Приклад розв'язання даламбера коливань нескінченної струни. Узагальнення формули Брусова-Філатової-Горіхової на випадок наявності інфляції
Р/м коливання струни у всьому пр-ві. Такі коливання описуються завданням Коші:
/ ∂ 2 u/∂x 2 -1/a 2 ∂ 2 u/∂t 2 =0
| u(x,0)=ψ 0 (x) (*)
\ ∂u/∂t (x,0)=ψ 1 (x)
Розв'язання цієї задачі можна записати у вигляді: u(x, t) = φ 1 (x-at) + φ 2 (x + at) (**), φ 1 і φ 2 - диф-мі поxі поtф-ції. φ 1 описує рух проти осіx, а φ 2 - вздовж. Побудуємо рішення поставленої задачі Коші (*) для хвильового ур-я. Вигляд φ 1 і φ 2 визначимо з початкових умов задачі:
ψ 0 =φ 1 (x)+φ 2 (x),ψ 1 =-aφ ' 1 (x)+aφ ' 2 (x). Проінтегрувавши друге рівняння, отримаємо:φ 1 +φ 2 =1/a x 0 ∫ x ψ 1 (x)dx+c,c-константаСкладаючи та віднімаючи перше та третє ур-я, отримаємо:φ 1 =-1/2a x 0 ∫ x ψ 1 (x)dx-c/2+ψ 0 (x)/2, φ 2 =1/2a x 0 ∫ x ψ 1 (x)dx+c/2+ψ 0 (x)/2Підставляючи ці рівняння в (**), отримаємо розв'язання задачі коші для хвиль ур-я:u(x,t)=(ψ 0 (x-at)+ψ 0 (x+at))/2+1/2a at ∫ x + at ψ 1 (x)dx– ф-ла Даламбера
17. Сферичні хвилі. Формула Пуассон.Знайдемо загальний виглядсферич симетр розв'язання 3-х мірних хвиль вирівн. Запишемо в сферич коорд.(1)або 
(2) або 
(3) для u (r, t) = r (r, t) (4)
загальне рішення у вигляді (5) підставляємо у схему 19 Визначення дисипативних структур. приклади.Різноманітність форм і шляхів еволюції матерії надзвичайно велика, основні якісні закономірності процесу самоорганізації найчастіше схожі незалежно від його конкретної реалізації: чи то фізика, хімія чи біологія. І можуть бути описані в рамках єдиних і простих математичних моделей. Дослідженням таких моделей займається синергетика
- наука про самоорганізацію в середовищах самої різної природи. Мимовільний перехід від простого до складного супроводжується підвищенням упорядкованості та узгодженості. Наприклад, за певних умов у системі, не схильна до зовнішнім просторово неоднорідним впливам, спочатку однорідного стану виникає структура. На мові математики це означає, що просторово однорідне розв'язання деякої системи нелінійних рівнянь втрачає стійкість, а натомість виникає стійке просторово неоднорідне рішення. Історично склалося так, що зародження структур було вперше описано на прикладі нелінійної системи дифузійного типу: 20 Модель «Рухливий хижак – рухлива жертва». Основні рівняння. Просторово однорідні рішення.Розглянемо виникнення диссипативної структури з прикладу двокомпонентної дифузійної моделі типу «Рухливий хижак – рухлива жертва». Динаміка зміни чисельності жертви (n 1) та хижака (n 2) задається рівняннями: b(n 1) = a + bn 1 – cn 1 2 ,(3) d(n 2) =d 0 +d 1 n 2 ,(4)Припустимо, що обидві популяції ізольовані на деякому кінцевому ареалі, скажімо на інтервалі, тоді граничні умови запишемо у вигляді: 22. Елементи газової динаміки. Поняття суцільного середовищаБудь-яке тіло можна у вигляді сукупності тіл, які вважатимуться матеріальними точками. Така система описується 6NДУ із заданими 6Nпоч. ум.Р/м систему, в якій число частинок звичайно; будемо характеризувати її 2 параметрами: m-маса, 23. Інтегральні закони збереження1.
