Закон збереження електричного заряду. Дипольне наближення для довільного розподілу

Поле точкового заряду.

Нехай є один точковий заряд q. Це окремий випадоксферичні симетрії. У нас є формула: , де
– заряд усередині сфери радіусу rале якщо заряд точки, то для точкового заряду
, за будь-якого r. Зрозуміло, чому, на будь-якому радіусі всередині сфери точка залишається точкою. І для точкового заряду
. Це поле точкового заряду. Потенціал поля точкового заряду:
.

Поле системи точкових зарядів. Принцип суперпозиції.

Нехай ми маємо систему зарядів
, Тоді напруженість поля, створювана системою точкових зарядів, у будь-якій точці дорівнює сумі напруженостей, створюваних кожним із зарядів. Я міг би одразу написати
якщо б ви вільно читали формули. Вчіться читати формули оповідально. Заряд помножте на вектор
, і розділіть модуль цього вектора, а що таке модуль вектора це довжина. Ця вся штука дає вектор, спрямований вздовж вектора
.

Те, що поля складаються, це зовсім не очевидно. Це наслідок лінійності рівнянь Максвелла. Рівняння лінійні за . Це означає, що якщо ви знайшли два рішення, то вони складаються. Чи бувають поля, для яких не виконується принцип суперпозиції? Бувають. Гравітаційне поле не в ньютонівської теорії, а в правильній, не задовольняє принцип суперпозиції. Земля створює у певній точці певну напруженість. Місяць також. Поставили Землю і Місяць, напруженість у точці не дорівнює сумі напруженостей. Рівняння поля не лінійне, фізично це означає, що гравітаційне поле є джерелом. Так. Все кінець.

Минулого разу ми зупинилися на обговоренні поля, яке створюється системою зарядів. І бачили, що поля, створювані кожним зарядом окремо у цій точці, складаються. При цьому я наголосив, що це не сама очевидна річ, - це властивість електромагнітної взаємодії. Фізично воно пов'язане з тим, що саме поле для себе не є джерелом, формально це наслідок того, що рівняння лінійні. Є приклади фізичних полів, які є джерелом. Тобто якщо в якомусь обсязі це поле є, так воно створює саме поле в навколишньому просторі, формально це проявляється в тому, що рівняння не лінійні. Я там написав формулу для напруженості
, напишемо формулу для потенціалу.

Потенціал системи точкових набоїв.

І є система зарядів
і т.д. І тоді для певної точки ми напишемо таку формулу:
. Отже, такий рецепт для потенціалу. Напруженість дорівнює сумі напруженостей, потенціал дорівнює суміпотенціалів.

З мітка. Практично завжди зручніше обчислювати потенціал, а не напруженість, зі зрозумілих причин: напруженість – це вектор, і вектори треба складати за правилом складання векторів, ну, правилом паралелограма, це заняття, звичайно, нудніше, ніж складати числа, потенціал – це скалярна величина . Тому практично завжди, коли ми маємо досить щільний розподіл заряду, шукаємо потенціал, напруженість поля потім знаходимо за формулою:
. 1)

Поле, створюване довільним обмеженим розподілом заряду 1).

Ну що тут означає епітет «обмежений»? Те, що заряд локалізований у кінцевій області простору, тобто ми можемо охопити цей заряд замкнутою поверхнею такою, що поза цією поверхнею заряду немає. Зрозуміло, що з погляду фізики це не обмеження, ну і справді ми маємо справу практично завжди тільки з обмеженими розподілами, немає такої ситуації, щоб заряд був розмазаний по всьому всесвіту, він концентрується у певних областях.

У

від така проблема: область зайнята зарядом, по цій області розмазано електричний заряд, ми повинні повністю охарактеризувати цей заряд і знайти створюване ним поле. Що означає повністю охарактеризувати розподіл заряду? Візьмемо елемент об'єму
, положення цього елемента задається радіус-вектором в цьому елементі сидить заряд
. Щоб знайти поле, нам потрібно знати заряд кожного елемента об'єму, це означає, що нам потрібно знати щільність заряду в кожній точці. Ось ця функція
пред'явлена, вона нашої мети вичерпно характеризує розподіл заряду, більше нічого знати зайве.

