Математичне моделювання фізичних процесів у comsol. Введення в COMSOL Multiphysics
Електричні кабелі характеризуються такими параметрами, як імпеданс та коефіцієнт загасання. У даному топіці буде розглянуто приклад моделювання коаксіального кабелю, для якого існує аналітичне рішення. Ми покажемо вам, як розрахувати параметри кабелю, виходячи з результатів моделювання електромагнітних полів серед COMSOL Multiphysics. Розібравшись із принципами побудови моделі коаксіального кабелю, надалі ми зможемо застосовувати отримані знання для обчислення параметрів ліній або кабелів довільного типу.
Питання проектування електричних кабелів
Електричні кабелі, звані також лініями електропередачі, нині повсюдно застосовуються передачі даних і електроенергії. Навіть якщо ви читаєте цей текст з екрана на стільникового телефону або планшетного комп'ютера, використовуючи "бездротовий" зв'язок, все одно всередині вашого пристрою залишаються "провідні" лінії електропередач, що з'єднують різні електричні компоненти в єдине ціле. А повернувшись увечері додому, ви, швидше за все, підключіть кабель живлення для зарядки.
Застосовуються найрізноманітніші лінії електропередач від малих, виконаних як копланарних хвилеводів на друкованих монтажних платах, до великих високовольтних ліній електропередачі . Вони також повинні функціонувати в різних і, найчастіше, екстремальних режимах та умовах експлуатації, від трансатлантичних телеграфних кабелів до електропроводки на космічних кораблях, зовнішній вигляд якої наведено на малюнку нижче. Лінії передачі необхідно розробляти з урахуванням усіх необхідних вимог, щоб гарантувати їхню надійну роботу в заданих умовах. Крім цього, вони можуть бути предметом досліджень з метою подальшої оптимізації конструкції, включаючи виконання вимог щодо механічної міцності та малої ваги.
З'єднувальні дроти у вантажному відсіку макету шатлу OV-095 у Shuttle Avionics Integration Laboratory (SAIL).
При проектуванні та використанні кабелів, інженери часто оперують з розподіленими (або питомими, тобто припадають на одиницю довжини) параметрами для послідовного опору (R), послідовної індуктивності (L), ємності шунтуючої (C), і шунтуючої провідності (G, іноді званою провідністю ізоляції). Ці параметри можна використовувати для розрахунку якості функціонування кабелю, його характеристичного імпедансу і втрат у ньому при поширенні сигналів. Однак важливо мати на увазі, що ці параметри знаходяться з вирішення рівнянь Максвелла електромагнітного поля. Для чисельного розв'язання рівнянь Максвелла з метою розрахунку електромагнітних полів, а також для обліку впливу мультифізичних ефектів можна використовувати середовище COMSOL Multiphysics, що дозволить визначити, яким чином змінюються параметри кабелю та його ефективність за різних режимів роботи та умов експлуатації. Розроблена модель може бути згодом перетворена на інтуїтивно-зрозумілий додаток, подібно до наведеного , який розраховує параметри для стандартних і часто використовуваних ліній передач.
У даному топіці ми розберемо випадок коаксіального кабелю — фундаментального завдання, яке зазвичай міститься в будь-якому стандартному навчальному курсі НВЧ-технікою або лініями електропередач. Коаксіальний кабель є настільки фундаментальним фізичним об'єктом, Що Олівер Хевісайд (Oliver Heaviside) запатентував його в 1880 році, лише через кілька років після того, як Максвелл сформулював свої знамениті рівняння. Для студентів, які вивчають історію науки, — це той самий Олівер Хевісайд, який вперше сформулював рівняння Максвелла в тому векторному вигляді, який тепер є загальноприйнятим; той, хто вперше використав термін “імпеданс”; і хто зробив вагомий внесок у розвиток теорії ліній електропередач.
Результати аналітичного рішення для коаксіального кабелю
Почнемо свій розгляд з коаксіального кабелю, що має характерні розміри, позначені на схематичному зображенні поперечного перерізу, представленому нижче. Діелектрична серцевина між внутрішнім і зовнішнім провідником має відносну діелектричну проникність ( \epsilon_r = \epsilon" -j\epsilon"") рівну 2.25 – j*0.01, відносну магнітну проникність (mu_r ) рівну 1 і нульову провідність, тоді як внутрішній і зовнішній провідники мають провідність (sigma ) рівної 5.98e7 С/м (Сіменс/метр).
2D поперечний переріз коаксіального кабелю зі значеннями характерних розмірів: a = 0.405 мм, b = 1.45 мм, і t = 0.1 мм.
Стандартний метод розв'язання для ліній електропередач полягає в тому, що структура електромагнітних полів у кабелі передбачається відомою, а саме вважається, що вони будуть осциллювати і згасати у напрямку розповсюдження хвилі, у той час як у поперечному напрямку профіль перерізу поля залишається незмінним. Якщо потім ми знаходимо рішення, що задовольняє вихідним рівнянням, то через теорему єдиності, знайдене рішення буде вірним.
Математичною мовою все вищесказане еквівалентно тому, що рішення рівнянь Максвелла шукається у вигляді анзац-форми
для електромагнітного поля , де (gamma = alpha + j beta ) є комплексною постійною поширення, а alfa і beta є коефіцієнтами згасання і поширення, відповідно. У циліндричних координатах для коаксіального кабелю це призводить до добре відомих рішень для полів
\begin(align)
\mathbf(E)&= \frac(V_0\hat(r))(rln(b/a))e^(-\gamma z)\\
\mathbf(H)&= \frac(I_0\hat(\phi))(2\pi r)e^(-\gamma z)
\end(align)
з яких потім виходять розподілені параметри на одиницю довжини
\begin(align)
L& = \frac(\mu_0\mu_r)(2\pi)ln\frac(b)(a) + \frac(\mu_0\mu_r\delta)(4\pi)(\frac(1)(a)+ \frac(1)(b))\\
C& = \frac(2\pi\epsilon_0\epsilon")(ln(b/a))\\
R& = \frac(R_s)(2\pi)(\frac(1)(a)+\frac(1)(b))\\
G& = \frac(2\pi\omega\epsilon_0\epsilon"")(ln(b/a))
\end(align)
де R_s = 1/\sigma\delta - поверхневий опір, а \delta = \sqrt(2/\mu_0\mu_r\omega\sigma)є.
Надзвичайно важливо підкреслити, що співвідношення для ємності та шунтуючої провідності виконуються для будь-яких частот, у той час як вирази для опору та індуктивності залежать від глибини скін-шару і, отже, застосовні тільки при частотах, на яких глибина скін-шару набагато менша за фізичну товщину провідника. Саме тому другий член у вираженні для індуктивності, званий також внутрішньою індуктивністюможе бути незнайомим деяким читачам, тому що їм зазвичай нехтують, коли метал розглядається як ідеальний провідник. Цей член є індуктивністю, викликаною проникненням магнітного поля в метал, що володіє кінцевою провідністю, і зневажливо малий при досить високих частотах. (Він також може бути представлений у вигляді L_(Internal) = R/omega .)
Для подальшого зіставлення з чисельними результатами, можна обчислити співвідношення для опору постійному струму з виразу для провідності та площі поперечного перерізу металу. Аналітичний вираз для індуктивності (по постійному струму) трохи складніший, і тому ми наводимо його для довідки.
L_(DC) = \frac(\mu)(2\pi)\left\(ln\left(\frac(b+t)(a)\right) + \frac(2\left(\frac(b)) (a)\right)^2)(1- \left(\frac(b)(a)\right)^2)ln\left(\frac(b+t)(b)\right) – \frac( 3)(4) + \frac(\frac(\left(b+t\right)^4)(4) – \left(b+t\right)^2a^2+a^4\left(\frac) (3)(4) + ln\frac(\left(b+t\right))(a)\right) )(\left(\left(b+t\right)^2-a^2\right) ^2)\right\)
Тепер, коли у нас є значення C і G у всьому діапазоні частот, значення для R і L по постійному струму, і їх асимптотичні значення в області високих частот, ми маємо чудові орієнтири для порівняння з чисельними результатами.
Моделювання кабелів у модулі AC/DC
При постановці задачі для чисельного моделювання завжди важливо враховувати наступний момент: чи можливе використання симетрії задачі для зменшення розмірів моделі та збільшення швидкості обчислень. Як ми бачили раніше, точне рішення матиме вигляд \mathbf(E)\left(x,y,z\right) = \mathbf(\tilde(E))\left(x,y\right)e^(-\gamma z). Оскільки цікава для нас просторова зміна полів, відбувається в першу чергу в xy-площини, ми хочемо виконати моделювання тільки в 2D-поперечному перерізі кабелю. Однак при цьому виникає проблема, яка полягає в тому, що для 2D-рівнянь, що використовуються в AC/DC модулі, передбачається, що поля залишаються інваріантними в напрямку площини перпендикулярному моделювання. Це означає, що ми не зможемо отримати інформацію про просторову зміну анзац-рішення за рахунок єдиного 2D AC/DC-моделювання. Однак за допомогою моделювання у двох різних площинах це можливо. Послідовний опір та індуктивність залежать від струму та енергії, запасеної в магнітному полі, тоді як шунтуюча провідність та ємність залежать від енергії в електричному полі. Розглянемо ці аспекти докладніше.
Розподілені параметри для провідності та ємності, що шунтує.
Оскільки шунтуюча провідність та ємність можуть бути розраховані, виходячи з розподілу електричного поля, почнемо із застосування інтерфейсу Електричні струми.
Граничні умови та властивості матеріалу для інтерфейсу моделюванняЕлектричні струми.
Після того, як геометрія моделі визначена та присвоєно значення властивостям матеріалу, робиться припущення про те, що поверхня провідників є еквіпотенційною (що абсолютно обґрунтовано, оскільки різниця у провідності між провідником та діелектриком становить, як правило, майже 20 порядків за величиною). Потім ми задаємо значення фізичних параметрів, привласнюючи внутрішньому провіднику електричний потенціал V0 і заземлення зовнішнього провідника для знаходження електричного потенціалу в діелектриці. Вищезгадані аналітичні вирази для ємності виходять з наступних найбільш загальних співвідношень
\begin(align)
W_e& = \frac(1)(4)\int_(S)()\mathbf(E)\cdot \mathbf(D^\ast)d\mathbf(S)\\
W_e& = \frac(C|V_0|^2)(4)\\
C& = \frac(1)(|V_0|^2)\int_(S)()\mathbf(E)\cdot \mathbf(D^\ast)d\mathbf(S)
\end(align)
де перше співвідношення є рівнянням електромагнітної теорії, а друге рівнянням теорії ланцюгів.
Третє співвідношення є комбінацією першого та другого рівнянь. Підставляючи вищезгадані відомі вирази для полів, ми отримаємо наведений раніше аналітичний результатдля C у коаксіальному кабелі. У результаті ці рівняння дозволяють визначити ємність через значення полів для довільного кабелю. За результатами моделювання ми можемо обчислити інтеграл щільності електричної енергії, що дає для ємності значення 98.142 пФ/м і збігається з теорією. Оскільки G і C пов'язані виразом
G=\frac(\omega\epsilon"" C)(\epsilon")
у нас тепер є два з чотирьох параметрів.
Варто повторити, що ми зробили припущення про те, що провідність діелектричної області дорівнює нулю. Це стандартне припущення, яке робиться у всіх навчальних посібниках, і ми також дотримуємося цієї угоди, тому що вона не має істотного впливу на фізику — на відміну від включення нами на розгляд члена внутрішньої індуктивності, що обговорювалося раніше. Багато матеріалів для діелектричного сердечника мають ненульову провідність, але це легко може бути враховано при моделюванні, просто підставивши нові значення у властивості матеріалу. У цьому випадку, для забезпечення належного зіставлення з теорією, необхідно також внести відповідні поправки до теоретичних виразів.
Питомі параметри для послідовного опору та індуктивності
Аналогічним чином, послідовний опір та індуктивність можна розрахувати за допомогою моделювання під час використання інтерфейсу Магнітні поляу модулі AC/DC. Налаштування моделювання є елементарними, що ілюструється на малюнку нижче.
Області провідників додаються до вузлаОдновиткова Котушка в розділіГрупа котушок , і, обрана опція зворотного напрямку струму гарантує, що напрям струму у внутрішньому провіднику буде протилежним струму зовнішнього провідника, що позначається на малюнку крапками та хрестиками. При розрахунку частотної залежності враховуватиметься розподіл струму в одновитковій котушці, а не довільний розподіл струму, показаний на малюнку.
Для обчислення індуктивності звернемося до наступних рівнянь, які є магнітним аналогом попередніх рівнянь.
\begin(align)
W_m& = \frac(1)(4)\int_(S)()\mathbf(B)\cdot \mathbf(H^\ast)d\mathbf(S)\\
W_m& = \frac(L|I_0|^2)(4)\\
L& = \frac(1)(|I_0|^2)\int_(S)()\mathbf(B)\cdot \mathbf(H^\ast)d\mathbf(S)
\end(align)
Для обчислення опору застосовується дещо інша техніка. Спочатку, ми інтегруємо резистивні втрати для визначення розсіюваної потужності, що припадає на одиницю довжини. А потім використовуємо добре відоме співвідношення P = I_0^2R/2 для розрахунку опору. Оскільки R та L змінюються з частотою, давайте подивимося на розрахункові значення та аналітичне рішення у межі постійного струму та в області високих частот.
“Аналітичне рішення для постійного струму” та ”Аналітичне рішення у сфері високих частот” графічні залежності відповідають рішенням аналітичних рівнянь для постійного струму та області високих частот, які обговорювалися раніше у тексті статті. Зазначимо, що обидві залежності наведені в логарифмічному масштабі частотної осі.
Добре видно, що розрахункові значення плавно переходять з рішення для постійного струму в області низьких частот високочастотне рішення, яке буде справедливим при глибині скін-шару багато меншої товщини провідника. Розумно припустити, що перехідна область розташовується приблизно там по осі частот, де глибина скін-шару і товщина провідника різняться не більше ніж на порядок величини. Ця область лежить у діапазоні від 4.2e3 Гц до 4.2e7 Гц, що точно відповідає очікуваному результату.
Характеристичний імпеданс та постійне поширення
Тепер, коли ми завершили трудомістку роботу з обчислення R, L, C, G, залишаються ще два інших, суттєвих для аналізу ліній електропередач параметра, які потрібно визначити. Ними є характеристичний імпеданс (Z c) і комплексна стала поширення (\gamma = \alpha + j\beta), де \alpha - коефіцієнт загасання, а \beta - коефіцієнт поширення.
\begin(align)
Z_c& = \sqrt(\frac((R+j\omega L))((G+j\omega C)))\\
\gamma& = \sqrt((R+j\omega L)(G+j\omega C))
\end(align)
На малюнку нижче представлені ці значення, обчислені за допомогою аналітичних формул в режимах постійного струму і високочастотного сигналу, порівняно зі значеннями, визначеними за результатами моделювання. Крім цього, четвертою залежністю на графіку є імпеданс, розрахований серед COMSOL Multiphysics за допомогою модуля Радіочастоти, який ми коротко розглянемо трохи пізніше. Як можна помітити, результати чисельного моделювання добре узгоджуються з аналітичними рішеннями для відповідних граничних режимів, а також дають правильні значення перехідної області.
Порівняння характеристичного імпедансу, обчисленого з використанням аналітичних виразів та визначеного за результатами моделювання серед COMSOL Multiphysics. Аналітичні криві будувалися за допомогою відповідних граничних виразів для режиму постійного струму та високочастотної області, розглянутих раніше, тоді як для моделювання серед COMSOL Multiphysics використовувалися модулі AC/DC і Радіочастоти. Для наочності товщина лінії “RF module” була спеціально збільшена.
Моделювання кабелю в області високих частот
Енергія електромагнітного поля поширюється як хвиль, отже робоча частота і довжина хвилі обернено пропорційні одне одному. У міру того, як ми зрушуємо в область більш високих частот, ми змушені брати до уваги відносний розмір довжини хвилі та електричний розмір кабелю. Як обговорювалося в попередньому записі, ми повинні змінити AC/DC на модуль радіочастоти при електричному розмірі приблизно λ/100 (про концепцію «електричного розміру» див. там же). Якщо як електричний розмір ми виберемо діаметр кабелю, а замість швидкості світла у вакуумі — швидкість світла в діелектричному сердечнику кабелю, то отримаємо частоту для переходу в районі 690 МГц.
При таких високих частотах сам кабель доречніше розглядати як хвилеводу, а збудження кабелю можна розглядати, як моди хвилеводу. Використовуючи хвилеводну термінологію, досі ми розглядали моду спеціального типу, яку називають TEM-Мода, яка може поширюватися на будь-якій частоті. Коли поперечний переріз кабелю та довжина хвилі стають порівнянними, ми також маємо враховувати можливість існування мод вищих порядків. На відміну від TEM-моди, більшість хвилеводних мод може поширюватися тільки при частоті збудження вище деякої характеристичної частоти відсікання. Завдяки циліндричної симетрії в нашому прикладі є вираз для частоти відсічення першої моди вищого порядку - TE11. Ця частота відсікання f c = 35.3 ГГц, але навіть за такої відносно простої геометрії, частота відсікання є рішенням трансцендентного рівняння, яке ми не розглядатимемо в даній статті.
То яке значення для наших результатів має ця частота відсічки? Вище цієї частоти, енергія хвилі, що переноситься у TEM-моді, якої ми цікавимося, має потенційну можливість вступити у взаємодію з TE11-модою. В ідеалізованій геометрії, подібній до змодельованої тут, ніякої взаємодії не буде. У реальній ситуації, однак, будь-які дефекти в конструкції кабелю можуть призвести до взаємодії мод на частотах вище частоти відсічення. Це може бути результатом впливу низки неконтрольованих факторів: від похибок виготовлення до градієнтів властивостей матеріалу. Таку ситуацію найпростіше уникнути на стадії проектування кабелів, розрахувавши роботу на свідомо нижчих частотах, ніж частота відсікання мод вищого порядку, так щоб поширюватися могла тільки одна мода. Якщо це цікавить, то ви можете також використовувати середовище COMSOL Multiphysics для моделювання взаємодії між модами вищих порядків, як це зроблено в цій (хоча це виходить за рамки цієї статті).
Модальний аналіз у модулі Радіочастоти та модулі Хвильова оптика
Моделювання мод вищих порядків ідеально реалізується за допомогою модального аналізу у модулі Радіочастоти та модулі Хвильова оптика. Анзац-формою рішення у цьому випадку є вираз \mathbf(E)\left(x,y,z\right) = \mathbf(\tilde(E))\left(x,y\right)e^(-\gamma z), що точно відповідає структурі мод, що і є нашою метою. В результаті, модальний аналіз відразу видає рішення для просторового розподілу поля та комплексної постійної розповсюдження для кожної з заданої кількостімод. При цьому ми можемо використовувати ту ж геометрію моделі, що і раніше, за винятком того, що нам достатньо використовувати як ділянку моделювання тільки діелектричний сердечник і .
Результати розрахунку константи згасання та ефективного показника заломлення хвильової моди з Модового Аналізу. Аналітична крива на лівому графіці - коефіцієнт загасання залежно від частоти - обчислюється з використанням тих самих виразів, як і у разі ВЧ-кривих, що використовуються для порівняння з результатами моделювання в AC/DC модулі. Аналітична крива на правому графіку - ефективний показник заломлення в залежності від частоти - це просто n = \ sqrt (\ epsilon_r \ mu_r) . Для наочності, розмір лінії COMSOL - TEM був навмисно збільшений на обох графіках.
Виразно видно, що результати Модового Аналізу TEM-моди збігаються з аналітичною теорією і, що мода вищого порядку з'являється на попередньо визначеній частоті відсічки. Зручно, що комплексна стала поширення безпосередньо обчислюється в процесі моделювання і не вимагає проміжних обчислень R, L, C, і G. Це стає можливим через те, що \gamma явним чином включена в форму анзац-рішення і знаходиться при вирішенні підстановкою її основне рівняння. За бажанням, інші параметри також можуть бути обчислені для TEM-моди, а більш детальну інформацію про це можна знайти в Галереї Програм. Заслуговує також на увагу той факт, що цей же метод модального аналізу може бути використаний для розрахунку діелектричних хвилеводів, як це реалізовано в .
Заключні зауваження щодо моделювання кабелів
На даний момент ми ретельно проаналізували модель коаксіального кабелю. Ми вирахували розподілені параметри від режиму постійного струму до області високих частот та розглянули першу моду вищого порядку. Важливо, що результати модального аналізу залежить тільки від геометричних розмірів і властивостей матеріалу кабелю. Результати для моделювання в модулі AC/DC вимагають додаткової інформації про те, яким чином кабель збуджується, але, сподіваюся, ви знаєте, що підключається до вашого кабелю! Ми використовували аналітичну теорію виключно для порівняння результатів чисельного моделювання з добре відомими результатами для еталонної моделі. Це означає, що аналіз можна узагальнити і інші кабелі, як і додати до нього взаємозв'язку для мульти фізичного моделювання, які включають температурні зміни і структурні деформації.
Декілька цікавих нюансів для побудови моделі (у вигляді відповідей на можливі питання):
- “Чому ви не згадали та/або не навели графіки характеристичного імпедансу та всіх розподілених параметрів для TE11-моди?”
- Тому що тільки TEM-моди мають однозначно певну напругу, струм та характеристичний імпеданс. В принципі, можливо, приписати деякі з цих значень модам вищих порядків, і це питання докладніше буде розглянуто в подальших статтях, а також у різних роботах з теорії ліній передач та НВЧ-техніки.
- “Коли я вирішую завдання моди з використанням Модального аналізу, вони маркуються з допомогою своїх робочих індексів. Звідки беруться позначення TEM- та TE11-мод?”
- Ці позначення з'являються при теоретичному аналізі та використовуються для зручності під час обговорення результатів. Таке найменування не завжди можливе при довільній геометрії хвилеводу (або кабелю в хвилеводному режимі), проте варто враховувати, що це позначення лише "ім'я". Яке б найменування не було у моди, вона, як і раніше, несе електромагнітну енергію (виключаючи, зрозуміло, нетунелюючі еванесцентні хвилі)?
- "Чому в деяких ваших формулах є додатковий множник?"
- Це відбувається при вирішенні задач електродинаміки в частотній ділянці, а саме, при множенні двох комплексних величин. При виконанні усереднення за часом з'являється додатковий множник ½, на відміну від виразів у часовій області (або при постійному струмі). За додатковою інформацією ви можете звернутися до робіт з класичної електродинаміки.