закон збереження масиВважатимемо, що для рідкої частинки окремо справедливий закон збереження маси: 2. закон зміни імпульсу,(2) 1-й доданок – зміна кількості рідини, 2-й доданок – результат дії об'ємних масових сил, 3-й доданок – дія поверхневих сил тиску, f – питома зовнішня сила, що діє на рідкій частинці, Зауваження: а) рідина – суцільна середовище) ідеальна середовище – середовище є бездиссипативной, тобто. не враховуємо внутрішнє тертя, теплопровідність, випромінювання. 3. закон збереження енергії Якщо немає зовнішніх, ні внутрішніх сил, тоді повна енергія зберігається. (3) – інтегральний закон збереження енергії для моделі суцільного середовища Система рівнянь (1-3) визначає рух рідини. Т.к всі т/д величини визначаються за значеннями якихось 2-х з них за допомогою рівняння стану речовини: 25. Різнісні схеми у газовій динаміці. Метод великих часток.
У газовій динаміці розрізняють 3 типи завдань: Зовнішні: пов'язані з дослідженням обтікання тіл потоеом газу, Внутрішні: вивчення руху газу в каналах і соплах, Струменеві-рух газу в струменях. Важливими завданнями в газовій динаміці є завдання про вибух, пов'язані з рухом детонаційних або ударних хвиль у різних середовищах. 1.Рівняння газової динаміки (УГД).
УЗД є виразом загальних законів збереження маси, імпульсу та енергії. Нехай V– деякий обсяг, обмежений гладкою поверхнею. Маса газу, укладена в цьому обсязі, в певний момент часу виражається інтегралом: (6)
закон збереження енергії, дифф форма у газовій динаміці. Рівняння газової динаміки в змінних лагранжах (дифф. форма)
Рівняння безперервності: Закон збереження імпульсу: Закон збереження енергії: Приклад побудови схеми різниці (РС) в газовій динаміці.
Виберемо, наприклад, наступний вид ДУ газової динаміки у змінних Лагранжа: У разі ур-ния стану (5) описують ид. газ, проте з погляду побудови РС це є принциповим. Тому, надалі, під час запису РС рівняння стану часто опускатимуться. Система (1) – (5) вирішується в області
={0
< s
< M,
t
>0). Граничні умови ми опускаємо.
введемо рівномірну сітку: s i t j), (s i +1/2 , t j), s i +1 = s i + h, s i +1/2 = s i + 0.5h, i = 0, 1 , …, N – 1, s 0 = 0, s N = M, hN = M, t i +1 = t i + , j = 0, 1, …) До М ( Процес вирішення цієї системи розбивають на три етапи: ЕЙЕЛЕР ЕТАП.Тут нехтують усіма ефектами, пов'язаними з рухом рідини (потоку маси через межі осередків немає) і на фіксованій ейлеровій сітці визначають проміжні значення параметрів потоку. ЛАГРАНЖІВ ЕТАП. На цьому етапі обчислюють густини потоків при русі рідини через межі осередків. ЗАКЛЮЧНИЙ ЕТАП. Тут визначаються остаточні значенняпараметрів потоку на основі ЗСМ, ЗСІ, ЗСЕ для кожного осередку. Розглянемо прямокутну сітку, що розбиває розрахункову область на комірки зі сторонами x, y, z. Координати центру осередку (i,j,k) рівні x = (i – 1/2) x, y = (j – 1/2) y, z = (k – 1/2) z. Ейлерів етап. У цьому етапі розрахунку змінюються лише величини, які стосуються осередку загалом, а рідина вважається замороженою. Тому конвективні члени виду div(W), Р Тут величини з дробовими індексами відносяться до кордонів осередків. - Лагранжів етап. На цьому етапі знаходять приt n +t потоки маси через межі осередків. При цьому вважають, що маса великої частки переноситься тільки за рахунок нормальної межі складової швидкості. Так наприклад, З Потоки імпульсу (енергії) дорівнюють добутку M n на відповідні значення швидкості (повної енергії). Такий опис методу великих часток іноді називають методом потоків. Останній етап.