Площа перетину конуса. Прямий круговий конус, його елементи

Бурківська Ніна Дмитрівна.

Викладач математики

Уральська технологічний коледж"Сервіс".

Тема програми: Тіла обертання – 10 годин.

Тема урока: Прямий круговий конус, його елементів. Перетину конуса площиною. Розгортання конуса. Площа поверхні конуса.

Мета уроку: Формування теоритичних знань про конус, як про тіло обертання, його властивості, види перерізу площиною та площею повної поверхні. Математичне мислення, просторове уявлення;

Самостійність навчально-пізнавальної діяльності.

Тип уроку: Комбінований урок.

Методи ведення: Лекційно-практичне заняття.

Обладнання уроку: Математичне середовищеGeoGebra.

ХІД УРОКУ:

Організаційний момент- 1 - 2 хв.

Привітання учнів.

Відзначити відсутніх.

II . Опитування з домашнього завдання

1. Площа бічної поверхні циліндра;

2.Площа повної поверхні циліндра;

3. Циліндр вписаний у призму;

4. Циліндр описаний біля призми.

III . Пояснення нового матеріалу. Короткий конспект.

1. Конус - Тіло, яке складається з кола - основи конуса, точки, що не лежить в площині цього кола, - вершини конуса і всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи.

Конус виходить при обертанні прямокутного трикутникадовкола катета.

2. Тепер розглянемо, як будується конус. Спочатку зображаємо коло з центромOта прямуOS, перпендикулярну до площини цього кола. Кожну точку кола з'єднаємо відрізком з точкоюS. Поверхня, утворена цими відрізками, називається конічною поверхнею, а самі відрізки – утворюють конічної поверхні.

3. т.S– вершина конуса коло (О, ОА) – основа конуса

SA= SB- Утворюють конуса. ВідрізокSO- Висота конуса. ПрямаSO- вісь конуса

4. а) осьовий перетин конуса – рівнобедрений трикутник

Осьовий переріз конуса - це перетин конуса площиною, яка проходить через вісь конуса і

через його вершину – рівнобедрений трикутник.

Перетин конуса площиною, перпендикулярно до осі симетрії – коло,

АВ –перетин перпендикулярно до осі симетрії і паралельно до основи.

Виразимо площу бічної поверхні конуса через його утворюючу і радіус основи.

Градусний захід дуги

Довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса.

висловимо через і, тоді

, .

Як знайти площу повної поверхні?

Площа повної поверхні складається з площі бічної поверхні та площі основи.

, .

Стосовною площиною до конуса називається площина, що проходить через утворюючу конуса і перпендикулярна площині осьового перерізу, що містить цю утворювальну.

IV . Закріплення нового матеріалу:

Завдання: Радіус основи конуса дорівнює 14 см. Знайдіть площу перерізу, проведеного перпендикулярно до його осі через її середину .

Рішення: △ А S О - прямокутний ( S Про  підставі), ∠ S АТ = 30 0 , S О (лежить проти кута 30 0 )=, тоді AS =2О S = 2 * 12 = 24.По т. Піфагора О; S б. = Відповідь: S б. =.

Завдання додому §6.1 – 6.2, №8

Література

Ж. Кайдасов, В. Гусєв, А Кагазбаєва Геометрія 10, 11 класи. Дидактичний матеріалз геометрії для 10, 11 класів.

Площа перетину конуса. Вам представлена ​​ще одна стаття з конусами. На момент написання цієї статті на блозі вирішено всі приклади (прототипи) завдань із конусами, які можливі на іспиті. Процес рішення нескладний (1-2 дії), за певної практики вирішуються усно. Потрібно знати поняття утворює, про це інформація в . Також необхідно розуміти як утворюються перерізи конуса.

1. Якщо площина проходить через вершину конуса, перетином є трикутник.

*Якщо площина проходить через вісь конуса, то перетином є рівнобедрений трикутник, висота якого дорівнює висоті конуса, а основа на яку опущена ця висота дорівнює діаметру основи конуса.

2. Якщо площина проходить перпендикулярно до осі конуса, то перетином є коло.

Особливістю даних завдань і те, що застосовується формула площі трикутника, . Формули періодично повторюйте. Розглянемо завдання:

324453. Площа основи конуса дорівнює 16Пі, висота дорівнює 6. Знайдіть площу осьового перерізу конуса.

