Вирішити інтеграл від раціональної функції прикладів. Інтегрування раціональних функцій та метод невизначених коефіцієнтів

Інтегрування дробово-раціональної функції.
Метод невизначених коефіцієнтів

Продовжуємо займатися інтегруванням дробів. Інтеграли від деяких видів дробів ми вже розглянули на уроці, і цей урок у певному сенсі можна вважати продовженням. Для успішного розуміння матеріалу необхідні базові навички інтегрування, тому якщо Ви тільки приступили до вивчення інтегралів, тобто є чайником, то необхідно почати зі статті Невизначений інтеграл. Приклади рішень.

Як не дивно, зараз ми займатимемося не так знаходженням інтегралів, як… вирішенням систем лінійних рівнянь. В зв'язку з цим наполегливорекомендую відвідати урок А саме – потрібно добре орієнтуватися в методах підстановки («шкільному» методі та методі почленного складання (віднімання) рівнянь системи).

Що таке дробово- раціональна функція? Простими словами, дробово-раціональна функція – це дріб, у чисельнику і знаменнику якої перебувають багаточлени чи твори многочленов. При цьому дроби є накрученішими, ніж ті, про які йшлося у статті Інтегрування деяких дробів.

Інтегрування правильної дробово-раціональної функції

Відразу приклад і типовий алгоритм розв'язання інтеграла від дрібно-раціональної функції.

Приклад 1

Крок 1.Перше, що ми ЗАВЖДИ робимо при вирішенні інтегралу від дрібно-раціональної функції – це з'ясовуємо наступне питання: чи є дріб правильним? Цей кроквиконується усно, і зараз я поясню як:

Спочатку дивимося на чисельник та з'ясовуємо старший ступіньбагаточлена:

Старший ступінь чисельника дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник та з'ясовуємо старший ступіньзнаменника. Шлях, що напрошується, - це розкрити дужки і привести подібні доданки, але можна вчинити простіше, кожноюдужці знаходимо старший ступінь

і подумки множимо: - таким чином, старший ступінь знаменника дорівнює трьом. Цілком очевидно, що якщо реально розкрити дужки, то ми не отримаємо ступеня більше трьох.

Висновок: Старший ступінь чисельника СТРОГОменше старшого ступеня знаменника, отже, дріб є правильним.

Якби в даному прикладіу чисельнику знаходився многочлен 3, 4, 5 і т.д. ступеня, то дріб був би неправильною.

Зараз ми розглядатимемо лише правильні дробово-раціональні функції. Випадок, коли ступінь чисельника більший або дорівнює ступеню знаменника, розберемо наприкінці уроку.

Крок 2Розкладемо знаменник на множники. Дивимося на наш знаменник:

Взагалі кажучи, тут уже добуток множників, але, тим не менш, запитуємо себе: чи не можна щось розкласти ще? Об'єктом тортур, безперечно, виступить квадратний тричлен. Вирішуємо квадратне рівняння:

Дискримінант більше нуля, Отже, тричлен дійсно розкладається на множники:

Загальне правило: ВСЕ, що в знаменнику МОЖНА розкласти на множники - розкладаємо на множники

Починаємо оформляти рішення:

Крок 3Методом невизначених коефіцієнтів розкладаємо підінтегральну функцію на суму простих (елементарних) дробів. Нині буде зрозуміліше.

Дивимося на нашу підінтегральну функцію:

І, знаєте, якось проскакує інтуїтивна думка, що непогано б наш великий дріб перетворити на кілька маленьких. Наприклад, ось так:

Виникає питання, а чи взагалі можна так зробити? Зітхнемо з полегшенням, відповідна теорема математичного аналізустверджує – МОЖНА. Таке розкладання існує і єдино.

Тільки є одна заковика, коефіцієнти ми Бувайне знаємо, звідси й назва метод невизначених коефіцієнтів.

Як ви здогадалися, наступні рухи тіла так, не реготати! будуть спрямовані на те, щоб якраз їх ДІЗНАТИСЯ – з'ясувати, чому ж рівні.

Будьте уважні, докладно пояснюю один раз!

