Схема інтегрування раціональних дробів. Інтегрування дробово-раціональної функції

2., 5.
,

3.
, 6.
.

В інтегралах 1-3 якості u приймають . Тоді, після n-кратного застосування формули (19) прийдемо до одного з табличних інтегралів

,
,
.

В інтегралах 4-6 при диференціюванні спроститися трансцендентний множник
,
або
, який слід прийняти за u.

Обчислити такі інтеграли.

Приклад 7.

Приклад 8.

Приведення інтегралів до себе

Якщо підінтегральна функція
має вигляд:

,
,
і так далі,

то після дворазового інтегрування частинами отримаємо вираз, що містить вихідний інтеграл :

,

де
- Деяка постійна.

Дозволяючи отримане рівняння щодо , Отримаємо формулу для обчислення вихідного інтеграла:

.

Цей випадок застосування методу інтегрування частинами називається « приведення інтеграла до себе».

Приклад 9.Обчислити інтеграл
.

У правій частині стоїть вихідний інтеграл . Перенісши його в ліву частину, Отримаємо:

.

приклад 10.Обчислити інтеграл
.

4.5. Інтегрування найпростіших правильних раціональних дробів

Визначення.Найпростішими правильними дробами I , II і III типів називаються такі дроби:

I. ;

II.
; (
- ціле позитивне число);

III.
; (коріння знаменника комплексне, тобто:
.

Розглянемо інтеграли від найпростіших дробів.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Перетворимо чисельник дробу таким чином, щоб виділити в чисельнику доданок
, що дорівнює похідній знаменника.

Розглянемо перший із двох отриманих інтегралів і зробимо в ньому заміну:

У другому інтегралі доповнимо знаменник до повного квадрата:

Остаточно, інтеграл від дробу третього типу дорівнює:

=
+
. (22)

Таким чином, інтеграл від найпростіших дробів I типу виражається через логарифми, II типу – через раціональні функції, III типу через логарифми та арктангенси.

4.6.Інтегрування дробово-раціональних функцій

Одним з класів функцій, які мають інтеграл, виражений через елементарні функції, є алгебраїчний клас раціональних функцій, тобто функцій, що виходять в результаті кінцевого числа операцій алгебри над аргументом.

Будь-яка раціональна функція
може бути представлена ​​у вигляді відношення двох багаточленів
і
:

. (23)

Припускатимемо, що багаточлени не мають спільних коренів.

Дроб виду (23) називається правильною, якщо ступінь чисельника менше ступенязнаменника, тобто, m< n. В іншому випадку - неправильною.

Якщо дріб неправильний, то, розділивши чисельник на знаменник (за правилом поділу багаточленів), представимо дріб у вигляді суми багаточлена та правильного дробу:

, (24)

де
- багаточлен, - правильний дріб, причому ступінь багаточлена
- не вище ступеня ( n-1).

приклад.

Оскільки інтегрування многочлена зводиться до суми табличних інтегралів від статечної функції, то основна складність при інтегруванні раціональних дробів полягає в інтегруванні правильних раціональних дробів.

В алгебрі доведено, що всякий правильний дріб розкладається на суму розглянутих вище найпростішихдробів, вид яких визначається корінням знаменника
.

Розглянемо три окремі випадки. Тут і далі вважатимемо, що коефіцієнт при старшому ступені знаменника
дорівнює одиниці =1, тобтобагаточлен наведений .

Випадок 1.Коріння знаменника, тобто коріння
рівняння
=0, дійсні та різні. Тоді знаменник представимо у вигляді твору лінійних множників:

а правильний дріб розкладається на найпростіші дроби I-готипу:

, (26)

де
- Деякі постійні числа, що знаходяться методом невизначених коефіцієнтів

Для цього необхідно:

1. Навести праву частинурозкладання (26) до спільному знаменнику.

2. Прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях тотожних багаточленів, що стоять у чисельнику лівої та правої частин. Отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення
.

3. Вирішити отриману систему та знайти невизначені коефіцієнти
.

Тоді інтеграл дробово-раціональної функції (26) буде дорівнює суміінтегралів від найпростіших дробів I-готипу, що обчислюються за формулою (20).

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.Розкладемо знаменник на множники, використовуючи теорему Вієта:

Тоді підінтегральна функція розкладається на суму найпростіших дробів:

.

х:

Запишемо систему трьох рівнянь для знаходження
ху лівій та правій частинах:

.

