Лінійні системи n-го порядку. Лінійні диф

Яким би легким не здавалося навколишнє повітря, воно не невагоме. При нормальній кімнатній температуріодин метр кубічний навколишньої суміші газів має масу більше кілограма. А з огляду на висоту земної атмосфери 118 кілометрів (правда, 80% усієї її маси зосереджені в п'ятнадцятикілометровому нижньому шарі), маємо дуже значний тиск біля поверхні планети. Приблизно на кожен квадратний сантиметрповерхні "тисне" близько одного кілограма. Не так уже й мало.

Що таке тиск

Земна атмосфера є надзвичайно нестатичною. Потоки теплого повітря, піднімаючись вгору, видавлюють ближче до поверхні охололі, щільніші, маси газів і водяної пари. Так як нагрів різних ділянок Землі не однаковий, підняття в стратосферу одних повітряних мас викликає приплив на їх місце інших, з нижніх шарів. Таким чином, над конкретною точкою земної поверхнів Наразічасу завжди знаходяться повітряні маси різної температури, вологості та складу, що викликає, природно, і постійну зміну атмосферного тиску.

То що ж вимірює барометр-анероїд та яка природа тиску? Вся справа в тому, що молекули газу – дуже рухливі частинки. Вони перебувають у постійному хаотичному русі (його прийнято називати "броунівським" на прізвище відкривача цього явища).

На малюнку показано якесь обмежений простір, всередині якого є молекули газу. Вони не перебувають у стані спокою. Рухаючись, відскакуючи один від одного, вони бомбардують стінки і дно циліндра, поршень. Якщо підвищити температуру всередині циліндра, частинки газу прискоряться, їх удари стануть сильнішими - тиск зросте. Можна стиснути газ, доклавши зусилля до поршня, - відстань між молекулами стане менше, їх зіткнення як один з одним, так і стінки циліндра частіше - знову зростання тиску.

У чому вимірюють тиск

У міжнародній системі одиниць тиск прийнято вимірювати у паскалях. Один паскаль - це такий тиск, при якому на один квадратний метрповерхні впливає сила, що дорівнює одному ньютону.

Один паскаль – досить маленький тиск, набагато менше кров'яного тиску людиниабо, скажімо, тиск у шинах автомобілів. Тому вказана фізична величиначастіше використовується з приставкою "мега" (помножити на мільйон). Так, наприклад, нормальний тискатмосфери біля Землі дорівнює 0,1 МПа чи 100 000 Па.

У техніці частіше використовують іншу величину для позначення тиску, більш зрозумілу, а саме – кілограми сили на квадратний сантиметр. У назві цієї величини цілком читається і ув'язнений у ній сенс - скільки кілограмів тисне на квадратний сантиметр поверхні.

Найпершими пристроями для вимірювання тиску (до того, як був винайдений барометр-анероїд), були прилади, що використовують вагу ртуті. Тому ще однією одиницею виміру, що з успіхом застосовується досі, є міліметри ртутного стовпа.

Пристрої для вимірювання тиску

Тиск буває істинним та відносним (надлишковим). Для вимірювання істинного тиску служить барометр-анероїд. Надлишковий тиск (саме він цікавить автолюбителів, що вимірюють тиск у шинах) показує, наскільки тиск у посудині перевищує тиск навколишнього повітря, і вимірюється відносно нескладно. Механічне обладнанняпорівнює тиск усередині та зовні. Справжній тиск виміряти складніше, тому що порівнювати можна тільки з глибоким вакуумом. Першими такими пристроями були ртутні барометри. Скляна трубка приблизно метрової довжини наповнювалася ртуттю, переверталася в посудину, що містить ртуть.

Рідкий металпід власною вагою рухався вниз, над ним утворювався вакуум, тиск вимірювався різницею рівнів ртуті в посудині та скляній трубці. Нормальним прийнято вважати тиск 760 мм ртутного стовпа.

Очевидно, що використання такого приладу не завжди зручне через його громіздкість, а також через отруйність пари ртуті. Прекрасним винаходом став метеорологічний барометр-анероїд, в якому спеціальний механізм «порівнює» атмосферний тиск з нульовим (глибокий вакуум), який створюється в спеціальній герметичній металевій посудині.