Література
Наступні монографії були використані при написанні цієї замітки і послужать чудовими джерелами при пошуку додаткової інформації:
- Microwave Engineering (НВЧ техніка) David M. Pozar
- Foundations for Microwave Engineering (Основи НВЧ-техніки) Robert E. Collin
- Inductance Calculations (Розрахунок індуктивності) Frederick W. Grover
- Classical Electrodynamics (Класична електродинаміка), by John D. Jackson
Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Брянський державний технічний університет Л.А. Потапов, І.Ю. Бутарьов COMSOL MULTIPHYSICS: МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ ПРИСТРІЙ Затверджено редакційно-видавничою радою як навчальний посібник Брянськ 2011 делювання електромеханічних пристроїв [Текст] + [Електронний ресурс]: навч. посібник/Л.А.Потапов, І.Ю. Бутарьов. - Брянськ: БДТУ, 2011. - 112 с. ISBN-978-5-89838-520-0 Наведено короткі відомості про програмний комплекс Comsol Multiphysics. Розглянуто приклади побудови 2D- та 3D-моделей електромеханічних пристроїв. Навчальний посібник призначений для студентів очної форми навчання спеціальності 140604 «Електропривід та автоматика промислових установок та технологічних комплексів», а також може бути корисним аспірантам та магістрантам електротехнічних спеціальностей вищих. навчальних закладівта інженерно-технічним працівникам, які розробляють електротехнічні пристрої. Іл.116. Бібліогр. - 3 назв. Науковий редактор С.Ю. Бабак Рецензенти: кафедра «Енергетика та автоматизація виробничих процесів» Брянської державної інженерно-технологічної академії; кандидат технічних наук А. А. Ульянов Редактор видавництва Л.М. Мажугіна Комп'ютерний набір Н.А.Сініцина Темплан 2011 р., п 45 Підписано до друку 30.09.11 Формат 60х84 1/16. Папір офсетний. Офсетний друк. Ум. печ. 6,51 Уч.-вид.л. 6,51 Тираж 60 екз. Брянський державний технічний університет 241035, Брянськ, бульвар ім. 50-річчя Жовтня, 7, тел. 58-82-49 Лабораторія оперативної поліграфії БДТУ, вул. Інститутська,16 ISBN 978–5-89838-520-0 Брянський державний технічний університет, 2011 ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» - та 3D-моделювання різних технічних пристроїв. Це дозволяє досліджувати процеси, що протікають у недоступних для фізичних експериментів місцях: усередині масивного ротора, у різних перерізах магнітопроводів тощо, що прискорює та спрощує розробку нових пристроїв. При цьому можна відмовитися від численних макетних зразків, раніше необхідних для оптимізації та доведення конструкції, що розробляється. Програмний комплекс Comsol Multiphysics, розроблений шведською фірмою Comsol, дозволяє отримати моделі складних технічних пристроїв з усіма різноманітними процесами, що протікають у цих пристроях. Однак посібників російською мовою по даному програмному комплексу немає. У пропонованому навчальному посібнику дано основи роботи в одному з розділів цього комплексу (AC/DC) та на прикладі кількох електромеханічних пристроїв докладно розглянуто особливості отримання 2D- та 3D-моделей. Отримані при цьому результати моделювання, що характеризують процеси розподілу струмів та магнітних потоків у глибині роторів, становлять інтерес для фахівців, пов'язаних із розробкою аналогічного обладнання. Навчальний посібник складається із трьох розділів. У першому розділі розглянуто основи роботи у програмному комплексі Comsol Multiphysics. У другому розділі наведено приклади побудови 2D-моделей електромагнітних гальм з масивними та порожнистими роторами. У третьому розділі наведено приклади побудови 3D-моделей електромагніту та електромагнітного демпфера з дисковим ротором. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 4 Роботи під час підготовки навчального посібника розподілилися так: І.Ю. Бутарьов – розробка та опис моделей електромеханічних пристроїв, переклад з англійської мови наявних матеріалів за комплексом Comsol Multiphysics; Л.А. Потапов – загальне керівництво роботою, підготовка рукопису до видання. Навчальний посібник призначений для студентів, аспірантів та магістрантів електротехнічних спеціальностей вищих навчальних закладів. Воно може бути використане щодо дисциплін «Теорія електромагнітного поля», «Електричні машини», «Електричні апарати» та ін., а також при курсовому та дипломному проектуванні. Посібник також становить інтерес для інженерно-технічних працівників, пов'язаних з розробкою електротехнічного обладнання. Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 5 ВСТУП Є велика група електромеханічних пристроїв, у яких електромагнітні процеси протікають усередині масивних, порожнистих або дискових роторів. При цьому виділити струми або магнітні потоки неможливо. Отже, виміряти їх також неможливо. Доводиться використовувати поняття щільності струмів та магнітних потоків (індукцію), розглядати їх розподіл за товщиною або глибиною ротора. Взаємодія щільності струмів з магнітними полями визначає механічні сили та моменти, які можна виміряти та які найчастіше цікавлять користувачів. При зміні швидкості обертання ротора картина електромагнітного поля змінюється: збільшується і стає більш нерівномірною щільність струмів, магнітне поле захоплюється обертовим ротором у напрямку обертання. Всі ці явища можна спостерігати та досліджувати, використовуючи 2D та 3D-моделювання електромагнітних процесів за допомогою спеціальних програм. Деякі з цих програм використовуються давно та орієнтовані на відповідне апаратне забезпечення, наприклад, програма ANSYS відома близько 20 років. Інші з'явилися нещодавно, наприклад, програмний комплекс Comsol Multiphysics, розроблений шведською фірмою Comsol. Він дозволяє отримати моделі складних електромеханічних пристроїв з урахуванням електромагнітних процесів, що протікають у них. Великою перевагою програмного комплексу Comsol Multiphysics є його дуже дружній інтерфейс. Для його використання не потрібно писати диференціальні рівняння у приватних похідних (їх можна взагалі не знати), хоча саме їх він використовує, не потрібно будувати кінцеву сітку - він сам її формує і т.д. Достатньо намалювати об'єкт, задати властивості матеріалів, граничні умови та вказати у якому вигляді вивести результати моделювання. Звичайно, є можливість покращити сітку, змінити вирішальний пристрій, вивести результат за заданим рівнянням і т.д. Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 6 1. ДЕЯКІ ВІДОМОСТІ ПРО COMSOL MULTIPHYSICS Програмний комплекс Comsol Multiphysics розроблений шведською компанією Comsol. Він дозволяє виконати моделювання кількох фізичних процесів, які відбуваються одночасно у складних технічних пристроях. 1.1. Загальна характеристика Comsol Multiphysics (раніше Femlab) – це програмний комплекс інструментальних засобів технології моделювання фізичних полів у наукових та технічних програмах. Його основна особливість – легкість моделювання та необмежені мультифізичні можливості, що дозволяють одночасно досліджувати на одній моделі теплові, електромагнітні та інші процеси. При цьому можливе моделювання одновимірних, двовимірних та тривимірних фізичних полів, а також побудова осесиметричних моделей. Comsol Multiphysics складається з розділів (електромагнетизм, акустика, хімічні реакції , дифузія, гідродинаміка, фільтрування, тепломасоперенос, оптика, квантова механіка, напівпровідникові пристрої, сопромат та багато інших), в яких є диференціальні рівняння в приватних похідних та необхідні для моделювання константи тих чи інших фізичних процесів (теплових, електромагнітних, ядерних і т.д. п.). Кожен розділ складається з підрозділів орієнтованих більш вузький клас досліджуваних полів (постійні і змінні струми і т.п.). До кожного з підрозділів можна вибрати тип аналізу (статичний, динамічний, спектральний). У Comsol Multiphysics застосовуються чисельні методи математичного аналізу у моделюванні, засновані на диференціальних рівняннях у приватних похідних (PDE) та методі кінцевих елементів (FEM). p align="justify"> Коефіцієнти PDE задаються у вигляді зрозумілих фізичних параметрів, таких як магнітна індукція, щільність струму, магнітна проникність, напруженість і т.п. (залежно від обраного фізичного розділу). Перетворення параметрів у ко- Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 7 ефекти PDE здійснюється самою програмою. Взаємодія користувачів з Multiphysics виконується за допомогою графічного інтерфейсу користувача (GUI) або мовою Comsol Script або MATLAB, у навчальному посібнику тільки за допомогою графічного інтерфейсу. Щоб вирішити диференціальні рівняння, програмне забезпечення Comsol Multiphysics з урахуванням геометричної конфігурації автоматично накладає на задану геометричну модель завдання сітку (mesh). У Comsol Multiphysics можна вибрати один з представлених методів розв'язання рівнянь алгебри, таких як UMFPACK, SPOOLES, PARDISO, розкладання Холецького та інші. Оскільки багато фізичних законів виражаються у формі диференціальних рівнянь у приватних похідних, можливо моделювати наукові та інженерні явища з багатьох областей фізики чи техніки, поєднуючи моделі у різних геометріях і пов'язуючи між собою моделі різних розмірностей з допомогою змінних зв'язку (coupling variables). У навчальному посібнику розглядаються основи моделювання у розділі AC/DC Module (модуль змінного/постійного струму), у якому застосовується система рівнянь Максвелла. Розділ містить підрозділи Statics Electric (електростатика), Statics Magnetic (магнітостатика), Quasi-Statics Electric (електрична квазістатика), QuasiStatics Magnetic (магнітна квазістатика), Quasi-Statics Electromagnetic (електромагнітна квазістатика), Rotating Machinery віртуальна робота), Electro-Thermal Interaction (електротермальна взаємодія). У кожному підрозділі є кілька моделей. Так, у підрозділі Quasi-Statics Magnetic є моделі Perpendicular Induction Currents, Vector Potential (перпендикулярні до індукційних струмів, векторний потенціал); In-plane Induction Currents, Vector Potential (площинні індукційні струми, векторний потенціал) та In-plane Induction Currents, Magnetic field (площинні індукційні струми, магнітне поле). Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 8 1.2. Основи моделювання При моделюванні в Comsol Multiphysics потрібна наступна послідовність дій: 1. Налаштувати навігатор моделей Model Navigator: вибрати розмірність моделі в Space Dimension (розмірність простору); визначити в ньому розділ (кожному розділу відповідає певне диференціальне рівняння) та підрозділ, а також тип моделі та тип її аналізу. 2. Визначити робочу область та задати геометрію досліджуваного пристрою. 3. Встановити константи (вихідні дані), залежність змінних від координат і часу. 4. Вказати електромагнітні властивості та початкові умови. 5. Встановити граничні умови. 6. Побудувати сітку, яка враховує конфігурацію моделі. 7. Визначити параметри вирішального пристрою та запустити розрахунок. 8. Налаштувати режим відображення та отримати результати. Розглянемо докладніше зазначену послідовність дій. Навігатор моделей Після ввімкнення Comsol Multiphysics на екрані комп'ютера з'являється навігатор моделей Model Navigator (рис. 1.1), в якому вибирається розмірність моделі – на першій вкладці New у Space Dimension (розмірність простору). Потім вибирають розділ (натискаючи хрестик перед назвою), наприклад фізичний розділ AC/DC Module, та аналогічно підрозділ. Вибираючи розмірність моделі, пам'ятаймо, що навіть завдання сітки в тривимірної моделі може тривати десятки хвилин (навіть дуже потужному комп'ютері). Більшість тривимірних завдань має сенс спочатку задати і розрахувати двовимірну модель, та був за необхідності розрахувати тривимірну модель. Крім того, якщо не імпортувати геометрію із зовнішньої CAD-системи, а задавати безпосередньо в Comsol Multiphysics, то зручніше отримати тривимірну модель перетворенням двовимірної. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 9 Рис 1.1. Навігатор моделей Так як передбачається моделювати електромагнітне гальмо, що працює на постійному струмі, вибираємо фізичний розділ AC/DC Module (модуль змінного/постійного струму), в якому застосовується система рівнянь Максвелла. Розділ містить підрозділи Statics, Electric (Електростатика); Statics, Magnetic (магнітостатика) та ін. (рис. 1.1). Щоб створити мультифізичні моделі, наприклад врахувати нагрівання при роботі електромагнітного гальма, необхідно натиснути кнопку Multiphisics і кнопку Add geometry (додати геометрію), у вікні вибрати розмірність та назви осей. Потім натиснути кнопку Add… (додати) і спочатку вибрати один фізичний розділ (AC/DC Module → Quasi-Statics, Magnetic → Perpendicular Induction Currents, Vector Potential), а потім додати до моделі другий розділ (AC/DC Module → Electro-Thermal Interaction→ Perpendicular Induction Heating) Для кожного з підрозділів можна вибрати тип аналізу, натиснувши кнопку Application Mode Properties, наприклад Steady-state analysis (стаціонарний аналіз) або Transient analysis (перехідний аналіз). Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 10 Також на вкладці New у Model Navigator можна вибрати вид кінцевих елементів, за умовчанням стоїть Lagrange-Quadratic (лагранжевиквадратичні). При цьому пропонуються лагранжеві елементи, аж до п'ятого ступеня. У деяких розділах є ермітові елементи, елементи Ейлера та безліч інших прикладних елементів. Крім вкладки New у Model Navigator містяться ще три вкладки. У вкладці Model Library (бібліотека моделей) є приклади моделей для всіх фізичних підрозділів. У вкладці User Models зберігаються створені моделі. Використовуючи вкладку Settings (Параметри), можна встановити потрібну мову та змінити фон робочої області з білого на чорний. У версіях починаючи з COMSOL 3.2 там же встановлюється система одиниць. Також у навігаторі моделей є вкладка Open, яка, як і вкладка User Models, дозволяє працювати з файлами. Робоча область та зображення об'єкта дослідження Після натискання кнопки OK у Model Navigator відкривається вікно основного інтерфейсу Comsol Multiphysics з робочою областю (рис. 1.2), інструментальними панелями та головним меню. Кнопки на інструментальних панелях повторюють пункти головного меню, тому ми розглянемо пункти головного меню по порядку: File – містить команди створення, відкриття та збереження файлів, друку, а також імпорт геометрії із зовнішніх CAD-систем та експорту отриманих даних до текстового файлу. Edit – містить команди скасування та повторення операцій, роботи з буфером обміну та команди виділення. Options – містить команди завдання робочої області Axes/Grid settings (розміри та налаштування осей та сітки побудови (Grid, не плутати з сіткою кінцевих елементів Mesh!). )), констант Constants, виразів Expression, функцій Function, пов'язаних змінних Coupling Variables та різні налаштування відображення геометричних елементів та масштабу. Draw – містить команди побудови та перетворення геометричних об'єктів, а також команди перетворення двовимірних об'єктів на тривимірні. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 11 Physics – містить команди завдання фізичних властивостей підобластей Subdomain, граничних умов Boundary, у тому числі періодичних ГУ (граничних умов) Periodic Condition, точок Point Settings та зміни системи диференціальних рівнянь Equation system. Mesh – містить команди керування кінцево-елементною сіткою. Solve – містить команди керування вирішальним пристроєм. Ці команди дозволяють вибрати залежність від часу, лінійність або нелінійність, метод розв'язання, крок моделювання, відносну похибку, а також вказати безліч інших параметрів вирішального пристрою. Postprocessing - містить команди відображення результатів обчислень у всіх можливих видах від векторів і поверхонь. 1.2. Основний інтерфейс програми ностей рівня до Comsol Multiphysics графіків та інтегралів за кордоном. Multiphisics – відкриває Model Navigator та дозволяє перемикатися між фізичними режимами у мультифізичних моделях. Help – містить велику довідкову систему. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 12 На рис. 1.3 показано вікно із робочою областю. У верхній частині вікна знаходяться кнопки (1) для роботи з файлом та буфером обміну та основні кнопки для моделювання, що дозволяють не використовувати команди Mesh, Solve та Postprocessing. Більшість вікна займає графічна область (2). Ліворуч від неї кнопки малювання (3). В одновимірному режимі це кнопки point (точка), line (лінія), mirror (відображає об'єкт дзеркально), move (переміщає об'єкт) та scale (змінює розмір об'єкта). Мал. 1.3.Вікно робочої області У двомірному режимі додаються кнопки створення кривих Безье, прямокутників і овалів, кнопка Array (масив), що створює з одного об'єкта матрицю будь-якого об'єктів. Кнопка Rotate (обертання) дозволяє повернути створений об'єкт на будь-який кут. У тривимірному режимі за допомогою кнопок можна створювати паралелепіпеди, еліпсоїди, конуси, циліндри та кулі, а також керувати розташуванням координатних осей та освітленням фігури. Щоб задати межі робочої області, необхідно скористатися командою Options (мал. 1.2), а потім командою Axes/Grid settings (опції > установки осі/решітки) (мал. 1.4). Як приклад обмежимо робочу область 6 см по осі X і 4 см по Y. При цьому центр системи координат помістимо до центру графічної області. У вікні виберемо вкладку Axis (осі) (галочка Axis equal означає, що осі будуть рівні, тобто один метр по осі Х бу- Copyright ж розміру, як і по осі Y). Для протяжних об'єктів цю галочку можна зняти, і тоді осі у вікні можуть бути нерівними. Це зручно, коли в одному із заданих вимірів об'єкт непропорційно великий. а) б) Мал. 1.4. Вікно завдання меж робочої області: а–вкладка Axis, б– вкладка Grid У розділі x–y limits необхідно задати межі відображення осей, у нас це –0,03 та 0,03 для мінімуму та максимуму відповідних осей. На вкладці Grid (решітка) можна зняти галочку Auto і встановити інтервал решітки. Навіщо це потрібно? При побудові моделі можна задавати лише координати відповідних фігур (наприклад, координати центру кола та її радіус), але часто зручніше задати фігуру, відзначивши ці координати за допомогою миші, і тоді необхідно, щоб вузли решітки збігалися з ключовими точками фігури. Тому якщо товщина мінімального елемента становить один міліметр, доцільно задати саме такий інтервал сітки. Галочка Visible дозволяє вимкнути режим відображення ґрат. Внизу робочої області можна вимкнути і прив'язку миші до ґрат SNAP, але тоді при введенні об'єкта за допомогою миші ключові точки можна буде задати лише приблизно. В області x-y grid можна задати в полях x та y spacing інтервал грат по відповідних осях. Поля Extra x та Extra y дозволяють додати будь-яку кількість додаткових ліній решітки. Наступним етапом після завдання ґрат є визначення геометрії об'єкта дослідження. Якщо вона у нас заздалегідь не створена у зовнішній CAD-програмі (Autodesk, AutoCAD, Компас і т.д.) або не задана в програмі MATLAB (тоді вона імпортується за допомогою File>Import), то доведеться її задавати внутрішніми середовищами. «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 14 ствами. Припустимо, що потрібно намалювати прямокутник. Можна скористатися відповідними кнопками Rectangle/Square [прямокутник/квадрат] та Rectangle/Square (Centered) [прямокутник/квадрат (центрований)], першим клацанням відзначається розташування кута або центру, а потім прямокутник розтягується до необхідного розміру і закріплюється другим. При натиснутій кнопці Ctrl створюється квадрат. Якщо натиснути на клавішу Shift і натиснути на кнопку, то відкриється вікно з усіма параметрами фігури (рис. 1.5). Якщо фігура побудована, її аналогічно можна відредагувати подвійним клацанням миші у ньому. Це вікно можна відкрити через головне меню Draw>Specify objects. Команда Size визначає розмір об'єкта за допомогою полів Width (ширина) і Height (висота). Команда Rotation angle задає кут повороту прямо- Рис. 1.5 Приклад вікна параметрів для побудови прямокутника косинця в градусах. Область Position визначає місце розташування об'єкта. Розкривний список Base дозволяє визначити, до чого належать координати x та y. Corner означає, що задається розташування кута прямокутника (якщо малюється еліпс, необхідно задати координати описаного прямокутника). Center означає, що задаються координати центру об'єкта. Style, що розкривається, пропонує варіанти: Solid – буде створена ціла фігура, Curve – буде створена крива-контур фігури. Крива необхідна створення складної фігури: спочатку задаються криві, межі об'єкта, та був командою Coerce to solid виділені криві робляться цільною фігурою. У режимі 3-D замість Curve-крива є поняття Face-оболонка. У полі Name можна вписати ім'я об'єкта. Незважаючи на те, що у вікнах Specify objects можна задати точні координати та розміри об'єктів, часто їх легше задати за допомогою миші, а криві Безьє можна задати тільки за допомогою миші. Ось тому необхідно заздалегідь визначити період ґрат. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 15 При завданні складних фігурдоводиться ставити десятки елементарних об'єктів (овали, прямокутники, криві Безьє, лінії, точки), потім їх необхідно об'єднати чи розділити. Зазвичай це робиться за фізичними ознаками за допомогою кнопок Union (об'єднати), Difference (різниця) та Intersection (перетин) або команди Draw> Create Composite Object… Ця команда відкриває вікно, де можна вказати, з яких елементів створюється фігура. Після створення фігури за допомогою кнопки Fillet/Chamfer або однойменного пункту меню Draw можна встановити фаски або заокруглення кутів. Також можна розмножити фігуру за допомогою кнопки Array, відобразити Mirror і змінити розмір за допомогою Scale. Кнопки Rotate та Move повертають і зсувають виділену фігуру відповідно. Усі ці кнопки повторюються як пунктів меню Draw>Modify. При створенні тривимірних моделей елементарні фігури зручно задавати в режимі 3D, а складніші спочатку задати в режимі 2D, а потім перенести в тривимірну область . Так було створено прямокутник 1x0,5 метра. Якщо його виділити і натиснути кнопку Draw> Extrude, то відкриється вікно Extrude (екструзія) (рис. 1.6), де можна задати об'єкт, що піддається операції, та назву робочої області (для однієї моделі можна задати кілька робочих областей, зазвичай це кілька 2D- геометрій та одна складова риса 1.6. Поле Distance визначає скільки разів буде розтягнуто перетин. Якщо було намальовано коло, то після екструзії буде циліндр, якщо перетин рейки, то модель рейки. Scale x та y задають у скільки разів змінюватиметься переріз по довжині об'єкта. Якщо задати в ці поля дві двійки, то після екструзії (якщо перетин був круглий) з'явиться усічений конус. Displacement визначає зсув верхньої площини фігури щодо основи. Twist закручує фігуру навколо осі. Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 16 Draw>Embed скопіює двомірний прямокутник у тривимірну робочу область (за замовчуванням у площину z=0). Інша площина задається через Draw>work plane settings. Операція Draw>Revolve створить фігуру обертання, тобто. із прямокутника можна створити кільце з прямокутним перетином. У вікні можна задати кут обертання по двох осях (у градусах) і координати точок, навколо яких буде створюватися фігура обертання. Для наочності за допомогою команди Scene Light можна встановити освітлення об'єкта, кнопка Zoom extents помістить фігуру на весь екран. Якщо при подальшому моделюванні потрібно змінити будь-який елемент геометрії, то повернутися в режим введення геометрії можна буде за допомогою команди Draw>Draw Mode або кнопки Draw Mode у верхній частині екрана. Константи, вирази, функції Comsol Multiphysics існують команди для роботи з константами і функціями. Більшість цих команд перебувають у меню Options. Розглянемо деякі з них. 1. Constants (константи). Рекомендується застосовувати в моделі константи винести в таблицю і надалі задавати тільки буквене позначення. Так, задати струм в обмотці IP = 500, а потім замість цифри у всіх областях об'єкта задавати IP. Тоді, за потреби, можна буде змінити одну цифру в меню Constants і не змінювати цифри по всіх областях об'єкта. Так само список часто вживаних констант можна зберігати в окремому файлі і переносити з моделі модель. 