійно:

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = t 2 – 13t + 23, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- Час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 3 м/с?

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- Час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 2 м/с?

Зазначу, що орієнтуватись тільки на такий тип завдань на ЄДІ не варто. Можуть несподівано ввести завдання зворотні представленим. Коли дано закон зміни швидкості та стоятиме питання про знаходження закону руху.

Підказка: у цьому випадку необхідно знайти інтеграл від функції швидкості (це також завдання в одну дію). Якщо потрібно знайти пройдену відстань за певний момент часу, необхідно підставити час у отримане рівняння і обчислити відстань. Втім, ми такі завдання теж розбиратимемо, не пропустіть!Успіхів вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

"Матеріальна відповідальність сторін трудового договору" - Матеріальна відповідальність роботодавця. Якщо сума стягнення вбирається у середнього заробітку за 1 місяць. Добровільний за заявою чи письмовим зобов'язанням. Для працівника. Матеріальна відповідальність працівника Обмежена Повна Індивідуальна Колективна (бригадна). Шляхом утримання з заробітної платиза розпорядженням роботодавця.

"Коливання точки" - 5. Лінійні коливання. 7. Вільні коливанняз в'язким опором. 4. Приклади коливань. Биття. 3. Приклади коливань. Рух є загасаючим та аперіодичним. Показує у скільки разів амплітуда коливань перевищує статичне відхилення. Вільні коливання, викликані силою. 4) Період загасаючих коливаньбільше ніж у незагасаючих.

"Прямолінійний рух" - Графіки для ПРД. Прямолінійне рівномірний рух(ПРД). Sx = X - X0 = vx t - проекція переміщення на вісь X. Прямолінійне рівноприскорений рух(ПРУД). Ставок. X = X0 + sx – закон руху. Графіки ПРУД. Тобто змінюється швидкість? - Закон руху. Приклад: X = X0 + Vx t – закон руху для ПРД.

"Точки небесної сфери" - Дні сонцестояння, як і дні рівнодення, можуть змінюватися. В 1 радіані 57 ° 17? 45 ". градус - центральний кут, що відповідає 1/360 частини кола. У точці літнього сонцестояння 22 червня Сонце має максимальне відмінювання. Переміщення Сонця з екліптики викликане річним рухомЗемлі навколо Сонця.

«Відстань від точки до прямої» - У одиничному кубі A…D1 знайдіть відстань від точки A до прямої CB1. Знаходження відстаней 2. У одиничному кубі A…D1 точка E – середина ребра C1D1. У одиничному кубі A…D1 знайдіть відстань від точки A до прямої CD. У одиничному кубі A…D1 знайдіть відстань від точки A до прямої CD1. У одиничному кубі A…D1 знайдіть відстань від точки A до прямої BD.

"Чотири чудові точки трикутника" - Висотою трикутника. Медіа трикутник. Відрізок АН – перпендикуляр, опущений з точки на пряму а, якщо. Медіана. Відрізок, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони, називається. Бісектриса трикутника. Завдання №2. Завдання № 1. Перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону, називається.

Крапка рухається прямолінійно за законом S = t 4 +2t (S -у метрах, t -за секунди). Знайти її середнє прискорення у проміжку між моментами t 1 = 5 с, t 2 = 7 с, а також її справжнє прискорення у момент t 3 = 6 с.

Рішення.

1. Знаходимо швидкість руху точки як похідну від шляху S за часом t,тобто.

2. Підставляючи замість t його значення t 1 = 5 с та t 2 = 7 с, знаходимо швидкості:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 м/с; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 м/с.

3. Визначаємо збільшення швидкості ΔV за час Δt = 7 - 5 =2 с:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 – 502 = 872 м/с.

4. Таким чином, середнє прискорення точки дорівнюватиме

5. Для визначення справжнього значенняприскорення точки беремо похідну швидкості за часом:

6. Підставляючи замість tзначення t 3 = 6 с отримаємо прискорення в цей момент часу

a порівн =12-6 3 =432 м/с 2 .

Криволінійний рух.При криволінійному русішвидкість точки змінюється за величиною та напрямом.

Уявімо точку М,яка за час Δt, рухаючись якоюсь криволінійної траєкторії, перемістилася в становище М 1(Рис. 6).

Вектор збільшення (зміни) швидкості ΔV буде

Для знаходження вектора ΔV перенесемо вектор V 1 в точку Мі збудуємо трикутник швидкостей. Визначимо вектор середнього прискорення:

Вектор а српаралельний вектору ΔV , так як від поділу вектора на скалярну величинунапрямок вектора не змінюється. Вектор істинного прискорення є межа, якого прагне ставлення вектора швидкості до відповідного проміжку часу Δt, що прагне нуля, тобто.

Таку межу називають векторною похідною.

Таким чином, справжнє прискорення точки при криволінійному русі дорівнює векторної похідної швидкості.

З рис. 6 видно, що вектор прискорення при криволінійному русі завжди спрямований у бік увігнутості траєкторії.

Для зручності розрахунків прискорення розкладають на дві складові до траєкторії руху: за дотичною, яка називається дотичним (тангенціальним) прискоренням а, і з нормалі, зване нормальним прискоренням а n (рис. 7).

У цьому випадку повне прискорення дорівнюватиме

Дотичне прискорення збігається у напрямку зі швидкістю точки або протилежно їй. Воно характеризує зміну величини швидкості та відповідно визначається за формулою

Нормальне прискорення перпендикулярно напрямку швидкості точки, а чисельне значення його визначається за формулою

де r - радіус кривизни траєкторії в точці, що розглядається.

Так як дотичне та нормальні прискорення взаємно перпендикулярні, тому величина повного прискореннявизначається за формулою

а напрям його

Якщо то вектори дотичного прискорення і швидкості спрямовані в один бік і рух буде прискореним.

Якщо , то вектор дотичного прискорення спрямований у бік, протилежну векторушвидкості, і рух буде сповільненим.

Вектор нормального прискореннязавжди спрямований до центру кривизни, тому воно називається доцентровим.