Вектор ортогональної проекції на підпростір. Знакозмінна квадратична форма

Пр a b = | b | cos (a, b) або

Де a b - скалярний добуток векторів, | a | - Модуль вектора a .

Інструкція. Для знаходження проекції вектора Пp a b онлайн режимінеобхідно вказати координати векторів a та b . При цьому вектор може бути заданий на площині (дві координати) і просторі (три координати). Отримане рішення зберігається у файлі Word. Якщо вектори задані через координати точок, необхідно використовувати цей калькулятор .

Класифікація векторних проекцій

Види проекцій по визначенню векторної проекції

Види проекцій за системою координат

Властивості векторної проекції

1. Геометрична проекція вектора є вектор (має напрямок).
2. Алгебраїчна проекція вектор є число.

Теореми про проекції вектора

Пp a b = | b | cos (a, b)

Види векторних проекцій

1. проекція на вісь OX.
2. проекція на вісь OY.
3. проекції на вектор.

Проекція на вісь OX	Проекція на вісь OY	Проекція на вектор
Якщо напрямок вектора A'B' збігається з напрямком осі OX, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.	Якщо напрямок вектора A'B' збігається з напрямком осі OY, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.	Якщо напрямок вектора A'B' збігається з напрямком вектора NM, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.
Якщо напрям вектора протилежний напряму осі OX, то проекція вектора A’B’ має негативний знак.	Якщо напрям вектора A'B' протилежний напряму осі OY, то проекція вектора A'B' має негативний знак.	Якщо напрям вектора A'B' протилежно з напрямом вектора NM, то проекція вектора A'B має негативний знак.
Якщо вектор AB паралельний осі OX, то проекція вектора A'B дорівнює модулю вектора AB.	Якщо вектор AB паралельний осі OY, то проекція вектора A'B дорівнює модулю вектора AB.	Якщо вектор AB паралельний вектору NM, то проекція вектора A'B дорівнює модулю вектора AB.
Якщо вектор AB перпендикулярний до осі OX, то проекція A'B' дорівнює нулю (нуль-вектор).	Якщо вектор AB перпендикулярний до осі OY, то проекція A'B' дорівнює нулю (нуль-вектор).	Якщо вектор AB перпендикулярний вектору NM, то проекція A'B дорівнює нулю (нуль-вектор).

1. Питання: Чи може векторна проекція мати негативний знак. Відповідь: Так, проекцій вектора може бути негативною величиною. У цьому випадку вектор має протилежний напрямок(див. як спрямовані вісь OX та вектор AB)
2. Питання: Чи може проекція вектора співпадати з модулем вектора? Відповідь: Так, може. У цьому випадку вектори паралельні (або лежать на одній прямій).
3. Питання: Чи може проекція вектора дорівнювати нулю (нуль-вектор). Відповідь: Так, може. У цьому випадку вектор перпендикулярний відповідній осі (вектору).

приклад 1 . Вектор (рис. 1) утворює з віссю OX (вона задана вектором a) кут 60 о. Якщо OE є одиниця масштабу, то | b | = 4, отже .

Дійсно, довжина вектора (геометричної проекції b) дорівнює 2, а напрямок збігається з напрямком осі OX.

Приклад 2 . Вектор (рис. 2) утворює з віссю OX (з вектором a) кут (a, b) = 120 o . Довжина | b | вектора b дорівнює 4, тому пр a b = 4 · cos120 o = -2.

Дійсно, довжина вектора дорівнює 2, а напрямок протилежний напрямку осі.

Коротко: сума підпросторів називається прямою, якщо розкладання будь-якого вектора суми за підпросторами єдине.

Пряма сума підпросторів – не є якась нова операціянад підпросторами. Це просто деяка властивість раніше введеної суми підпросторів.

Якщо сума підпросторів пряма, то перетин цих підпросторів складається з одного – нульового – вектора.