2. Expression (вирази) Міститься Scalar expression (скалярні математичні вирази), Subdomain, Boundary, Edge (тільки у тривимірному режимі) та Point expression. Можна встановити залежність електромагнітного параметра від часу t; від координат x, y, z; від безрозмірної координати s (змінюється від 0 до 1 по довжині кожного кордону) або від будь-яких інших обчислюваних величин. . У різних елементів системи дуже часто одні й ті ж параметри визначаються різним законам . Є можливість за- Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 17 дати одне ім'я у змінної, наприклад alfa. Відкривши Boundary expression (граничні вирази), задати різних кордонів різні формули обчислення alfa. Тоді для всіх кордонів можна буде задати коефіцієнт alfa, а програма сама підставить для кожного кордону відповідний вираз. Аналогічно Subdomain, Edge Expressions. 3. Coupling Variables (змінні зв'язки). Можна встановити складні залежності між частинами системи, наприклад зв'язати граничні умови з інтегралом за обсягом. 4. Functions (функція). Можна поставити свою функцію, причому використовуючи як математичні висловлювання. Якщо вибрати Interpolation function, можна задати масив параметрів і масив значень функцій, і з них побудувати інтерполяційну функцію. Можна встановити метод інтерполяції із запропонованих (наприклад, сплайнами), є можливість імпортувати дані із зовнішнього файлу. 5. Coordinate systems (системи координат). Можна створити довільну систему координат з будь-яким розташуванням осей щодо один одного. 6. Material/Coefficients Library (бібліотека матеріалів). Можна задати будь-які фізичні властивості речовин і навіть їх залежність від електромагнітних параметрів (магнітної проникності, електропровідності тощо). 7. Visualization/Selection settings (установки візуалізації). Можна керувати відображенням об'єктів, освітленням та виділенням. 8. Suppress (приховання). Можна зробити невидимим якийсь елемент системи (для наочності у складних об'єктах). Завдання електромагнітних властивостей матеріалів і початкових умов Коли задана геометрія і всі константи визначені, можна приступити до завдання електромагнітних властивостей. Для початку слід відкрити меню Physics>Subdomain Settings – відкриється вікно налаштувань фізичних коефіцієнтів областей (рис. 1.7). Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 18 Для кожного з фізичних режимів це вікно має свій вигляд, і всі поля будуть розглянуті у відповідних розділах. Тут же розглянемо лише загальні всім режимів поля. На малюнку показано вікно для режиму Perpendicular Induction Currents у двовимірному режимі. Нагорі у полі Equation вказано поточне рівняння. У полі Subdomain selection необхідно вибрати область, на яку визначаються фізичні властивості. Мал. 1.7. Вікно налаштувань фізичних коефіцієнтів областей Якщо областей багато, необхідно виділити всі створені з одного матеріалу. Якщо областям приписані ідентичні константи, вони автоматично утворюють групу у вкладці Groups, що надалі дозволяє не вибирати знову всі області по одній, особливо якщо модель дуже складна. Щоб виділити всі області, потрібно натиснути клавіші Ctrl+A. Для вибраних областей (Subdomains) задаються фізичні властивості. Так, області 1 (рис.1.7) необхідно задати 7 величин. Параметр Velocity показує, з якою швидкістю (м/с) рухається та чи інша область. Цей параметр поділено на дві частини, які відповідають швидкостям по осях. У тривимірному режимі будуть три частини. Параметр Potential difference Δ V – різниця потенціалів (В) для цієї галузі. Параметр Length визначає довжину області (м). Параметр External Current density Jez задає зовнішню щільність струму для області. Параметр Electric Conductivity σ визначає відносну електричну провідність матеріалу області (Див/м). Список Constitutive Relation, що розкривається, дозволяє вибрати зв'язок між магнітною індукцією і напруженість магнітного поля в матеріалі. У нашому випадку обраний найпростіший зв'язок B= μ0μrH. Параметр Relative permeability задає відносну магнітну проникність (безрозмірне число або деяку функцію). f(B). Можна скористатися вбудованим апроксиматором в Options>Functions. Синтаксис у цьому режимі такий самий як у MATLAB, але зручніше вводити в поля не вирази, а назви змінних та визначати їх за допомогою Options>Expression. У верхній частині вікна опцій (рис.1.7) є 6 вкладок. У вкладці Physics необхідно задати універсальні фізичні константи, у разі електромагнітні (μ0,ε0). Для поширених стандартних матеріалів можна скористатися вбудованою бібліотекою за допомогою кнопки Load і вибрати потрібний матеріал. У вкладці Infinite Element можна вибрати тип елемента зі списку. Вкладка Forces дозволяють задати Максвеллівський поверхневий тензор натягу для сумарної електромагнітної сили або моменту. Програма визначить це як силу у напрямку X. Аналогічно для моменту використовується змінна name_torquex_q, яка задає електромагнітний момент навколо осі X. Вкладка Init призначена для завдання початкових умов, в даному випадку це магнітний потенціал Z-компоненту – Az. Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 20 Вкладка Element дозволяє вибрати вид кінцевих елементів та їх коефіцієнти. Вкладка Color дозволяє змінювати колір цієї області або групи областей, що значно спрощує орієнтацію у складному завданні з великою кількістю матеріалів. Завдання граничних умов та зміна диференціальних рівнянь Завдання фізичних властивостей матеріалів у областях, граничних умов та умов на ребрах чи точках відбувається у відповідних режимах, які автоматично включаються під час відкриття вікон уведення властивостей цих елементів. Вручну режими включаються кнопками Point Mode, Edge Mode, Boundary Mode та Subdomain Mode, що знаходяться у верхній частині робочої області в правому кінці перед кнопкою допомоги або командами з розділу меню Physics>Selection Mode>… Граничні умови задаються за допомогою Physics> Boundary Settings або кнопки F7 У вікні (рис. 1.8) необхідно вибрати межі в полі Boundary selection. Щоб задати граничні умови Діріхлі на межі двох тіл необхідно спочатку включити галочку Interior boundaries, інакше внутрішні кордони будуть недоступні. У вкладці Conditions необхідно вибрати тип граничних умов. Список Boundary Conditions пропонує вибрати тип граничних умов, наприклад Magnetic Field (напруженість магнітного поля), та встановити значення коефіцієнта на кордоні. Тут все аналогічно до режиму Subdomain Settings, тільки замість областей кордону між ними. Часто при моделюванні складних пристроїв, наприклад, багатополюсних електродвигунів, виділяють елементарний об'єм і проводять розрахунок для цього елементарного об'єму. Для коректного розрахунку необхідно поставити особливий вид граничних умов - періодичні граничні умови. Для цього у списку Boundary Condition вибирають Periodic Condition, задають коефіцієнти та тип періодичності. Вкладка Color/Style надає кордонам з різними граничними умовами різні кольори та стилі відображення. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 21 Рис. 1.8. Вікно граничних умов Крім умов на кордоні Boundary потрібно задати у двомірному режимі періодичні властивості для точок Point (наприклад, значення струму в точці) та у тривимірному режимі для ребер Edge. Для деяких мультифізичних завдань, де необхідно зв'язати два об'єкти з різним типом сітки (наприклад, прямокутну сітку в одній частині системи з трикутною в іншій) та граничними умовами нерозривності, можна застосовувати умови ідентичності Physics>Identity Conditions. У Comsol Multiphysics є багато можливостей гнучкого налаштування програми під кожну конкретну задачу. Можна змінювати систему диференціальних рівнянь у приватних похідних (PDE). Для цього використовують команди Physics> Equation system. Ці команди дозволяють у широких межах змінювати вихідні рівняння PDE, способи завдання початкових та граничних умов, а також параметри кінцевих елементів. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 22 Побудова сітки Після завдання всіх властивостей та граничних умов приступають до побудови сітки. Для найпростіших моделей на першому етапі оцінного розрахунку можна встановити сітку за замовчуванням Mesh>Initialize Mesh (або кнопка із зображенням трикутника). Для дрібнішої сітки необхідно кілька разів натиснути Mesh>Refine mesh і, отримавши досить дрібну сітку, приступити до вирішення задачі. При натисканні цих кнопок робоча область переходить у режим Mesh Mode, і у робочій області відображається розбиття фігури. Цей режим можна вручну викликати відповідною кнопкою або командою меню Mesh>Mesh Mode. Для простих моделей можна цим і обмежитися (для дрібніших елементів сітки система автоматично згущує), а якщо необхідно в будь-якій частині системи ще згустити сітку, то можна натиснути кнопку Refine selection і вказати необхідну область. В одновимірному та двовимірному стаціонарному режимі можна будувати найдрібнішу сітку – швидкість обчислення на сучасних комп'ютерах все одно буде прийнятною. При цьому необхідно пам'ятати, що розмір кінцевого елемента повинен бути в кілька разів меншим за товщину прикордонного шару, інакше рішення може бути нестабільним. Тому рекомендується будувати сітку такої густоти, щоб між будь-якими двома межами було не менше десяти кінцевих елементів. За замовчуванням Comsol Multiphysics будує у двовимірному режимі трикутну, а тривимірному тетраедрическую сітку. Для встановлення параметрів сітки необхідно вибрати Mesh> Free Mesh parameters або натиснути F9. Відкриється вікно налаштувань, у вкладці Global (рис. 1.9) можна вибрати один із попередньо встановлених режимів. У списку Predefined mash sizes дев'ять режимів – від Extremely fine (надзвичайно точний) до Extremely coarse (дуже грубий), решта розташована між цими крайніми режимами. У полях можна встановити власні значення параметрів сітки після вибору списку Custom mesh size. Maximum element size визначає максимальний розмір елемента. За умовчанням він дорівнює 1/15 максимальної сторони, ставити його необов'язково. Якщо нічого не задавати в попереднє поле, то значення поля Maximum element size scaling factor визначатиме розмір елемента (якщо задати 0,5, то розмір елемента дорівнюватиме 1/30 максимальної сторони, якщо 0. 1 то 1/150). Element growth Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 23 rate (темп зростання елемента) відповідає за ступінь згущення, приймає значення від одиниці до нескінченності, чим ближче значення до одиниці тим більш рівномірна сітка. Чим менше значення Mesh curvature factor і Mesh curvature cut off, тим точніше задана криволінійність кордону: при великих значеннях цих параметрів замість кривої вважатиметься ламана лінія. Resolution of narrow regions визначає мінімальну кількість елементів по найкоротшому кордону, для точних обчислень рекомендується встановлювати значення цього параметра не менше десяти. Мал. 1.9. Вікно налаштувань сітки Refinement method відповідає за режим роботи команди Refine mesh та приймає два значення: Regular та Longest. Якщо встановлено значення Regular, то при натисканні цієї команди кожен елемент ділиться на чотири частини в режимі 2D і на вісім частин в режимі 3D. Значення Longest ділить кожен елемент на дві частини по найдовшій стороні. Вкладки Subdomain, Boundary, Edge та Point дозволяють встановити розмір елемента для відповідних елементів моделі. Вкладка Advanced дозволяє встановити анізотропію сітки. Кнопка Remesh перебудовує сітку із новими параметрами. Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 24 У двовимірному режимі для об'єктів, близьких до прямокутних, можна встановити чотирикутну сітку за допомогою пункту меню Mesh>Mapped mesh Parametrs або клавіш Ctrl+F9. Раніше були згадані способи перетворення двовимірних моделей на тривимірні за допомогою команд Draw>Extrude та Draw>Revolve. У такому разі після завдання тривимірної геометрії доведеться знову будувати сітку з тетраедрів, що може займати значний час. Іноді доцільно спочатку побудувати сітку в режимі 2D (трикутну або чотирикутну), а потім за допомогою команд Mesh>Extrude Mesh розтягнути фігуру із сіткою або за допомогою команди Mesh>Revolve Mesh розкрутити фігуру із сіткою. Тоді елементи будуть не тетраедричні, а у вигляді паралелепіпедів чи призм. Час побудови такої сітки менший, ніж побудова тетраедричної сітки з нуля, але на швидкість розрахунку завдання вид сітки кардинально не впливає. Вирішальний пристрій Вибір вирішального пристрою та його параметрів дуже значущий, оскільки, в основному, від нього залежить достовірність обчислень. Неправильне налаштування може призвести до грубих помилок розв'язання або несхожості розрахунку, які дуже важко виявити. Також необхідно правильно оптимізувати рішення, оскільки, наприклад, навіть не дуже складна тривимірна модель електричного гальма розраховується близько 10 хв на комп'ютері з процесором AMD Phenom II X2 і 3Gb оперативної пам'яті, а деякі нелінійні нестаціонарні моделі можуть розраховуватися багато годин навіть на дуже потужному комп'ютері . Кнопка Solve або пункт меню Solve>Solve problem запускає вирішальний пристрій із поточними налаштуваннями. Кнопка Restart або пункт меню Solve>Restart перезапускає вирішальний пристрій, використовуючи поточні значення (розподіл магнітного поля та струму в обмотці) як початкові. Якщо ми розглядаємо стаціонарне завдання, то натискання цієї кнопки не повинно змінювати рішення. Коливання значень у разі свідчать про нестабільності рішення. Цю команду доцільно застосовувати для складних розрахунків, коли можна отримати наближений варіант рішення на грубій сітці та для лінійного або стаціонарного вирішального пристрою, а потім, необхідності змінивши вирішальний пристрій на нелінійний чи перехідний, перерахувати завдання. Часто це дозволяє отримати рішення швидше, ніж безпосередній розрахунок складного завдання. Щоб змінити параметри, натисніть Solve>Solver parameters… або відповідну кнопку F11. Відкриється вікно (рис. 1.10). Якщо стоїть галочка Auto select solver, то програма в залежності від прикладного режиму підібрала найбільш відповідний вирішальний пристрій, який при нескладних обчисленнях найчастіше змінювати не потрібно. Мал. 1.10. Вікно Solver Parametrs (нестаціонарний аналіз) Вибираючи вирішальний пристрій, необхідно спочатку визначити стаціонарний або перехідний процес вивчається. Якщо процес нестаціонарний, то у переважній більшості випадків підходить вирішальний пристрій Time Dependent (рис. 1.10). Якщо процес стаціонарний, необхідно визначити лінійність чи нелінійність моделі. Якщо є сумніви в лінійності Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 26 моделі, то рекомендується відразу встановлювати нелінійний вирішальний пристрій: якщо для лінійної моделі встановити нелінійний вирішальний пристрій, то відповідь буде коректною, але займе більше часу на обчислення; а якщо для нелінійного завдання встановити лінійний вирішальний пристрій, то, напевно, будуть грубі помилки. Якщо серед заданих параметрів присутні змінні (наприклад, магнітна або діелектрична проникність), для яких задавали залежність від поля, що шукається (струму) або від інших пов'язаних з шуканим полем змінних, то завдання нелінійне. Мал. 1.11. Вікно Solver Parametrs (параметричний аналіз) Для лінійних та нелінійних стаціонарних завдань можна вибрати параметричне вирішальний пристрій (Parametric), в якому необхідно вказати параметри, для яких задається кілька значень (мал. 1.11). Так, задати ряд різних швидкостей обертання ротора (на рис. 1.11 range(0,1200,6000)), а потім побудувати за отриманими результатами механічну характеристику даної електричної машини. . Після вибору вирішального пристрою у полі Solver задаємо основні властивості. Для вкладки Time Dependent це Time stepping (кроки за часом). У полі Times у форматі range (a:x:b) задаються часові шари, де a – початковий час аналізу, b – кінцевий час аналізу, x – проміжок (крок) часу. Для прикладу заданий часовий інтервал від 0 до 1 з проміжним кроком 0,1 с. Одиниця часу в цьому випадку – секунда, але можна встановити й інші одиниці у Physics>Subdomain Settings у полі Time scaling coefficient. Якщо замість 1 задати 1/60, то одиниця часу дорівнюватиме 1 хв. Задати часові параметри аналізу можна безпосередньо, прописавши їх у даному рядку, або скористатися кнопкою Edit. Там задаємо First і Last Value (початкове і кінцеве значення), відповідно вибираємо Step Size (розмір кроку) або Number of Values (число проміжних значень), і відповідно до обраного виду розбиття інтервалу отримуємо те, що нам потрібно. Також можна скористатися функцією розбиття значень за деяким законом у списку Function to apply to all values (функція, що застосовується до розподілу значень). Можна вибрати, наприклад, розбиття за експоненційним або синусоїдальним законом. Кнопки Add (додати) та Replace (замінити) дозволяють додати новий або замінити існуючий часовий шар. Поля Relative та Absolute Tolerance (відносна та абсолютна похибка ) Визначають помилку на кожному кроці ітерації. Галочка Allow complex number дозволяє застосовувати у розрахунках комплексні числа – це необхідно, якщо задали коефіцієнти PDE у комплексному вигляді. Пункт Times to store in output визначає, які тимчасові кроки будуть виводитись для постобробки обчислень. За умовчанням стоїть Specified Times, тобто. часи, визначені на вкладці General. Щоб отримати значення всіх кроків вирішального пристрою, потрібно вибрати Time steps from solver. Взагалі, вирішальний пристрій вибирає кроки довільно, залежно від динаміки системи, тобто. ігнорує задані значення Times на вкладці General. Щоб вирішальний пристрій враховував цей список (наприклад, якщо зовнішні впливи імпульсні і вирішальний пристрій може «проскочити повз них»), необхідно встановити Time steps taken by solver у значення Strict, (тоді вирішальний пристрій буде використаний в 2010 році. ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 28 вати лише ці кроки) або Intermediate (вирішальний пристрій використовує і вільні кроки і перелічені на вкладці General) замість Free, що стоїть за замовчуванням. Якщо необхідно примусово задати крок за часом, це робиться в полі Manual Tuning of step size. Вкладка Advanced розрахована на просунутих користувачів і дозволяє точніше налаштувати чисельний метод, що застосовується. Для параметричних вирішальних пристроїв (рис. 1.11) необхідно встановити ім'я параметра, який буде змінюватись у полі Name of parameter та значення, які він прийматиме у полі List of parameter values. Значення можна задати у вигляді 0:10:100 або встановити як функцію range(0:10:100). На конкретній картинці (рис. 1.11) задається параметр обертання ротора електромагнітного гальма (обороти за хвилину). Вибрані значення від 0 до 6000 через кожні 1200. Вкладка Stationary дозволяє вибрати тип системи на лінійність/нелінійність на списку Linearity. За замовчуванням стоїть Automatic і система сама визначає лінійність завдання. Для нелінійного завдання можна ввести, якщо потрібно, Relative Tolerance (відносна похибка), Number of Iterations (кількість ітерацій), а також поставити галочки навпроти Damped Newton (загасаючий метод Ньютона) і Higly Nonlnear Problem (значно нелінійне завдання). Для значно нелінійних процесів рекомендується поставити галочку Highly nonlinear problem та збільшити кількість ітерацій. Для всіх режимів, крім Time Dependent, можна встановити галочку Adaptive Mesh Refinement, тоді при вирішенні сітка буде уточнена за складним алгоритмом. Якщо фізика та геометрія досить складна і не дуже зрозуміло, як задавати параметри сітки, рекомендується встановити цю галочку. Однак це збільшить час розрахунків. Крім того, можна встановити Matrix symmetry значення Symmetric, якщо матриця симетрична. Більшість часу розрахунку зайнята рішенням систем лінійних рівнянь, відповідає їх рішення Linear system solver. За замовчуванням стоїть Direct (UMFPACK). Цей вирішальний пристрій забирає багато ресурсів комп'ютера і для моделей, що вимагають тривалого розрахунку, можна підібрати найкраще. Якщо попередній вирішальний пристрій не працює або працює неприпустимо довго, можна спробувати SPOOLES – він потребує менше пам'яті, але працює нестабільно. У крайньому випадку Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 29 вибирається ітеративний вирішальний пристрій GMRES. Для позитивно визначених систем із симетричними матрицями вибирається Direct Cholesky (TAUCS) або ітеративний Conjugate Gradients. Ітеративні вирішальні пристрої споживають менше пам'яті, але необхідно стежити, як вони сходяться і за необхідності збільшувати кількість ітерацій. Після завдання властивостей натискаємо кнопку Solve або команду Solve> Solve Problem. Часто після отримання рішення модель та її параметри (фізичні властивості та граничні умови) необхідно трохи змінити. І якщо ці зміни не дуже великі, можна використовувати команду Solve>Update model. Тоді завдання не буде перераховуватися, а нові значення будуть отримані методом інтерполяції. Так само можна натиснути кнопку Restart, тоді завдання перерахується, але за початкові значення Init будуть задані ті, які були отримані на минулому етапі. Це може трохи зменшити час обчислення. Також за допомогою цієї команди можна виявити нестабільність рішення, якщо натискаючи цю кнопку без зміни параметрів моделі, ми отримуємо різні рішення (осциляції чисельного рішення), це говорить про нестабільність. Тоді потрібно зменшити сітку. Візуалізація результатів Після завершення рішення автоматично вмикається режим Postprocessing mode (режим постобробки), у якому можна спостерігати результати обчислення. Цей режим можна вручну ввімкнути відповідною кнопкою на верхній панелі або командою Postprocessing> Postprocessing mode. За умовчанням у розрахунках з перпендикулярними індукційними струмами виводиться поверхнею розподіл магнітної індукції (Тесла), а еквіпотенціалі показують розподіли магнітного потенціалу (Вебер/метр). Налаштування візуалізації включаються командою Postprocessing>Plot parameters або клавішею F12. Відкривається вікно Plot parameters із кількома вкладками (рис. 1.12). На вкладці General можна відзначити галочками всі види візуалізації, які будуть виводитися екран. Можна вибрати Surface (поверхня), Countour (контур, ізолінія), Boundary (кордон), Max/min marker (мітка максимуму та мінімуму)), Geometry edges грані геометрії). У режимі Surface задається кольором розподіл досліджуваної величини поверхні. Режим Contour виводить рішення у вигляді ізоліній (еквіпотенціалі). Arrow plot виводить векторне поле (потік магнітної індукції) як стрілочок. Streamline plot виводить вектор поле у вигляді ліній потоку. Animate у перехідному режимі створює анімацію рішення Якщо вибрати Surface, то відкриється вікно (рис. 1.13), де у списку Predefined quantities (зумовлені значення) є можливість задати практично будь-який можливий параметр: Electric Conductivity (електрична провідність), Total Current Density (сумарна щільність) струмів) і т.