Вкажемо простіший спосіб знаходження невизначених коефіцієнтівзваний методом приватних значень.

Вважаючи в рівності (27)
отримаємо
, звідки
. Вважаючи
отримаємо
. Нарешті, вважаючи
отримаємо
.

.

Випадок 2Коріння знаменника
дійсні, але серед них є кратні (рівні) корені. Тоді знаменник представимо у вигляді твору лінійних множників, що входять у твір тією мірою, якою є кратність відповідного кореня:

де
.

Правильний дріб буде розкладатися суму дробів I-го та II-го типів. Нехай, наприклад, - корінь знаменника кратності k, а решта ( n- k) Коріння різні.

Тоді розкладання матиме вигляд:

Аналогічно, якщо існує інше кратне коріння. Для некратного коріння в розкладання (28) входять найпростіші дроби першого типу.

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів першого та другого роду з невизначеними коефіцієнтами:

.

Наведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо багаточлени, що стоять у чисельниках лівої та правої частини:

У правій частині наведемо подібні при однакових ступенях х:

Запишемо систему чотирьох рівнянь для знаходження
і . Для цього прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях ху лівій та правій частині

.

Випадок 3.Серед коренів знаменника
є комплексне одноразове коріння. Тобто, до розкладання знаменника входять множники другого ступеня
, що не розкладаються на дійсні лінійні множники, причому вони не повторюються.

Тоді в розкладанні дробу кожному такому множнику буде відповідати найпростіший дріб III типу. Лінійним множникам відповідають найпростіші дроби I-го та II-го типів.

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.
.

.

.

Одним з найважливіших класів функцій, інтеграли від яких виражаються через елементарні функціїє клас раціональних функцій.

Визначення 1. Функція виду де
- багаточлени ступенівnіmназивається раціональною. Ціла раціональна функція, тобто. багаточлен, що інтегрується безпосередньо. Інтеграл від дробово-раціональної функціїможна знайти шляхом розкладання на доданки, які стандартним чином перетворюються на основні табличні інтеграли.

Визначення 2. Дроби
називається правильною, якщо ступінь чисельникаnменше ступеня знаменникаm. Дроб, у якого ступінь чисельника більший або дорівнює ступеню знаменника, називається неправильним.

Будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми багаточлена та правильного дробу. Це робиться за допомогою поділу багаточлена на багаточлен «стовпчиком», подібно до поділу чисел.

приклад.

Уявимо дріб
у вигляді суми багаточлена та правильного дробу:

x - 1

3

3

3

Перший доданок
у приватному виходить як результат поділу старшого члена
, поділеного на старший член хдільника. Потім множимо
на дільник х-1та отриманий результат віднімаємо з діленого; аналогічно перебувають інші доданки неповного приватного.

Виконавши поділ багаточленів, отримаємо:

Ця дія називається виділенням цілої частини.

Визначення 3. Найпростішими дробами називаються правильні раціональні дроби таких типів:

I.

ІІ.
(K = 2, 3, ...).

ІІІ.
де квадратний тричлен

IV.
де К = 2, 3, …; квадратний тричлен
не має дійсних коренів.

а) розкласти знаменник
на найпростіші дійсні множники (відповідно до основної теореми алгебри це розкладання може містити лінійні двочлени виду
і квадратні тричлени
, що не мають коріння);

б) написати схему розкладання даного дробу у сумі найпростіших дробів. При цьому кожному співмножнику виду
відповідає kскладових видів I та II:

кожному співмножнику виду
відповідає складових видів III і IV:

приклад.

Записати схему розкладання дробу
у суму найпростіших.

в) виконати складання отриманих найпростіших дробів. Записати рівність чисельників отриманого та вихідного дробів;

г) визначити коефіцієнти відповідного розкладання:
(методи рішення будуть розглянуті нижче);

д) знайдені значення коефіцієнтів підставити у схему розкладання.

Інтегрування будь-якого правильного раціонального дробу після розкладання на найпростіші доданки зводиться до знаходження інтегралів одного з типів:

(kі e =2, 3, …).

Обчислення інтегралу зводиться до формули III:

інтеграла - До формули II:

інтеграл можна знайти за правилом, зазначеним у теорії інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен; - шляхом перетворень, наведених нижче у прикладі 4.

приклад 1.

а) розкладемо знаменник на множники:

б) напишемо схему розкладання підінтегральної функції на доданки:

в) виконаємо складання найпростіших дробів:

Запишемо рівність чисельників дробів:

г) для знаходження невідомих коефіцієнтів A, B, C є два методи.