Нехай нас цікавить поле у ​​точці . А далі принцип суперпозиції. Ми можемо вважати заряд dq, що сидить у цьому елементі об'єму, точковим 2). Ми можемо написати відразу вираз для потенціалу, який створює цей елемент у цій точці:
, це потенціал, створюваний елементом у точці . А тепер зрозуміло, що повний потенціал у цій точці ми знайдемо підсумовуванням по всіх елементах. Ну, і напишемо цю суму як інтеграл:
. 3)

Цей рецепт спрацьовує залізно для будь-якого розподілу заряду, ніяких проблем, крім обчислення інтеграла, немає, але комп'ютер таку суму порахує. Напруженість поля знаходиться:
. Коли інтеграл обчислений, то напруженість просто диференціюванням.

Напруженість поля відокремленого позитивного точкового заряду qу точці Aна відстані rвід заряду (рис.2.1) дорівнює

Тут ― одиничний вектор, спрямований вздовж прямої, що з'єднує цю точку та заряд.

Рис.2.1. Поле точкового заряду

Нехай потенціал дорівнює нулюна нескінченності. Тоді потенціал довільної точки поля точкового заряду

.

У разі об'ємного розподілу заряду (в кінцевій галузі) з урахуванням маємо:

.

Аналогічно маємо:

для поверхневого розподілу заряду ,

для лінійного розподілузаряду .

Рівняння Пуассона та Лапласа

Раніше було отримано
. Тоді:

Звідки одержуємо рівнянням Пуассона:

або .

- Оператор Лапласа(Лапласіян, оператор дельта).

У декартовій системікоординат може бути представлено у формі

Рішення рівняння Пуассонав загальному виглядіможна знайти в такий спосіб. Припустимо, що в обсязі Vє заряди густиною r. Ці заряди представимо у вигляді сукупності точкових зарядів r dV, де dV― елемент об'єму. Складова потенціалу d j електричного полявід елементарного заряду r dVдорівнює .

Значення j визначається як сума (інтеграл) потенціалів від усіх зарядів поля:

.

Передбачається, що потенціал на нескінченності дорівнює нулю і заряди, що створюють поля розподілені в обмеженій області (інакше інтеграл може бути розбіжним).

У реальних умовах вільні заряди розташовуються на поверхні провідників нескінченно тонким шаром. У діелектриках, якими розділені заряджені провідники, об'ємні зарядивідсутні . І тут у діелектриці маємо рівняння Лапласа:

або .

Для однозначного рішення диференціальних рівняньполя необхідні граничні умови.

Граничні умови для векторів електричного поля

Нехай на поверхні розділу двох діелектриків з різними діелектричними проникностямиε 1 та ε 2 розподілений поверхневий заряд щільністю σ.

Оточимо точку на поверхні розділу середовищ елементарним циліндром ( висота циліндра набагато менше радіусу) таким чином, щоб його підстави знаходилися в різних середовищахі були перпендикулярні до нормалі, проведеної в точці (рис.2.2). Цей циліндр охоплює малу площадку поверхні розділу середовищ із зарядом σ .

Вектори електричного зміщенняу першій та другій середовищах позначимо відповідно і .

Застосуємо до поверхні циліндра теорему Гауса

,

де S― поверхня елементарного циліндра.

Рис.2.2. Вектори електричного зміщення на межі середовищ

Спрямуємо обсяг циліндра до нуля за умови, що висота циліндра значно менша за його радіус. В цьому випадку можна знехтувати потоком вектора крізь бічну поверхню. Враховуючи малі розміри майданчиків основ, можна вважати, що вектор у межах свого майданчика має одне й те саме значення. З огляду на це після інтегрування для проекцій вектора на номаль отримаємо

Враховуючи що , після скорочення отримуємо граничну умову нормальної складової вектора електричного зміщення

D n 2 –D n 1 = σ . (**)

Нормальна проекція вектора електричного зміщення на межі розділу двох середовищ зазнає стрибка, що дорівнює поверхневої щільностівільних зарядів, розподілених на цьому кордоні.

За відсутності на поверхні поділу середовищ поверхневого заряду маємо .

На межі поділу двох діелектриків у разі відсутності на межі поділу двох середовищ вільного зарядурівні нормальні складові вектора електричного усунення.