Отже, починаємо танцювати від:

У лівій частині наводимо вираз до спільному знаменнику:

Тепер благополучно позбавляємося від знаменників (бо вони однакові):

У лівій частині розкриваємо дужки, невідомі коефіцієнти при цьому поки не чіпаємо:

Заодно повторюємо шкільне правиломноження багаточленів. У свій час учителем, я навчився вимовляти це правило з кам'яним обличчям: Щоб помножити многочлен на многочлен потрібно кожен член одного многочлена помножити кожен член іншого многочлена.

З точки зору зрозумілого пояснення коефіцієнти краще внести в дужки (хоча особисто я ніколи цього не роблю з метою економії часу):

Складаємо систему лінійних рівнянь.
Спочатку розшукуємо старші ступені:

І записуємо відповідні коефіцієнти у перше рівняння системи:

Добре запам'ятайте наступний нюанс. Що було б, якби у правій частині взагалі не було? Скажімо, красувалося б просто без жодного квадрата? І тут у рівнянні системи треба було б поставити справа нуль: . Чому нуль? А тому що в правій частині завжди можна приписати цей квадрат з нулем: Якщо в правій частині відсутні якісь змінні або (і) вільний член, то в правих частинах відповідних рівнянь системи ставимо нулі .

Записуємо відповідні коефіцієнти у друге рівняння системи:

І, зрештою, мінералка, підбираємо вільні члени.

Ех, ... щось я пожартував. Жарти геть - математика наука серйозна. У нас в інститутській групі ніхто не сміявся, коли доцент сказала, що розкидає члени по числовій прямій і вибере з них найбільші. Налаштовуємось на серйозний лад. Хоча, хто доживе до кінця цього уроку, все одно буде тихо посміхатися.

Система готова:

Вирішуємо систему:

(1) З першого рівняння виражаємо і підставляємо його у 2-е та 3-е рівняння системи. Насправді можна було висловити (або іншу літеру) з іншого рівняння, але в даному випадкувигідно висловити саме з 1-го рівняння, оскільки там найменші коефіцієнти.

(2) Наводимо подібні доданки у 2-му та 3-му рівняннях.

(3) Почленно складаємо 2-е та 3-е рівняння, при цьому, отримуючи рівність , з якого випливає, що

(4) Підставляємо у друге (або третє) рівняння, звідки знаходимо, що

(5) Підставляємо і перше рівняння, отримуючи .

Якщо виникли труднощі з методами вирішення системи, відпрацюйте їх на уроці Як розв'язати систему лінійних рівнянь?

Після вирішення системи завжди корисно зробити перевірку – підставити знайдені значення у кожнерівняння системи, в результаті все має зійтися.

Майже приїхали. Коефіцієнти знайдені, причому:

Чистове оформлення завдання має виглядати приблизно так:

Як бачите, основна проблема завдання полягала в тому, щоб скласти (правильно!) і вирішити (правильно!) систему лінійних рівнянь. А на завершальному етапі все не так складно: використовуємо властивості лінійності невизначеного інтегралута інтегруємо. Звертаю увагу, що під кожним із трьох інтегралів у нас «халявна» складна функція, про особливості її інтегрування я розповів на уроці Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Перевірка: Диференціюємо відповідь:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл знайдено правильно.
У ході перевірки довелося висловлюватися до спільного знаменника, і це не випадково. Метод невизначених коефіцієнтів та приведення виразу до спільного знаменника – це взаємно зворотні дії.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл.

Повернемося до дробу з першого прикладу: . Неважко помітити, що в знаменнику всі множники РІЗНІ. Виникає питання, а що робити, якщо даний, наприклад, такий дріб: ? Тут у знаменнику у нас ступеня, або, по-математично кратні множники. Крім того, є нерозкладний на множники квадратний тричлен (легко переконатися, що дискримінант рівняння негативний, тому на множники тричленів ніяк не розкласти). Що робити? Розклад у суму елементарних дробів виглядатиме на кшталт з невідомими коефіцієнтами вгорі чи якось інакше?

Приклад 3

Уявити функцію

Крок 1.Перевіряємо, чи правильний у нас дріб
Старший ступінь чисельника: 2
Старший ступінь знаменника: 8
Отже, дріб є правильним.

Крок 2Чи можна щось розкласти у знаменнику на множники? Очевидно, що ні все вже розкладено. Квадратний тричленне розкладається у твір із зазначених вище причин. Гуд. Роботи менші.

Крок 3Уявимо дробово-раціональну функціюяк суми елементарних дробів.
В даному випадку, розкладання має наступний вигляд:

Дивимося на наш знаменник:
При розкладанні дробово-раціональної функції на суму елементарних дробів можна назвати три важливих момента:

1) Якщо в знаменнику знаходиться «самотній» множник у першому ступені (у нашому випадку), то вгорі ставимо невизначений коефіцієнт (у нашому випадку). Приклади №1,2 складалися лише з таких «одиноких» множників.

2) Якщо у знаменнику є кратниймножник, то розкладати потрібно так:
– тобто послідовно перебрати всі ступені «ікса» від першого до енного ступеня. У нашому прикладі два кратні множники: і ще раз погляньте на наведене мною розкладання і переконайтеся, що вони розкладені саме за цим правилом.

3) Якщо в знаменнику знаходиться нерозкладний багаточлен другого ступеня (у нашому випадку), то при розкладанні в чисельнику потрібно записати лінійну функціюз невизначеними коефіцієнтами (у разі з невизначеними коефіцієнтами і ).

Насправді є ще 4-й випадок, але про нього я замовчу, оскільки на практиці він зустрічається вкрай рідко.

Приклад 4

Уявити функцію у вигляді суми елементарних дробів із невідомими коефіцієнтами.

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.
Строго дотримуйтесь алгоритму!

Якщо Ви розібралися, за якими принципами потрібно розкладати дробову раціональну функцію в суму, то зможете розгризти практично будь-який інтеграл типу, що розглядається.

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл.

Крок 1.Очевидно, що дріб є правильним:

Крок 2Чи можна щось розкласти у знаменнику на множники? Можна, можливо. Тут сума кубів . Розкладаємо знаменник на множники, використовуючи формулу скороченого множення

Крок 3Методом невизначених коефіцієнтів розкладемо підінтегральну функцію на суму елементарних дробів:

Зверніть увагу, що багаточлен нерозкладний на множники (перевірте, що дискримінант негативний), тому вгорі ми ставимо лінійну функцію з невідомими коефіцієнтами, а не просто одну літеру.

Наводимо дріб до спільного знаменника:

Складемо і вирішимо систему:

(1) З першого рівняння виражаємо і підставляємо на друге рівняння системи (це найбільш раціональний спосіб).

(2) Наводимо подібні доданки у другому рівнянні.

(3) Почленно складаємо друге та третє рівняння системи.

Усі подальші розрахунки, у принципі, усні, оскільки система нескладна.

(1) Записуємо суму дробів відповідно до знайдених коефіцієнтів .

(2) Використовуємо властивості лінійності невизначеного інтегралу. Що сталося у другому інтегралі? З цим методом Ви можете ознайомитись в останньому параграфі уроку Інтегрування деяких дробів.

(3) Ще раз використовуємо властивості лінійності. У третьому інтегралі починаємо виділяти повний квадрат(передостанній параграф уроку Інтегрування деяких дробів).

(4) Беремо другий інтеграл, у третьому – виділяємо повний квадрат.

(5) Беремо третій інтеграл. Готово.

Тут ми наводимо докладні рішеннятрьох прикладів інтегрування наступних раціональних дробів:
, , .

Приклад 1

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут під знаком інтеграла стоїть раціональна функція, оскільки підінтегральний вираз є дробом із багаточленів. Ступінь багаточлена знаменника ( 3 ) менше ступенябагаточлена чисельника ( 4 ). Тому спочатку необхідно виділити цілу частину дробу.

1. Виділимо цілу частину дробу. Ділимо x 4 на x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Звідси
.

2. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно розв'язати кубічне рівняння:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Підставимо x = 1 :
.

1 . Ділимо на x - 1 :

Звідси
.
Вирішуємо квадратне рівняння.
.
Коріння рівняння: , .
Тоді
.

3. Розкладемо дріб на найпростіші.

.

Отже, ми знайшли:
.
Інтегруємо.

Відповідь

Приклад 2

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут у чисельнику дробу - багаточлен нульового ступеня ( 1 = x 0). У знаменнику - багаточлен третього ступеня. Оскільки 0 < 3 , то дріб правильний. Розкладемо її на найпростіші дроби.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б один ціле коріння. Тоді він є дільником числа 3 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 3, -1, -3 .
Підставимо x = 1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = 1 . Ділимо x 3 + 2 x - 3на x - 1 :

Отже,
.

Вирішуємо квадратне рівняння:
x 2+x+3=0.
Знаходимо дискримінант: D = 1 2 - 4 · 3 = -11. Оскільки D< 0 , то рівняння не має дійсних коренів. Таким чином, ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Підставимо x = 1 . Тоді x - 1 = 0 ,
.

Підставимо в (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Прирівняємо в (2.1) коефіцієнти при x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Інтегруємо.
(2.2) .
Для обчислення другого інтеграла, виділимо в чисельнику похідну знаменника та наведемо знаменник до суми квадратів.

;
;
.

Обчислюємо I 2 .


.
Оскільки рівняння x 2+x+3=0не має дійсних коренів, то x 2 + x + 3 > 0. Тому знак модуля можна опустити.

Поставляємо в (2.2) :
.

Відповідь

Приклад 3

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут під знаком інтеграла стоїть дріб із багаточленів. Тому підінтегральний вираз є раціональною функцією. Ступінь многочлена в чисельнику дорівнює 3 . Ступінь многочлена знаменника дробу дорівнює 4 . Оскільки 3 < 4 , то дріб правильний. Тому її можна розкладати на найпростіші дроби. Але для цього потрібно розкласти знаменник на множники.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння четвертого ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = -1 . Ділимо на x - (-1) = x + 1:


Отже,
.

Тепер потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Якщо припустити, що це рівняння має ціле коріння, він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли ще один корінь x = -1 . Можна було б, як і в попередньому випадку, поділити багаточлен на , але ми згрупуємо члени:
.

Оскільки рівняння x 2 + 2 = 0 не має дійсних коренів, то ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2. Розкладемо дріб на найпростіші. Шукаємо розкладання у вигляді:
.
Звільняємося від знаменника дробу, множимо на (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Підставимо x = -1 . Тоді x + 1 = 0 ,
.

Продиференціюємо (3.1) :

;

.
Підставимо x = -1 та врахуємо, що x + 1 = 0 :
;
; .

Підставимо в (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Прирівняємо в (3.1) коефіцієнти при x 3 :
;
1 = B + C;
.

Отже, ми знайшли розкладання на найпростіші дроби:
.

3. Інтегруємо.


.

Інтегрування раціональних функцій Дробно – раціональна функція Найпростіші раціональні дробиРозкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Інтегрування найпростіших дробів Загальне правило інтегрування раціональних дробів

багаточлен ступеня n. Дробно – раціональна функція Дробно – раціональною функцією називається функція, рівна відношеннюдвох багаточленів: Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь чисельника менший від ступеня знаменника, тобто m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Дробно – раціональна функція Навести неправильний дрібдо правильному вигляду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x x3 32

Найпростіші раціональні дроби Правильні раціональні дроби виду: Називаються найпростішими раціональними дробами типів. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Теорема: Будь-який правильний раціональний дріб, знаменник якого розкладений на множники: можна уявити, притому єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx Ak k x x B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx.

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Пояснимо формулювання теореми на наступні приклади: Для знаходження невизначених коефіцієнтів A, B, C, D … застосовують два методи: метод порівняння коефіцієнтів та метод приватних значень змінної. Перший метод розглянемо з прикладу. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Представити дроб у вигляді суми найпростіших дробів: Приведемо найпростіші дроби до спільного знаменника Прирівняємо чисельники вихідного дробу, що вийшов Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 1 )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Інтегрування найпростіших дробів Знайдемо інтеграли від найпростіших раціональних дробів: Інтегрування дробу 3 типу розглянемо на прикладі. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. Ak

Інтегрування найпростіших дробівdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 3 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg 33 2 9 ln 2 32

Інтегрування найпростіших дробів Інтеграл даного типуза допомогою підстановки: наводиться до суми двох інтегралів: Перший інтеграл обчислюється методом внесення під знак диференціала t. Другий інтеграл обчислюється за допомогою рекурентної формули: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Інтегрування найпростіших дробів a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t 2 (4)1(

Загальне правило інтегрування раціональних дробів Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми багаточлена та правильного дробу. Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, уявити його як суми найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами Знайти невизначені коефіцієнти методом порівняння коефіцієнтів чи методом приватних значень змінної. Проінтегрувати багаточлен та отриману суму найпростіших дробів.