Два багаточлени рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях хтому можна скласти відповідну систему рівнянь. У цьому полягає один із методів рішення.

Коефіцієнти при

вільні члени (коеф. ):4А = 8.

Вирішивши систему, отримаємо А = 2, В=1, З = - 10.

Інший метод – приватних значень буде розглянутий у наступному прикладі;

д) підставимо знайдені значення у схему розкладання:

Підставляючи під знак інтеграла отриману суму, і інтегруючи кожен доданок окремо, знайдемо:

приклад 2.

Тотожність є рівність, справедливе за будь-яких значень невідомих. На цьому ґрунтується метод приватних значень.Можна надавати хбудь-які значення. Зручніше для обчислень брати ті значення, які перетворюють на нуль будь-які складові у правій частині рівності.

Нехай х = 0. Тоді 1 = А 0(0+2)+В 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Аналогічно при х = - 2маємо 1 = - 2В * (-3), при х = 1маємо 1 = 3А.

Отже,

приклад 3.

г) спочатку скористаємося методом приватних значень.

Нехай х = 0тоді 1 = А 1, А = 1.

При х = - 1маємо - 1+4+2+1 = - В(1+1+1)або 6 = - 3В, В = - 2.

Для знаходження коефіцієнтів З та D потрібно скласти ще два рівняння. Для цього можна взяти будь-які інші значення х, наприклад х = 1і х = 2. Можна скористатися першим способом, тобто. прирівняти коефіцієнти за будь-яких однакових ступенів х, наприклад при і . Отримаємо

1 = А + В + С та 4 = С +D- В.

Знаючи А = 1, В = -2, знайдемо З = 2, D = 0 .

Таким чином, при обчисленні коефіцієнтів можна поєднувати обидва методи.

Останній інтеграл знаходимо окремо за правилом, зазначеним у методі веління нової змінної. Виділимо повний квадрату знаменнику:

припустимо,
тоді
Отримаємо:

=

Підставляючи у попередню рівність, знайдемо

приклад 4.

Знайти

б)

д)

Інтегруючи, маємо:

Перший інтеграл перетворимо до формули III:

Другий інтеграл перетворимо до формули II:

У третьому інтегралі замінимо змінну:

(При виконанні перетворень скористалися формулою тригонометрії

Знайти інтеграли:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Запитання для самоперевірки.

Які з цих раціональних дробів є правильними:

2. Чи правильно записана схема розкладання дробу на суму найпростіших дробів?

Раніше йшлося про загальні прийоми інтегрування. У цьому й наступних параграфах ми говоритимемо про інтегрування конкретних класів функцій з допомогою розглянутих прийомів.

Інтегрування найпростіших раціональних функцій

Розглянемо інтеграл виду \textstyle(\int R(x)\,dx), Де y = R (x) - раціональна функція. Будь-яке раціональний вираз R(x) можна подати у вигляді \frac(P(x))(Q(x))де P(x) і Q(x) - багаточлени. Якщо цей дріб неправильний, тобто якщо ступінь чисельника більший або дорівнює ступеню знаменника, то його можна подати у вигляді суми багаточлена ( ціла частина) та правильного дробу. Тому достатньо розглянути інтегрування правильних дробів.

Покажемо, що інтегрування таких дробів зводиться до інтегрування найпростіших дробів, Т. е. Виразів виду:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q); \quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

де A,\,B,\,a,\,p,\,q - дійсні числаа квадратний тричлен x^2+px+q не має дійсних коренів. Вирази виду 1) і 2) називають дробами 1-го роду, а вирази виду 3) та 4) - дробами 2-го роду.

Інтеграли від дробів 1-го роду обчислюються безпосередньо

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1) + C ~ (n = 2,3,4, \ ldots). \end(aligned)

Розглянемо обчислення інтегралів від дробів 2-го роду: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Спочатку зауважимо, що

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C,qquad \int\frac(t\) ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Щоб звести обчислення інтеграла 3) до цих двох інтегралів, перетворимо квадратний тричлен x^2+px+q, виділивши з нього повний квадрат:

x^2+px+q= (\left(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Оскільки за припущенням цей тричлен немає дійсних коренів, то q-\frac(p^2)(4)>0і ми можемо покласти q-\frac(p^2)(4)=a^2. Підстановка x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dtперетворює інтеграл 3) до лінійної комбінації зазначених двох інтегралів:

\begin(aligned)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(aligned)

В остаточній відповіді потрібно лише замінити (t) x+\frac(p)(2) , а (a) на x \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Оскільки t^2+a^2=x^2+px+q , то

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Розглянемо випадок \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Як і попередньому випадку, покладемо x+\frac(p)(2)=t . Отримаємо:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Перший доданок обчислюється так:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Другий інтеграл обчислюється за допомогою рекурентної формули.