БАММ

Барометр-анероїд мембранний метеорологічний - саме так розшифровується назва найпоширенішого у світі приладу для вимірювання тиску. Прилад складається з кількох мембранних камер, зібраних у пакет. З них відкачано повітря.

Так як тиск всередині камер нульовий, атмосферний тиск, змінюючись, стискає їх або навпаки - дозволяє розширитися за рахунок пружності металу. Найменші вимірювання товщини мембран вловлюються чутливою стрілкою. Барометр-анероїд БАММ, на відміну від стародавнього ртутного побратима, абсолютно безпечний і набагато зручніший у використанні.

Сам собі метеоролог

Люди, які страждають на високий або низький артеріальний тиск, гіпертоніки, інші метеозалежні громадяни, а також любителі риболовлінайчастіше цікавляться атмосферним тиском. Інформація, що надходить із ЗМІ, має загальний характерТому куди краще мати власний барометр-анероїд, ціна якого 5-7 тисяч рублів. Такий барометр, як правило, розміщують у квартирі на чільному місці. Він класно виглядає на стіні в кабінеті мисливця чи рибалки між трофеями.

Крім системи «анероїд» в даний час широко використовуються електронні варіанти, що використовують п'єзо ефект. Ціна на такий прилад набагато нижче (може коштувати менше тисячі рублів). Його зручніше носити в рюкзаку, рибальському ящику - це справжня метеостанція в кишені.

У 1643 р. на пропозицію італійського фізикаЕванджелісти Торрічеллі (1бб8-1647) був зроблений наступний досвід. Скляну трубку довжини близько 1 м, запаяну з одного кінця, наповнюють ртуттю. Отвір трубки закривають пальцем, щоб ртуть не вилилася, і трубку опускають у вертикальному положенні отвором вниз у посудину з ртуттю. Якщо відібрати палець від отвору трубки, то стовп ртуті впаде до висоти близько 760 мм над рівнем ртуті в посудині (рис. 290).

Мал. 290. Трубка Торрічеллі

Користуючись міркуваннями попереднього параграфа, легко пояснити цей досвід. На вільну поверхню ртуті у посудині діє атмосферний тиск. Оскільки після опускання ртуті в трубці над ртуттю залишається порожнеча, то тиск стовпа ртуті, створюване всередині трубки лише на рівні поверхні ртуті в посудині, має дорівнювати атмосферному тиску. Тому взята у міліметрах висота стовпа над вільною поверхнею ртуті прямо вимірює тиск атмосфери у міліметрах ртутного стовпа. Таким чином, трубка Торрічеллі може бути для вимірювання тиску атмосфери. Вона грає роль барометра. Практично конструкція ртутного барометра складніша (рис. 291).

Мал. 291. Ртутний барометр

Мал. 292. При нахиленні трубки Торрічеллі рівень ртуті залишається на одній і тій же висоті

Отже, досвід показує, що атмосферний тиск становить близько 760 мм. Оскільки (§ 154), то атмосферний тиск дорівнює .

Таким чином, атмосферний тиск дорівнює тиску стовпа води висоти більше 10 м-коду.

Простір над стовпом ртуті в трубці в досвіді Торрічеллі називають торрічеллієвою порожнечею. Звичайно, це не абсолютна порожнеча: у цьому просторі є пара ртуті; своїм тиском він трохи знижує стовп ртуті у трубці. Однак практично цим можна знехтувати, оскільки тиск пари ртуті при кімнатній температурі мізерний. Надаватимемо трубці в досвіді Торрічеллі різні нахили (рис. 292). Ми побачимо, що кінець стовпа ртуті при зміні нахилу залишається на тій висоті над вільною поверхнею ртуті, хоча довжина стовпа стає при нахилі більше. Це тим, що, як ми вже знаємо, тиск залежить лише від висоти стовпа рідини, відрахованої по вертикалі. При достатньому нахилі трубки ртуть заповнює її всю; це вказує на відсутність повітря у трубці. При зміні атмосферного тиску змінюється висота стовпа ртуті в трубці. При збільшенні тиску стовпчик подовжується – «барометр піднімається». При зменшенні тиску барометр падає - стовп ртуті зменшує свою висоту.