Критерій прямої суми підпросторів

Для підпросторів кінцевого лінійного просторунаступні твердження рівносильні:

1) Сума підпросторів – пряма

2) Сукупність базисів підпросторів лінійно незалежна

3) Сукупність базисів підпросторів утворює базис суми підпросторів.

5) Існує вектор із суми , котрій розкладання по підпросторам єдино.

6) Довільна системаненульових векторів, взятих по одному з кожного лінійного підпростору, лінійно незалежна

7) Перетин лінійних підпросторів - тільки нуль-вектор: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" якщо Очевидно, що L - додатковий підпростір до .

Образно висловлюючись, додатковий підпростір як би доповнює підпростір до повного простору.

Теорема про існування додаткового підпростору

Для будь-якого підпростору лінійного простору - деякий вектор простору V. Множина H, що складається з всіх векторів виду, де https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Напрямний підпростір

Підпростір L у визначенні лінійного різноманіття називається напрямним підпростором лінійного різноманіття H.

Фактор-простір

Нехай V – лінійний простір над полем P, L – його підпростір. Фактор-простором лінійного простору V по підпростору L (позначається V/L) називається безліч, що складається з класів еквівалентності H. Ці класи відповідають усім лінійним різноманіттям, отриманим з підпростору L: .

Правило визначає зовнішній законкомпозиції на V/L (множення елемента H з V/L на число (або елемент основного поля P) α, правило - внутрішній законкомпозиції (складання двох елементів – H1 та H2 - з V/L) .

2.4. Підпростір рішень однорідної СЛАУ

Підпростори, що задаються однорідною системою лінійних рівнянь алгебри

Це сукупність рішень однорідної системи лінійних рівнянь, де A – матриця коефіцієнтів лінійних рівнянь системи

Лекція № 5. Розділ 3. Підпростори евклідова (унітарного) лінійного простору

3.1. Ортогональний додаток до підпростору

Вектор, ортогональний до підпростору

Нехай L – лінійний підпростіревклідова (унітарного) простору. Вектор x називається ортогональним до підпростору L, якщо він ортогональний кожному вектору цього підпростору. Позначення: .

Ортогональний додаток до підпростору

Нехай L - лінійне підпростір евклідова простору. Сукупність всіхвекторів https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif".

Теорема про ортогональне доповнення як підпростор

Ортогональне доповнення до підпростору є лінійним підпростором того самого простору.

3.2. Ортогональна проекція, ортогональна складова

Ортогональна проекція вектора на підпростір

Нехай L - лінійне підпростір евклідова (унітарного) простору у вигляді суми: , де https ://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. Вектор gназивається ортогональною проекцією вектора fна підпростір L, вектор hназивається ортогональною складовою.

Ортогональна складова вектора

Ортогональною складовою вектора f щодо підпростору L евклідового (унітарного) простору, де .gif" width="43" height="27 src="> називається вектор hу розкладанні , де https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif"

Похила до підпростору

Вектор fу розкладанні width="40" width="43" height="27".

Теорема про суму підпростору та його ортогонального доповнення

Якщо - лінійний підпростір простору, то пряма сума цього лінійного підпростору та його ортогонального доповненняутворює весь простір : - лінійне підпростір простору , то для будь-якого вектора існує, і до того ж єдине, подання fу вигляді суми: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Відстань від вектора до підпростору

Відстань від вектора до підпростору

Відстанню від вектора до підпростору називається довжина перпендикуляра, опущеного з цього вектора на підпростір (тобто довжина ортогональної складової вектора щодо даного підпростору).

Лекція № 6. Розділ 4. Білінійні та квадратичні форми.

4.1. Лінійна форма

4.2. Білінійна форма

4.1. Лінійна форма

Лінійна функція (лінійна форма)

Нехай - лінійний простір над полем. Функція f, Що відображає вектор з простору в число (елемент поля https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif", називається лінійної , якщо:

1) для всіх векторів для будь-якого числа. a(елемента поля) та будь-якого вектора

Запис будь-якої лінійної форми в деякому (довільному) базисі e виглядає так:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - числа (елементи поля P), що залежать від базису e і, звісно, ​​від форми f.

Зауважимо, що при виборі іншого базису e a 1", a 2", …, a n".

Матриця лінійної форми

Матрицею A лінійної форми fу базисі називається матриця-рядок, що складається з чисел - результатів дії лінійної форми на вектори цього базису:

A = ( a 1, a 2, …, a n) = .

Нехай X = - координати вектора xу базисі e, A – матриця лінійної форми fу тому ж базисі. Тоді значення f(x) дорівнює добутку матриці A на стовпець X:

f(x) = A · X.

Теорема про зміну матриці лінійної форми під час переходу від одного базису до іншого

При переході від базису до базису матриця лінійної форми змінюється таким чином:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - лінійний простір над полем .(числова) Функція aдвох векторних аргументів називається білінійною формою, якщо вона лінійна за кожним аргументом:

2)

4)

- будь-які вектори простору L, - довільне число(Елемент поля P).

Запис будь-який білінійної форми https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

де ( x 1, x 2, …, x n) та ( y 1, y 2, …, y n) – координати у базисі e векторів x та y відповідно, a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn – набір із n2 чисел (елементів поля P).

Зауважимо, що числа a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn залежать від базису e і, звичайно, від самої форми a. При виборі іншого базису e відповідний набір чисел буде, взагалі кажучи, іншим: a 11", a 12", …, a nn".

Матриця білінійної форми

Нехай дана білінійна форма та деякий (довільний) базис e .

Запишемо дію білінійної форми у цьому базисі:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">у базисі e називається наступна матриця:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">на (упорядковану) пару векторів базису ( e i, e j). Таким чином:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> є матрицею єдиної білінійної форми в заданому (фіксованому) базисі простору.

Теорема про зміну матриці білінійної форми під час переходу від одного базису до іншого

При переході від базису до базису (матриця переходу https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif"

Ранг білінійної форми

Рангом білінійної форми називається ранг її матриці у довільному базисі.

(не) Вироджена білінійна форма

Білінійна форма називається виродженою, якщо , і невиродженою, якщо називається симетричною, якщо для . Білінійна форма називається кососиметричною (або кососиметричною), якщо для width="192" 27 src=">.

Примітка:

Матриця кососиметричної білінійної форми (у будь-якому базисі) є кососиметричною: , для всіх i, j. Зокрема, для всіх iвиконується рівність DIV_ADBLOCK81 ">

4.3. Квадратична форма

Білінійні та квадратичні форми у довільному лінійному просторі

4.3. Квадратична форма

Квадратична форма

Нехай дана симетрична білінійна форма. Розглянемо дію цієї білінійної форми тільки на парах збігаються векторів, т.е. е. a(x, x). Отримаємо функцію, що ставить у відповідність кожному вектору xлінійного простору число (елемент основного поля P) f(x) = a(x, x). Функція f(x) = називається квадратичною формою, що відповідає даній симетричній білінійній формі називається відповідна симетрична білінійна форма .

Теорема про полярну білінійну форму

Полярну білінійну форму для будь-якої квадратичної форми визначено однозначно.

Матриця квадратичної форми

Матрицею квадратичної форми називається матриця її полярної білінійної форми.

Ранг квадратичної форми

Рангом квадратичної форми називають ранг її матриці у довільному базисі.

(не) вироджена квадратична форма

Квадратична форма називається виродженою, якщо width="120" height="27 src=">.