д. (за замовчуванням стоїть Magnetic Flux Density, y component (магнітна Рис. 1.12. Вікно Plot Parametrs індукція за yкомпонентом.) При цьому в полі Expression (вираз) буде відображатися позначення вибраної змінної (наприклад, By_q). точці, можна клацнути мишкою в необхідному місці фігури.Визначення буде виведено в рядку повідомлень під робочою областю разом з координатами точки. на малюнку 1.13, де у списку Predefined quantities (зумовлені значення) також є можливість задати будь-який параметр, який буде виведений у вигляді лінії рівного параметра (ізолінії), можна поєднувати на одному малюнку (рис. 2.55) виведення одного параметра кольором (інтенсивністю заливання) ), а іншого параметра у вигляді ізоліній (наприклад, ліній рівного магнітного потенціалу) У полі Solution to use (використання рішення) (рис. 1.12) в режимі перехідного аналізу можна вибрати тимчасовий шар (за замовчуванням, зображується останній) у списку Solution at time (рішення для часу). Якщо вибрати пункт Interpolated, то полі Time можна вказати проміжне значення часу й отримати інтерполований розрахунок. У режимі параметричного вирішального пристрою в списку будуть не тимчасові шари, а значення параметра і необхідно буде вибрати параметр у списку Parameter Value (значення параметра). Рис. 1.13. Вікно Plot Parametrs >Surface перемикачі SNAP можна переглянути лише у вузлах решітки. Якщо натиснути кнопку Draw Point for Cross-Section Point Plot, а потім постачати її на фігуру, то відкриється вікно з графіком зміни параметра в часі. Кнопка Draw Line for Cross-Section Line Plot дозволяє провести через фігуру пряму лінію та отримати графік зміни параметра вздовж цієї лінії. Ці кнопки дублюють пункт меню Postprocessing>Cross-Section Plot Parameters, який відкриває вікно з трьома вкладками. На вкладці General можна вибрати часові шари або (за параметричним вирішувачем) значення параметрів, для яких будуватиметься графік. Вкладки Point дозволяє задати координати точок, для яких буде побудований графік та змінну, від якої він будується. Вкладка Line також задає змінну та координати лінії, є можливість задати кількість рівновіддалених паралельних ліній. При перехідному аналізі буде побудовано графік кожного виділеного тимчасового шару. Якщо в Postprocessing вибрати пункт меню Domain Plot parameters, можна отримати рішення як графіка розподіл досліджуваного параметра (щільності струму, магнітної індукції тощо) вздовж заданої раніше лінії. У тривимірному режимі основним видом візуалізації є Slice Plot (графік перерізів). У цьому режимі показується певна кількість перерізів розрахункової області з розподілом заданої змінної. Isosurface Plot показує ізповерхні. Subdomain Plot показує картину розподілу скалярного поля досліджуваного параметра по всьому об'єму. Boundary Plot показує розподілення досліджуваного параметра на всіх межах фігури. Інші режими аналогічні режиму 2D. Усі параметри відповідних режимів візуалізації налаштовуються у вікні Postprocessing>Plot Parameters (F12) Крім того, у тривимірному режимі можна бачити кнопки, що відповідають за "освітлення" та ракурс об'єкта. Часто виникає необхідність проінтегрувати будь-який параметр за обсягом, поверхнею або ребром. Команди Postprocessing>Subdomain/ Boundary/Edge Parameters дозволяють це зробити: можна вибрати необхідний елемент, задати змінну або вираз. Так, щоб дізнатися площу або об'єм (наприклад, щоб обчислити об'ємну потужність) об'єкта необхідно замість підінтегрального виразу задати 1. Пункт меню Probe Plot Parametrs дозволяє заздалегідь задати деякі області або межі, за якими буде здійснюватись інте- Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 33 по даному виразу. Це зручно визначення механічної характеристики електричної машини. Після рішення комп'ютер одразу ж видасть цей графік. Кожен з отриманих графіків можна зберегти як малюнку, і у текстовий файл. Повністю експортувати всі отримані дані можна за допомогою пункту меню File>Export>Postprocessing Data. Запитання для самоперевірки 1. Як налаштовується навігатор моделей? 2. Які операції можна виконати у меню Draw? 3. Як намалювати в робочій ділянці прямокутник? 4. У якому меню та у якому пункті меню записують константи? 5. Як визначити властивості матеріалів моделі? 6. Як настроїти сітку 2D-моделі? 7. Який вирішальний пристрій необхідно вибрати, щоб встановити ряд швидкостей обертання для побудови механічної характеристики? 8. Як задати побудову моделі ліній рівного векторного потенціалу? 9. Як отримати графік розподілу магнітної індукції за заданим перерізом? Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 34 2. МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ ПРИСТРІЙ У РЕЖИМІ 2D Освоєння техніки моделювання різних електротехнічних пристроїв у Comsol Multiphysics найефективніше на конкретних прикладах. При цьому необхідно не тільки побудувати модель електротехнічного пристрою, а й найповніше її дослідити. 2.1. Електромагніт постійного струму. Побудувати модель С-подібного електромагніта, що має такі дані: число витків в обмотці збудження w = 5000, струм I = 10 А, робочий зазор δ = 25 мм, перетин магнітопроводу 50х50 мм2, висота і ширина магнітопроводу відповідно 400 і 350 мм. Визначити значення потоків розсіювання та коефіцієнт розсіювання. Побудувати графіки розподілу магнітної індукції: а) по ширині полюса в середині зазору та на поверхні полюсів; б) у поздовжньому напрямку біля краю полюса і далеко від полюса. Побудова моделі. Після подвійного натискання миші на іконці програми Comsol Multiphysics потрапляємо у вікно навігатора моделей. Для нашої моделі потрібно вибрати двомірний простір координат, для чого переконуємося, що у списку Space dimension встановлено режим 2D. Потім вибираємо розділ програми AC/DC Module, який відповідає за моделювання електрики. Лівий кнопкою миші натискаємо на плюсик навпроти даного розділу, після чого відкриються підрозділи, що містяться в цьому розділі. Для нашого моделювання потрібний режим Statics, Magnetic. Вибираємо його – натискаємо хрестик навпроти цього режиму. З'явилися різні режими роботи, які дозволяють вибрати тип завдання. Нам необхідний перший – Perpendicular Induction Currents, Vector Potential. Цього разу натискаємо назву режиму лівою кнопкою миші, він повинен виділитися синім кольором. Тепер натискаємо OK. З'явилася основна робоча сфера програми. У Наразі ми в режимі малювання. Про це свідчать вдавлена іконка. Спочатку необхідно задати область, в якій знаходитиметься електромагніт, що проектується. Розміри цієї області повинні бути в кілька разів більшими за розміри електромагніту. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 35 Чим далі межі цієї зони від поверхонь електромагніту, тим менші спотворення вони внесуть на картину електромагнітного поля, створену електромагнітом. Для певності створимо цю зону як прямокутника розмірами 11м2. Створити прямокутник можна двома способами. Перший – від однієї з вершин, а другий – із центру. Для зручності візьмемо другий. Для цього на панелі малювання (ліворуч від робочої області) натиснемо кнопку, підведемо мишу до точки (0; 0) і натиснемо ліву кнопку і потім поведемо мишу до однієї з вершин майбутнього прямокутника. Нехай це буде вершина (0,5; 0,5). Після цього ще раз натиснемо лівою кнопкою і прямокутник готовий. Мал. 2.1. Налаштування навігатора моделей Тепер намалюємо сердечник майбутнього магнітного ланцюга. Найпростіше це можна зробити відрізками прямих ліній, проводячи їх від точки до точки, дотримуючись заданих розмірів. Для цього натиснемо кнопку, тим самим вибираючи варіант побудови малюнка магнітопроводу ламаною лінією. Збільшимо область малювання за допомогою кнопки на основній панелі і візьмемо для прикладу точку з коор- Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 36 динатами x = -0,2; y = –0,05, натиснемо ліву кнопку миші. Далі необхідно піднятися вгору на 20 см, потім праворуч на 35 см, потім вниз на 40 см, потім вліво на 35 см, потім вгору на 15 см, потім вправо на 5 см, вниз на 10 см і т.д. Для цього поведемо курсор вгору від вихідної точки до точки (-0,2; 0,15) і зауважимо, що за курсором слідує пряма лінія. У другій точці знову натискаємо ліву кнопку миші і ведемо курсор до точки (0,15; 0,15) і знову зауважуємо, що за мишею тягнеться лінія з попередньої точки. Знову натискаємо ліву кнопку миші. Тепер наше завдання замкнути лінії у фігуру, намалювавши сердечник. Для цього переходимо по черзі до наступних точок: (0,15; -0,25); (-0,2; -0,25); (-0,2; -0,1); (-0,15; -0,1); (-0,15; -0,2); (0,1; -0,2); (0,1; -0,2); (0,1; 0,1); (0,1; 0,1); (-0,15; 0,1); (–0,15;–0,05) – виконуємо раніше описані операції та замикаємо на першій точці (–0,2; –0,05). Натискаємо праву кнопку миші, щоб закінчити малювання. Повинна вийти постать, як у рис. 2.2. Побудова по точках призвела до того, що повітряний зазор виявився занадто великим. Звичайно, можна було заздалегідь збільшити кількість точок на осях за допомогою вікна Options>Axis/Grid Settings, але ми зробимо це іншим способом. Для цього на отриманій фігурі магнітопроводу натиснемо подвійним клацанням мишу. Повинно з'явитись вікно Object Properties, а фігура розбитися на пронумеровані лінії. Мал. 2.2. Перший варіант Зробимо так, щоб підняти нижню магнітопроводу горизонтальну лінію під номером 3. Для цього виберемо її у списку і помітимо, що вона виділилася червоним кольором. Наше завдання змістити її нагору, тобто. для двох точок задати нові координати по осі Y. Пропишемо в обох випадках координати -0,075 і натисніть кнопку Preview. Видно, червона лінія перемістилася. Але постать тепер не замкнута. Для її замикання необхідно підняти вертикальні прямі 1 і 7. Визначимо у списку пряму з номером 1 і для точки (-0,2; -0,1), поміняємо значення координати -0,1 на -0,075 і знову натиснемо Preview. Тепер пряма 1 з'єднана з прямою 3. Залишилася пряма 7. Аналогічно замінюємо в точці (-0,15; -0,1) координату -0,1 на -0,075 і натискаємо Preview. Тепер постать замкнута. Ви можете натиснути OK. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 37 6 10 4 9 5 3 7 1 8 2 Мал. 2.3. Оформлення малюнка магнітопроводу Після цього намалюємо за допомогою прямокутників дві струмові обмотки. Для цього натиснемо кнопку та оберемо точку (0,1;0). Зробимо ліве клацання миші і перетягнемо курсор у точку (0,05; -0,1). Аналогічно створимо інший прямокутник за допомогою точок (0,15; 0) і (0,2; - R3 R2 0.1). У результаті має вийти наступний рисунок, як на (рис. 2.4). Коли геометрія побудована, можна перейти до завдання констант і CO1 змінних. Для цього зайдемо до меню Мал. 2.4. Остаточний Options>Constants і задаємо в полях малюнок електромагніту виразу згідно з нижченаведеною табл. 1. Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 38 Таблиця 1 Name Imax Sob Expression 10 0.005 Wob 5000 Description Струм у провіднику Площа обмотки Кількість провідників в обмотці Після того, як всі константи записані, можна написати. Тепер заходимо в меню Options>Expressions>Global Expressions, в якому введемо вираз для щільності струму згідно з табл. 2. Таблиця 2 Name J Expression (Imax*Wob)/Sob Description Щільність струму в обмотці Натискаємо OK. Наступним кроком буде завдання фізичних властивостей для областей. Для цього відкриємо меню Physics>Subdomain Settings (рис. 2.5) і побачимо, що програма розбила наш малюнок на 4 області. Тепер нам необхідно задати для даних областей фізичні властивості, які пропонуються в даному меню. Почнемо з області 1, що є повітрям (рис.2.6,а). Задамо параметру σ (Electric conductivity) значення 0,001, а решту параметрів залишимо без зміни. Мал. 2.5. Завдання фізичних властивостей областей. Перейдемо до області 2 (рис. 2.6, б). Дана область є сердечником. Задамо наступні параметри: σ (Electric conduc-Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 39 tivity) 0,1 і μr (Relative Permeability) – 1000. Інші параметри залишимо без зміни. а) б) Мал. 2.6. Виділені області: а область простору 1 за межами електромагніту; б-магнітопровід Наступна область під номером 3 (рис. 2.7 а) відповідає обмотці. Задамо наступні параметри: σ (Electric conductivity) – 1 та Jez (External Current Density) – J. Інші параметри не змінюємо. Для області 4 (рис. 2.7,б) задаємо аналогічні параметри, за винятком того, що в параметрі Jez (External Current Density) поставимо значення -J. а) б) Мал. 2.7. Виділені області: ліва частина (а) та права частина (б) обмотки збудження На цьому налаштування параметром областей завершено. Можна закрити вікно Subdomain Settings, натиснувши OK Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 40 Перейдемо до вікна Physics> Boundary Settings (рис. 2.8) і переконаємося у вірності граничних умов. Зазвичай програма сама правильно виставляє їх, але завжди варто перевірити. Зайдемо на вкладку Groups і переконаємося, що створено дві групи, перша – для зовнішнього прямокутника. У рядку Boundary Condition встановлено значення Magnetic Insulation. У другій групі, що є межі сердечника і обмоток, встановлено значення Continuity у рядку Boundary Condition. Мал. 2.8. Вікно встановлення граничних умов Наступним пунктом у налаштуванні моделі буде встановлення сітки. Так як модель досить проста, то встановимо найдрібнішу сітку. Для цього зайдемо до Mesh> Free Mesh Parameters або натиснемо F9. Повинно з'явиться вікно, аналогічне до вікна на рис. 2.9 Встановимо в Predifined Mesh sizes значення Extemely Fine. Потім натиснемо Remesh і дочекаємось, коли побудується сітка. Після створення можна перейти до налаштування вирішального пристрою. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 41 Рис. 2.9. Вікно встановлення сітки Зайдемо в меню Solve>Solver Parameters або натисніть клавішу F11 (рис. 2.10). Перевіримо який вирішальний пристрій встановлений. Має бути встановлено Stationary у списку Solver, а Linear System Solver – Direct (UMFPACK). Якщо так, то можна натиснути ОК і переходити до рішення. Для цього необхідно натиснути кнопку на панелі інструментів і почекати кілька хвилин, поки вирішуватиметься це завдання. Мал. 2. 10. Вікно налаштування вирішувача Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 42 Дослідження моделі. Після закінчення рішення має з'явитись картина розподілу поля. За умовчанням утворюється розподіл нормальної складової магнітної індукції. Зайдемо в меню Postprocessing>Plot Parameters (рис. 2.11). Мал. 2.11. Далі натисніть на вкладку Surface і в списку Predifined Quantities виберемо Total Current Density, z component. Тепер перейдемо до вкладки Contour. Поставимо галочку навпроти напису Contour Plot. Ця галочка увімкне відображення ліній на малюнку. У списку Predifined Quantities оберемо Magnetic Potential, z component. У Number of Levels пропишемо значення 30 (рис.2.11). Поставимо крапку на Uniform Color. Натисніть кнопку Color.. У палітрі, що з'явилася, виберемо синій колір та натиснемо ОК. Тепер натисніть OK у меню Plot Parameters. Має з'явитися картина, аналогічна картині на рис. 2.12. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 43 Рис. 2.12. Картина розподілу магнітного поля електромагніту Визначимо потік розсіювання, розуміючи під ним частину потоку, яка сягає робочого зазору. Збудовані на рис. 2.12 лінії рівного векторного магнітного потенціалу формують трубки рівного магнітного потоку, тому розрахувавши число трубок потоку, що проходять всередині обмотки збудження та в робочому зазорі, можна оцінити їх різницю, яка характеризуватиме потік розсіювання. Відношення потоку розсіювання до повного потоку визначить коефіцієнт розсіювання. У даному прикладі число трубок рівного потоку в області обмотки збудження 20, а в області робочого зазору 8. Таким чином, потік розсіювання визначається 12 трубками рівного потоку, а коефіцієнт розсіювання даної 2D-моделі дорівнює kp = 0,6. Щоб отримати графіки розподілу магнітної індукції в зазорі, необхідно провести додаткові лінії, якими розглядатимемо розподіл індукції. Спочатку налаштуємо сітку малювання. Для цього зайдемо в меню Options>Axes/Grid Settings (рис. 2.13) і виберемо вкладку Grid. Приберемо галочку з Auto та у рядку y spacing пропишемо значення 0,0125. Тепер зручно будуватиме необхідні прямі. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 44 Повернімося до режиму малювання та проведемо кілька прямих за допомогою кнопки. Перша пряма з координатами (–0,2; –0,075) та (–0,2; –0,05), друга – (–0,15; –0,075) та (–0,15; –0,05), третя – (–0,35; –0,075) та (0; –0,075), четверта – (–0,35; –0,0625) та (0; –0,0625), п'ята – (–0,35; –0,05) та (0; –0,05), шоста – (–0,25; –0,075) та Мал. 2.13. Меню Options>Axes/Grid Settings (–0,25; –0,05), сьома – (–0,1; –0,075) та (–0,1; –0,05). У результаті повинна вийде картинка, аналогічна рис. 2.14. Тепер повернемося до Полюса B5 Physics>Subdomain Settings B7 B1 B2 B4 B6 і налаштуємо нові подоблаB3 сти відповідно до завдання. Для цього зазор для підобластей з Мал. 2.14. Додаткові лінії у зазорі, номерами 2, 3, 5, 6, 8 та 9 (на необхідні для отримання графіків рис. 2.15 вони виділені кольором) необхідно задати характеристики, аналогічні підобласті 1, тобто. параметру σ (Electric conductivity) задати значення 0,001, а решту величин залишити без зміни. Перевіримо Physics> Boundary Settings Полюс і переконаємося, що зовнішній прямокутник Зазор 3 5 має налаштування Magnetic Insulation, а для інших ліній встановлено значення 2 6 8 9 Continuity. Тепер потрібно перерахувати сітку. Можна скористатися кнопкою. Мал. 2.15. Виділені підобласті з номерами Потім можна знову запустити вирішальний 2, 3, 5, 6, 8, 9 пристрій кнопкою. Отримане рішення не відрізнятиметься від попереднього. Тепер можна досліджувати розподіл індукції за прямими. Назвемо їх умовно B1…B7 як на рис. 2.14. Заходимо в Postprocessing>Domain Plot Parameters. Переходимо на вкладку Line/Extursion. Область малювання переключиться на режим ліній. Тепер виділимо Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 45 лінію B1. Вона розбита на дві стрілки. Для її виділення необхідно з натисненням Ctrl натиснути на обидві стрілки. Це виділить їх (рис. 2.16). Тепер у Predefined Quantities пропишемо normB__emqa. Ця змінна показує нор Рис. 2.16. Вимальну складову індукції за модулем. розділення ліній Можна натиснути OK. З'явиться графік, аналогічний для отримання графіку на рис. 2.17,а. Повторимо дані графіків маніпуляції для шести прямих. B, Тл B, Тл 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0 0 0,01 0,02 а) x, м B, Тл 0,28 0 0 0,02 x, м б) B, Тл 0,039 0,26 0,0388 0,22 0,0386 0,18 0 0,01 0,02 y, м 0,01 в) 0,0382 0 0,02 y, м 0,01 г) Рис . 2.17. Розподіл магнітної індукції: вздовж осі x а - у середині зазору; б – на поверхні полюса; вздовж осі y у – на краю полюса; г - далеко від полюса На рис. 2.17 представлено розподіл магнітної індукції вздовж осі x у середині зазору (лінія В4) та на поверхні полюсів (лінії В3 та В5). Розподіл магнітної індукції у середині зазору (рис. 2.17,а) є плавну криву, досягає максимуму під центром полюса. Крива трохи несиметрична. Спад магнітної індукції у правого краю полюса (розташованого ближче до обмотки збудження) відбувається повільніше, ніж у лівого краю полюса. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 46 На рис. 2.17,в, г представлені графіки розподілу магнітної індукції в поздовжньому напрямку (вздовж осі у) на краю полюса і вдалині від полюса (на відстані рівній ширині полюса). З рис. 2.17, видно, що магнітна індукція на краю полюса змінюється від 0,3 Тл до 0,2 Тл (у середині зазору). При цьому на правому та лівому краї полюса (лінії В1 та В2) закон зміни однаковий. Вдалині від полюса (лінії В6 і В7) магнітна індукція в 5 разів менша, ніж під полюсом і змінюється незначно. 2.2. Електромагнітне гальмо з масивним ротором на основі статора асинхронного двигуна Завдання. Потрібно отримати 2D-модель гальма з масивним феромагнітним ротором, виконаного на базі статора двофазного асинхронного двигуна АДП 532 та провести дослідження різних режимів роботи гальма з урахуванням зубчастості статора. Електропровідність матеріалу ротора γ=6106 Див/м. Крива намагнічування матеріалу ротора задана таблицею, робочий проміжок між статором і ротором 0,3 мм. Побудова моделі. При побудові моделі за допомогою комплексу Comsol Multiphysics спочатку виконуємо налаштування навігатора (Model Navigator). Для цього запускаємо програму та вибираємо у Model Navigator 2D-простір у Space Dimension. Далі вибираємо папку AC/DC Module. У ній вибираємо Statics, Magnetic, а потім Perpendicular Induction Currents, Vector Potential. Далі натискаємо кнопку Multiphysics. Так як в електромагнітному гальмі обертається ротор, необхідно створити умову обертання сітки. Для цього натискаємо Add. Тепер заходимо до папки Comsol Multiphysics, а в ній знаходимо папку Deformed Mesh. У ньому вибираємо Moving Mesh (ALE). Тепер у правій стороні з'явилися обидва режими і необхідно задати їхній зв'язок. Спочатку вибираємо Induction Currents, Vector Potential. Натискаємо кнопку Application Mode Properties. Залишаємо всі налаштування на своїх місцях, крім Constraint Type та Frame. Встановлюємо значення Non-ideal і Frame (ale) відповідно. Натискаємо ОК. Тепер виберіть Moving Mesh (ALE). Вийде, що Perpendicular Induction Currents, Vector Potential і Moving Mesh (ALE)(ale). лежать у одній папці, як у рис. 2.19. Обов'язково першим має сто- Copyright VАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 47 режим Perpendicular Induction Currents, Vector Potential. Якщо Moving Mesh (ALE) (ale) випереджає його, виділіть Moving Mesh (ALE) (ale) і натисніть Remove. Потім знову додайте Moving Mesh (ALE)(ale) з папки. Якщо все аналогічно рис. 2.19, то натискаємо ОК. Мал. 2.19. Налаштування навігатора моделей Побудова моделі в цьому прикладі відрізняється від попереднього прикладу. Так як графічні можливості програми Comsol Multiphysics обмежені, та й наявність потужного внутрішнього графічного редактора недоцільно у досить складному та потужному комплексі, то для дослідження складних моделей необхідно використовувати імпортування із зовнішніх CAD-систем: Autodesk AutoCAD, Компас та інших. Мал. 2.20. Рисунок гальма Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 48 У наведеному прикладі графіка була імпортована з однієї з CAD-систем. На рис. 2.20 представлений знімок даної моделі як малювання в Comsol Multiphysics. Після того, як геометрія експортована, необхідно ввести константи та вирази для моделі. Для цього заходимо в меню Options> Constants. Вводимо такі константи згідно з табл. 3. Таблиця 3 Name Expression Description d 0.38*10^(-3) Діаметр дроту обмотки збудження s ((3.14*(d^2))/4) w 164 Im 0.6[A] Sa w*sa rpm –1909.96 Площа провідника Обмотки збудження Число провідників в пазу обмотки збудження Максимальна амплітуда струму обмотки збудження Загальна площа провідників обмотки збудження Частота обертання ротора, (об/хв) omegarot 2*pi*frot 6e6 a/delta radius (19.7e-3) S1 33.370698e-6 Площа зовнішньої частини паза S2 length delta 31.177344e-6 (65e-3)[m] (0.3e-3)[m] Площа внутрішньої частини паза Довжина активної частини машини Повітряний зазор gamma 5.998e7 Кругова частота обертання ротора, (рад/с) Час (тільки для статичного режиму) Частота обертання ротора Провідність матеріалу ротора Відношення товщини ротора до величини повітряного зазору Радіус зовнішньої поверхні ротора Проводність матеріалу обмотки натискати OK. Переходимо до заповнення глобальних змінних виразів. Для цього захо- Copyright VАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 49 дим в меню Options>Expressions>Global Expressions. Вводимо вирази згідно з табл. 4. Таблиця 4 Name Jv Expression 0.5*Im*w/S1 Jn 0.5*Im*w/S2 dvx dvy Bn omegarot*y -omegarot*x (x*Bx_emqay+y*By_emqa)/sqrt(x^2+ +y ^2) Btn Hn Htn Description Щільність струму обмотки збудження у верхніх пазах Щільність струму обмотки збудження в нижніх пазах Нормальна складова магнітної індукції (-x*By_emqa+y*Bx_emqa)/sqrt(x^2 Модуль тангенціаль+ магнітної індукції (-x*Hx_emqa-y*Hy_emqa)/sqrt(x^2+y^2) Нормальна складова напруженості магнітного поля (-x*Hy_emqa+y*Hx_emqa)/sqrt(x^2+y^2) Тангенційна складова напруженості магнітного поля Після заповнення таблиці натискаємо ОК і переходимо до наступного кроку. Тепер запишемо вираз H=f(B) нашого ротора. Для цього зайдемо в Options>Functions. Натисніть кнопку New. З'явиться вікно New Function (рис. 2.21). У ньому пропишемо у Function Name значення func і виберемо значення Interpolation. У списку залишимо Table. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 50 Рис 2.21. Вікно завдання функції H=f(B) У таблиці залишимо значення Piecewise Cubic і Interpolation Function для рядків Interpolation Method і Extrapolation Method відповідно. Дані у таблицю у вікні заповнимо згідно з табл. 5. X означає індукцію магнітного поля B, а f(x) – напруженість магнітного поля H. x –2,09 –1,8 –1,6 –1,4 –1,2 –1 –0,8 –0, 6 –0,5 –0,4 0 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 Таблиця 5 f(x) –44000 –127800 –4100 –2090 –1290 –924 –682 –488 –400 –320 0 320 400 488 682 924 1290 2090 4100 H, А/м 104 0,5 0 –0,5 –1 –2 –1 0 1 B, Тл Мал. 2.22. Крива намагнічування матеріалу ротора Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 51 1,8 2,09 127800 44000 Перевіримо введені дані, натиснувши кнопку Plot. Повинен з'явитись графік, як на рис 2.22. Тепер необхідно описати властивості підобластей та граничні умови. Так як вбудована CAD-модель містить геометрію двофазного ротора, то зі струмом виявляться лише обмотки однієї фази. Переконуємось у тому, що в меню Multiphysics зверху вибрано режим Perpendicular Induction Currents, Vector Potential. Тепер заходимо до Physics>Subdomain Settings або натискаємо F8. Отже, у цій моделі буде дев'ять різних груп підобластей, що мають свої унікальні властивості. Спочатку виділяємо підобласті згідно з рис. 2.23,а. Щоб виділити задані підобласті, не закриваємо вікно Subdomain Settings, лише відсуваємо його. Далі вибираємо підобласті з лівим клацанням миші, утримуючи клавішу Ctrl. Після того, як виділені підобласті, задаємо для них властивості. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 52 а) в) б) г) Рис. 2.23. Завдання щільності струму позитивної (а) та негативної (б) у нижніх шарах обмотки збудження; позитивної (в) та негативної (г) у верхніх шарах обмотки збудження Відредагуємо параметри даних підобластей у вікні Subdomain Settings (рис. 2.24). У константі L прописуємо length, у константі J ze – Jv, а константі σ – gamma. Натискаємо кнопку Apply. Тепер знову, не закриваючи вікна Subdomain Settings, виділяємо підобласті згідно з рис. 2.23, б. Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 53 Аналогічно відредагуємо константи даних підобластей в Subdomain Settings. У константі L прописуємо length, у константі J ze – Jv, а константі σ – gamma. Натискаємо кнопку Apply. Тепер знову, не закриваючи Subdomain Settings, виділимо підобласті згідно з рис. 2.23, Рис. 2.24. Дані підобласті (рис 2,23,в) відповідають обмотці збудження в нижніх пазах. Аналогічно відредагуємо параметри даних підобластей в Subdomain Settings. У константі L прописуємо length, у константі J ze – Jn, а константі σ – gamma. Натискаємо Apply. Тепер знову, не закриваючи Subdomain Settings, виділимо підобласті згідно з рис. 2.23,г. У константі L прописуємо length, у константі J ze – Jn, а константі σ – gamma. Натискаємо кнопку Apply. Тепер знову, не закриваючи Subdomain Settings, виділимо підобласті згідно з рис. 2.25 а. Дані підобласті (рис. 2.25 а) відповідають масивному ротору. Для нього задаємо наступні значення констант. Константа v (швидкість) має два поля заповнення. Прописуємо у першому dvx, а у другому dvy. L прописуємо length, а константі σ - gammarot. Вибираємо в законі залежності H ↔ B рядок H=f(B), а потім у полях, що з'явилися H прописуємо func(Bx_emqa) і Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 54 fubc(By_emqa) відповідно. 2.25, б, ст. Тепер виділяємо підобласті рис. а) б) в) Мал. 2.25. Завдання параметрів масивного ротора (а) статора (б) та вільних областей (в) На рис.2.25б обрана зовнішня підобласть, яка відповідає статору. Вона має наступні константи: L дорівнює length, а μτ дорівнює 4000. Тепер переходимо у вкладку Groups константі і визначаємо групу невиділених підобластей, що залишилися, які відповідають рис. 2.25,г. Для цієї групи підобластей, де відсутні струми, поставимо константу L рівну length. Тепер натискаємо ОК. Налаштуємо підобласті для режиму Moving Mesh (ALE). Для цього виберіть меню Multiphysics>2. Moving Mesh (ALE) (Ale). Тепер Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 55 зайдемо в Physics>Subdomain Settings і виберемо всі підобласті і поставимо для них значення No displacement. Налаштування параметрів підобластей завершено. Переходимо до створення сітки для моделі. Для створення та налаштування сітки зайдемо в меню Mesh> Free Mesh Parametrs або натисніть кнопку F9. Повинно з'явитись меню як на рис. 2.26,а. Виберемо у висувному списку Predefined Mesh Size значення Extremely Fine. Це дозволить вирішити завдання дуже точно. Так як завдання двомірна і лінійна, то для досить потужного комп'ютера рішення не складе особливих труднощів. Програма сама складе найзручнішу сітку для розрахунку після натискання кнопки Remesh. Зрештою має вийти щось схоже на рис 2.26,б. Якщо не влаштовують розміри сітки, можна налаштувати її самому, вибравши галочку навпроти Custom mesh size. Також якщо необхідна більш висока точність сітки в якомусь місці завдання, можна скористатися вкладками Subdomain (подобність), Boundary (кордон), Point (точка). б) а) Мал. 2.26. Створення сітки: а– вікно Free Mesh Parametrs, б –сітка моделі Тепер перейдемо до налаштування вирішального пристрою. Зайдемо в меню Solve>Solver Parameters або натисніть F11. З'явиться віконце як на рис. 2.27. На даний момент вибрано вирішальний пристрій статичного режиму Stationary. Виберемо Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 56 Parametric у списку. У рядку Parameter names пропишемо параметр rpm. Це частота обертання ротора гальма (обіг за хвилину). У Parameter Values пропишемо range (0,50, 200), тобто варіюватимемо параметр rpm від 0 до 200 об/хв через кожні 50 об/хв. Залишимо інші параметри вирішального пристрою стандартними, оскільки вони підібрані оптимально для цієї задачі. Натисніть OK. Спробуємо також при вирішенні окремо вивести графіки механічної характеристики через наступні формули: М r Bn H tn LRdS M JBт LRdV і де М, Н·м – електромагнітний момент, Bn, Тл – нормальна складова магнітної індукції, Htn, А /м – тангенціальна складова напруженості магнітного поля, J , А/м2 – густина струму, L – довжина ротора по осі Z, R – радіус ротора. Мал. 2.27. Вікно Solver Parametrs Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 57 Для цього викличемо вікно Postprocessing >Probe Plot Parametrs (рис. 2.28) Мал. 2.28. Вікно Probe Plot Parameters Натисніть кнопку New. У спливаючому вікні Plot type виберемо Integration. Залишимо Domain Type - Subdomain. У Plot Name напишемо ім'я нашого графіка, наприклад "Момент". Тепер виберемо підобласті ротора аналогічно рис. 2.25 а. У полі Expression записуємо підінтегральну формулу - Jz_emqa * Bn * length * radius. Тепер для перевірки створимо ще одну функцію. 2.29. Виділення зовнішньої поверхні ротора визначення інтегралу. Аналогічно натисніть кнопку New. У спливаючому вікні Plot type виберемо Integration. Виберемо у Domain Type – Boundary. У Plot Name напишемо ім'я графіка - "Момент 2". Натисніть ОК. Тепер необхідно вибрати поверхню ротора (рис 2.29), так як передбачається інтегрування по поверхні (момент через тензор натягу). *length*radius. Тепер можна розпочинати рішення. Для цього натиснемо Solve>Solve Problem або іконку = на панелі. Запуститься вирішальний пристрій і кілька хвилин доведеться зачекати. Висновок і аналіз результатів розрахунку розрахунку. Після проведення 0,3 ня обчислення Comsol автоматично видасть графіки моменту (рис. 2.30), оскільки 0,2 було прописано їх розрахунок. Для отримання більш наочної та 0,1 плавної картини залежності моменту від швидкості Solver 0 120 160 ω 0 40 80 Parameters у значеннях Мал. 2.30. Залежність моменту Parameter Values бажано від швидкості обертання прописати range (0,10, 200). Однак велика кількість точок завадить отриманні інших графіків, тому отримання графіків індукції, струму і т.д. по поверхні та по глибині проведено при розрахунку з п'ятьма параметричними точками. Тепер налаштуємо параметри відображення рішення. Для цього зайдемо до Postprocessing>Plot Parameters. Виберемо вкладку Surface та у списку Predefined Quantities оберемо Total current density, z component. Потім перейдемо до вкладки Contour. У Predefined Quantities виберемо Magnetic Potential, z component. У Levels пропишемо 40, а в Contour Рис. 2.31. Вікно Plot Parametrs Colour виберемо Uniform Col на вкладці Contour or, наприклад синій колір (рис. Не слід забувати поставити галочку в лівому верхньому кутку навпроти Contour Plot. Тепер натискаємо ОК. Мал. 2.32. Картина електромагнітного поля в гальмі На графіці (рис. 2.32) можна бачити розподіл щільності струму та магнітного потенціалу з електромагнітного гальма. Лініями обмежуються трубки рівного магнітного потоку. Там, де лінії проведені густіше, магнітна індукція більша. На графіці видно, як магнітне поле захоплюється ротором, що обертається. Колір показує розподіл щільності струму в роторі. Розглянемо, як змінюються параметри гальма на поверхні масивного Мал. 2.33. Вікно Domain Plot Parameters Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 60 ротора. Для цього зайдемо в меню Postprocessing>Domain Plot Parameters та виберемо вкладку Line/Extrusion (рис. 2.33). Тепер виберемо лінію, що становить поверхню ротора. Для цього введемо в поле Expression значення Bn, Btn, Hn, Jz_emqa і, натискаючи після кожного нового значення кнопку Apply, отримаємо графіки розподілу даної змінної за обраною довжиною. Повинні вийти графіки, аналогічні до графіків на рис. 2.34 а, б і рис. 2.35 а, б. Bn, Тл Btn, Тл 1 3 2 5 0,4 0,4 2 0 0 54 3 4 1 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 0 0,04 а) l, м 0, 08 -1 0 0,04 б) 0,08 l, м Мал. 2.34,а. Розподіл нормальної (а) та тангенціальної складових індукції по довжині ротора за різних швидкостей обертання ротора: 1– n = 0 об/хв; 2 - n = 50 об / хв; 3 - n = 100 об / хв; 4 - n = 150 об / хв; 5– n = 200 об/хв Hn, А/м 106 1 3 2 0 5 4 –2 –4 2 J, А/м2 106 5 2 4 3 0 2 1 –2 –4 0,04 l, м 0, 08 0,08 l, м 0 б) а) Мал. 2.35. Розподіл нормальної складової напруженості (а) та густини струму (б) по довжині ротора при різних швидкостях обертання ротора: 1– n = 0 об/хв; 2 - n = 50 об / хв; 3 - n = 100 об / хв; 4 - n = 150 об / хв; 5 - n = 200 об / хв 0 0,04 Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 61 Рис. 2.36. Виділення лінії визначення параметрів по глибині ротора Тепер отримаємо графіки розподілу тих самих параметрів за товщиною ротора. Для цього виділимо лінію згідно з рис. 2.36 і повторимо маніпуляції із запровадженням змінних. У результаті отримаємо графіки (рис. 237, 238). Bn, Тл Btn, Тл 0 4 –0,2 3 –0,4 2 –0,6 5 0,3 0,1 0 –0,1 1 –0,3 4 1 2 3 5 –0,5 –0 ,8 0 0,004 0,008 0,012 l, м 0 0,004 0,008 0,012 l, м б) а) Мал. 2.37. Розподіл нормальної (а) і тангенціальної (б) складових індукції за товщиною ротора за різних швидкостей обертання ротора: 1– n = 0 об/хв; 2 - n = 50 об / хв; 3 - n = 100 об / хв; 4 - n = 150 об / хв; 5– n = 200 об/хв Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 62 Hn, А/м 106 0 –1 –3 –5 J, А/м2 106 3 1 2 3 4 5 2 1 0 2 4 3 1 5 0,004 l, м 0 0,004 0,008 0,012 l, м 0 б) а) Мал. 2.38. Розподіл нормальної складової напруженості (а) та щільності струму (б) по товщині ротора за різних швидкостей обертання ротора: 1– n = 0 об/хв; 2 - n = 50 об / хв; 3 - n = 100 об / хв; 4 - n = 150 об / хв; 5 - n = 200 об / хв -7 -1 Аналогічно можна розглянути й інші параметри в залежності від мети дослідження. 2.3. Електромагнітне гальмо з порожнім феромагнітним ротором Завдання. Виконати моделювання електромагнітного гальма з порожнім феромагнітним ротором, використовуючи в якості бази модель гальма з масивним ротором. Товщина порожнистого ротора 1,7 мм. Максимальна швидкість обертання 3000 об/хв. Розробка моделі. Відкриємо модель з масивним ротором та оберемо Draw Mode на панелі інструментів. Наше завдання намалювати внутрішню поверхню ротора. Залишимо зазор, рівний 0,3 мм, а ротор зробимо завтовшки 1,7 мм. Отже, нам необхідно намалювати коло радіусом 18 мм. Для цього в режимі Draw Mode виберемо кнопку Ellipse/Circle (centered) і із затиснутим Ctrl, утримуючи ліву кнопку миші, намалюємо коло, центром якого є точка з координатами (0,0). Якщо в Grid задана занадто велика розмітка, то намалюємо коло трохи менше, а потім подвійним клацанням на окружності, що вийшла, відкриємо властивості і задаємо наступні значення для осей: A-semiaxes: 0,018; B- Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 63 semiaxes: 0,018 (рис. 2.39). У результаті має вийти модель порожнього ротора. Тепер перейдемо до редагування підобластей моделі у Subdomain Settings. Порожнистий ротор є частиною раніше існуючого масивного, тому його параметри можна не змінювати, а для кола, що залишилося всередині, необхідно задати параметр. 2.39. Вікно налаштування фігури Ellipse ри повітря. Через проведену в колі лінію в ньому виявилося дві області. Для проведення редакції констант цих підобластей виділимо їх і в константі v (швидкість) у двох полях для заповнення стираємо dvx і dvy, а замість них прописуємо 0. У константі L залишаємо length, а константі σ – 0. Константі μr задаємо значення 1. а) б) Рис. 2.40. Редагування підобластей, розташованих усередині кола: а повітря; б– порожнистий ротор Виділені нами підобласті тепер є повітря. Залишилося відредагувати визначення моменту в Postprocessing>Probe Plot Parameters. Від старої моделі залишилося визначення інтегралів за довжиною кола та площею (точніше Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 64 за обсягом і поверхнею, оскільки у формулі є множення на довжину ротора), але оскільки ротор тепер порожнистий, то його обсяг змінився і додалася ще одна поверхня (внутрішня). Тому першу формулу можна зберегти без зміни, другу формулу необхідно уточнити і додати формулу для визначення моменту нижньої межі. Він повинен буде в сумі з моментом верхньої межі дати таку ж механічну характеристику, як і при інтегруванні за обсягом. Відредагуємо момент за обсягом та виберемо підобласті для інтегрування, показані на рис. 2.40,б (тобто. Рис. 2.41. Виділення внутрішньої підобласті порожнистого ротора). Створимо нову функцію поверхні порожнього роторацію, натиснувши у вікні Probe Plot Parameters кнопку New У спливаючому вікні Plot type виберемо Integration. Виберемо у Domain Type – Boundary. У Plot Name напишемо ім'я нашого графіка - "Момент 3". Натисніть ОК. Тепер необхідно вибрати внутрішню поверхню ротора (рис. 2.41). У полі Expression записуємо підінтегральну формулу Bn * Htn * length * radius. Останнім кроком перед розрахунком моделі є зміни параметрів вирішального пристрою. Так, швидкість обертання порожнистого ротора вище, ніж швидкість обертання масивного, тому зайдемо в Solver Parameters і відредагуємо поле Parameter Values, змінивши крок і кінцеву швидкість. Пропишемо таке – range (0,600, 3000). Ви можете натиснути OK. Висновок та дослідження результатів моделювання. Запускаємо модель, натиснувши кнопку на панелі інструментів. Через війну розрахунків отримаємо залежності електромагнітного моменту від частоти обертання ротора (рис. 2.42) – механічні характеристики гальма. Перша характеристика отримана інтегруванням за обсягом твору щільності струму ротора на первинну магнітну індукцію, друга і третя характеристики - інтегруванням по верхній і відповідно нижній поверхні ротора твору нормальної. тангенціальної складової напруженості магнітного поля (використання тензора натягу Максвелла). З графіків (рис. 2.42) можна бачити, що сума моментів на верхній та нижній поверхнях ротора дорівнює моментам, визначеним шляхом інтегрування за обсягом ротора. При цьому значення моменту на нижній поверхні ротора значно менше ніж на верхній. Bn, Тл 0,08 1 2 0,06 0,04 0,02 3 0 0 1000 2000 Мал. 2.42. Механічні характеристики гальма, одержані шляхом інтегрування: 1 – за обсягом; 2 – по верхній поверхні; 3 - по нижній поверхні порожнистого ротора Перейшовши в меню Postprocessing> і задавши виведення щільності струму по перерізу ротора, а також розподіл ліній рівного векторного потенціалу, можна отримати картину електромагнітного поля в роторі гальма при заданої швидкості обертання (рис. 2.43). Трубки рівного магнітного потоку, сформовані лініями рівного магнітного потенціалу, показують, що магнітний потік практично весь замикається по ротору. Щільність струму змінюється в широких межах і вздовж кола ротора, і за його товщиною. Розглянемо докладніше, як змінюються магнітна індукція та щільність струму вздовж кола та за товщиною ротора. Для Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 66 цього зайдемо в меню Postprocessing>Domain Plot Parameters і виберемо вкладку Line/Extrusion. Мал. 2.43. Картина електромагнітного поля в роторі гальма Тепер виберемо лінію, яка є верхньою поверхнею ротора (рис. 2.43). Аналогічно попередньому прикладу по черзі введемо в поле Expression значення Bn, Jz_emqa, натискаючи після кожного нового значення кнопку Apply, і отримаємо графіки розподілу змінної по обраній довжині. Повинні вийти графіки, такі як рис. 2.44. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 67 J, А/м 106 Bn, Тл 0,2 2 0,1 0 1 4 6 5 –0,1 0 –0,2 –0,3 0 3 1 2 0,02 0,04 х, м -1 0 0,02 0,04 х, м б) а) Мал. 2.44. Розподіл нормальної складової індукції (а) та густини струму (б) у верхньому шарі ротора вздовж його кола при різних швидкостях обертання: 1 – n = 0 об/хв; 2 - n = 600 об / хв; 3 - n = 1200 об / хв; 4 - n = 1800 об / хв; 5 - n = 2400 об / хв; 6 – n=3000 об/мин Аналіз графіків (рис. 2.44) показує, що зі збільшенням швидкості обертання ротора магнітна індукція зменшується за значенням і зміщується по фазі убік обертання ротора, а щільність струму збільшується зі збільшенням швидкості обертання ротора. Для визначення законів розподілу зазначених параметрів за товщиною ротора виділимо рис. 2.45. Виділення лінії для визначення розподілу параметрів за товщиною роторування, що виходить із центру і проходить ротором (рис. 2.45). Потім повторимо операції з визначеннями графіків для Bn, Btn, Htn, Jz_emqa та отримаємо графіки (рис. 2.46, а, б та рис. 2.47, а, б). Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» ) а) Мал. 2.46. Розподіл нормальної (а) та тангенціальної (б) складових індукції за товщиною ротора при різних швидкостях обертання: 1 – n = 0 об/хв; 2 - n = 600 об / хв; 3 - n = 1200 об / хв; 4 - n = 1800 об / хв; 5 - n = 2400 об / хв; 6 – n=3000 об/хв 0 0,002 0,004 у, м 0 0,002 Аналізуючи графік (рис. 2.46,а), можна відзначити, що нормальна складова магнітної індукції у підлоговому роторі зі збільшенням швидкості обертання зменшується від 0,19 Тл до 0 06 Тл у поверхневому шарі. Крім того, вона майже лінійно змінюється за товщиною ротора, наближаючись до значення, близького до нуля у внутрішньому шарі порожнистого ротора. При цьому нормальна складова магнітної індукції на внутрішній поверхні ротора і внутрішньому повітряному просторі всередині порожнистого ротора змінюється при зміні швидкості обертання від 0,02 Тл до нуля. Тангенціальна складова магнітної індукції змінюється інакше: зі збільшенням швидкості обертання вона збільшується, збільшується при наближенні до внутрішньої поверхні порожнистого ротора, тобто. змінюється за товщиною ротора у протилежному напрямку. На відміну від нормальної складової магнітної індукції (у поверхневому шарі ротора Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 69 тангенційна складова магнітної індукції практично дорівнює нулю). Характерно, що у внутрішньому просторі всередині порожнистого ротора тангенціальна складова магнітної індукції теж практично дорівнює нулю. Розподіл тангенціальної складової напруженості магнітного поля за товщиною ротора аналогічно розподілу тангенціальної складової магнітної індукції. Відмінність полягає в тому, що у внутрішньому просторі (повітряному) усередині порожнистого ротора тангенціальна складова напруженості магнітного поля не дорівнює нулю. Htn, А/м 103 0 J, А/м2 107 -1 1 6 5 4 3 1 -1 2 2 4 5 -9 0 6 1 0,002 0,004 у, м 0 0,004 у, м б) а) Мал. 2.47. Розподіл тангенціальної складової напруженості магнітного поля (а) та щільності струму (б) по товщині ротора за різних швидкостей обертання: 1 – n = 0 об/хв; 2 - n = 600 об / хв; 3 - n = 1200 об / хв; 4 - n = 1800 об / хв; 5 - n = 2400 об / хв; 6 – n=3000 об/хв 0,002 Розподіл щільності струму товщиною ротора відрізняється від розглянутих. Щільність струму збільшується зі збільшенням швидкості обертання та збільшується, наближаючись до верхньої поверхні ротора, при цьому залишається рівною нулю на внутрішній поверхні ротора. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 70 2.4. Спрощена модель явно полюсного гальма з порожнім немагнітним ротором. Отримати спрощену модель явнополюсного гальма з порожнистим немагнітним ротором і провести дослідження розподілу магнітних індукцій та щільності струмів вздовж поверхні та по глибині ротора за різних його швидкостей обертання. Радіус ротора 0,024 м, товщина ротора 0,002 м, загальний зазор 0,003 м, електропровідність матеріалу ротора γ = 6 · 106 см/м. Струм в обмотці збудження 5 А, число витків w = 100. Підготовка та налаштування моделі. На рис. 2.48 наведено конструктивну схему гальма (для більшої наочності показаний один електромагніт з чотирьох). Спроба побудувати модель, наближену до конструктивної схеми, призводить до необхідності побудови 3D-моделі і дуже високих вимог до комп'ютера, що в більшості випадків недосяжно. Для спрощення моделі можна розгорнути ротор на поверхні, як це роблять при отриманні аналітичних залежностей моменту від конструктивних параметрів. Використовуємо такий підхід для побудови спрощеної моделі гальма. Для цього представимо 2Dмодель гальма у вигляді нескінченної смуги, що рухається між полюсами електромагніта. Для більшої наочності та Мал. 2.48. Конструктивна схема спрощення досліджень можна електромагнітного гальма взяти з частину ротора, рівну половині порожнистим немагнітним ротором полюсного поділу і один полюс. а-конструктивна схема; б– комп'ютерна Використовуючи рівність граничних умов зверху імодель знизу, і навіть праворуч і зліва моделі (зі зміною знака), хіба що замкнули ротор і магнитопровод в кільце. Маючи в своєму розпорядженні на магнитопроводе зосереджену обмотку збудження і задаючи в ній певну щільність струму, отримуємо в робочому зазорі задане значення магнітної індукції (наприклад 0,4 Тл і 1,2 Тл) при нерухомому роторі. Для імітації обертання ротора ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 71 задаємо лінійну швидкість ротора як функцію кутової швидкості або числа обертів за хвилину: 2 nr v r . 