Як знайти об'єм меншого конуса. Об'єм конуса

Об'єм конуса виражається такою ж формулою, що і обсяг піраміди: V = 1/3 S h,

де V - обсяг конуса, S - площа основи конуса, h- Його висота.

Остаточно V = 1/3 πR 2 hде R - радіус основи конуса.

Отримання формули обсягу конуса можна пояснити таким міркуванням:

Нехай дано конус (рис). Впишемо в нього правильну піраміду, Т. е. побудуємо всередині конуса таку піраміду, вершина якої збігається з вершиною конуса, а основою служить правильний багатокутник, вписаний в основу конуса.

Обсяг цієї піраміди висловиться формулою: V' = 1/3 S' h, де V - обсяг піраміди,

S' - площа її основи, h- Висота піраміди.

Якщо при цьому за основу піраміди взяти багатокутник з дуже більшим числомсторін, то площа основи піраміди буде мало відрізнятися від площі кола, а обсяг піраміди - мало відрізнятися від обсягу конуса. Якщо, знехтувати цими відмінностями у розмірах, то обсяг конуса виразиться такою формулою:

V = 1/3 S h, де V - обсяг конуса, S - площа основи конуса, h- Висота конуса.

Замінивши S через πR 2 де R - радіус кола, отримаємо формулу: V = 1 / 3 πR 2 h, Що виражає обсяг конуса.

Примітка.У формулі V = 1/3 S hпоставлено знак точної, а не наближеної рівності, хоча на підставі проведеного міркування ми могли б його вважати наближеним, але у старших класах середньої школидоводиться, що рівність

V = 1/3 S hточне, а чи не наближене.

Обсяг довільного конуса

Теорема. Обсяг довільного конуса дорівнює одній третині твору площі основи на висоту, тобто.

V = 1/3 QH, (1)

де Q – площа основи, а Н – висота конуса.

Розглянемо конус з вершиною S та основою Ф (рис.).

Нехай площа основи дорівнює Q, а висота конуса дорівнює Н. Тоді існують послідовності багатокутників Ф nта Ф’ nз площами Q nта Q’ nтаких, що

Ф n⊂ Ф n⊂ Ф’ nі $\lim_(n \rightarrow \infty)$ Q' n= $\lim_(n \rightarrow \infty)$ Q n= Q.

Очевидно, що піраміда з вершиною S та основою Ф’ nбуде вписаною в даний конус, а піраміда з вершиною S та основою Ф n- Описаної біля конуса.

Обсяги цих пірамід відповідно дорівнюють

V n= 1/3 Q n H , V’ n= 1 / 3 Q' n H

$\lim_(n \rightarrow \infty)$ V n= $\lim_(n \rightarrow \infty)$ V' n= 1/3 QH

то формулу (1) доведено.

Слідство. Об'єм конуса, основою якого є еліпс з півосями а та b, обчислюється за формулою

V = 1/3 π ab H (2)

Зокрема, обсяг конуса, основою якого є коло радіусу R, обчислюється за формулою

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

де Н – висота конуса.

Як відомо, площа еліпса з півосями аі bдорівнює π ab, І тому формула (2) виходить з (1) при Q = π ab. Якщо а = b= R, виходить формула (3).

Об'єм прямого кругового конуса

Теорема 1. Об'єм прямого кругового конусаз висотою Н і радіусом основи R обчислюється за формулою

V = 1 / 3 π R 2 H

Даний конус можна розглядати як тіло, отримане обертанням трикутника з вершинами в точках О(0; 0), В(Н; 0), А(Н; R) навколо осі Ох(Рис.).

Трикутник ОАВ є криволінійною трапецією, відповідної функції

у = R/H х, х∈. Тому, використовуючи відому формулу, отримуємо

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\==frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\==frac(1)(3)\pi R^2H $$

Слідство. Обсяг прямого кругового конуса дорівнює одній третині твору площі основи на висоту, тобто.

де Q - площа основи, а H - висота конусу.

Теорема 2. Обсяг зрізаного конуса з радіусами основ r і R і висотою H обчислюється за формулою

V = 1 / 3 πH( r 2 + R 2 + r R).

Усічений конус можна отримати обертанням навколо осі Охтрапеції Про ABC (рис.).