приклад 1.Обчислимо \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Рішення.Маємо: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Покладемо x+1=t. Тоді dx=dt та 3x+2=3(t-1)+2=3t-1і, отже,

\begin(aligned)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(aligned)

приклад 2.Обчислимо \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Рішення.Маємо: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Введемо нову змінну, поклавши x+3=t. Тоді dt=dx та x+2=t-1 . Замінивши змінну під знаком інтеграла, отримаємо:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(aligned))

Покладемо I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Маємо:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), але I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operatorname(arctg)tТаким чином, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Остаточно отримуємо:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operatorname(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)+C \end(aligned)

Інтегрування правильних дробів

Розглянемо правильний дріб R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), де Q(x) - багаточлен ступеня n. Не втрачаючи спільності, можна вважати, що старший коефіцієнт Q(x) дорівнює 1. У курсі алгебри доводиться, що такий многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути розкладений на множники першого і другого ступеня з дійсними коефіцієнтами:

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

де x_1, \ ldots, x_k -дійсне коріння многочлена Q (x), а квадратні тричлени не мають дійсних коренів. Можна довести, що тоді R(x) представляється як суми найпростіших дробів виду 1) -4):

\begin(aligned)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+ \ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta) ))(x^2+rx+s)\, \end(aligned)

де показники у знаменників послідовно зменшуються від \alpha до 1, ..., від \beta до 1, від \gamma до 1, ..., від \delta до 1, а A_1, \ldots,F_(\delta)- Невизначені коефіцієнти. Щоб знайти ці коефіцієнти, необхідно звільнитися від знаменників і, отримавши рівність двох многочленів, скористатися методом невизначених коефіцієнтів.

Інший спосіб визначення коефіцієнтів A_1, \ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta)заснований на підстановці значень змінної x. Підставляючи у рівність, отриману з рівності (1) після звільнення від знаменників, замість x будь-яке число, прийдемо до лінійному рівняннющодо шуканих коефіцієнтів. Шляхом підстановки необхідної кількостітаких приватних значень змінної отримаємо систему рівнянь знаходження коефіцієнтів. В якості приватних значень змінної найзручніше вибирати коріння знаменника (як дійсне, так і комплексне). При цьому майже всі члени в правій частині рівності (мається на увазі рівність двох багаточленів) звертаються в нуль, що дозволяє легко знаходити коефіцієнти, що залишилися. При підстановці комплексних значеньслід на увазі, що два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно їх дійсні і уявні частини. Тому з кожної рівності, що містить комплексні числа, Виходять два рівняння.

Після знаходження невизначених коефіцієнтів залишається обчислити інтеграли отриманих найпростіших дробів. Так як при інтегруванні найпростіших дробів виходять, як ми бачили, лише раціональні функції, арктангенси та логарифми, то інтеграл від будь-якої раціональної функції виражається через раціональну функцію, арктангенси та логарифми.

приклад 3.Обчислимо інтеграл від правильного раціонального дробу \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Рішення.Розкладемо знаменник підінтегральної функції на множники:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Випишемо підінтегральну функцію і подаємо її у вигляді суми найпростіших дробів:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

6x+1=Acdot (x+3)+Bcdot (x-1)\,.

Для пошуку коефіцієнтів скористаємося шляхом підстановки приватних значень. Для знаходження коефіцієнта A покладемо x=1. Тоді з рівності (2) отримаємо 7 = 4A, звідки A = 7/4. Для пошуку коефіцієнта B покладемо x=-3 . Тоді з рівності (2) отримаємо -17 = -4B, звідки B = 17/4.