60 Виконаємо необхідні операції для отримання моделі електромагнітного гальма за допомогою комплексу Comsol Multiphysics. Зайдемо до Model Navigator. Для нашої моделі потрібно вибрати двомірний простір координат, для чого переконуємося, що у списку Space dimension встановлено режим 2D. Після цього вибираємо розділ програми AC/DC Module, R6 R5 відповідає за моделювання електрики. Далі виберемо режим Statics, Magnetic, потім – Perpendicular Induction Currents, Vector Potential, тобто. Події аналогічні першому прикладу. Тиснемо ОК. У режимі малювання зайдемо в меню Options>Axes/Grid Settings та виберемо вкладку Grid. Приберемо галочку з Auto і в рядках x spacing та y spacing пропишемо значення 5e4. Далі створимо прямокутник з центром R8 R7 (0;0) за допомогою кнопки і ведемо мишу до Мал. 2.49. Малюнок точці (0,019; 0,03), яка буде координувати спрощення моделі того кута прямокутника. Тепер створимо гальма прямокутник із центром (0;0) та кутом (0,0065; 0,03), прямокутник із центру (0; 0) до кута (0,019; 0,0015), і останнім прямокутник із центром (0; 0 ) до кута (0,019; 0,001). Далі створимо прямокутники за допомогою кнопки Проведемо перший через точки (-0,0065; 0,03) і (-0,0135; 0,023), другий через точки (0,0065; 0,03) і (0,0135; 0,023) , третій через точки (-0,0065; -0,03) і (-0,0135; -0,023) і четвертий через точки (0,0065; -0,03) і (0,0135; -0,023). Тепер проведемо прямі кнопки. Перша з точки (0; -0,0015) в точку (0; 0,0015), друга з точки (-0,0125; -0,0015) в точку (-0,0125; 0,0015), третя з точки (-0,019; 0) в точку (0,019; 0). У результаті має вийти картинка, аналогічна картинці на рис. 2.49. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 72 Перейдемо до завдання констант та змінних. Для цього зайдемо в меню Options>Constants і поставимо в полях виразу згідно з табл. 5 Таблиця 5 Name Imax S Expression 5 [A] 4.9*10^-5 Wob 100 L p R 0.06 [m] 4 0.024 Description Струм у провіднику Площа обмотки Кількість провідників в обмотці Довжина ротора Кількість пар полюсів Радіус ротора можна записати, натиснути OK. Тепер заходимо в меню Options>Expressions>Global Expressions. У цьому меню введемо формулу для щільності струму згідно з табл. 6 табл. Наступним кроком буде завдання фізичних властивостей для областей. Для цього відкриємо меню Physics>Subdomain Settings отримаємо малюнок, що складається з 30 підобластей. Тепер необхідно задати для цих областей фізичні властивості, запропоновані у цьому меню. Почнемо з областей 13 і 18, що є сталевим статором (рис. 2.50,а). Задамо константі L (Length) значення L, константі σ (Electric conductivity) значення 0,001, константі μr (Relative Permeability) – 1000000, інші константи залишимо як є. Для підобластей 3, 4, 10, 11, 15, 16, 20, 21, 26 і 27, що являють собою ротор (виділених на рис. 2.50,б), задаємо наступні параметри: v (Velocity) – у першому полі прописуємо змінну V , а друге залишаємо з 0, константі L (Length) значення L та константі σ (Electric conductivity) значення 6106. Для підобластей 1, 2, 5, 6, 9, 12, 14, 17, 19, 22, 24, 25, 28 і 29, що являють собою повітря (виділених на рис. 2.50,в), поставимо такі параметри: σ (Electric conductivity) значення 0,001, а решту параметрів залишаємо як є. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 73 Для підобластей 7 і 8 (рис. 2.50,г) задаємо наступні параметри: σ (Electric conductivity) –107 та J ze (External Current Density) +J. Для підобластей 23 та 30 (рис. 2.50, д) задаємо наступні параметри: σ (Electric conductivity) – 107 та J ze (External Current Density) –J. На цьому налаштування підобластей закінчено. Можна натиснути OK. 13 18 а) б) в) 7 23 8 30 г) д) Мал. 2.50. Завдання властивостей різних областей: а -магнітопроводу статора; б - порожнистий ротор (виділений); в-повітря (виділений); г-ліва частина; д-права частина обмотки збудження Перейдемо до вікна Physics> Boundary Settings (рис. 2.51) і встановимо граничні умови для моделі. Для кордонів з лівого та правого боку моделі, виділених жирною лінією на рис. 2.51,а, встановимо значення Periodic Condition у Boundary Condition. У Type of Periodity Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 74 виберемо Antiperiodity. У Periodic Pair Index поставимо номери по порядку. Спочатку виберемо межі 1 і 74, встановимо все для них та позначимо номером 1. а) б) Мал. 2.51. Завдання властивостей різних областей: а -магнітопроводу статора; б - порожнистий ротор (виділений); Аналогічно для кордонів попарно 3 і 75, 5 і 76, 7 і 77, 9 і 78, 11 і 79 встановимо значення Periodic Condition у Boundary Condition і в Type of Periodity виберемо Antiperiodity. У Periodic Pair Index поставимо відповідно 2, 3, 4, 5, 6. Для меж зверху і знизу моделі (виділені на рис. 2.51,б) встановимо значення Periodic Condition у Boundary Condition. У Type of Periodity виберемо Continuity. У Periodic Pair Index поставимо нумерацію. Спочатку виберемо межі 2 і 13, встановимо все для них і позначимо номером 7. Аналогічно для кордонів попарно 15 і 19, 30 і 43, 54 і 69, 71 і 73 встановимо значення Periodic Condition у Boundary Condition та в Type of Periodity виберемо. У Periodic Pair Index поставимо відповідно 8, 9, 10, 11. Перевіримо, що для меж, що залишилися (рис. 2.51) вибрано значення Continuity в Boundary Condition. На цьому налаштування кордонів завершено. Можна натиснути OK. Тепер налаштуємо сітку моделі. Для цього зайдемо до Mesh> Free Mesh Parameters або натиснемо F9. Повинно з'явитись вікно, аналогічне вікну на рис. 2.52. Встановимо в Predifined Mesh sizes значення Ex-Copyration ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 75 tremely Fine. Потім натиснемо Remesh і дочекаємось, коли створиться сітка. Налаштуємо вирішальний пристрій. Для цього зайдемо в меню Solve>Solver Parameters або натисніть клавішу F11. Встановимо параметричний вирішувач. Встановимо Parametric у списку Solver, а Linear System Solver – Direct (UMFPACK). У Parameter Names введемо змінну n, а Parameter Values – range (0,2000, 12000), тобто. параметр n змінюватиметься від 0 до 12000 кроком 2000. Перед включенням вирішального пристрою зайдемо в Multiprocessing>Probe Plot Parameters (рис. 2.52). Задамо рівняння для виведення залежності моменту від швидкості обігу M r B y H x LRdS; M r JB y LRdV , де М, Н·м – електромагнітний момент, By, Тл – нормальна складова магнітної індукції, Hx, А/м –тангенціальна складова напруженості магнітного поля, J , А/м2 – густина струму, L– довжина ротора осі Z, r – радіус ротора. Мал. 2.52. Завдання рівняння моменту гальма Натисніть кнопку New. У спливаючому вікні Plot type виберемо Integration. Залишимо Domain Type - Subdomain. У Plot Name напишемо ім'я нашого графіка, наприклад «Момент». Виділимо переріз ротора, аналогічно рис.2.53 а. У полі Expression записуємо підінтегральну формулу Jz_emqa*By_emqa*L*R. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 76 Для перевірки створимо ще дві функції визначення інтегралу. Аналогічно натисніть кнопку New. У спливаючому вікні Plot type виберемо Integration. Виберемо у Domain Type – Boundary. У Plot Name напишемо ім'я графіка "Момент 2". Натисніть ОК. Видеа) лім верхню поверхню ротора (рис. 253,б). У полі Expression введемо – By_emqa*Hx_emqa*L*R. Аналогічно створюємо ще одну функцію. Виберемо у Domain Type – Boundary. У Plot Name напишемо ім'я графіка "Момент 2". Виділимо нижню поверхню ротора (рис. 2.53, в). У полі в) Expression записуємо формулу Мал. 2.53. Виділення: а-об'єму; By_emqa*Hx_emqa*L*R. б, в– поверхні інтегрування Якщо так, можна натискати ОК і переходити до рішення. Для цього необхідно натиснути кнопку на панелі інструментів M(n) ментів і почекати, поки буде вирішуватися дане завдання. Висновок та аналіз резуль1 0,4 3 татів розрахунку. За підсумками 2 рішення програма видасть 0,2 три графіки M(n) і, якщо два графіки, які визначають 1000 2000 n, об/хв 0 ються по поверхнях ротора, Рис. 2.54. Висновок графіків M(n) при додаванні, то буде видно, що в інтегруванні: сумі вони дадуть третій гра1– за обсягом; 2-по верхній межі; фік. На рис. 2.54 графіки 3 – по нижній межі M(n) об'єднані однією координатному полі, тобто. Формули моменту дали рівні результати При запуску записаної раніше програми графіки автоматично не виводяться, але при перезапуску програми виводяться. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 77 Далі налаштуємо параметри відображення рішення задачі. Для цього зайдемо Postprocessing>Plot Parameters. Виберемо вкладку Surface та у списку Predefind Quantites оберемо Total current density z component (вивести розподіл щільності струму) або Magnetic flux y component (розподіл y складової магнітної індукції). Потім перейдемо до вкладки Contour. У Predefined Quantites виберемо Magnetic Potential z component. У розташованому нижче рядку Levels пропишемо 40 (тобто поставимо число ліній рівного векторного магнітного потенціалу). У рядку Contour Colour виберемо Uniform Color і поставимо колір, наприклад синій (колір ліній векторного магнітного потенціалу). Не слід забувати поставити галочку в лівому верхньому кутку навпроти Contour Plot. Тепер натиснемо ОК. На графіці (рис.2.55) видно розподіл щільності струму в роторі та магнітного поля в магнітопроводі та в повітрі. Лінії рівного векторного магнітного потенціалу сформували трубки рівних магніт- Рис. 2.55. Картина розподілу магнітних потоків. Це дозволяє в гальмі бачити, що магнітне поле нерівномірно розподілено під полюсом, що частина магнітного потоку замикається за межами полюсів. Магнітний потік захоплюється ротором, що обертається, при цьому відбувається збільшення індукції під краєм полюса. Розглянемо розподіл магнітної індукції та щільності струму за товщиною ротора. Зайдемо до Multiprocessing > Domain Plot Parameters. Переходимо на вкладку Line/Extursion. Область малювання переключиться на режим ліній. Тепер виділимо лінію під центром полюса (рис. 2.56 а). Вона розбита на чотири стрілки. Для її виділення необхідно із затиснутим Ctrl натиснути на всі стрілки. Це їх виділить. Тепер у Predefined Quantities пропишемо Bу_emqa. Ця змінна показує Y-складову індукції по модулю, яка в даній моделі буде нормальною складовою індукції. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 78 Можна натиснути ОК. З'явиться графік, аналогічний до графіка на рис. 2.56, б. Зазначимо, що під серединою полюса нормальна складова магнітної індукції практично незмінна за значенням при заданій швидкості обертання. При збільшенні швидкості обертання вона зменшується, залишаючись однією і тією ж товщиною ротора. а) B, Тл 0,4 1 2 3 3 4 5 0,3 2 6 7 y, мм 0 7 5 4 3 1 6 0,2 0,15 J, А/м2 107 2 1 2 2 1 y, мм 0 в) б) Мал. 2.56. Виділення лінії під центром полюса для визначення зміни магнітної індукції та щільності струму за товщиною ротора (а); розподіл магнітної індукції (б) та густини струму (в) при різних швидкостях обертання ротора: 1 – n = 0 об/хв; 2 - n = 2000 об / хв; 3 – n = 4000 об/хв; 4 – n = 6000 об/хв; 5 – n = 8000 об/хв; 6 - n = 10000 об/хв; 7 – n = 12000 об/хв 0 1 Розглянемо також розподіл щільності струму за товщиною ротора виділеної лінії. Для цього в Predefined Quantities пропишемо Jz_emqa. Графік на рис. 2.56, ст. Щільність струму, як і нормальна складова магнітної індукції, залишається однаковою по всій товщині ротора при заданій швидкості обертання, але при збільшенні швидкості обертання збільшується, залишаючись незмінною по всій товщині ротора. Проведемо дослідження розподілу нормальної складової магнітної індукції густини струму в інших точках ротора. Виділимо лінію правому краю полюса (рис. 2.57, а) і розглянемо нею розподіл магнітної індукції (рис. 2.57, б) і щільності струму (рис. 2.57, в). Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 79 Зазначимо, що під краєм полюса зовсім інший характер розподілу цих величин. Вони змінюються по товщині ротора, значно збільшуються зі збільшенням швидкості обертання. Порівняно з попереднім графіком щільність струмів збільшилася майже вдвічі. Магнітна індукція по товщині ротора не дуже значно збільшилася, але в повітряному зазорі вона збільшилася майже вдвічі поблизу поверхонь полюса. а) J, А/м2 107 3 Bn, Тл 7 0,6 5,6,7 0,5 2 4 0,4 2 0,3 5 4 3 6 3 1 1 0 2 1 2 y, мм 1 0 в ) б) Мал. 2.57. Виділення лінії правому краю полюса визначення зміни магнітної індукції і щільності струму за товщиною ротора (а); розподіл магнітної індукції (б) та густини струму (в) при різних швидкостях обертання ротора: 1 – n = 0 об/хв; 2 - n = 2000 об / хв; 3 – n = 4000 об/хв; 4 – n = 6000 об/хв; 5 – n = 8000 об/хв; 6 - n = 10000 об/хв; 7 – n = 12000 об/хв 0 1 2 y, мм Аналогічно повторимо маніпуляції для виділеної лінії на лівому краю полюса (рис. 2.58, а) та за межами полюса на відстані, що дорівнює половині ширини полюса (рис. 2.58, г), і розглянемо їм розподіл магнітної індукції (рис. 2.58, б, буд) і щільності струму (рис. 2.58, в, е). У першому випадку розподіл нормальної складової магнітної індукції по товщині ротора нерівномірно, значення її значно менше, ніж під центром полюса, і зменшується зі збільшенням швидкості обертання ротора. Щільність струму зі збільшенням швидкості обертання ротора спочатку збільшується, а потім починає зменшуватися. У другому випадку, поза межами полюса, картина знову змінилася. Нормальна складова магнітної індукції стала наполегливою. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 80 док менше, майже не змінюється по товщині ротора, зменшується при збільшенні швидкості обертання і при високих швидкостях обертання змінює знак. Щільність струму спочатку збільшується зі збільшенням швидкості обертання ротора, а потім починає зменшуватися і при високих швидкостях обертання змінює знак. а) Bn, Тл 0,4 2 0,3 1 4 7 0,8 4 5 5 3 6 1,2 3 0,2 J, А/м2 107 6 2 0,4 0,1 0 2 7 y, мм 1 1 0 0 1 б) Bn, Тл 1 0,04 5 4 6 7 1 2 J, А/м2 106 1 0 2 3 0,02 –0,02 0 y, мм в) г) 0 2 y, мм 3 2 1 5 –1 6 –2 7 0 1 4 2 y, мм е) д) Мал. 2.58. Виділення лінії на лівому краю полюса (а) та за межами полюса (г) для визначення зміни магнітної індукції та щільності струму за товщиною ротора; розподіл магнітної індукції (б, д) та щільності струму (в, е) при різних швидкостях обертання ротора: 1 – n = 0 об/хв; 2 - n = 2000 об / хв; 3 – n = 4000 об/хв; 4 – n = 6000 об/хв; 5 – n = 8000 об/хв; 6 - n = 10000 об/хв; 7 – n = 12000 об/хв Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 81 Розглянемо далі розподілу магнітної індукції та щільності струму вздовж ротора. Для цього виділимо лінію вздовж поверхні ротора (рис. 259) на рівні середини товщини ротора. При збільшенні швидкості обертання ротора нормальна складова магнітної індукції під лівим краєм полюса зменшується, а під правим краєм трохи збільшується. На деякій відстані ліворуч від полюса вона змінює знак. Щільність струму ротора зі збільшенням швидкості обертання значно збільшується під правим краєм ротора, а під лівим краєм ротора вона збільшується незначно. При найвищих швидкостях обертання щільність струму ротора під правим краєм полюса вчетверо більше, ніж під лівим. На деякій відстані ліворуч від краю полюса щільність струму ротора змінює знак. а) By, Тл 0,4 3 4 5 0,3 0,2 1 2 4 5 4 3 2 0 0 7 6 6 6 7 0,1 J, А/м2 107 1 2 0,02 0,03 x, м 0,01 0,02 0,03 х, м 0 в) б) Мал. 2.59. Виділення лінії вздовж ротора (а); розподіл магнітної індукції (б) та густини струму (в) при різних швидкостях обертання ротора: 1 – n = 0 об/хв; 2 - n = 2000 об / хв; 3 – n = 4000 об/хв; 4 – n = 6000 об/хв; 5 – n = 8000 об/хв; 6 - n = 10000 об/хв; 7 – n = 12000 об/хв 0 0,01 Аналізуючи отримані графіки розподілу магнітної індукції та щільності струму, можна назвати такі особливості. 1. Магнітна індукція та щільність струму в роторі під центром полюса не змінюються по товщині ротора при заданій швидкості обертання. При збільшенні швидкості обертання ротора магнітна індукція зменшується від 0,42 до 0,2 Тл, а щільність струму ротора збільшується від 0 до 3,5 · 107 А /м2. 2. Під краями полюса магнітна індукція та щільність струму в роторі значно різняться за значенням. При збільшенні швидкості обертання ця різниця збільшується, у своїй розподіл цих величин товщиною ротора стає нерівномірним. 3. За межами полюсного наконечника на відстані, що дорівнює половині полюса, магнітна індукція значно зменшилася і при збільшенні швидкості обертання змінюється від 0,05 до 0,02 Тл зі зміною знака. Щільність струму ротора також змінюється від 1,3 · 106 А/м2 до -2,4 · 106 А / м2 Питання для самоперевірки 1. Чи відрізняються графіки розподіл магнітної індукції електромагніту в середині зазору та на поверхні полюсів? 2. Як змінюється розподіл нормальної та тангенціальної складових магнітної індукції за товщиною масивного ротора при різних швидкостях обертання? 3. Якщо провести лінію по радіусу масивного ротора, то на ній завжди щільність струму зберігає знак, якщо ні, то коли і чому? 4. Чи змінюється щільність струму на внутрішній поверхні порожнистого ротора при різних швидкостях обертання? 5. За яким законом розподілено під центром полюса явнополюсного гальма магнітна індукція та щільність струму за товщиною ротора за різних швидкостей обертання ротора? Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 83 3. МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ ПРИСТРІЙ У РЕЖИМІ 3D При моделюванні електромеханічних пристроїв у режимі 3D висуваються високі вимоги до комп'ютера. Це своє чергу значно обмежує кількість пристроїв, котрим можливе таке моделювання. Нижче розглянуто основні прийоми моделювання в режимі 3D на прикладах електромагніту та демпфера з дисковим ротором. 3.1. 3D модель електромагніта Завдання. Отримати 3D-модель електромагніта, використовуючи отриману (параграф 2.1) 2D-модель. Визначити закон зміни магнітної індукції в середині робочого зазору та на поверхні полюса електромагніту. Побудова моделі. Одним із простих способів завдання 3D-моделі є розтягування 2D-моделі. Для створення тривимірного варіанта електромагніту повернемося до готової моделі параграфа 2.1. Відкривши модель, перейдемо до режиму малювання кнопкою та видалимо області котушок (рис. 3.1, а) їх виділенням та натисканням клавіш Delete. Використовуючи підготовлений електромагніт як заготівлю, намалюємо по старих лініях його верхню половину. Для цього виберемо малювання ліній на панелі інструментів і намалюємо половину електромагніту (рис. 3.1 б виділено жирним). Так як сітка малювання стоїть занадто груба, то намалюємо фігуру трохи більше половини електромагніту, а потім за допомогою подвійного клацання миші зайдемо у властивості фігури і виберемо лінію 7. У координаті y для кожної точки пропишемо значення -0,0625 (рис. 3.1, ). Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 84 7 б) а) в) Мал. 3.1. Підготовка 3D-моделі електромагніту за наявною 2D-моделею: а – видалення обмотки збудження; б – рисунок верхньої половини моделі; в – зміна координат лінії 7 Натисніть OK. Виділимо нижню половину електромагніту за допомогою лівої кнопки миші та натиснемо кнопку Delete. У результаті вийде половина електромагніту. Виділимо її лівою кнопкою миші. Скористайтеся кнопкою Mirror. У меню замінимо з поля Normal Vector значення по координаті x 1 на 0, а в координаті y замінимо 0 на 1 (рис. 3.2). Мал. 3.2. Вікно програми Mirror Оскільки інструмент Mirror відображає фігури щодо лінії координатної осі, то отримаємо відбиту фігуру, накладену на оригінал рис. 3.3 а. Через розбіжність верхню частину електромагніту з віссю X відбита постать наклалася частково верхню половину електромагніту і його потрібно буде змістити вниз. Для цього виділимо нижню поло- Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 85 вину електромагніту. Для отримання правильного розташування половин електромагніта змістимо виділену фігуру вниз за допомогою лівої кнопки миші. У результаті отримаємо рис. 3.3 б. б) а) Мал. 3.3. Отримання плоскої моделі електромагніту: а – накладення відбитої фігури на наявну; б –фігура моделі після зміщення нижньої половини Виділимо обидві половини електромагніту. Для цього, утримуючи клавішу Ctrl, натиснемо по черзі на верхню та нижню половини електромагніту. Далі зайдемо у меню Draw>Extrude (рис. 3.4). Мал. 3.4. Вікно команди Draw > Extrude Переконайтеся, що виділено елементи CO1 та СO2. У полі Distance пропишемо значення 0,05. Це означає, що електромагніт розтягнеться на 0,05 м по осі z. Натиснемо ОК та отримаємо тривимірну модель, аналогічно рис. 3.5. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 86 Мал. 3.5. Тривимірна модель електромагніта Тепер скористаємося меню File>Export>Geometry Objects to File. У вікні натиснемо ОК. А потім збережемо нашу геометрію в окремий файл у будь-якій папці (рис. 3.6) під ім'ям electromagnit. Comsol збереже геометрію у спеціальному форматі mphbin. Це буде необхідно, щоб потім імпортувати в нову 3D модель цю геометрію. Мал. 3.6. Збереження 3D-моделі в окремій папці Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 87 Тепер запустимо Comsol і в навігаторі моделей створимо нову модель (рис. 3.7). У списку Space Dimension виберіть режим 3D. Натисніть хрестик навпроти папки AC/DC Module. Далі відкриємо папку Statics, Magnetic та виберемо Magnetostatics, Vector Potential. Натиснемо ОК Мал. 3.7. Запуск на моделювання 3-D моделі Імпортуємо геометрію за допомогою меню File>Import>CAD Data from File. Виберемо раніше збережений файл electromagnit.mphbin та натиснемо Open. Враховуючи особливості розташування електромагніту в попередньому завданні, намагатимемося зрушити його симетрично щодо центру. Для цього скористаємося кнопкою Move на панелі малювання і задаємо координати зміщення (0,025; 0,0625; -0,025). Тепер магніт знаходиться симетрично щодо центру. Створимо зовнішню сферу, що визначає граничні умови. Для цього скористаємось кнопкою на панелі малювання. У меню (мал. 3.8) задаємо в Radius значення 1, а інші параметри залишимо за замовчуванням і натиснемо ОК. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 88 Рис. 3.8. Створення зовнішньої сфери, що здійснює ізоляцію Геометрія створена. Перейдемо до завдання констант. Для цього зайдемо в меню Options> Constants. У меню, що з'явилося, заповнимо дані згідно таблиці: Name Ip mu Expression 0.5*10^5 100 Description Струм обмотки Відносна магнітна проникність електромагніта Зайдемо в Options>Expressions>Subdomain Expressions і виберемо підобласті 2 і 3 (рис. 3.9) і для них пропи змінну core, а Expression – значення 1. Перейдемо до завдання фізичних параметрів. Для цього відкриємо меню Physics>Subdomain Settings. Існує три підобласті простору, для яких необхідно буде задати свої фізичні параметри. Для підобласті 1, що є зовнішньою сферою, залишаємо всі налаштування стандартними. Для підобластей 2 і 3 (рис. 3.9) залишимо всі параметри як є, а параметрі μr поставимо значення mu. Перейдемо до завдання граничних Мал. 3.9. Завдання областей умов. Зайдемо в меню Phys-магнітопроводу ics>Boundary Settings і перейдемо на Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 89 вкладку Groups. Переконайтеся, що Comsol автоматично розбив модель на дві групи. Для першої групи, що є зовнішньою сферою, переконаємося в заданому значенні Magnetic Insulation. Для другої групи, що є поверхнею електромагніту, має бути встановлена умова Continuity. Задамо струм у витку. Відкриємо меню Physics>Edge Settings. Виберемо ребра за номерами 44 та 48 (рис. 3.10, а) і задаємо у Value/Expression значення Ip. Аналогічно виберемо ребра 46 і 53 (рис. 3.10 б) і задаємо в Value/Expression значення мінус Ip. 46 44 53 48 б) а) Мал. 3.10. Завдання струму в обмотці збудження (витку): а – грані 44 та 48; б – межі 46 і 53 Щоб створити сітку та заощадити розрахунковий час, можна скласти її частинами з різними параметрами розбиття. Для початку виділимо електромагніт (рис. 3.11). б) а) Мал. 3.11. Завдання сітки: а – вікно програми; б – області магнітопроводу Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 90 Перейдемо до меню Mesh>Free Mesh Parameters (рис. 3.11, а). Зайдемо на вкладку Subdomain і виділимо верхню та нижню підобласті електромагніту 2 та 3 (рис. 3.11, б). Пропишемо в Maximum Element size значення 0,02. Натисніть кнопку Remesh. Потім виберемо підобласть 1 і Maximum Element size пропишемо значення 0,2. Знову натиснемо кнопку Remesh. Перейдемо до вирішального пристрою в меню Solve>Solver Parameters (рис. 3.12). Переконаємося, що встановлено режим Static, а Solver встановлено режим аналізу Stationary. У Linear System Solver має бути встановлений режим FMGRES, а Preconditioner – Geometric Multigrid. Переконавшись, можна натиснути ОК. Мал. 3.12. Тепер запустимо рішення кнопкою на панелі керування. Після рішення з'явиться досить неінформативний графік Slice, який показуватиме розподіл індукції в деяких перерізах. Оскільки у нас є зовнішня сфера, то вибір інших графічних уявлень буде незручним. Тому необхідно позбутися відображення зовнішньої сфери. Для цього перейдемо в меню Options>Supress>Supress Edges (рис. 3.13). Виберемо лінії 1-4 та 33-40 і натиснемо ОК. Тепер зайдемо в меню Options>Supress>Supress Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 91 Boundaries (рис. 3.14). Виберемо поверхні 1–4 та 19–22, що відповідають сфері, та натиснемо ОК. Тепер сфера не заважатиме під час перегляду результатів. Мал. 3.13. Вікно меню Options>Supress>Supress Edges Мал. 3.14. Вікно меню Options>Supress>Supress Boundaries Перейдемо в меню Postprocessing>Cross-Section Plot Parameters (рис. 3.15). Увійдемо у вкладку Line/Extrusion і в Predefined quantities оберемо Magnetic Flux Density, norm. У секції Crosssection line data пропишемо x0 значення –0,3. Ця пряма намальована на рис. 3.16 а. Вона спрямована в поздовжньому напрямку від обмотки збудження робочого зазору. Потім натиснемо Apply та отримаємо розподіл магнітної індукції за цією прямою (рис. 3.16, б). Аналізуючи графік, можна назвати, що крива розподілу магнітної індукції несиметрична. У правого Мал. 3.15. Вікно меню Postprocessing> краю полюса, зверненого Cross-Section Plot Parameters всередину електромагніту, магнітна індукція спадає повільніше, ніж у лівого краю. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 92 Bn, Тл 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 х, м б) а) Мал. 3.16. Отримання графіка розподілу магнітної індукції посередині зазору під центром полюса у бік осі х: а – завдання лінії; б– графік розподілу магнітної індукції Тепер залишимо x0 як є, а y0 і y1 введемо значення –0,015. Пряма проходить на рис. 3.17 а. Натисніть Apply. Отримаємо розподіл магнітної індукції біля полюса (рис. 3.17 б). Графік розподілу магнітної індукції біля поверхні полюса істотно відрізняється від графіка (рис.3.16 б), отриманого посередині повітряного зазору. На кутових гранях електромагніта виходить значне збільшення магнітної індукції. Bn, Тл 0,6 0,4 0,2 0 0 0,1 0,2 х, а) б) Мал. 3.17. Отримання графіка розподілу магнітної індукції посередині зазору поверхні полюса у бік осі х: а – завдання лінії; б– графік розподілу магнітної індукції Повернем у y0 та y1 нульові значення. Пропишемо в x0 та x1 значення –0,15. У z0 пропишемо -0,15, а z1 0,15. Отримаємо пряму, пред- Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 93 на рис. 3.18 а. Ця пряма перпендикулярна до прямої, проведеної на рис. 3.16 а. Розподіл індукції з цієї прямої представлено на рис. 3.18, б. Можна відзначити симетричність графіка розподілу магнітної індукції у цьому напрямі. Bn, Тл 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 х, м а) б) Мал. 3.18. . Отримання графіка розподілу магнітної індукції посередині зазору під центром полюса у бік осі z: а – завдання лінії; б– графік розподілу магнітної індукції Тепер пропишемо у y0 та y1 значення –0,015. Отримаємо пряму, подану на рис. 3.19 а. Розподіл магнітної індукції дано на рис. 3.19, б. На цьому графіку, що характеризує розподіл магнітної індукції на поверхні полюса у поперечному напрямку, видно значне збільшення магнітної індукції у країв полюса, аналогічне рис. 3.17,б. Bn, Тл 0,6 0,4 0,2 0 а) 0 0,1 б) 0,2 х, м Рис. 3.19. Отримання графіка розподілу магнітної індукції посередині зазору поверхні полюса у бік осі z: а – завдання лінії; б– графік розподілу магнітної індукції Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 94 Проведені дослідження розподілу магнітної індукції в зазорі електромагніту показують, що в середині зазору в напрямку осей х і z магнітна індукція плавно збільшується до центру потім плавно зменшується до країв. За межами полюса магнітна індукція різко зменшується. Зовсім інший розподіл магнітної індукції лежить на поверхні полюса (рис.3.17 і 3.19). У країв полюсів у бік осей х і z магнітна індукція значно (майже 2 разу) збільшена. 3.2. 3D-модель демпфер з дисковим ротором Завдання. Отримати 3D модель демпфера з дисковим ротором. Ротор є мідним диском товщиною 1см і радіусом 10 см, який обертається з початковою кутовою швидкістю 1000 об/хв у магнітному полі (В=1Тл), створеному постійним магнітом. Робочий зазор 1,5 см. Визначити закон зміни гальмівного моменту та швидкості обертання ротора у часі. Побудова моделі. На рис.3.20 наведено конструктивну схему демпфера. Демпфер складається з диска, зробленого з провідного матеріалу та постійного магніту. Магніт створює постійне магнітне поле, в якому обертається диск. Коли провідник рухається в магнітному полі, то в ньому наводиться струм і сила Лоренца. 3.20. Конструктивна обертання диска. схема демпфера Для диска, що обертається з кутовою швидкістю ω перпендикулярно Z-осі, швидкість V у точці (х, у) має вигляд v ( y, x,0) . Рівняння Максвелла записують за допомогою векторного магнітного потенціалу A і скалярного електричного потенціалу U: v A U 0. електричні умови на зовнішніх межах: n A 0; n J 0. Розглянемо тепер, як система змінюється з часом. Індукований момент уповільнює обертання диска та описується звичайним диференціальним рівнянням (ОДУ) для кутової швидкості ω d Tz , dt I де момент Tz описується як Z-компонент вектора. TrJBdV . disk Момент інерції I для диска з радіусом R одиничної товщини дорівнює r 2 r 4 . I m 2 2 Тут m – маса диска, а – густина диска. Моделювання. Для побудови моделі запустимо Comsol Multiphysics та виберемо у списку Space Dimension режим 3D. Натисніть хрестик навпроти папки AC/DC Module. Далі відкриємо послідовно такі папки: Statics, Magnetic> Magnetostatics, Vector Potential>Reduced Potential>Ungauged potentials. Цей режим дозволяє добре моделювати постійні магніти завданням початкової намагніченості. Тепер можна натиснути OK та дочекатися, коли запуститься вікно моделювання. Створимо циліндр, натиснувши кнопку на панелі малювання. У вікні (рис.3.21) виберемо наступні налаштування для циліндра: Radius 0,1, Height 0,01 and Axis base point z: 0,005. Всі інші параметри залишимо стандартними та натиснемо OK. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 96 Рис. 3.21. Створення циліндра Створимо сферу (рис. 3.22), використовуючи кнопку сування. на панелі Рис. 3.22. Створення сфери У вікні налаштувань (рис. 3.23) задаємо Radius 0,3, а інші параметри залишимо незмінними і натиснемо OK. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 97 Рис. 3.23. Вікно налаштувань для сферы Зайдемо в меню Draw>Work-Plane Settings для зручності промальовування магніту в площині. У діалоговому вікні (рис. 3.24) виберемо у Plane значення y-z і залишимо x = 0. Натисніть OK. З'явиться площина Geom2, де ми зможемо легко побудувати магніт, як і в 2Dмоделях. Мал. 3.24. Вікно Draw>Work-Plane Settings Зайдемо до Draw> Specify Objects>Rectangle для того, щоб створити прямокутник. Його налаштування Width 0,02, Height -0,0075 +0,06, Base Corner, x 0,06, y -0,06 (рис. 3.25). Повторимо Draw> Specify Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 98 Objects>Rectangle для створення другого прямокутника. налаштування Width 0,06, Height 0,02, Base Corner, x 0,08, y -0,06. Його Мал. 3.25. Створення прямокутника У меню Draw оберемо Create Composite Object. У діалоговому вікні (рис. 3.26) приберемо галочку з Keep interior boundaries і оберемо обидва прямокутники R1 і R2. Потім натисніть OK. Це дозволить створити із даних прямокутників один об'єкт. Мал. 3.26. Вікно Create Composite Object На панелі інструментів виберіть кнопку для відображення нашої фігури. У вікні (мал. 3.27) задаємо наступні параметри: Point on line x 0 y 0, Normal Vector x 0 y 1. Створимо за допомогою Draw> Specify Objects>Rectangle ще один прямокутник з наступними характеристиками: Width 0,02 Height 0, 08 Base Corner x 0,12 y -0,04. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 99 Мал. 3.27. Вікно відбиття (Mirror) Мал. 3.28. Виділення трьох об'єктів Виділимо всі три об'єкти (рис. 3.28). Зайдемо до меню Draw>Exturude. Діалогове вікно (рис. 3.29) дозволить отримати цю фігуру об'ємною. У Distance оберемо 0,02 і натисніть OK. Фігуру, що вийшла при цьому, необхідно змістити з осі Ox за допомогою кнопки на панелі інструментів. У x задаємо – 0,01 і натискаємо OK. Мал. 3.29. Отримання об'ємної фігури Створення геометрії завершено. Можна перейти до констант, змінних та областей. Для цього зайдемо в Options > Constants і поставимо там константи згідно з табл. 3.1. Таблиця 3.1 Name Expression description rpm 1000 Початкова швидкість обертання диска, об/хв W0 2*pi*rpm Початкова кутова швидкість, рад/с I0 0 Зовнішній момент інерції меню Options>Expressions>Scalar Expressions і пропишемо змінні згідно з табл. 3.2. Таблиця 3.2 Name Fx Fy Fz Expression Jy_emqav * Bz_emqav ую (рис. 3.30) і для них пропишемо в Name змінну core, а в Expression значення 1. Мал. 3.30. Вигляд об'ємної фігури Далі перейдемо в меню Draw > Integration Coupling Variables > Subdomain Variables, в якому пропишемо дані для підобласті 2 згідно з таблицею (рис. 3.31). Назва Iz Tqz Expression 8700*(x^2+y^2) x*Fy-y*Fx 3.31. Вікно Subdomain Variables Перейдемо до налаштування фізичних властивостей підобластей. Викликаємо меню Physics > Subdomain Settings. Задамо властивості за допомогою табл. 3.3. Налаштування Таблиця 3.3 Subdomain Subdomain 2 Subdomains 3,4 Subdomain 5 1 (Повітря) (Диск) (Магнітопровід) (Постійний магніт) 0 -y*W 0 0 0 x*W 0 0 0 0 0 0 Velocity x Velocity y Velocity z Electr conductivity 1 5.998e7 Constitutive relation B = μ0μrH B = μ0μrH Rel. permeability 1 1 Rem. flux density x – – Rem. flux density y – – Rem. flux density z – – 1 1 B = μ0μrH B = μ0μrH + Br 4000 1 – 0 – 0 – 1 Тепер перейдемо до налаштування граничних умов, викликавши меню Physics>Boundary Settings (рис. 3.32). Перейдемо до вкладки Groups і Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 102 виберемо групу один, що є зовнішньою сферою. Для неї виберемо в Boundary Condition значення Electric Insulation. а) б) Мал. 3.32. Налаштування граничних умов: а – меню; б – вид зовнішньої сфери Налаштуємо функцію визначення швидкості обертання у часі. Для цього відкриємо Physics > Global Equations. У вікні заповнимо дані згідно таблиці, а також переконаємося, що в Base Unit System обрано SI Name Equation Init(u) W WtW0 Tqz/(Iz+I0) Init(ut) description 0 Швидкість обертання в рад/сек Для створення сітки перейдемо у режимі відображення підобластей кнопкою на панелі завдань. Виберемо мідний диск. Для його вибору в тривимірному режимі необхідно аналогічно двовимірному режиму натиснути на цю підобласть лівою кнопкою миші, але програма запропонує вибрати найближчу підобласть для спостерігача. Тоді необхідно знову натиснути ліву кнопку та програма виділить наступну область. Для цього завдання необхідно зробити два натискання для виділення диска (рис. 3.33). Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 103 Виділивши диск, перейдемо в меню Mesh>Free Mesh Parameters (рис. 3.34). У Predefined mesh sizes виберемо Extremely fine. Далі перейдемо у вкладку Advanced. У zdirection scale factor впишемо значення 1.1. Потім натисніть кнопку Mesh Selected, щоб створити сітку диска. Потім повернемося до вкладки Global і оберемо в Predefined mesh sizes значення Coarser. Натисніть OK. Тепер виберіть кнопку для переходу в режим відображення сітки. Потім Мал. 3.33. Виділення області диска натиснемо кнопку Mesh Remaining (Free). Сітка створена. Мал. 3.34. Завдання сітки для диска Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 104 Налаштуємо вирішальний пристрій. Для цього перейдемо до меню Solve > Solver Parameters (рис. 3.35). Виберемо режим Time dependent. У Times задаємо range (0,25), Relative Tolerance – значення 0,001, Absolute Tolerance – значення W 0.1 V 1e-5 tA* 1e-7, ті абсолютні похибки для різних змінних задані різними значеннями. Перейдемо до вкладки Time Stepping. Тут виберемо в Time steps taken by solver значення Intermediate і поставимо галочку напроти Manual tuning of nonlinear solver. Натисніть на кнопку Nonlinear Settings і пропишемо 0,2 в Tolerance factor, а також 7 - Maximum number of iterations. Приберемо галочку напроти Use limit on convergence rate і у списку Jacobian update виберемо Once per time step. Натисніть OK. Перейдемо до вкладки Advanced. У ній виберемо Manual у списку Type of scaling, а Manual Scaling пропишемо W 0.01 V 1e-5 tA* 1e-7. Натисніть OK. Мал. 3.35. Налаштування вирішального пристрою Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 105 Перейдемо до виведення графіків під час рішення. Для цього звернемося до меню Postprocessing > Probe Plot Parametrs. Натиснемо кнопку New і в меню виберемо Global у списку Plot Type. У Plot Name пропишемо Omega. У Expressions має з'явитися значення W. Якщо з'явилося, то пропишемо його. Аналогічно створимо ще один графік. У Plot Name пропишемо Torque. У полі Expression пропишемо - Tqz. Виберемо створення ще одного графіка. Цього разу в Plot Type виберемо Integration, а Domain Type – Subdomain. У Plot Type пропишемо Power. Виберемо підобласть 2 і Expression пропишемо Q_emqav. Натисніть OK. Тепер можна приступати до вирішення задачі. Для цього натисніть кнопку. Це завдання вирішується досить довго на сучасних комп'ютерах внаслідок складності моделі, тому доведеться зачекати близько 10...20 хв. Після проведено-ω, з-1 го рішення програма видасть три графіки, які були задані раніше. Перший (рис. 3.36) 60 графік показує зміну швидкості обертання в рад/с при гальмуванні. Зазначимо, що швидкість обертання диска протягом 10 с швидко 5 20 0 10 15 t, з зменшується, потім Рис. 3.36. Зміна швидкості врауменьшается більше повільності ротора при гальмуванні магльно і до 20 з обертання нитковим полем диска припиняється. Другий графік (рис. 3.37, а) показує зміну моменту. Спочатку протягом 5 секунд швидко збільшується, а потім повільно зменшується і до 20 с наближається до нульового значення. Графік рис. 3.38 б описує зміну в часі розсіюється потужності в диску. З часом розсіювана потужність швидко зменшується і до 13 с наближається до нульового значення. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 106 Q, Вт 12 M, Нм 0,12 8 0,08 4 0,04 0 0 0 t, c 0 10 15 20 10 5 15 20 t, c а) б) Мал. 3.37. Зміна гальмівного моменту (а) і потужності (б), що розсіюється, в роторі під час гальмування 5 На рис. 3.38 представлена картина розподілу струмів у роторі (більше значення стрілки відповідає більшій щільності струму). 3.38. Картина розподілу густини струмів у роторі демпфера Розподіл густини струму на поверхні ротора в момент часу t = 1 с представлений на рис. 3. 39 (електромагніт зроблений невидимим – він позначений лініями). Аналізуючи даний малюнок, можна встановити нерівномірний розподіл щільності струму під полюсом – під одним краєм полюса щільність струмів досягає значущого значення. менше 104 А/м2. На краю ротора (вище полюса) щільність струмів залишається досить високою (близько 2104 А/м2, J,А/м2 106) Повернемося в меню Postprocessing>Plot Parameters Приберемо галочку з розділів Subdomain та Edge Натисніть Ок. Це дозволить краще бачити прямі, за якими будемо дивитися розподіл магнітної індукції та щільності струму, для цього перейдемо в меню Postprocessing>Cross-Section Plot Parameters (рис. 3.40, а). значення часу 0, 5, 10, 15, 20 і 25 с, натискаючи на дані значення з утриманою клавішею Ctrl.Усі вибрані значення повинні бути виділені синім кольором. Увійдемо у вкладку Line/Extrusion. Натиснемо кнопку Line Settings в лівому нижньому кутку і в вікні, що з'явиться, поставимо галочку навпроти напису Legend. У Predefined quantities оберемо Magnetic Flux Density, norm. У секції Cross-section line data пропишемо в y0 значення 0,1, а інші значення залишимо нульовими. Ця пряма намальована на рис. 3.40, б. За- Copyright ВАТ «ЦКБ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 108 натиснемо Apply і отримаємо розподіл магнітної індукції по цій прямій (рис. 3.41, а). б) а) Мал. 3.40. Вікно меню Postprocessing>Cross-Section Plot Parameters (а), вибір лінії визначення зміни магнітної індукції (б) B, Тл 4 3 0,08 4 3 0,06 0,04 0,02 J, А/м2 106 2 1 1 2 2 1 3 4 0 0,02 0,04 0,06 0,08 r, м 0 0,02 0,04 0,06 0,08 r, м 0 б) а) Мал. 3. 41. Розподіл магнітної індукції (а) та щільності струму (б) уздовж радіусу диска у різний час після включення: 1– t = 0 с; 2 - t = 5 с; 3 - t = 10 с; 4– t = 25 з 0 Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 109 Повернімося до вкладки Line/Extrusion. У Predefined quantities оберемо Total Current Density, norm і натиснемо ОК. Отримаємо розподіл густини струму по даній прямій (рис. 3.41 б). У Cross-section line data пропишемо в x0 і x1 значення -0,07 і 0,07 відповідно, у y0 і y1 - значення 0,07, а поля, що залишилися, залишимо з нульовими значеннями. Отримаємо пряму розподілу рис. 3.42. Повернімося до Predefined quantities, виберемо Magnetic Flux Density, norm і натиснемо ОК. Отримаємо розподіл магнітної Рис. 3.42. Побудова лінії індукції на рис. 3.43 а. визначення зміни магнітної індукції та щільності струму B, Тл 3 0,08 0,6 0,06 0,04 4 J, А/м2 107 0,8 2 1 0,4 2 0,2 1 3 4 0 0 0 0, 02 0,04 0,06 0,08 х, м 0 0,02 0,04 0,06 0,08 х, м а) б) Мал. 3. 43. Розподіл магнітної індукції (а) та щільності струму під центром полюса у напрямі, перпендикулярному радіусу, у різний час після включення: 1– t = 0 с; 2 - t = 5 с; 3 - t = 10 с; 4– t = 25 з 0,02 Повернемося до вкладки Line/Extrusion. У Predefined quantities оберемо Total Current Density norm і натиснемо ОК. Отримаємо розподіл густини струму по даній прямій на рис. 3.43, б. У Cross-section line data пропишемо в x0 і x1 значення 0, в y0 і y1 залишимо значення 0,07, а в z0 і z1 пропишемо -0,01 і 0,01 відповід- Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ « Агентство Kнига-Сервіс» 110 ня. Отримаємо лінію під центром полюса у бік осі y, де розглянемо розподіл магнітної індукції і щільності струму по товщині ротора (рис. 3.44). Повернемося до Predefined quantities, виберемо Magnetic Flux Density norm і натиснемо ОК. Отримаємо розподіл магнітної індукції вздовж осі (рис. 3.45, а). Мал. 3. 44. Визначення лінії під аналізом рис. 3.45 а, центром полюса в напрямку осі у відзначимо, що магнітна індукція в зазорі і в роторі в напрямку осі залишається майже незмінною при заданій швидкості обертання диска. При зменшенні швидкості обертання через 5, 10 і 25 с. магнітна індукція збільшується від 0,025 до 0,1 Тл. Повернімося до вкладки Line/Extrusion. У Predefined quantities оберемо Total Current Density, norm і натиснемо ОК. Отримаємо розподіл густини струму за товщиною ротора (рис. 3.45, б). B, Тл J, А/м2 106 0,08 3 2 4 0,06 0,04 0,02 2 3 1 2 1 3 1 4 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 y, м 0 02 004 006 008 y, м б) а) Мал. 3. 45. Розподіл магнітної індукції (а) та щільності струму (б) під центром полюса у напрямку осі y у різний час після включення: 1– t = 0 с; 2 - t = 5 с; 3 - t = 10 с; 4– t = 25 с 0 Аналізуючи графік розподілу густини струму по товщині дискового ротора відзначимо, що спочатку після пуску при високій скромності обертання ротора густина струму розподілена нерівномірно по товщині ротора. При зменшенні швидкості обертання щільність струму прагне рівномірного розподілу за товщиною ротора. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 111 Запитання для самоперевірки 1. Як використовувати команду Extrude для отримання 3D-моделей із 2D-моделей? 2. Як отримати графік розподілу будь-якої фізичної величини за якоюсь відомою прямою? 3. Чого можна досягти за допомогою меню Supress? 4. Як отримати різну кінцеву елементну сітку, використовуючи налаштування в Free Mesh Parameters? Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 112 СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДУЄМОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1. Roger, W. Pryor. Multiphysics modelling using COMSOL: First Principles Approach. Jones and Bartlett Publishers, 2010. 2. Буль, О.Б.Методи розрахунку магнітних систем електричних апаратів. Програма ANSYS: навч. посібник для студ. вищ. навч. закладів/О.Б. Буль.-М.: Академія, 2006. 3. Єгоров, В.І. Застосування ЕОМ на вирішення завдань теплопровідності: навч. посібник/В.І. Єгоров.-СПб: СПб ГУ ІТМО, 2006. Copyright ВАТ «ЦКЛ «БІБКОМ» & ТОВ «Агентство Kнига-Сервіс» 113 ЗМІСТ ПЕРЕДМОВА …………………………..……………………. ……..3 ВСТУП …………………………..……………………………...…..5 1. ДЕЯКІ ВІДОМОСТІ ПРО COMSOL MULTIPHYSICS….....6 1.1. Загальна характеристика …………………………. ..………...…6 1.2. Основи моделювання……………………………………….8 Навігатор моделей ………………………………………….8 Робоча область та зображення об'єкта дослідження…..10 Константи , Вирази, функції …………………………16 Завдання електромагнітних властивостей матеріалів і початкових умов………………………………………..17 Завдання граничних умов і зміна диференціальних рівнянь ……… …………………....20 Побудова сітки …………………………………………...22 Вирішальний пристрій …………………………………… ...24 Візуалізація результатів ………………………………....29 Питання для самоперевірки………………………………...33 2. МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ ПРИСТРІЙ У РЕЖИМІ 2D …………………………..…….34 2.1. Електромагніт постійного струму…………………………...34 2.2. Електромагнітне гальмо з масивним ротором на основі статора асинхронного двигуна……………….46 2.3. Електромагнітне гальмо з порожнім феромагнітним ротором………………………..62 2.4. Спрощена модель явно полюсного гальма з порожнім немагнітним ротором…………………………….69 Питання для самоперевірки…………………………................ ....81 3. МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ ПРИСТРІЙ У РЕЖИМІ 3D …………………………..……..82 3.1. 3D-модель електромагніту…………………………………..82 3.2. 3D-модель демпфера з дисковим ротором………………....93 Питання для самоперевірки……………………………………..110 СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДУЄМОЇ ЛІТЕРАТУРИ………………… ………………………………111
2. Посібник швидкого початку роботи з COMSOL
Мета цього розділу полягає в тому, щоб ознайомити читача з середовищем COMSOL, зосереджуючись насамперед на тому, як використовувати її графічний інтерфейс користувача. Для полегшення цього швидкого початку даний підрозділ містить огляд послідовності дій щодо створення нескладних моделей та отримання результатів моделювання.