Осьовим перерізом конуса є трикутник з основою рівним діаметруоснови конуса та висотою рівною висотіконус. Позначимо діаметр як D, висоту як Н, запишемо формулу площі трикутника:

Висота відома, обчислимо діаметр. Використовуємо формулу площі кола:

Значить діаметр дорівнюватиме 8. Обчислюємо площу перерізу:

Відповідь: 24

324454. Площа основи конуса дорівнює 18. Площина, паралельна площиніоснови конуса, ділить його висоту на відрізки довжиною 3 і 6, рахуючи від вершини. Знайдіть площу перерізу конуса цією площиною.

Перерізом є коло. Необхідно знайти площу цього кола.

Побудуємо осьовий перетин:

Розглянемо трикутники AKL та AOC – вони подібні. Відомо, що у подібних постатях відносини відповідних елементів рівні. Ми розглянемо відносини висот та катетів (радіусів):

OC це радіус основи, його можна знайти:

Значить

Тепер можемо обчислити площу перерізу:

*Це алгебраїчний спосібобчислення без використання властивості подібних тіл, що стосується їхньої площі. Можна було розсудити так:

Два конуси (вихідний і відсічений) подібні, отже пощади їхніх підстав є подібними фігурами. Для площ подібних фігур існує залежність:

Коефіцієнт подібності до даному випадкудорівнює 1/3 (висота вихідного конуса дорівнює 9, відтятого 3), 3/9=1/3.

Таким чином, площа основи отриманого конуса дорівнює:

Відповідь: 2

323455. Висота конуса дорівнює 8, а довжина утворюючої - 10. Знайдіть площу осьового перерізу цього конуса.

Нехай утворює це L, висота це H, радіус основи R.

Знайдемо діаметр основи та використовуючи формулу площі трикутника обчислимо площу. За теоремою Піфагора:

Нехай утворює це L, висота це H, радіус основи R. На цьому все. Успіху вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Радіус основи конуса з вершиною дорівнює 6, а довжина його утворює дорівнює 9. На колі основи конуса обрані точки і , що ділять коло на дві дуги, довжини яких відносяться як 1:3. Знайдіть площу перерізу конуса площиною.

Рішення задачі

Цей урок показує, як правильно побудувати перетин конуса площиною і знайти площу цього перерізу. Основним моментом при вирішенні даного завдання є відношення дуг, яке задано за умовою: враховуючи, що відношення становить 1:3, то можна чітко визначити, що градусний західоднієї дуги буде 90 °. А це набагато спрощує вирішення завдання. Формула площі трикутника: половина твору на основі на висоту – дає можливість визначитися з тими відрізками, довжини яких нам необхідно знайти. Щоб знайти довжину основи використовуємо теорему Піфагора (трикутник виходить не тільки прямокутний, але ще й рівнобедрений – катети трикутника це радіуси основи кола). Висоту перерізу також знайдемо за теоремою Піфагора. У нас вже відома основа (нам потрібна його половина) і довжина утворює дана за умовою. Залишилося знайти добуток отриманих відрізків та розділити його на два. Відповідь отримано.

Вирішення цієї задачі рекомендовано для учнів 8-х класів щодо теми «Площа» («Теорема Піфагора», «Площа трикутника»); для учнів 11-х класів щодо теми «Тіла обертання» («Рішення завдань. Конус»). При підготовці до ЄДІ урокрекомендований при повторенні теми "Площа", "Тіла обертання".

Однією з фігур, що зустрічається при вирішенні геометричних завданьу просторі є конус. Він, на відміну багатогранників, належить до класу фігур обертання. Розглянемо у статті, що розуміють під ним у геометрії, та досліджуємо характеристики різних перерізів конуса.

Припустимо, що є деяка крива на поверхні. Це може бути парабола, коло, еліпс тощо. Візьмемо точку, яка зазначеної площині не належить, і з'єднаємо з нею всі криві точки. Утворена поверхняназивається конічним або просто конусом.

Якщо вихідна крива замкнута, тоді конічну поверхню можна заповнити речовиною. Отримана таким чином фігура є об'ємним тілом. Вона також називається конусом. Декілька конусів, виготовлених з паперу, показано нижче на малюнку.

Конічна поверхня зустрічається в звичайного життя. Наприклад, цією формою має морозиво-ріжок або дорожній смугастий конус, який покликаний привернути увагу водіїв та пішоходів.

Види конусів

Як можна здогадатися, розглянуті постаті одна від одної відрізняються типом кривої, де вони утворені. Наприклад, існує круглий конус чи еліптичний. Ця крива називається основою фігури. Проте форма підстави - це єдина особливість, що дозволяє класифікувати конуси.

Другою важливою їхньою характеристикою є положення висоти щодо основи. Висотою конуса називається прямий відрізок, який опущений з вершини фігури до площини основи та перпендикулярний цій площині. Якщо висота перетинає в геометричному центрі основу (наприклад, у центрі кола), конус буде прямим, якщо перпендикулярний відрізок падає в будь-яку іншу точку основи або за його межі, то фігура буде похилою.

Геометричні назви елементів конуса

Вище було сказано, що конус має основу. Воно обмежене колом, яке називається напрямною конуса. Відрізки, що з'єднують напрямну з точкою, що не лежить у площині основи, називають утворюючими. Сукупність всіх точок, що утворюють, називається конічною або бічною поверхнею фігури. Для круглого прямого конусавсі утворюючі мають однакову довжину.

Точка, де ті, що утворюють перетинаються, називається вершиною фігури. На відміну від багатогранників, конус має єдину вершину і немає жодної грані.

Пряма лінія, що проходить через вершину фігури та центр кола, називається віссю. Вісь містить у собі висоту прямого конуса, тому вона з площиною основи утворює прямий кут. Ця інформація важлива для обчислення площі осьового перерізу конуса.

Круглий прямий конус – фігура обертання

Розглянутий конус є достатньо симетричною фігурою, що можна отримати в результаті обертання трикутника. Припустимо, що є трикутник із прямим кутом. Щоб отримати конус, достатньо обертати цей трикутник навколо одного з катетів так, як показано нижче.

Видно, що вісь обертання є віссю конуса. Один із катетів буде дорівнює висотіфігури, а другий катет стане радіусом основи. Гіпотенуза трикутника внаслідок обертання опише конічну поверхню. Вона буде утворювати конуса.

Зазначений спосіб отримання прямого круглого конуса зручно використовувати для вивчення математичного зв'язкуміж лінійними параметрами фігури: висоти h, радіуса круглої основи r та напрямної g. Відповідна формула випливає із властивостей прямокутного трикутника. Вона наведена нижче:

Оскільки ми маємо одне рівняння і три змінних, це означає, що для однозначного завдання параметрів круглого конуса необхідно знати дві будь-які величини.

Перетин конуса площиною, яка не містить вершини фігури

Питання побудови перерізів постаті перестав бути тривіальним. Справа в тому, що форма перерізу конуса поверхнею залежить від взаємного розташуванняфігури та січні.

Припустимо, що ми перетинаємо конус площиною. Який перетин вийде в результаті цієї геометричної операції? Варіанти форми перерізу показані на малюнку нижче.

Рожевий переріз є кругом. Воно утворено в результаті перетину фігури площиною, яка паралельна основі конуса. Це переріз перпендикулярно осі фігури. Утворена вище січною площиною фігура являє собою конус, подібний до вихідного, але має коло меншого розміру в основі.

Зелений перетин – це еліпс. Він виходить, якщо січна площина не паралельна до основи, проте вона перетинає тільки відсічену вище площину фігура називається еліптичним похилим конусом.

Синій та помаранчевий переріз мають форму параболи та гіперболи, відповідно. Як видно з малюнка, вони виходять, якщо січна площина одночасно перетинає бічну поверхнюта основу фігури.

Для визначення площ перерізів конуса, які були розглянуті, необхідно використовувати формули для відповідної фігури на площині. Наприклад, для кола це помножене на квадрат радіуса число Пі, а для еліпса - це твір Пі на довжину малої та великої півосей:

коло: S = pi * r 2;

еліпс: S = pi * a * b.

Перерізи, що містять вершину конуса

Тепер розглянемо варіанти перерізів, що виникають, якщо січна площина проходитиме через вершину конуса. Можливі три випадки:

1. Перетин – єдина точка. Наприклад, що проходить через вершину і паралельна основиплощина дає саме такий переріз.
2. Перетин – пряма. Ця ситуація виникає, коли площина є дотичною до конічної поверхні. Прямий переріз у цьому випадку буде утворюючий конус.
3. Осьовий переріз. Воно утворюється, коли площина містить як вершину фігури, а й її вісь. При цьому площина буде перпендикулярна до круглої основи і розділить конус на дві рівні частини.

Очевидно, що площі перших двох видів перерізів дорівнюють нулю. Що стосується площі перерізу конуса для 3-го виду, то це питання докладніше розглядається в наступному пункті.

Осьовий переріз

Вище зазначалося, що осьовим перетином конуса називається фігура, утворена при перетині конуса площиною, що проходить через його вісь. Неважко здогадатися, що цей перетин представлятиме фігуру, показану на малюнку нижче.

Це рівнобедрений трикутник. Вершина осьового перерізу конуса - це вершина цього трикутника, утворена перетином однакових сторін. Останні рівні довжині утворює конуса. Основа трикутника – це діаметр основи конуса.