Отже, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Значить,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

приклад 4.Обчислимо \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Рішення.Випишемо підінтегральну функцію і подаємо її у вигляді суми найпростіших дробів. У знаменнику міститься множник x^2+2, що не має дійсних коренів, йому відповідає дріб 2-го роду: \frac(Ax+B)(x^2+2)множнику (x-1)^2 відповідає сума двох дробів 1-го роду: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); нарешті, множнику x+2 відповідає один дріб 1-го роду frac(E)(x+2) . Таким чином, підінтегральну функцію ми подаємо у вигляді суми чотирьох дробів:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

\begin(aligned) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(aligned)

Знаменник підінтегральної функції має два дійсних кореня: x = 1 і x = -2. При підстановці в рівність (4) значення x = 1 отримуємо 16 = 9C, звідки знаходимо C = 16/9. При підстановці x = -2 отримуємо 13 = 54E і відповідно визначаємо E = 13/54. Підстановка значення x=i\,\sqrt(2) (кореня многочлена x^2+2) дозволяє перейти до рівності

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot (i \, \ sqrt (2) +2).

Воно перетворюється на вигляд:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,iзвідки 10A+2B=5 , а (2A-5B) \ sqrt (2) = 8 \ sqrt (2).

Розв'язавши систему двох рівнянь із двома змінними \begin(cases)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(cases)знаходимо: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Залишилося визначити значення коефіцієнта D. Для цього в рівності (4) розкриємо дужки, наведемо такі члени, а потім порівняємо коефіцієнти при x^4 . Отримаємо:

A+D+E=1 , тобто D=0 .

Підставимо знайдені значення коефіцієнтів у рівність (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

\begin(aligned)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(aligned)

Інтегрування неправильних дробів

Нехай потрібно проінтегрувати функцію y=\frac(f(x))(g(x)), де f(x) і g(x) - багаточлени, причому ступінь многочлена f(x) більший або дорівнює ступеню многочлена g(x) . У цьому випадку насамперед необхідно виділити цілу частину неправильного дробу \frac(f(x))(g(x)), тобто уявити її у вигляді

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

де s(x) - багаточлен ступеня, рівної різниціступенів багаточленів f(x) і g(x) , а \frac(r(x))(g(x))- правильний дріб.

Тоді маємо \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Приклад 5.Обчислимо інтеграл від неправильного дробу \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Рішення.Маємо:

\begin(aligned)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(aligned)

Для виділення цілої частини розділимо f(x) на g(x): \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Значить, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Маємо: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Для обчислення інтегралу \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dxзастосовується, як і вище, метод невизначених коефіцієнтів. Після обчислень, які ми залишаємо читачеві, отримуємо.

Інтегрування раціональних функцій Дробно – раціональна функція Найпростіші раціональні дроби Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Інтегрування найпростіших дробів Загальне правилоінтегрування раціональних дробів

багаточлен ступеня n. Дробно – раціональна функція Дробно – раціональною функцією називається функція, рівна відношеннюдвох багаточленів: Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь чисельника менший від ступеня знаменника, тобто m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Дробно – раціональна функція Навести неправильний дрібдо правильному вигляду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x x3 32

Найпростіші раціональні дроби Правильні раціональні дроби виду: Називаються найпростішими раціональними дробами типів. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Теорема: Будь-який правильний раціональний дріб, знаменник якого розкладений на множники: можна уявити, притому єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx Ak k x x B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx.

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Пояснимо формулювання теореми на наступні приклади: Для знаходження невизначених коефіцієнтів A, B, C, D … застосовують два методи: метод порівняння коефіцієнтів та метод приватних значень змінної. Перший метод розглянемо з прикладу. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Представити дроб у вигляді суми найпростіших дробів: Приведемо найпростіші дроби до спільного знаменника Прирівняємо чисельники вихідного дробу, що вийшов Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 1 )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Інтегрування найпростіших дробів Знайдемо інтеграли від найпростіших раціональних дробів: Інтегрування дробу 3 типу розглянемо на прикладі. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. Ak

Інтегрування найпростіших дробівdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 3 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg 33 2 9 ln 2 32

Інтегрування найпростіших дробів Інтеграл даного типуза допомогою підстановки: наводиться до суми двох інтегралів: Перший інтеграл обчислюється методом внесення під знак диференціала t. Другий інтеграл обчислюється за допомогою рекурентної формули: 1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Інтегрування найпростіших дробів a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t 2 (4)1(

Загальне правило інтегрування раціональних дробів Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми багаточлена та правильного дробу. Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, уявити його як суми найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами Знайти невизначені коефіцієнти методом порівняння коефіцієнтів чи методом приватних значень змінної. Проінтегрувати багаточлен та отриману суму найпростіших дробів.

Наведемо дріб до правильного вигляду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2

Приклад Розкладемо знаменник правильного дробу на множники Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів Знайдемо невизначені коефіцієнти методом приватних значень змінної xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Приклад dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln