Вирішення неоднорідного диференціального рівняння n го порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків

n-го порядку

Теорема. Якщо y 0- Вирішення однорідного рівняння L[y]=0, y 1- розв'язання відповідного неоднорідного рівняння L[y] = f(x), то сума y 0 + y 1є розв'язком цього неоднорідного рівняння.

Структура загального розв'язання неоднорідного рівняння визначається наступною теоремою.

Теорема. Якщо Y- приватне рішення рівняння L[y] = f(x)з безперервними коефіцієнтами, - загальне рішеннявідповідного однорідного рівняння L[y] = 0, то загальне рішення даного неоднорідного рівняння визначається формулою

Зауваження. Щоб записати загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння, необхідно знайти якесь окреме рішення цього рівняння та загальне рішення відповідного однорідного рівняння.

Лінійні неоднорідні рівняння n

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами

де a 1, a 2, …, a n - дійсні числа. Запишемо відповідне однорідне рівняння

Загальне рішення неоднорідного рівняння визначається формулою

Загальне вирішення однорідного рівняння y 0знаходити вміємо, приватне рішення Yможе бути знайдено методом невизначених коефіцієнтіву наступних найпростіших випадках:

У загальному випадкузастосовується метод варіації довільних постійних.

Метод варіації довільних постійних

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння n-го порядку зі змінними коефіцієнтами

Якщо перебування приватного розв'язання цього рівняння виявляється скрутним, але відомо загальне рішення відповідного однорідного рівняння, то загальне рішення неоднорідного рівняння можна знайти методом варіації довільних постійних.

Нехай відповідне однорідне рівняння

має спільне рішення

Загальне рішення неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді

де y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x)- лінійно-незалежні рішення однорідного рівняння, що входять до його загального рішення, а C 1 (x), C 2 (x), …, C n (x)- Невідомі функції. Щоб знайти ці функції, підкоримо їх деяким умовам.

Знайдемо похідну

Вимагаємо, щоб сума у ​​другій дужці дорівнювала нулю, тобто

Знайдемо другу похідну

і вимагатимемо, щоб

Продовжуючи аналогічний процес, отримаємо

У цьому випадку не можна вимагати, щоб сума у ​​другій дужці звернулася в нуль, оскільки функції C 1 (x), C 2 (x), …, C n (x)вже підпорядковані n-1умовам, а треба ще задовольнити вихідне неоднорідне рівняння.

Диференційне рівнянняn-ого порядку.

Якщо рівняння можна розв'язати щодо старшої похідної то має вигляд (1). Так само рівняння n-го порядку можна як системи з n рівнянь першого порядку.

(3)

Для рівняння n-ого порядку виконані умови теореми про існування і єдиність системи як (1)~(2)~(3).

Найпростіші випадки зниження порядку.

Рівняння не містять шуканої функції та її похідної до порядку k -1 включно , тобто

У цьому випадку порядок може бути знижений до
заміною. Якщо з цього рівняння виразити тоді рішення y можна визначити k-кратним інтегрованим функції p.

приклад.
.

Рівняння, що не містять невідомого змінного

(5)

І тут порядок можна знизити на одиницю підстановкою .

приклад.
.

Ліва частина рівняння

(6)

є похідна деякого диференціального виразу ( n -1)-го порядку .
. Якщо
- Рішення останнього рівняння, отже, існує. Ми отримали перший інтеграл рівняння (6) та знизили на одиницю ступінь розв'язуваного рівняння.

Зауваження.Іноді ліва частина (6) стає похідною диференціального рівняння (n-1)-го порядку тільки при множенні на
тому тут можуть з'явитися зайве рішення. в нуль) або ми можемо втратити рішення, якщо розривна функція.

приклад.

Рівняння

(7)

однорідно щодо та його похідних .

Або де показник
визначається за умов однорідності.

Порядок цього рівняння може бути знижено на одиницю заміною: .

Якщо підставити ці співвідношення (7) і врахувати однорідність функції F , то результаті отримаємо: .

приклад.
.

Диференціальні рівняння другого порядку,

що допускають зниження порядку.

Підстановка
.

Якщо рівняння (8) можна вирішити щодо старшої похідної, то рівняння
двічі інтегрується за змінною x.

Можна ввести параметр та замінити рівняння (8) його параметричним уявленням:
. Скориставшись співвідношенням для диференціалів:
, отримуємо:

II .
(9)

Скористаємося параметричним уявленням:

III.
. (10)

Зменшити порядок можна заміною:
.

Якщо рівняння (10) можна вирішити щодо старшої похідної
, то помножимо праву і ліву частинуна
. Отримаємо:.Це рівняння з змінними, що розділяються:
.