Обчислення площі осьового перерізу конуса зводиться до знаходження площі отриманого трикутника. Якщо спочатку відомі радіус основи r і висота h конуса, тоді площа S перетину, що розглядається, буде дорівнює:

Цей вираз є наслідком застосування стандартної формулидля площі трикутника (половина добутку висоти на основу).

Зазначимо, що якщо дорівнюватиме діаметру його круглої основи, то осьовий перетин конуса - трикутник рівносторонній.

Трикутний переріз утворюється тоді, коли січна площина перпендикулярна до основи конуса і проходить через його вісь. Будь-яка інша площина, паралельна до названої, дасть у перерізі гіперболу. Однак якщо площина містить вершину конуса і перетинає його основу не через діаметр, то отриманий перетин буде також рівнобедреним трикутником.

Завдання визначення лінійних параметрів конуса

Покажемо, як користуватись записаною для площі осьового перерізу формулою для вирішення геометричної задачі.

Відомо, що площа осьового перерізу конуса дорівнює 100 см 2 . Отриманий у переріз трикутник є рівностороннім. Чому рівні висота конуса та радіус його основи?

Оскільки трикутник рівносторонній, його висота h пов'язані з довжиною боку a наступним співвідношенням:

Враховуючи, що сторона трикутника вдвічі більша за радіус основи конуса, і підставляючи цей вираз у формулу для площі перерізу, отримуємо:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

Тоді висота конуса дорівнює:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

Залишається підставити значення площі з умови завдання та отримати відповідь:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 см;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 см.

В яких сферах важливо знати параметри розглянутих перерізів?

Вивчення різних типівперерізів конуса представляє не тільки теоретичний інтерес, але також має практичну програму.

По-перше, слід зазначити область аеродинаміки, де за допомогою конічних перерізів вдається створювати ідеальні гладкі форми твердих тіл.

По-друге, конічні перерізи є траєкторіями, якими рухаються космічні об'єктив гравітаційних полях. Який конкретно представляє траєкторія руху космічних тілсистеми, визначається співвідношенням їх мас, абсолютних швидкостейта відстаней між ними.

Вам знадобиться

• Креслення конуса із заданими параметрами
• Лінійка
• Олівець
• Математичні формули та визначення
• Висота конуса
• Радіус кола основи конуса
• Формула площі трикутника

Інструкція

Накресліть конус із заданими параметрами. Позначте центр кола як О, а вершину як P. Вам необхідно знати радіус і висоту конуса. Згадайте висоти конуса. Вона є перпендикуляром, з вершини конуса до його основи. Точка перетину висоти конуса з основи прямого конуса збігається з центром кола основи. Побудуйте осьовий перетин конуса. Воно діаметром основи та утворюючими конуса, які проходять через точки перетину діаметра з колом. Позначте отримані точки як А та В.

Осьовий переріз утворений двома прямокутними трикутниками, що лежать в одній площині і мають один загальний катет. Обчислити площу осьового перерізу можна двома способами. Перший спосіб - знайти площі трикутників, що вийшли, і скласти їх разом. Це найбільш наочний спосіб, але насправді він нічим не відрізняється від класичного обчислення трикутника. Отже, у вас вийшло 2 прямокутні трикутники, загальним катетом яких є висота конуса h, іншими катетами - радіуси кола основи R, а гіпотенузами - конуса, що утворюють. Оскільки всі три сторони цих трикутників рівні між собою, то й самі трикутники теж вийшли рівними згідно третьої властивості рівності трикутників. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів, тобто S = 1/2Rh. Площа двох трикутників відповідно дорівнюватиме добутку основи на висоту, S=Rh.

Осьовий переріз найчастіше розглядають як , висотою якого є висота конуса. В даному випадку це трикутник АРВ, основа якого дорівнює діаметру кола основи конуса D, а висота дорівнює висоті конуса h. Площа його обчислюється за класичною формулою площі трикутника, тобто в результаті отримуємо ту саму формулу S = 1/2Dh = Rh, де S - площа трикутника, R - радіус кола основи, а h - висота трикутника, що є одночасно і висотою конуса.

Корисна порада

Площа осьового перерізу конуса обчислюється за формулою площі трапеції. У цьому випадку необхідно знати обидва радіуси основ, висоту та серединну лінію.

Джерела:

• Урок Тема “Речення конуса

Конус - тіло, отримане об'єднанням усіх променів, що виходять з однієї точки, яка називається вершиною конуса і проходять через плоску поверхню, яка називається основою конуса. Під площею конуса розуміють площу його бічної поверхні та площу основи, яка є колом.