Виділимо на межі розділу середовищ малий контур таким чином, щоб його сторони abі cdзнаходилися в різних середовищах і були перпендикулярні до нормалі, проведеної в точці (рис.2.3). Розміри сторін спрямуємо до нуля контуру задовольняють умову.

Рис.2.3. Вектори напруженості електричного поля на межі середовищ

Застосуємо до контуру друге рівняння Максвелла в інтегральної форми:

,

де ― площа поверхні, обмеженої контуром abcd; ― вектор елементарного майданчика, Спрямований перпедикулярно до майданчика .

При інтегруванні нехтуємо вкладом в інтеграл на бічних сторонах daі bcчерез їх дрібниці. Тоді:

Так як кінцева величина, а прагне нуля, то

(***)

.

На межі розділу двох діелектриків дорівнюють тангенціальні складові вектора напруженості електричного поля.

При відсутності на поверхні розділу середовищ поверхневого заряду

Виразів (*) і (***) отримуємо співвідношення, що визначає заломлення векторів і на межі поділу середовищ

Тіло, що знаходиться в потенційному полі сил (електростатичне поле), має потенційну енергію, за рахунок якої силами поля здійснюється робота. Робота консервативних сил відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії. Тому роботу сил електростатичного поля можна представити як різницю потенційних енергій, якими має точковий заряд. Q 0 у початковій та кінцевій точкахполя заряду Q: , звідки випливає, що потенціальна енергіязаряду q 0у полі заряду Qдорівнює . Вона визначається неоднозначно, а з точністю до довільної постійної З. Якщо вважати, що при видаленні заряду в нескінченність ( r®¥) потенційна енергія перетворюється на нуль ( U=0), то З=0 та потенційна енергія заряду Q 0 , заряду, що знаходиться в полі Qна відстані г від нього, дорівнює . Для однойменних зарядів Q 0 Q> 0 і потенційна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) позитивна, для різноїменних зарядів Q 0 Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Потенціал jв будь-якій точці електростатичного поляє фізична величина, яка визначається потенційною енергією одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку. З чого випливає, що потенціал поля, створюваного точковим зарядом Q, дорівнює. Робота, що здійснюється силами електростатичного поля при переміщенні заряду Q 0 з точки 1 в точку 2 , може бути представлена ​​як , тобто дорівнює добутку заряду, що переміщується на різницю потенціалів в початковій і кінцевій точках. Різниця потенціалівдвох точок 1 і 2 в електростатичному полі визначається роботою, що здійснюється силами поля, при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки 1 в точку 2 . Робота сил поля під час переміщення заряду Q 0 з точки 1 в точку 2 може бути записана також у вигляді . Вираз для різниці потенціалів: де інтегрування можна проводити вздовж будь-якої лінії, що з'єднує початкову і кінцеву точки, так як робота сил електростатичного поля не залежить від траєкторії переміщення.

Якщо переміщувати заряд Q 0 з довільної точки за межі поля, тобто в нескінченність, де, за умовою, потенціал дорівнює нулю, робота сил електростатичного поля A ¥ =Q 0 jзвідки

Потенціал- фізична величина, яка визначається роботою по переміщенню одиничного позитивного заряду при видаленні його з цієї точки поля в нескінченність. Ця робота чисельно дорівнює роботі, що здійснюється зовнішніми силами (проти сил електростатичного поля) щодо переміщення одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля. Одиниця потенціалу - вольт(В): 1 В є потенціал такої точки поля, в якій заряд в 1 Кл має потенційну енергію 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл).

У разі електростатичного поля потенційна енергія є мірою взаємодії зарядів. Нехай у просторі існує система точкових зарядів Q i(i = 1, 2, ... ,n). Енергія взаємодії всіх nзарядів визначиться співвідношенням

де r ij -відстань між відповідними зарядами, а підсумовування здійснюється таким чином, щоб взаємодія між кожною парою зарядів враховувалася один раз.