Пряма АВ проходить через крапки (0; r) і (H; R), тому вона має рівняння

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

отримуємо

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

Для обчислення інтеграла зробимо заміну

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

Очевидно, коли хзмінюється в межах від 0 до H, змінна ізмінюється від rдо R, і тому

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\==frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(array)(c)R\r\end(array)\right.=\==frac(pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\==frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

Куля, обсяг якої дорівнює 8π, вписаний у куб. Знайдіть об'єм куба.

Рішення

Нехай a – це сторона куба. Тоді обсяг куба дорівнює V = a3.

Оскільки куля вписаний куб, то радіус кулі дорівнює половині ребра куба, тобто R = a/2 (див. рис.).

Об'єм кулі дорівнює V ш = (4/3)πR 3 і дорівнює 8π, тому

(4/3)πR 3 = 8π,

А об'єм куба дорівнює V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8 * 6 = 48.

Завдання B9 ( Типові варіанти 2015)

Об'єм конуса дорівнює 32. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Рішення

Розглянемо завдання:

72353. Об'єм конуса дорівнює 10. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Відразу відзначимо, що вихідний і відтятий конус подібні і якщо розглядати відтятий конус щодо вихідного, то можна сказати так: менший конус подібний до більшого з коефіцієнтом рівним однієї другої або 0,5. Можемо записати:

Можна було записати:

Можна було так розсудити!

Розглянемо вихідний конус щодо відсіченого. Можна сказати – більший конус подібний до відсіченого з коефіцієнтом рівним двом, запишемо:

Тепер перегляньте рішення без використання властивостей подібності.

Обсяг конуса дорівнює одній третині твору площі його основи та висоти:

Розглянемо бічну проекцію (вид збоку) із зазначеним перетином:

Нехай радіус більшого конуса дорівнює R, висота дорівнює Н. Перетин (основа меншого конуса) проходить через середину висоти, значить його висота дорівнюватиме Н/2. А радіус основи дорівнює R/2, це випливає з подоби трикутників.

Запишемо обсяг вихідного конуса:

Об'єм відсіченого конуса дорівнюватиме:

Настільки докладні рішенняпредставлені для того, щоб ви бачили як можна побудувати міркування. Дійте будь-яким способом – головне, щоб ви розуміли суть рішення. Нехай шлях, який ви обрали буде не раціональний, важливий результат (правильний результат).

Відповідь: 1,25

318145. У посудині, що має форму конуса, рівень рідини досягає половини висоти. Об'єм рідини дорівнює 70 мл. Скільки мілілітрів рідини потрібно долити, щоб повністю наповнити посудину?

Це завдання схоже на попередню. Хоч мова тут і йде про рідину, принцип рішення той самий.

Маємо два конуси - це сама судина і "малий" конус (наповнений рідиною), вони є подібними. Відомо, що обсяги подібних тіл співвідносяться таким чином:

Вихідний конус (посудина) подібний до конуса наповненого рідиною з коефіцієнтом рівним 2, так як сказано, що рівень рідини досягає половину висоти. Можна записати докладніше:

Обчислюємо:

Таким чином, долити потрібно:

Інші завдання із рідинами.

74257. Знайдіть об'єм V конуса, що утворює якого дорівнює 44 і нахилена до площини основи під кутом 30 0 . У відповіді вкажіть V/Пі.

Об'єм конуса:

Висоту конуса знайдемо за якістю прямокутного трикутника.

Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Гіпотенуза, в даному випадку, що утворює конуса. Отже, висота конуса дорівнює 22.

Квадрат радіуса основи знайдемо за теоремою Піфагора:

*Нам потрібен квадрат радіусу, а не сам радіус.

Об'єм конуса. Ось ми з вами дісталися конусів і циліндрів. Ще окрім тих, що вже опубліковані, буде близько дев'яти статей, розглянемо всі типи завдань. Якщо протягом року у відкритий банкдодаватимуться нові завдання, звичайно ж, вони також будуть розміщені на блозі. У цій статті представлена теорія, а приклади в яких вона використовується. Мало знати формулу об'єму конуса, до речі:

Можемо записати:

Для вирішення деяких прикладів потрібно розуміти, як співвідносяться обсяги подібних тіл. Саме розуміти, а не просто вивчити формулу:

Тобто, якщо ми збільшимо (зменшимо) лінійні розміри тіла в k разів, то відношення обсягу отриманого тіла до обсягу вихідного буде до 3 .