Вам знадобиться

• Елементарні знаннястереометрії.

Інструкція

Остаточна площа конуса дорівнює сумі площ його поверхні та основи. Тобто S = П * R * R + П * R * l. Ну, або після перетворення S = П * R (R + l).

Відео на тему

Зверніть увагу

Площа – величина позитивна, і якщо ви отримали негативне значенняОтже, ви десь помилилися. Уважно перевіряйте всі свої розрахунки.

Корисна порада

Знаючи площу конуса та радіус його основи, можна знайти довжину його напрямної, а знаючи площу та довжину напрямної - радіус його основи.

Джерела:

• як знайти поверхню конуса в 2019

Побудова перерізу конуса не така вже складна задача. Головне - дотримуватися строгу послідовністьдій. Тоді це завдання буде легко здійсненне і не вимагатиме від Вас великих трудовитрат.

Вам знадобиться

• - папір;
• - ручка;
• - циркль;
• - Лінійка.

Інструкція

При відповіді це питання, спочатку слід визначитися – якими параметрами заданий перетин.
Нехай це буде пряма перетину площини l з площиною та точка О, яка є місцем перетину з його перетином.

Побудова ілюструє рис.1. Перший крок побудови перерізу – це через центр перерізу його діаметра, продовженого до l перпендикулярно до цієї лінії. У результаті виходить точка L. Далі через т.про проведіть пряму LW, і побудуйте дві напрямні конуса, що у головному перерізі О2М і О2С. У перетині цих напрямних лежать точка Q, і навіть показана точка W. Це перші дві точки шуканого перерізу.

Тепер проведіть в основі конуса ВВ1 перпендикулярний МС і побудуйте перпендикулярного перерізу О2В і О2В1, що утворюють. У цьому перерізі через т. проведіть пряму RG, паралельну ВВ1. Т.R і т.G - ще дві точки перетину шуканого. Якби переріз бал відомий, його можна було б побудувати вже на цій стадії. Однак це зовсім не еліпс, а щось еліпсообразне, що має симетрію щодо відрізку QW. Тому слід будувати якнайбільше точок перерізу, щоб з'єднуючи їх надалі плавною кривою отримати найбільш достовірний ескіз.

Побудуйте довільну точку перерізу. Для цього проведіть до підстави конуса довільний діаметр AN і побудуйте відповідні напрямні О2A і O2N. Через проведіть пряму, що проходить через PQ і WG, до її перетину з щойно побудованими напрямними в точках P і E. Це ще дві точки шуканого перерізу. Продовжуючи так само і далі, можна скільки завгодно шуканих точок.

Щоправда, процедуру їх отримання можна трохи спростити, користуючись симетрією щодо QW. Для цього можна в площині перетину шукати провести прямі SS', паралельні RG до перетину їх з поверхню конуса. Побудова завершується округленням збудованої ламаною з хорд. Достатньо побудувати половину шуканого перерізу з уже згаданої симетрії щодо QW.

Відео на тему

Порада 4: Як знайти площу осьового перерізу зрізаного конуса

Для того щоб вирішити дане завдання, необхідно згадати, що таке усічений конус і які властивості він має. Обов'язково зробіть креслення. Це дозволить визначити, яку геометричну фігуруявляє собою переріз. Цілком можливо, що після цього розв'язання задачі вже не представлятиме вам складності.

Інструкція

Круглий конус – тіло, отримане шляхом обертання трикутника навколо одного з його катетів. Прямі, що виходять із вершини конусаі перетинають його основу, називаються утворюючими. Якщо всі утворюють рівні, конус є прямим. В основі круглого конусалежить коло. Перпендикуляр, опущений на основу з вершини, є висотою конуса. У круглого прямого конусависота збігається з його віссю. Вісь – це пряма, що з'єднує з центром основи. Якщо горизонтальна січна площина кругового конуса, то його верхня основа є коло.

Оскільки за умови завдання не обумовлено, саме конус дається у разі, можна дійти невтішного висновку, що це прямий усічений конус, горизонтальне перетин якого паралельно підставі. Його осьовий перетин, тобто. вертикальна площина, яка через вісь круглого конуса, являє собою рівнобічну трапецію Усі осьові перерізукруглого прямого конусарівні між собою. Отже, щоб знайти площаосьового перерізу, потрібно знайти площатрапеції, основами якої діаметри основ усіченого конуса, а бічні сторони- Його утворюють. Висота усіченого конусає одночасно заввишки трапеції.

Площа трапеції визначається за формулою: S = ½(a+b) h, де S – площатрапеції; a – величина нижньої основи трапеції; b – величина її верхньої основи; h – висота трапеції.