Двовимірна модель теплопередачі від мідного кабелю у простому радіаторі
Ця модель досліджує деякі ефекти термоелектричного нагрівання. Строго рекомендується, щоб Ви дотримувалися послідовності дій з моделювання, описаної в цьому прикладі, навіть якщо ви не спеціаліст у галузі теплопередачі; обговорення зосереджується, перш за все, на тому, як використовувати GUI-додаток COMSOL, а не на фізичних основах явища, що моделюється.
Розглянемо алюмінієвий радіатор, що відводить тепло від ізольованого високовольтного мідного кабелю. Струм у кабелі призводить до виділення теплоти через те, що кабель має електричний опір. Ця теплота проходить через радіатор та розсіюється в навколишньому повітрі. Нехай температура зовнішньої поверхні радіатора стала і дорівнює 273 K.
Мал. 2.1. Геометрія поперечного перерізу мідної жили з радіатором: 1 – радіатор; 2 – електрично ізольована мідна жила.
У цьому прикладі моделюється геометрія радіатора, поперечний переріз якого є правильною восьмикінцевою зіркою (рис. 2.1). Нехай геометрія радіатора плоскопаралельна. Нехай протяжність радіатора у напрямку осі z багато
більше діаметра описаного кола зірки. І тут можна ігнорувати варіації температури у бік осі z , тобто. температурне поле можна вважати також плоскопаралельним. Розподіл температури можна розраховувати у двовимірній геометричній моделі в декартових координатах x, y.
Ця методика зневаги варіаціями фізичних величин в одному напрямку часто зручна при постановці реальних фізичних моделей. Ви можете часто використовувати симетрію, щоб створювати двовимірні або одновимірні моделі високої точності, значно заощаджуючи час обчислення та пам'ять.
Технологія моделювання у GUI-додатку COMSOL
Щоб розпочати моделювання, потрібно запустити GUI-програми COMSOL. Якщо на комп'ютері встановлено MATLAB та COMSOL, то запуск COMSOL можна здійснити з робочого столу Windows або кнопкою "Пуск" ("Програми", "COMSOL with MATLAB").
В результаті виконання цієї команди на екрані буде розгорнуто фігуру COMSOL та фігуру Навігатора моделей (рис. 2.2).
Мал. 2.2. Загальний вигляд фігури Навігатора моделей
Оскільки нас зараз цікавить двовимірна модель теплопередачі, потрібно на закладці New Навігатора в поле Space dimension вибрати 2D, вибрати модель Application Modes/ COMSOL Multiphysics/ Heat transfer/Conduction/Steady-state analysis та натиснути кнопку OK.
В результаті цих дій фігура Навігатора моделей та поле axes COMSOL набудуть вигляду, зображеного на рис. 2.3, 2.4. За замовчуванням моделювання виконується у системі одиниць СІ (система одиниць вибирається за закладкою Settings Навігатора моделей).
Мал. 2.3, 2.4. Фігура Навігатора моделей та поле axes COMSOL у прикладному режимі
Промальовування геометрії
Тепер GUI-додаток COMSOL готовий до промальовування геометрії (діє режим Draw Mode). Промальовувати геометрію можна, виконуючи команди групи Draw головного меню або за допомогою вертикально розташованої інструментальної панелі, розташованої в лівій частині фігури COMSOL.
Нехай початок координат знаходиться у центрі мідної жили. Нехай радіус жили дорівнює 2 мм. Оскільки радіатор є правильною зіркою, половина його вершин лежить на вписаному колі, а інша половина – на описаному колі. Нехай радіус вписаного кола дорівнює 3 мм, кути при внутрішніх вершинах – прямі.
Існує кілька способів промальовування геометрії. Найбільш прості з них – безпосереднє малювання мишею у полі axes та вставка геометричних об'єктів із робочої області MATLAB.
Наприклад, намалювати мідну жилу можна так. Натискаємо кнопку вертикальної панелі інструментів, встановлюємо покажчик миші на початку координат, натискаємо клавішу Ctrl і ліву кнопку миші і утримуємо їх, переміщуємо покажчик миші від початку координат доти, поки радіус кола не стане рівним 2, відпускаємо кнопку миші і клавішу Ctrl. Промальовування правильної зірки радіатора виконати набагато
складніше. Можна за допомогою кнопки намалювати багатокутник, потім зробити мишкою подвійне клацання і в розгорнутому діалоговому вікні виправити значення координат всіх вершин зірки. Така операція надто складна і трудомістка. Малювану зірку можна
уявити комбінацією квадратів, які зручно створювати кнопками (при малюванні мишею потрібно теж утримувати клавішу Ctrl, щоб виходили квадрати, а не прямокутники). Для точного позиціонування квадратів потрібно робити по них подвійні клацання і в діалогових вікнах, що розгортаються, коригувати їх параметри (координати, довжини і кути повороту можна задавати виразами MATLAB). Після точного позиціонування квадратів потрібно створити складовий геометричний об'єкт, виконуючи наступну послідовність дій. Виділяємо квадрати, роблячи по них одинарне клацання мишею і утримуючи клавішу Ctrl (об'єкти, що виділяються, будуть
підсвічуватись коричневим кольором), натискаємо кнопку , у розгорнутому діалоговому вікні виправляємо формулу складеного об'єкта, натискаємо кнопку OK. Формула складового об'єкту
– це вираз, що містить операції над множинами (у даному випадку знадобиться об'єднання множин (+) та віднімання множин (–)). Тепер коло та зірка готові. Як видно, обидва способи промальовування зірки досить трудомісткі.
Набагато простіше та швидше створити геометричні об'єкти в робочій області MATLAB і потім вставити їх у поле axes командою GUI-додатку COMSOL. Для цього редактором m-файлів створимо та виконаємо наступний обчислювальний сценарій:
C1=circ2(0,0,2e-3); % Об'єкт коло r_radiator = 3e-3; % Внутрішній радіус радіатора
R_radiator = r_radiator * sqrt (0.5) / sin (pi / 8); % Зовнішній радіус радіатора r_vertex = repmat (, 1,8); % Радіальні координати вершин зірки al_vertex=0:pi/8:2*pi-pi/8; % Кутові координати вершин зірки x_vertex = r_vertex. * cos (al_vertex);
y_vertex=r_vertex.*sin(al_vertex); % Декартові координати вершин зірки
P1 = poly2 (x_vertex, y_vertex); % Об'єкт багатокутник
Щоб вставити геометричні об'єкти у поле axes, потрібно виконати команду File/ Import/ Geometry Objects. Виконання цієї команди призведе до розгортання діалогового вікна, вид якого показано на рис. 2.5.
Мал. 2.5. Загальний вигляд діалогового вікна вставки геометричних об'єктів із робочої області
Натискання кнопки OK призведе до вставки геометричних об'єктів (рис. 2.6). Об'єкти будуть виділені та підсвічені коричневим кольором. Внаслідок такого імпорту параметри координатної сітки в GUI-додатку COMSOL налаштовуються автоматично при натисканні
на кнопку . У цьому промальовування геометрії вважатимуться закінченою. Наступний етап моделювання – відання коефіцієнтів PDE і завдання граничних умов.
Мал. 2.6. Загальний вид промальованої геометрії струмопровідної мідної жили з радіатором: C1, P1 – імена (мітки) геометричних об'єктів (C1 – коло, P1 – багатокутник).
Завдання коефіцієнтів PDE
Перехід у режим завдання коефіцієнтів PDE здійснюється командою Physics/Subdomain Settings. У цьому режимі в полі axes геометрія розрахункової області зображується у вигляді об'єднання підобластей, що не перекриваються, які називаються зонами . Щоб номери зон було видно, потрібно виконати команду Options/ Labels/ Show Subdomain Labels. Загальний вигляд поля axes з розрахунковою областю у режимі PDE Mode з показом номерів зон зображений на рис. 2.7. Як бачимо, у цій задачі розрахункова область і двох зон: зона №1 – радіатор, зона №2 – мідна струмоведуча жила.
Мал. 2.7. Зображення розрахункової області у режимі PDE Mode
Для введення параметрів матеріальних властивостей (коефіцієнтів PDE) необхідно скористатися командою PDE/PDE Specification. По цій команді розгорнеться діалогове вікно введення коефіцієнтів PDE, зображене на рис. 2.8 (загалом вигляд цього вікна залежить від чинного прикладного режиму GUI-додатку COMSOL).
Мал. 2.8. Діалогове вікно введення коефіцієнтів PDE в прикладному режимі теплопередачі Зони 1 і 2 складаються з матеріалів, що мають різні теплофізичні властивості, джерелом тепла є тільки мідна жила. Нехай щільність струму в жилі d = 5e7A/m2; питома електрична провідність міді g=5,998e7 S/m; коефіцієнт теплопровідності медик = 400; радіатор нехай зроблений з алюмінію, що має коефіцієнт теплопровідності k = 160. Відомо, що об'ємна щільність потужності теплових втрат при протіканні електричного струму через речовину дорівнює Q = d2 / g. Виділимо зону №2 у панелі Subdomain Selection та завантажимо з бібліотеки матеріалів (Library material/Load ) відповідні параметри для міді (рис. 2.9).
Рис.2.9. Введення параметрів властивостей міді
Тепер виділимо зону №1 та введемо параметри алюмінію (рис. 2.10).
Рис.2.10. Введення параметрів властивостей алюмінію
Натискання кнопки Apply призведе до того, що коефіцієнти PDE будуть прийняті. Закрити діалогове вікно можна за допомогою кнопки OK. На цьому закінчується введення коефіцієнтів PDE.
Завдання граничних умов
Щоб встановити граничні умови, потрібно перевести GUI-додаток COMSOL в режим введення граничних умов. Перехід цей здійснюється командою Physics / Boundary Settings. У цьому режимі в полі axes відображаються внутрішні та зовнішні граничні сегменти (за замовчуванням у вигляді стрілок, що вказують на позитивні напрямки сегментів). Загальний вигляд моделі у цьому режимі показано на рис. 2.11.
Рис.2.11. Показ граничних сегментів у режимі Boundary Settings
За умови завдання температура на зовнішній поверхні радіатора дорівнює 273 К. Для завдання такої граничної умови потрібно спочатку виділити всі зовнішні граничні сегменти. Для цього можна, утримуючи клавішу Ctrl, клацнути мишею по всіх зовнішніх сегментах. Виділені сегменти підсвічуються червоним кольором (див. рис. 2.12).
Мал. 2.12. Виділені зовнішні граничні сегменти
За командою Physics/Boundary Settings також розгорнеться діалогове вікно, вид якого показано на рис. 2.13. Взагалі, його вигляд залежить від чинного прикладного режиму моделювання.
Рис.2.13. Діалогове вікно введення граничних умов
На рис. 2.13 показано введене значення температури на виділених сегментах. У цьому діалоговому вікні є панель виділення сегментів. Отже, не обов'язково виділяти їх безпосередньо в полі axes. Якщо натиснути кнопку OK або Apply, OK, введені граничні умови будуть прийняті. На цьому завдання введення граничних умов вважатимуться закінченим. Наступний етап моделювання - генерація кінцевої сітки.
Генерація кінцевої сітки
Для генерації сітки достатньо виконати команду Mesh/Initialise Mesh. Сітка автоматично згенерується відповідно до поточних налаштувань генератора сітки. Автоматично згенерована сітка зображено на рис. 2.13.
COMSOL Multiphysics – програма для кінцево-елементних розрахунків складних науково-технічних завдань. Пакет COMSOL Multiphysics дозволяє моделювати практично всі фізичні процеси, що описуються приватними диференціальними рівняннями. Програма містить різні вирішувачі, які допоможуть швидко впоратися навіть із найскладнішими завданнями, а проста структура програми забезпечує простоту та гнучкість використання. Розв'язання будь-якої задачі базується на чисельному розв'язанні рівнянь у приватних похідних методом кінцевих елементів. Спектр завдань, що піддаються моделюванню у програмі, надзвичайно широкий. Набір спеціальних модулів у програмі охоплює практично всі сфери додатків рівнянь у приватних похідних. Пакет COMSOL Multiphysics встановлений на комп'ютерах аудиторії В-109.
Приклади розв'язання задач
Нижче наведено опис використання COMSOL Multiphysics на стандартних прикладах, що постачаються разом із цим пакетом.
Приклад 1
heat_transient_axi.mph
У цьому прикладі розглядається розрахунок процесу теплопередачі. Постановка завдання наступна: є циліндр із заданою теплопровідністю та початковою температурою 0С. Усі зовнішні поверхні циліндра підтримується за температури 1000С. Необхідно розрахувати залежність температури тіла від часу.
Щоб вирішити таку задачу, при створенні нового файлу в COMSOL потрібно вибрати розмірність 2D axisymmetric, далі модель Heat Transfer In Solids і Time Dependent, так як завдання не стаціонарне. Коли новий проектстворений – у вікні Model Builder – ми бачимо всі компоненти, присутні у нашому проекті.
Для початку потрібно створити циліндр, для цього у Model Builder потрібно відкрити вкладку Model, зробити правий клік на Geometry та вибрати прямокутник, тому що ми працюємо з радіальною симетрією. Після того, як розмір і розташування прямокутника встановлено, можна натиснути кнопку Build, і тоді прямокутник відобразиться у вікні з графікою. 
Тепер потрібно задати властивості матеріалу. Для цього зробіть правий клік по Materials та виберіть Material. Буде створено новий матеріал, тут потрібно вказати, які елементи геометрії виготовлені з цього матеріалу (за замовчуванням вже буде обраний циліндр) та необхідні фізичні параметри матеріалу (щільність, питома теплоємність та теплопровідність). 
Наступний крок – задати початкові та граничні умови. Ці параметри вказуються у вкладці Heat Transfer In Solids. У створеному за замовчуванням параметрі Initial Values задаються початкові умови температури тіла. Щоб додати граничні умови, у нашому випадку потрібно зробити правий клік Heat Transfer In Solids і вибрати Temperature. Для цього параметра потрібно вибрати грані – All boundaries, та задати температуру кордонів. 
Тепер можна розпочати обчислення. Відкрийте вкладку Study-Step 1. Тут можна вказати час, що цікавить нас, тимчасовий інтервал і крок по часу. Після цього клацніть правою кнопкою миші по Study і виберіть Compute. 
У вкладці Results можна налаштувати параметри відображення результатів, додати графіки з площинами, що цікавлять, зрізами, ізотермальними лініями ітд.
Цей приклад виконано у файлі heat_transient_axi.mph, що входить до комплекту COMSOL.
Як видно з цього прикладу, використання COMSOL багато в чому інтуїтивно. Наступні приклади будуть розібрані менш детально.
Приклад 2
capacitor_tunable.mph
Цей приклад - розрахунок електростатичного поля створюваного обкладками конденсатора - тривимірне стаціонарне завдання.
Задана геометрія - 2 обкладки складної форми, складені із блоків прямокутної форми, які поміщені в блок із діелектрика. Для діелектрика потрібно створити новий матеріал та задати його діелектричну проникність. 
У параметрах завдання Electrostatics встановлюються потенціали обкладок. Одна обкладка призначається Ground, інша - Terminal з потенціалом 1 вольт. 
Після того, як задана геометрія та потенціали обкладок, можна запускати обчислення.
Для такого завдання цікавим може бути потенціал на перерізах. Щоб побудувати такий графік, потрібно зробити правий клік по Results та вибрати 3D Plot Group, потім правий клік по створеній групі та вибрати Slice. У параметрах створеного Slice можна налаштувати кількість та місцезнаходження перерізів. 
Приклад 3
Heat_Sink.mph
У цьому прикладі описано процес охолодження радіатора потоком повітря. Радіатор закріплений джерелом тепла (відтворюється модель охолодження мікропроцесора). Ця модель включає одночасно розрахунок теплопередачі всередині радіатора, конфігурації потоку повітря і теплообмін радіатора з повітрям. Це завдання вирішується як стаціонарне.
На вкладці Global Definitions-Parametres задано деякі глобальні константи. 
Геометрія включає повітряну трубу, радіатор, тепловиділяючий елемент. Усього використовується 4 матеріали: повітря, алюміній (радіатор), кварцове скло (процесор) і термопаста (тонкий прошарок між процесором і радіатором).
Найважливіша частина – налаштування модуля Conjugate Heat Transfer. Крім обов'язкових налаштувань початкових та граничних умов, були додані такі елементи:
1 Fluid: ця умова перетворює наше повітря на стисливу рідину, в якій також немає нагрівання за рахунок в'язкості. Це суттєво полегшить обчислення.
2 Heat Source: джерело тепла – процесор.
3 Inlet: повітря, що надходить у трубу.
4 Outlet: повітря, що виходить з труби.
5 Temperature: температура повітря, що надходить.
6 Outflow: спеціальна гранична умова на гарані, через яку виходить повітря. Outflow використовується коли процес передачі тепла відбувається переважно через конвекцію.
7 Thin Thermally Resistive Layer: тонкий шар із заданою теплопровідністю – термопаста. 
Після обчислень у цьому прикладі будується графік, на якому видно температуру і додані стрілочки, що позначають швидкість і напрямок повітря, що протікає. 