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ! Не важливо, як ви позначите об'єми:

Справа в тому, що в процесі розв'язання задач при розгляді подібних тіл, у деяких може виникати плутанина з коефіцієнтом k. Може постати питання – Чому він дорівнює?

(Залежно від величини зазначеної в умові)

Все залежить від того, з якого боку подивитися. Важливо розуміти ось що! Розглянемо з прикладу – дано куб, ребро другого куба втричі більше:

У даному випадку коефіцієнт подібності дорівнює трьом (ребро збільшено в три рази), а значить співвідношення виглядатиме таким чином:

Тобто обсяг отриманого (більшого) куба буде у 27 разів більшим.

Можна побачити з іншого боку.

Даний куб, ребро другого куба втричі менше:

Коефіцієнт подібності дорівнює одній третині (зменшення ребра в три рази), а значить співвідношення виглядатиме:

Тобто обсяг отриманого куба буде у 27 разів меншим.

Висновок! Неважливі індекси при позначенні обсягів, важливо розуміти, як тіла розглядаються щодо один одного.

Зрозуміло, що:
- Якщо вихідне тіло збільшується, то коефіцієнт буде більше одиниці.
— якщо вихідне тіло зменшується, то коефіцієнт буде менше одиниці.
Про відносини обсягів можна сказати:
— якщо завдання будемо ділити обсяг більшого тілана менший, то отримаємо куб коефіцієнта подібності, причому сам коефіцієнт вийде більше одиниці.
- Якщо ділитимемо обсяг меншого тіла на більший, то отримаємо куб коефіцієнта подібності, причому сам коефіцієнт вийде менше одиниці.

Найголовніше це запам'ятати – що коли йдеться про ОБСЯГИ подібних тіл, то коефіцієнт подібності має третій ступінь, а не другий, як у випадку з площами.

Ще один момент, що стосується.

В умові є таке поняття як утворює конуса. Це відрізок, що з'єднує вершину конуса з точками кола основи (на малюнку позначений буквою L).

Тут варто зазначити, що розбирати завдання ми будемо лише з прямим конусом (далі просто конус). Утворюють у прямого конусарівні

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Куля, обсяг якої дорівнює 8π, вписаний у куб. Знайдіть об'єм куба.

Рішення

Нехай a – це сторона куба. Тоді обсяг куба дорівнює V = a3.

Оскільки куля вписаний куб, то радіус кулі дорівнює половині ребра куба, тобто R = a/2 (див. рис.).

Об'єм кулі дорівнює V ш = (4/3)πR 3 і дорівнює 8π, тому

(4/3)πR 3 = 8π,

А об'єм куба дорівнює V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8 * 6 = 48.

Завдання B9 (Типові варіанти 2015)

Рішення

Об'єм більшого конуса дорівнює V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.

Об'єм меншого конуса дорівнює V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π(OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .

Значить, обсяг меншого конуса в 8 разів менший і дорівнює 4.

Завдання B9 (Типові варіанти 2015)

Об'єм конуса дорівнює 40. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Рішення

Так як переріз проведено через середину висоти конуса, то AP = 1/2 AO та PK = 1/2 OB. Тобто висота та радіус меншого конуса в 2 рази менше відповідно висоти та радіуса більшого конуса.

Об'єм більшого конуса дорівнює V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 40.

Об'єм меншого конуса дорівнює V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π(OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .

Значить, обсяг меншого конуса в 8 разів менший і дорівнює 5.

Завдання B9 (Типові варіанти 2015)

У кубі ABCDA1B1C1D1 точки E, F, E1 та F1 є серединами ребер BC, DC, B1C1 та D1C1 відповідно.Обсяг призми, що відсікається від куба площиною EFF1, дорівнює 15. Знайдіть об'єм куба.

Рішення

Обсяг призми дорівнює V = S осн H = S CEF * CC1 = 15.

Позначимо ребро куба через a. Тоді обсяг призми дорівнює: V = 1/2 * a / 2 * a / 2 * a = 1/8 a 3 = 15.

Об'єм куба дорівнює V = a 3 = 15 * 8 = 120.

Відповідь: 120.

Завдання B9 (Типові варіанти 2015)

Об'єм конуса дорівнює 152. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.