Можна рівняння (10) замінити його параметричним уявленням: . Скористаємося властивостями диференціалу:.

приклад.
.

Лінійні диференціальні рівнянняn-ого порядку.

Визначення. Лінійними диференціальними рівняннями n -го порядку називаються рівняння виду:
. (1)

Якщо коефіцієнти безперервні на
, то на околиці будь-яких початкових значень виду:, де належить інтервалу, то навколо цих початкових значень задовольняються умови теореми про існування та єдиність. Лінійність і однорідність рівняння (1) зберігається за будь-якого перетворення
, де - довільна nраз диференційована функція. Причому
. Лінійність та однорідність зберігається при лінійному та однорідному перетворенні невідомої функції.

Введемо лінійний диференціальний оператор: , Тоді (1) можна записати так:
. Визначник Вронського для
матиме вигляд:

, де - Лінійно незалежні рішення рівняння (1).

Теорема 1. Якщо лінійно незалежні функції
- це рішення лінійного однорідного рівняння (1) з безперервними на
коефіцієнтами
, то визначник Вронського
не звертається в нуль в жодній точці відрізка
.

Теорема 2. Загальним рішенням лінійного однорідного рівняння (1) з безперервними на
коефіцієнтами
буде лінійна комбінація рішень , тобто
(2), де
лінійно незалежні на відрізку
приватні рішення (1).

(доводиться аналогічно випадку системи лінійних диференціальних рівнянь)

Слідство.Максимальна кількість лінійно незалежних рішень(1) і його порядку.

Знаючи одне нетривіальне приватне рішення рівняння (1) -
, можна зробити підстановку
і знизити порядок рівняння, зберігши його лінійність та неоднорідність. Зазвичай, цю підстановку розбивають на дві. Оскільки це лінійно однорідне уявлення, воно зберігає лінійність і однорідність (1), отже (1) має бути приведено до виду. Рішенню
в силу
відповідає рішення
, і, отже,
. Зробивши заміну
, Отримаємо рівняння з порядком
.

Лемма. (3)

Два рівняння виду (3) і (4), де Q i і P i – безперервні функції, мають загальну фундаментальну систему рішень, збігаються, тобто. Q i (x) = P i (x), i = 1,2, ... n,  x

З леми можна дійти невтішного висновку, що фундаментальна система рішень y 1 y 2 …y n повністю визначає лінійне однорідне рівняння (3).

Знайдемо вид рівняння (3), що має фундаментальну систему розв'язків y 1 y 2 … y n . Будь-яке рішення y(x) рівняння (3) лінійно залежить від фундаментальної системи рішень, що означає, що W=0. Розкладемо визначник Вронського W за останнім стовпцем.

Рівняння (5) є лінійним диференційним рівнянням, що має дану систему фундаментальних рішень. Ми можемо (5) поділити на W, т.к. він не дорівнює нулю  x. Тоді:

(*)

За правилом диференціювання визначника, похідна від визначника дорівнює сумі по i = 1,2 ... n визначників, i-ий рядок кожного з яких дорівнює похідній від i-го рядка вихідного визначника. У цій сумі всі визначники, крім останнього, дорівнюють нулю (бо у них по два однакові рядки), а останній дорівнює (*). Таким чином, отримаємо:

тоді:
(6)

(7)

Визначення. Формули (6) та (7) називаються формулами Остроградського-Ліувіля.

Використовуємо (7) для інтегрування однорідного лінійного рівняння другого порядку. І нехай нам відоме одне із рішень y 1 рівняння (8).

Відповідно до (7) будь-яке рішення (8) має задовольняти наступному співвідношенню:

(9)

Скористаємося методом інтегруючого множника.

Лінійні однорідні рівнянняз

постійними коефіцієнтами.

Якщо в лінійному однорідному рівнянні всі коефіцієнти постійні,

a 0 y (n) + a 1 y (n-1) + .... + a n y = 0, (1)

то приватні рішення (1) можуть бути визначені у вигляді: y = e kx де k - постійна.

0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….

Визначення. (3) - характеристичне рівняння.

Вигляд рішення (1) визначається корінням характеристичного рівняння (3).

1). Всі коріння речові та різні тоді:

2). Якщо всі коефіцієнти речові, то коріння може бути комплексно-сполученим. .

k 1 =+i k 2 =-i

Тоді рішення мають вигляд:

Відповідно до теореми: якщо оператор із речовими коефіцієнтами має комплексно-сполучені рішення, то їх дійсна та уявна частини також є рішеннями. Тоді:

приклад.

Рішення представимо у вигляді
, Тоді характеристичне рівняння має вигляд:

, Отримаємо два рішення:

тоді потрібна функція:

3). Є кратне коріння: k i з кратністю  i . У цьому випадку кількість різних рішень
буде меньшеn, отже, потрібно шукати недостатньо лінійно-незалежні рішення в іншому вигляді. Наприклад:

Доведення:

Припустимо, k i =0, якщо підставити його в (3), то отримаємо, що тоді:

- Приватні рішення (3).

Нехай k i 0, зробимо заміну
(6)

Підставимо (6) (1), отримаємо відносно z лінійне однорідне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами (7).

Коріння (3) відрізняється від коренів характеристичного рівняння (7) на доданок k i .

(8)

Якщо k=k i , тоді цьому k відповідає рішення рівняння (7) з коренем p=0 , тобто. відповідають рішення виду z=
тоді y=- рішення рівняння (1). А загальне рішення має вигляд:

рішення для k i



Рівняння Ейлер.

Визначення. Рівняння виду:

a i -постійні коефіцієнти, називається рівнянням Ейлера.

Рівняння Ейлера заміною x = e t зводиться до однорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами.

Можна шукати рішення у вигляді y=x k , тоді вони мають вигляд:

Лінійні неоднорідні рівняння.

Якщо a 0 (x)0, то розділивши цей коефіцієнт рівняння (1), отримаємо:

.

Якщо b i і f безперервні, то (2) має єдине рішення, що задовольняє відповідним початковим умовам . Якщо у явному вигляді висловити старші похідні з (2), то отримаємо рівняння, права частина якого задовольняє теорему про існування та єдиність. Так як оператор L лінійний, значить для (2) виконується:

1).
- рішення (2), якщо - Вирішення неоднорідного рівняння (2), а - Вирішення відповідного однорідного рівняння.

2). Якщо - рішення
, то
вирішення рівняння
.

Властивість 2 – принцип суперпозиції, він справедливий за
якщо ряд
- сходиться та допускає m-кратне почленное диференціювання.

3) Нехай дано операторне рівняння
, де L - це оператор з коефіцієнтами , Усе - Речові. Функції U і V теж речові. Тоді, якщо це рівняння має рішення
, то рішенням цього ж рівняння будуть і уявна і речова частина:
і
. При чому кожен із них відповідає рішенню.

Теорема. Загальне рішення неоднорідного рівнянняn-порядку
на відрізку [a, b] за умови, що всі коефіцієнти
та права частина
- безперервні функції, можна у вигляді суми загального рішення, відповідної однорідної системи
та приватного вирішення неоднорідної -
.

Тобто. Рішення
.

Якщо неможливо у явному вигляді підібрати приватні рішення неоднорідної системи, можна скористатися методом варіації постійної . Рішення шукатимемо у вигляді:

(3)

де
рішення однорідної системи,
- Невідомі функції.

Усього невідомих функцій
- n. Вони повинні задовольняти вихідне рівняння (2).

Підставивши в рівняння (2) вираз y(x), ми отримаємо умови визначення лише однієї невідомої функції. Щоб визначити інші (n-1)-ну функції, необхідно ще (n-1)-але додаткову умову, їх можна вибрати довільно. Виберемо їх так, щоб рішення (2) - y(x) мало вигляд такий самий, як якщо б
були константами.

,

т.к.
поводяться як константи, то
отже, і
.

Т.о. ми отримаємо (n-1) але умова додатково до рівняння (1). Якщо підставити вираз для похідних до рівняння (1) і врахувати всі отримані умови і те, що y – рішення відповідної однорідної системи, ми отримаємо останню умову для
.

Перейдемо до системи:

(3)

Визначник системи (3) – це (W) визначник Вронського, а т.к. y i – це рішення однорідної системи, то W0 на .

приклад. Неоднорідне рівняння

, відповідне йому однорідне рівняння

Рішення шукаємо у виглядіy= e kx . Характеристичне рівнянняk 2 +1 = 0, тобто.k 1,2 =  i

y= e ix = cos x + i sin x, загальне рішення -

Скористаємося методом варіації постійної:

Умови для
:

, Що еквівалентно запису:

Звідси:

Рівняння, що вирішуються безпосереднім інтегруванням

Розглянемо диференціальне рівняння наступного виду:
.
Інтегруємо n разів.
;
;
і так далі. Також можна використовувати формулу:
.
Див. Диференціальні рівняння, що вирішуються безпосереднім інтегруванням > > >

Рівняння, що не містять залежну змінну y у явному вигляді

Підстановка призводить до зниження порядку рівняння на одиницю. Тут - функція від.
Див. Диференціальні рівняння вищих порядків, що не містять функції у явному вигляді > > >

Рівняння, що не містять незалежну змінну x у явному вигляді

.
Вважаємо, що є функцією від . Тоді
.
Аналогічно інших похідних. Через війну порядок рівняння знижується на одиницю.
Див. Диференціальні рівняння вищих порядків, що не містять змінну у явному вигляді.