Наведемо дріб до правильного вигляду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2

Приклад Розкладемо знаменник правильного дробу на множники Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів Знайдемо невизначені коефіцієнти методом приватних значень змінної xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Приклад dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

2., 5.
,

3.
, 6.
.

В інтегралах 1-3 якості u приймають . Тоді, після n-кратного застосування формули (19) прийдемо до одного з табличних інтегралів

,
,
.

В інтегралах 4-6 при диференціюванні спроститися трансцендентний множник
,
або
, який слід прийняти за u.

Обчислити такі інтеграли.

Приклад 7.

Приклад 8.

Приведення інтегралів до себе

Якщо підінтегральна функція
має вигляд:

,
,
і так далі,

то після дворазового інтегрування частинами отримаємо вираз, що містить вихідний інтеграл :

,

де
- Деяка постійна.

Дозволяючи отримане рівняння щодо , Отримаємо формулу для обчислення вихідного інтеграла:

.

Цей випадок застосування методу інтегрування частинами називається « приведення інтеграла до себе».

Приклад 9.Обчислити інтеграл
.

У правій частині стоїть вихідний інтеграл . Перенісши його в ліву частину, Отримаємо:

.

приклад 10.Обчислити інтеграл
.

4.5. Інтегрування найпростіших правильних раціональних дробів

Визначення.Найпростішими правильними дробами I , II і III типів називаються такі дроби:

I. ;

II.
; (
- ціле позитивне число);

III.
; (коріння знаменника комплексне, тобто:
.

Розглянемо інтеграли від найпростіших дробів.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Перетворимо чисельник дробу таким чином, щоб виділити в чисельнику доданок
, що дорівнює похідній знаменника.

Розглянемо перший із двох отриманих інтегралів і зробимо в ньому заміну:

У другому інтегралі доповнимо знаменник до повного квадрата:

Остаточно, інтеграл від дробу третього типу дорівнює:

=
+
. (22)

Таким чином, інтеграл від найпростіших дробів I типу виражається через логарифми, II типу – через раціональні функції, III типу через логарифми та арктангенси.

4.6.Інтегрування дробово-раціональних функцій

Одним із класів функцій, які мають інтеграл, виражений через елементарні функції, є клас раціональних алгебраїчних функцій, тобто функцій, що виходять в результаті кінцевого числа алгебраїчних операцій над аргументом.

Будь-яка раціональна функція
може бути представлена ​​у вигляді відношення двох багаточленів
і
:

. (23)

Припускатимемо, що багаточлени не мають спільних коренів.

Дроб виду (23) називається правильною, якщо ступінь чисельника менший від ступеня знаменника, тобто, m< n. В іншому випадку - неправильною.

Якщо дріб неправильний, то, розділивши чисельник на знаменник (за правилом поділу багаточленів), представимо дріб у вигляді суми багаточлена та правильного дробу:

, (24)

де
- багаточлен, - правильний дріб, причому ступінь багаточлена
- не вище ступеня ( n-1).

приклад.

Оскільки інтегрування многочлена зводиться до суми табличних інтегралів від статечної функції, то основна проблема при інтегруванні раціональних дробів полягає в інтегруванні правильних раціональних дробів.

В алгебрі доведено, що всякий правильний дріб розкладається на суму розглянутих вище найпростішихдробів, вид яких визначається корінням знаменника
.

Розглянемо три окремі випадки. Тут і далі вважатимемо, що коефіцієнт при старшому ступені знаменника
дорівнює одиниці =1, тобтобагаточлен наведений .

Випадок 1.Коріння знаменника, тобто коріння
рівняння
=0, дійсні та різні. Тоді знаменник представимо у вигляді твору лінійних множників:

а правильний дріб розкладається на найпростіші дроби I-готипу:

, (26)

де
- Деякі постійні числа, що знаходяться методом невизначених коефіцієнтів

Для цього необхідно:

1. Навести праву частинурозкладання (26) до спільного знаменника.

2. Прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях тотожних багаточленів, що стоять у чисельнику лівої та правої частин. Отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення
.

3. Вирішити отриману систему та знайти невизначені коефіцієнти
.

Тоді інтеграл дробово-раціональної функції (26) буде дорівнює суміінтегралів від найпростіших дробів I-готипу, що обчислюються за формулою (20).

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.Розкладемо знаменник на множники, використовуючи теорему Вієта:

Тоді підінтегральна функція розкладається на суму найпростіших дробів:

.

х:

Запишемо систему трьох рівнянь для знаходження
ху лівій та правій частинах:

.

Вкажемо простіший спосіб знаходження невизначених коефіцієнтів, званий методом приватних значень.

Вважаючи в рівності (27)
отримаємо
, звідки
. Вважаючи
отримаємо
. Нарешті, вважаючи
отримаємо
.

.

Випадок 2Коріння знаменника
дійсні, але серед них є кратні (рівні) корені. Тоді знаменник представимо у вигляді твору лінійних множників, що входять у твір тією мірою, якою є кратність відповідного кореня:

де
.

Правильний дріб буде розкладатися суму дробів I-го та II-го типів. Нехай, наприклад, - корінь знаменника кратності k, а решта ( n- k) Коріння різні.

Тоді розкладання матиме вигляд:

Аналогічно, якщо існує інше кратне коріння. Для некратного коріння в розкладання (28) входять найпростіші дроби першого типу.

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів першого та другого роду з невизначеними коефіцієнтами:

.

Наведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо багаточлени, що стоять у чисельниках лівої та правої частини:

У правій частині наведемо подібні за однакових ступенів х:

Запишемо систему чотирьох рівнянь для знаходження
і . Для цього прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях ху лівій та правій частині

.

Випадок 3.Серед коренів знаменника
є комплексне одноразове коріння. Тобто, до розкладання знаменника входять множники другого ступеня
, що не розкладаються на дійсні лінійні множники, причому вони не повторюються.

Тоді в розкладанні дробу кожному такому множнику буде відповідати найпростіший дріб III типу. Лінійним множникам відповідають найпростіші дроби I-го та II-го типів.

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.
.

.

.

Раціональна функція - це дріб виду, чисельник і знаменник якого - багаточлени або твори багаточленів.

приклад 1. Крок 2

.

Помножуємо невизначені коефіцієнти на багаточлени, яких немає в даному окремому дробі, але які є в інших отриманих дробах:

Розкриваємо дужки та прирівнюємо отриманий до отриманого виразу чисельник вихідного підінтегрального дробу:

В обох частинах рівності знаходимо доданки з однаковими ступенямиікс і складаємо з них систему рівнянь:

.

Скорочуємо всі ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

.

Таким чином, остаточне розкладання підінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

приклад 2. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Тепер починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Тепер потрібно скласти та вирішити систему рівнянь. Для цього прирівнюємо коефіцієнти при змінній відповідною мірою в чисельнику вихідного виразу функції та аналогічні коефіцієнти в отриманому на попередній кроквирази:

Вирішуємо отриману систему:

Отже, , звідси

.

приклад 3. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Як і в попередніх прикладах, складаємо систему рівнянь:

Скорочуємо ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо наступні значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

приклад 4. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Як прирівнювати чисельник вихідного дробу до виразу в чисельнику, отриманому після розкладання дробу на суму простих дробів та приведення цієї суми до спільного знаменника, ми вже знаємо з попередніх прикладів. Тому лише для контролю наведемо систему рівнянь, що вийшла:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

Приклад 5. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Самостійно приводимо до спільного знаменника цю суму, прирівнювати чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

.

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 6. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Проводимо з цією сумою ті ж дії, що й у попередніх прикладах. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

.

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 7. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Після відомих дій з отриманою сумою має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 8. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Внесемо деякі зміни до вже доведених до автоматизму дій для отримання системи рівнянь. Є штучний прийом, що у деяких випадках допомагає уникнути зайвих обчислень. Наводячи суму дробів до спільного знаменника отримуємо і прирівнюючи чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу, отримуємо.