Тиск атмосфери можна вимірювати таким самим мембранним манометром, яким ми користувалися для рідин (рис. 293). Для підвищення точності вимірювання коробки 1 манометра викачується частина повітря; мембрана 2 відтягується назовні пружиною 3. Мембрана зазвичай робиться хвилястою підвищення її гнучкості. Мембранні манометри для вимірювання атмосферного тиску називають барометрами-анероїдами (рис. 294). Анероїди градуюються і вивіряються по ртутному барометру. Вони менш надійні, ніж ртутний барометр, оскільки мають пружини та мембрани, які з часом можуть витягуватись або змінювати свою пружність. Зате анероїд - прилад набагато зручніший у користуванні, ніж ртутний барометр, що містить рідину. Тому анероїди отримали дуже велике поширенняу тих випадках, коли не потрібно дуже великої точності. При досить частій звірці з ртутним барометром вони дають надійні показання.

Мал. 293. Схема влаштування мембранного манометра для газів

Мал. 294. Барометр-анероїд

174.1. Як змінити шкалу барометричної трубки, нахиленої під кутом до вертикалі, щоб відлік можна було робити в міліметрах ртутного стовпа? Яку довжину потрібно взяти трубку?

174.2. Циліндричний посуд маси 10 кг, площа основи якого дорівнює , накривається кришкою. При викачуванні повітря з посудини кришка притискається до посудини атмосферним тиском. Якщо повітря відкачайте до тиску 50 мм.рт.ст., то якої маси вантаж потрібно привісити до посудини, щоб відірвати його від кришки?

n-го порядку

Теорема. Якщо y 0- Рішення однорідного рівняння L[y]=0, y 1- розв'язання відповідного неоднорідного рівняння L[y] = f(x), то сума y 0 + y 1є розв'язком цього неоднорідного рівняння.

Структура загального розв'язання неоднорідного рівняння визначається наступною теоремою.

Теорема. Якщо Y- приватне рішення рівняння L[y] = f(x)з безперервними коефіцієнтами, - загальне рішення відповідного однорідного рівняння L[y] = 0, то загальне рішення даного неоднорідного рівняння визначається формулою

Зауваження. Щоб записати загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння, необхідно знайти якесь окреме рішення цього рівняння та загальне рішення відповідного однорідного рівняння.

Лінійні неоднорідні рівняння n

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами

де a 1, a 2, …, a n - дійсні числа. Запишемо відповідне однорідне рівняння

Загальне рішення неоднорідного рівняння визначається формулою

Загальне вирішення однорідного рівняння y 0знаходити вміємо, приватне рішення Yможе бути знайдено методом невизначених коефіцієнтіву наступних найпростіших випадках:

У загальному випадкузастосовується метод варіації довільних постійних.

Метод варіації довільних постійних

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння n-го порядку зі змінними коефіцієнтами

Якщо перебування приватного розв'язання цього рівняння виявляється скрутним, але відомо загальне рішення відповідного однорідного рівняння, то загальне рішення неоднорідного рівняння можна знайти методом варіації довільних постійних.

Нехай відповідне однорідне рівняння

має спільне рішення

Загальне рішення неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді

де y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x)- лінійно-незалежні рішення однорідного рівняння, що входять до його загального рішення, а C 1 (x), C 2 (x), …, C n (x)- Невідомі функції. Щоб знайти ці функції, підкоримо їх деяким умовам.

Знайдемо похідну

Вимагаємо, щоб сума у ​​другій дужці дорівнювала нулю, тобто

Знайдемо другу похідну

і вимагатимемо, щоб

Продовжуючи аналогічний процес, отримаємо

У цьому випадку не можна вимагати, щоб сума у ​​другій дужці звернулася в нуль, оскільки функції C 1 (x), C 2 (x), …, C n (x)вже підпорядковані n-1умовам, а треба ще задовольнити вихідне неоднорідне рівняння.