Нерівності та його властивості. Основні види нерівностей та їх властивості
1) Основне поняття нерівності
2) Основні властивості числових нерівностей. Нерівності, що містять змінну.
3) Графічне рішеннянерівностей другого ступеня
4) Системи нерівностей. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними.
5) Вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів
6) Розв'язання нерівностей, що містять змінну під знаком модуля
1. Основне поняття нерівності
Нерівність - співвідношення між числами (або будь-якими математичними виразами, здатними приймати чисельне значення), що вказує, яке з них більше або менше іншого. Над цими висловлюваннями можна по певним правиламробити такі дії: додавання, віднімання, множення і розподіл (причому при множенні або розподілі Н. на від'ємне числозміст його змінюється на протилежний). Одне з основних понять лінійного програмування — лінійні нерівності виду
a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b,
де a 1 ,..., a n, b- Постійні та знак * - один із знаків нерівності, напр. ≥,
· Алгебраїчні
· трансцендентні
Алгебраїчні нерівності поділяються на нерівності першої, другої, і т. д. ступеня.
Нерівність – алгебраїчна, другого ступеня.
Нерівність – трансцендентна.
2. Основні властивості числових нерівностей. Нерівності, що містять змінну
1) Графіком квадратичні функції y = ах 2 + bх + сє парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а > 0, і вниз, якщо а (іноді кажуть, що парабола спрямована опуклістю вниз, якщо а > 0і опуклістю вгору, якщо а). При цьому можливі три випадки:
2) Парабола перетинає вісь 0х (тобто рівняння ах 2 + bх + с = 0має два різних кореня). Тобто якщо а
y = ах 2 + bх + сa>0 D>0 y = ах 2 + bх + сa D>0,
Парабола має вершину на осі 0х (тобто рівняння ах 2 + х + с = 0має один корінь, так званий дворазовий корінь) Тобто, якщо d=0, то при a>0 розв'язком нерівності служить вся числова пряма, а при a ах 2 + х + с
y = ах 2 + bх + сa>0 D= 0 y = ах 2 + bх + сa D=0,
3) Якщо d0 і нижче за її при a
y = ах 2 + bх + сa>0 D0 y = ах 2 + bх + сa D 0,
4) Вирішити нерівність графічним способом
1. Нехай f(x) = 3х 2 -4х - 7 тоді знайдемо такі х, при яких f(x) ;
2. Знайдемо нулі функції.
f(x) при х.
Відповідь f(x) при х.
Нехай f(x)=х 2 +4х +5 тоді Знайдемо такі х за яких f(x)>0,
D=-4 Немає нулів.
4. Системи нерівностей. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними
1) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що входять до неї.
2) Безліч розв'язків нерівності f(х;у)>0 можна графічно зобразити на координатної площини. Зазвичай лінія, задана рівнянням f(х;у)=0 розбиває площину на 2 частини, одна з яких є рішенням нерівності. Щоб визначити, яка частина, треба підставити координати довільної точки М(х0;у0) , що не лежить на лінії f(х;у)=0, в нерівність. Якщо f(х0;у0) > 0 то рішенням нерівності є частина площини, що містить точку М0. якщо f(х0; у0)
3) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що входять до неї. Нехай, наприклад, задана система нерівностей:
Для першої нерівності безліч розв'язків є коло радіусом 2 і з центром на початку координат, а для другого - напівплощина, розташована над прямою 2х+3у=0. Безліч рішень цієї системи служить перетинання зазначених множин, тобто. півколо.
4) Приклад. Вирішити систему нерівностей:
Рішенням 1-ї нерівності служить безліч, 2-го безліч (2; 7) і третьої - безліч.
Перетином зазначених множин є проміжок (2; 3), який і є безліч розв'язків системи нерівностей.
5. Вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів
В основі методу інтервалів лежить наступна властивість двочлена ( х-а): крапка х=αділить числову вісь на дві частини - праворуч від точки α двочлен (х-α)>0, а зліва від точки α (х-α) .
Нехай потрібно вирішити нерівність (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0де α 1 , α 2 ...α n-1 , α n — фіксовані числа, серед яких немає рівних, причому такі, що α 1 (x-α 1)(x-α 2)... n)>0 методом інтервалів надходять наступним чином: на числову вісь наносять числа 1, 2 ... n-1, n; у проміжку праворуч від найбільшого їх, тобто. числа α n, ставлять знак "плюс", у наступному за ним праворуч наліво інтервалі ставлять знак "мінус", потім - знак "плюс", потім знак "мінус" і т.д. Тоді безліч усіх розв'язків нерівності (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0буде об'єднання всіх проміжків, у яких поставлено знак «плюс», а безліч розв'язків нерівності (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) буде об'єднання всіх проміжків, у яких поставлено знак «мінус».
1) Вирішення раціональних нерівностей (тобто нерівностей виду P(x) Q(x) де - багаточлени) засноване на наступній властивості безперервної функції: якщо безперервна функціязвертається в нуль в точках х1 і х2 (х1; х2) і між цими точками немає іншого коріння, то в проміжках (х1; х2) функція зберігає свій знак.
Тому для знаходження проміжків знаковості функції y=f(x) на числовій прямій відзначають усі точки, в яких функція f(x) звертається в нуль або зазнає розриву. Ці точки розбивають числову пряму кілька проміжків, всередині кожного у тому числі функція f(x) безперервна і звертається у нуль, тобто. зберігає знак. Щоб визначити цей знак, достатньо знайти знак функції в будь-якій точці проміжку числової прямої.
2) Для визначення інтервалів знаковості раціональної функції, тобто. Для вирішення раціональної нерівності, відзначаємо на числовому прямому корені чисельника і корені знаменника, які як і є корінням і точками розриву раціональної функції.
Розв'язання нерівностей методом інтервалів
Рішення. Область допустимих значеньвизначається системою нерівностей:
Для функції f(x)= - 20. Знаходимо f(x):
звідки x= 29 та x = 13.
f(30) = - 20 = 0,3 > 0,
f(5) = - 1 - 20 = - 10
Відповідь: }