З цього випливає, що потенціал поля системи зарядів дорівнює алгебраїчноїсумі потенціалів полів усіх цих зарядів:

Розглядаючи електричне поле, створене системою зарядів, слід визначення потенціалу поля використовувати принцип суперпозиції:

Потенціал електричного поля системи зарядів у даній точці простору дорівнює сумі алгебри потенціалів електричних полів, створюваних у даній точці простору, кожним зарядом системи окремо:

6. Еквіпотенційні поверхні та їх властивості. Зв'язок між різницею потенціалів та напруженістю електростатичного поля.
Уявна поверхня, всі точки якої мають однаковий потенціал, називається еквіпотенційною поверхнею. Рівняння цієї поверхні

Якщо поле створюється точковим зарядом, його потенціал Отже, еквіпотенційні поверхні у разі - концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості у разі точкового заряду – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості у разі точкового заряду перпендикулярніеквіпотенційним поверхням.

Всі точки еквіпотенційної поверхні мають однаковий потенціал, тому робота по переміщенню заряду вздовж цієї поверхні дорівнює нулю, тобто електростатичні сили, що діють на заряд, завждиспрямовані за нормалями до еквіпотенційних поверхонь. Отже, вектор Е завжди нормальний до еквіпотенційних поверхонь,а тому лінії вектора Еортогональні цим поверхням.

Еквіпотенційних поверхонь навколо кожного заряду та кожної системи зарядів можна провести безліч. Однак їх зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша.

Отже, знаючи розташування ліній напруженості електростатичного поля, можна побудувати еквіпотенційні поверхні і, навпаки, за відомим розташуванням еквіпотенційних поверхонь можна визначити в кожній точці поля модуль і напрямок напруженості поля.

Знайдемо взаємозв'язок між напруженістю електростатичного поля, що є його силовою характеристикою,та потенціалом - енергетичною характеристикою поля

Робота з переміщення одиничноготочкового позитивного заряду з однієї точки поля в іншу вздовж осі хза умови, що точки розташовані нескінченно близько один до одного і x 2 -x 1 = d x,дорівнює E x d x.Та ж робота дорівнює j 1 -j 2 = dj.Прирівнявши обидва вирази, можемо записати

де символ приватної похідної підкреслює, що диференціювання здійснюється тільки по х.Повторивши аналогічні міркування для осей уі z,можемо знайти вектор Е:

де i, j, k- поодинокі вектори координатних осей х, у, z.

З визначення градієнта випливає, що

тобто напруженість Еполя дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус визначається тим, що вектор напруженості Еполя направлено в бік спаданняпотенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і у разі поля тяжіння, користуються еквіпотенційними поверхнями- поверхнями, у всіх точках яких потенціал jмає одне й те саме значення.

Формула-закон Кулону

де коефіцієнт пропорційності

q1,q2 нерухомі точкові заряди

r відстань між зарядами

3. Напруженість електричного поля- Векторна фізична величина, що характеризує електричне поле в даній точці і чисельно дорівнює відношенню сили, що діє на нерухомий пробний заряд, поміщений в дану точку поля, до величини цього заряду: .

Напруженість електричного поля точкового заряду

[ред.] В одиницях СІ

Для точкового заряду в електростатиці вірний закону Кулону

Напруженість електричного поля довільного розподілу зарядів

За принципом суперпозиції для напруженості поля сукупності дискретних джерел маємо:

де кожне

4. Принцип суперпозиції- один із найзагальніших законів у багатьох розділах фізики. У найпростішому формулюванні принцип суперпозиції говорить:

· Результат впливу на частину кількох зовнішніх сил векторна сума впливу цих сил.

Найбільш відомий принцип суперпозиції в електростатиці, в якій він стверджує, що Напруженість електростатичного поля, створюваного в даній точці системою зарядів, є сума напруженостей полів окремих зарядів.

Принцип суперпозиції може приймати й інші формулювання, які повністю еквівалентнінаведеної вище:

· Взаємодія між двома частинками не змінюється при внесенні третьої частки, що також взаємодіє з першими двома.

· Енергія взаємодії всіх частинок у багаточастковій системі є просто сума енергій парних взаємодійміж усіма можливими парами частинок. У системі немає багаточасткових взаємодій.

· Рівняння, що описують поведінку багаточасткової системи, є лінійнимиза кількістю частинок.

Саме лінійність фундаментальної теорії в галузі фізики є причиною виникнення в ній принципу суперпозиції.

В електростатиціПринцип суперпозиції є наслідком того факту, що рівняння Максвелла у вакуумі лінійні. Саме з цього випливає, що потенційну енергію електростатичної взаємодії системи зарядів можна легко порахувати, обчисливши потенційну енергію кожної пари зарядів.