Рівняння, однорідні щодо y, y′, y′′, ...

Для вирішення цього рівняння, робимо підстановку
,
де - функція від. Тоді
.
Аналогічно перетворимо похідні і т.д. Через війну порядок рівняння знижується на одиницю.
Див. Однорідні щодо функції та її похідних диференціальні рівняння вищих порядків.

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння n-го порядку:
(1) ,
де - функції від незалежної змінної. Нехай є n лінійно незалежних розв'язків цього рівняння. Тоді загальне рішення рівняння (1) має вигляд:
(2) ,
де – довільні постійні. Самі функції утворюють фундаментальну системурішень.
Фундаментальна система рішеньлінійного однорідного рівняння n-го порядку - це n лінійно незалежних розв'язків цього рівняння.

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння n-го порядку:
.
Нехай є приватне (будь-яке) рішення цього рівняння. Тоді загальне рішення має вигляд:
,
де – загальне рішення однорідного рівняння (1).

Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та приведені до них

Лінійні однорідні рівняння із постійними коефіцієнтами

Це рівняння виду:
(3) .
Тут – дійсні числа. Щоб знайти загальне рішення цього рівняння, нам потрібно знайти n лінійно незалежних рішень, які утворюють фундаментальну систему рішень. Тоді загальне рішення визначається за формулою (2):
(2) .

Шукаємо рішення у вигляді. Отримуємо характеристичне рівняння:
(4) .

Якщо це рівняння має різне коріння , то фундаментальна система рішень має вигляд:
.

Якщо мається комплексний корінь
,
то існує і комплексно пов'язаний корінь. Цим двом корінням відповідають рішення і , які включаємо в фундаментальну систему замість комплексних рішеньта .

Кратним коріннямкратності відповідають лінійно незалежних решений: .

Кратним комплексним корінням кратності та їх комплексно пов'язаних значень відповідають лінійно незалежних рішень:
.

Лінійні неоднорідні рівняння із спеціальною неоднорідною частиною

Розглянемо рівняння виду
,
де - багаточлени ступенів s 1 та s 2 ; - Постійні.

Спершу ми шукаємо загальне рішення однорідного рівняння (3). Якщо характеристичне рівняння (4) не містить корінь, то шукаємо приватне рішення у вигляді:
,
де
;
;
s - найбільше з s 1 та s 2 .

Якщо характеристичне рівняння (4) має корінькратності, то шукаємо приватне рішення у вигляді:
.

Після цього отримуємо загальне рішення:
.

Лінійні неоднорідні рівняння із постійними коефіцієнтами

Тут можливі три способи розв'язання.

1) Метод Бернуллі.
Спочатку знаходимо будь-яке, відмінне від нуля, рішення однорідного рівняння
.
Потім робимо підстановку
,
де - функція від змінної x. Отримуємо диференціальне рівняння для u, яке містить лише похідні від u до x. Виконуючи підстановку, отримуємо рівняння n - 1 - го порядку.

2) Метод лінійної підстановки .
Зробимо підстановку
,
де - один з коренів характеристичного рівняння(4). В результаті отримаємо лінійне неоднорідне рівняння з постійними коефіцієнтами порядку. Послідовно застосовуючи таку підстановку, наведемо вихідне рівняння рівняння першого порядку.

3) Метод варіації постійних Лагранжа.
У цьому вся методі ми спочатку вирішуємо однорідне рівняння (3). Його рішення має вигляд:
(2) .
Далі ми вважаємо, що постійні є функціями змінної x . Тоді рішення вихідного рівняння має вигляд:
,
де – невідомі функції. Підставляючи вихідне рівняння і накладаючи деякі обмеження, отримуємо рівняння, у тому числі можна знайти вид функцій .

Рівняння Ейлера

Воно зводиться до лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами підстановки:
.
Однак для вирішення рівняння Ейлера робити таку підстановку немає необхідності. Можна відразу шукати рішення однорідного рівняння у вигляді
.
В результаті отримаємо такі ж правила, як і для рівняння з постійними коефіцієнтами, в яких замість змінної слід підставити.

Використана література:
В.В. Степанов, Курс диференціальних рівнянь, «ЛКІ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.