Властивості матриці квадратичної форми

1) Матриця квадратичної форми симетрична

2) Будь-яка квадратна симетрична матриця є матрицею єдиної квадратичної форми у заданому базисі

3) При переході від базису до базису (матриця переходу https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif"

4) Нехай – довільний фіксований базис. Нехай квадратична форма f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src=">, а довільний вектор xмає в цьому ж базисі координати ( x 1, x 2, …, x n). Тоді результат дії квадратичної форми на вектор xможе бути записаний у вигляді

f(x) = ,

або у більш компактній формі:

f(x) =

де X = - Стовпець координат вектора xу базисі e

4.4. Канонічний вигляд квадратичної форми

Канонічний вигляд квадратичної форми

Канонічним виглядом квадратичної форми називається її запис, що містить лише квадрати змінних:

(деякі з яких можуть дорівнювати нулю) називаються канонічними коефіцієнтами квадратичної форми.

Очевидно, що кількість ненульових коефіцієнтів у канонічному виглядіквадратичної форми збігається з її рангом.

Канонічний базис квадратичної форми

f(x) = a(x, x),

якщо запис цієї форми в цьому базисі є канонічним, тобто містить тільки квадрати змінних:

матричній мові" звучить так:

Базис називається канонічним базисом квадратичної форми f(x) = a(x, x),

якщо матриця Ae цієї форми в цьому базисі має діагональний вигляд:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width="589" height="25 src=">

2. Винести за дужки коефіцієнт (≠ 0) при квадраті цієї змінної:

DIV_ADBLOCK83">

Зауваження.

Якщо звести в квадрат записану суму і помножити на коефіцієнт, винесений за дужки, то в результаті вийдуть усі складові, що містять змінну x 1, що входили до запису квадратичної форми. Одночасно виникнуть (і досить багато) доданки, які не входили до початкового запису квадратичної форми. Але всі "нові" доданки не містять змінної x 1.

Таким чином, запис квадратичної форми набуває наступного вигляду:

дужок". Зробивши заміну змінних, при якій "першу дужку" позначимо через x 1", другу - через x 2", і т. д., отримаємо наступний запис квадратичної форми, складові в якій містять тільки квадрати змінних:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" width="84" height="51 src=">

В результаті такої заміни доданок aijxixj, що містить твір змінних xiі xj, перетворюється на два доданки, які вже містять квадрати змінних xi"і xj":

DIV_ADBLOCK84">

Теорема про існування ортонормованого канонічного базису (приведення до основних осей).

Для будь-якої квадратичної форми в евклідовому просторі існує ортонормований базис, у якому вона має канонічний вигляд.

Формули Якобі

Якщо у матриці квадратичної форми f(x) рангу перші https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" e, в якому матриця квадратичної форми має діагональний вигляд

При цьому канонічні коефіцієнти λ iквадратичної форми пов'язані з кутовими мінорами Δ iнаступними співвідношеннями: ,

які називаються формулами Якобі.

Білінійні та квадратичні форми

у речовому (дійсному) лінійному просторі.

4.5. Індекси інерції квадратичної форми

Індекси інерції квадратичної форми

Нехай квадратична форма f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src=">. Число позитивних коефіцієнтів дорівнює числузмін знаків у цій послідовності.

4.6. Знаковизначені та знакозмінні квадратичні форми

Знаковизначена квадратична форма

Квадратична форма називається позитивно (негативно) певною, якщо вона набуває тільки позитивних (негативних) значень на всіх ненульових векторах: ( f(xТакі форми називають знаковизначеними.

Знакозмінна квадратична форма

Квадратична форма, для якої існують вектори такі, що такі, що f(x) = > 0 і f(y) = < 0 называется знакопеременной.

Критерій знаковизначеності квадратичної форми

Квадратична форма є позитивно (негативно) певною тоді і лише тоді, коли її позитивний (відповідно, негативний) індекс інерції збігається з розмірністю простору.

Тобто, у будь-якому канонічному вигляді позитивно (негативно) певної квадратичної форми в n-мірному просторі

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

Квадратична форма є позитивно визначеною тоді і лише тоді, коли її кутові мінори позитивні.

Квадратична форма є негативно визначеною тоді і лише тоді, коли знаки її кутових мінорів чергуються, причому