5. Робота електричного поля.

6. Електростатичний потенціалдорівнює відношенню потенційної енергії взаємодії заряду з полем до величини цього заряду:

Напруженість електростатичного поля та потенціал пов'язані співвідношенням

7. Принцип суперпозиції електростатичних полів. Сили чи поля від різних зарядів складаються з урахуванням їхньої позиції чи спрямованості (вектора). Це виражає принцип "суперпозиції" поля або потенціалів: потенціал поля декількох зарядів дорівнює сумі алгебри потенціалів окремих зарядів, φ=φ 1+φ2+…+φn= ∑i nφi. Знак потенціалу збігається зі знаком заряду, φ=kq/r.

8. Потенційна енергія заряду у електричному полі.Продовжимо порівняння гравітаційної взаємодії тіл та електростатичної взаємодії зарядів. Тіло масою mу полі тяжкості Землі має потенційну енергію.
Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенційної енергії, взятій із протилежним знаком:

A = -(W p2- W p1) = mgh.

(Тут і далі ми позначатимемо енергію буквою W.)
Так само, як тіло масою mу полі сили тяжіння має потенційну енергію, пропорційну масу тіла, електричний заряд в електростатичному полі має потенційну енергію W p , пропорційної заряду q. Робота сил електростатичного поля Адорівнює зміні потенційної енергії заряду в електричному полі, взятому з протилежним знаком:

9. Теорема про циркуляцію вектора напруженості в інтегральній формі:

У диференційній формі:

10. Зв'язок потенціалу та напруженості. E= - grad = -Ñ.

Напруженість у будь-якій точці електричного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому зі зворотним знаком. Знак "мінус" вказує, що напруженість Eспрямована у бік спадання потенціалу

11. Потік вектора напруженості.

Теорема Гауса в інтегральній формі:де

· - Потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню.

· - Повний заряд, що міститься в об'ємі, який обмежує поверхню.

· - Електрична постійна.

Даний вираз є теоремою Гауса в інтегральній формі.

У диференційній формі: Тут – об'ємна щільність заряду (у разі присутності середовища – сумарна щільність вільних та пов'язаних зарядів), а – оператор набла.

12. Застосування закону Гауса.1. Напруженість електростатичного поля, створюваного рівномірно зарядженою сферичною поверхнею.

Нехай сферична поверхня радіуса R (рис. 13.7) несе рівномірно розподілений заряд q, тобто. поверхнева густина заряду в будь-якій точці сфери буде однакова.

a. Заключимо нашу сферичну поверхню симетричну поверхню S з радіусом r>R. Потік вектора напруженості через поверхню S дорівнюватиме

За теоремою Гауса

Отже

c. Проведемо через точку В, що знаходиться всередині зарядженої сферичної поверхні, сферу S радіусом г

Напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної прямолінійної нитки(або циліндра).

Припустимо, що порожниста циліндрична поверхня радіуса R заряджена з постійною лінійною щільністю .

Проведемо коаксіальну циліндричну поверхню радіусу Потік вектора напруженості через цю поверхню

За теоремою Гауса

З останніх двох виразів визначаємо напруженість поля, що створюється рівномірно зарядженою ниткою:

У цей вираз не входять координати, отже електростатичне поле буде однорідним, а напруженість їх у будь-якій точці поля однакова.

13. ЕЛЕКТРИЧНИЙ ДИПОЛЬ.

Електричний диполь- система двох рівних за модулем різноіменних точкових зарядів (), відстань між якими значно менша за відстань до розглянутих точок поля.
Плечо диполя- Вектор , спрямований по осі диполя (прямий, що проходить через обидва заряди) від негативного заряду до позитивної і дорівнює відстані між зарядами .
Електричний момент диполя (дипольний момент):
.

Потенціал поля диполя:

Напруженість поля диполяу довільній точці (згідно з принципом суперпозиції):

де - напруженості полів, створюваних відповідно позитивним і негативним зарядами.

Напруженість поля диполя на продовженні осі диполя у точці А:
.
Напруженість поля диполя на перпендикулярі, відновленому до осі з його середини у точці B:
.

Так само цікаво і не менш важливе поле диполя, що виникає за інших обставин. Нехай у нас є тіло зі складним розподілом заряду, скажімо, як у молекули.води (див. фіг. 6.2), а нас цікавить тільки поле далеко від нього. Ми покажемо, що можна отримати порівняно простий вираз для полів, придатний для відстаней, набагато більших за розміри тіла.

Ми можемо дивитися на це тіло як на скупчення точкових зарядів q ¡ в деякій обмеженій області (фіг. 6.7). (Пізніше, якщо знадобиться, ми q ¡ замінимо на ρdV.) Нехай заряд q ¡ віддалений від початку координат, обраного десь усередині групи зарядів, на відстань d ¡ . Чому дорівнює потенціал у точці Р,розташованої десь на відльоті, з відривом R, набагато більшому, ніж найбільше з d ¡ ? Потенціал всього нашого скупчення виражається формулою

де r ¡ — відстань від Рдо заряду q ¡ (Довжина вектора R-d ¡). Якщо відстань від зарядів до Р(до точки спостереження) надзвичайно велике, то кожне з r ¡ можна прийняти за R. Кожен член у сумі стане рівним q ¡/R, і 1/R можна буде винести під знаку суми. Вийде простий результат

де Q - Сумарний заряд тіла. Таким чином, ми переконалися, що з точок, досить віддалених від накопичення зарядів, воно здається просто точковим зарядом. Цей результат загалом не дуже дивовижний.

Але що, якщо позитивних та негативних зарядів у групі виявиться порівну? Сумарний заряд Q тоді дорівнюватиме нулю. Це не такий вже й рідкісний випадок; ми знаємо, що більшість тіл є нейтральними. Нейтральна молекула води, але заряди в ній розміщуються аж ніяк не в одній точці, так що, наблизившись впритул, ми повинні будемо помітити якісь ознаки того, що розділені заряди. Для потенціалу довільного розподілу зарядів у нейтральному тілі ми потребуємо наближення, краще, ніж формула (6.22). Рівняння (6.21), як і раніше, годиться, але вважати r ¡ =R більше не можна. Для r ¡Необхідно вираз точніше. У хорошому наближенні r ¡ можна вважати, що відрізняється від R (якщо точка Рсильно видалена) на проекцію вектора d вектор R (див. фіг. 6.7, але ви повинні тільки уявляти, що Рнабагато далі, ніж показано). Іншими словами, якщо е r- одиничний вектор у напрямку R, то за наступне наближення до r ¡ потрібно прийняти

Але ж нам потрібно не r ¡ а 1/ r ¡ ; воно в нашому наближенні (з урахуванням d'«R) одно

Підставивши це в (6.21), ми побачимо, що потенціал дорівнює

Багатокрапка вказує члени вищого порядку по d/ R, якими ми знехтували. Як і ті члени, які ми виписали, це наступні члени розкладання. / r ¡ в ряд Тейлора на околиці 1/R за ступенями d ¡/ R.

Перший член у (6.25) ми вже отримали; у нейтральних тілах він пропадає. Другий член, як і в диполя, залежить від 1/R 2 . Справді, якщо ми визначимо

як величину, що описує розподіл зарядів, то другий член потенціалу (6.25) звернеться в

тобто. якраз у дипол'ний потенціал.Величина р називається дипольним моментом розподілу.Це узагальнення нашого колишнього визначення; воно зводиться до нього в окремому випадку точкових зарядів.

У результаті ми з'ясували, що досить далеко від будь-якогонабору зарядів потенціал виявляється дипольним, аби цей набір був загалом нейтральним. Він зменшується, як 1/ R 3 , і змінюється як cos θ, а величина його залежить від дипольного моменту розподілу зарядів. Саме з цієї причини поля диполів і є важливими; самі по собі пари точкових зарядів зустрічаються вкрай рідко.

У молекули води, наприклад, дипольний момент досить великий. Електричне поле, створюване цим моментом, є відповідальним за деякі важливі властивості води. А у багатьох молекул, скажімо у СО2, дипольний момент зникає завдяки їхній симетрії. Для таких молекул розкладання потрібно проводити ще точніше, до наступних членів потенціалу, що спадають як 1/ R 3 та званих квадрупольним потенціалом. Ці випадки ми розглянемо пізніше.