На цьому етапі знаходять остаточні поля ейлерових параметрів потоку в момент t n +1 = t n + t. Як вже зазначалося, рівняння цього етапу являють собою закони збереження маси, імпульсу і повної енергії, записані для даної комірки (великої частинки) в різницевій формі: M D n =1 - якщо рідина витікає через межі осередківD n =0 - якщо рідина витікає через межі осередківРозглянутий варіант схеми має перший порядок точності. Коли мова заходить про побудову математичної моделібудь-якого явища, що належить до математики, фізики, соціології, економіки чи іншої галузі знань, постає питання про правильному побудовісистеми диференціальних рівнянь та її розв'язання, виходячи з початкових або граничних умов. Математична фізика (МФ) розвивалася з часів Ньютона, паралельно розвитку фізики та математики. Наприкінці 17 ст. Було відкрито диференціальне та інтегральне обчисленнята сформульовані основні закони класичної механікита закон всесвітнього тяжіння. У 18 в. Методи МФ почали формуватися щодо колебань струн і стрижнів, а як і завдань, що з акустикою і гидродинамикой. У 19 ст. Ідеї МФ набули нового розвитку у зв'язку із завданнями теплопровідності, дифузії, пружності, оптики, електродинаміки. У 20 ст. до МФ включаються завдання квантової фізикиі теорії відносності, а також нові проблеми газової динаміки та перенесення частинок. У цьому рефераті розглянуто рівняння гіперболічного типу - хвильове рівняння. Хвильове рівнянняу математиці - лінійне гіперболічне диференціальне рівнянняу приватних похідних, що задає малі поперечні коливання тонкої мембрани чи струни. До дослідження цього рівняння наводять розгляд процесів поперечних коливаньструни, поздовжніх коливаньстрижня, електричних коливань у дроті, крутильних коливань валу, коливань газу тощо. Наведено формули Даламбера, Пуассона, Кірхгофа та розглянуто вирішення завдання Коші. хвильове рівняння гіперболічний формула У математичної фізикипід струною розуміють гнучку, пружну нитку. Напруги, що виникають у струні в будь-який момент часу, спрямовані по дотичній до її профілю. Нехай струна довжини l в початковий моментспрямована за відрізком осі 0x від 0 до l. Припустимо, кінці струни закріплені в точках x=0 і x=l. Якщо струну відхилити від її первісного становища, а потім надати самій собі або, не відхиляючи струни, надати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і надати її точкам деяку швидкість, то точки струни здійснюватимуть рухи - кажуть, струна почне вагатися . Завдання полягає у визначенні форми струни у будь-який момент часу та визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу. Вивчення методів побудови рішень крайових задач для рівнянь гіперболічного типу ми починаємо з задачі початковими умовамидля необмеженої струни (завдання Коші). u tt - a 2 u XX = 0, - ?<х0
(1) , t> 0 (2) Перетворимо це рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Рівняння характеристик: dx 2 - a 2 dt 2 = 0 розпадається на два рівняння: dx - adt = 0, dx + adt = 0 інтегралами яких є прямі x - at = c 1
, x + at = c 2
. Вводимо, як звичайно, нові змінні: про = x + at, з = x - at. Рівняння коливань струни перетворюємо на вигляд: u про з = 0 (3) Знайдемо загальний інтеграл останнього рівняння. Очевидно, що для будь-якого рішення рівняння (3) u n (о, з) = f *
(з) де f *
(з) - деяка функція лише змінного з.Інтегруючи цю рівність по зпри фіксованому о,отримаємо: u (о, з) = f 1
(про) + f 2
(з) (4) Повертаючись до вихідних змінних ( x,t), отримуємо: u (x,t) = f 1
(x + at) + f 2
(x - at) (5) дана функція є загальним інтегралом рівняння (1) Визначимо функції f 1
і f 2
таким чином, щоб задовольнялися початкові умови. Для цього підставимо загальне рішення у початкові умови (2): Інтегруючи другу рівність, отримаємо: де х 0 та С-постійні. З отриманих рівностей знаходимо: Таким чином, ми визначили функції f 1
і f 2
через задані функції ці ш. Підставляючи в (5) знайдені значення отримаємо: u (x,t) = f 1
(x + at) + f 2
(x - at) Формула (9) називається формулою Даламбер. Вона визначає розв'язання задачі Коші для хвильового рівняння. Розглянемо завдання Коші для неоднорідного рівняння коливань tt =u XX + f (x, t), -?<х0
t>0 -?<х 1) Нехай w f ( x,t,) -вирішення допоміжного завдання Коші. Формула Даламбера (9. Пункт 1) дає: Перепишемо формулу Даламбера (9. Пункт 1) як є рішеннями задачі (2), (3) при = 0
і f = ш(х), f = ц(х)відповідно, оскільки безпосереднє диференціювання показує, що Розглянемо завдання про коливання нескінченної струни. Якщо уявити дуже довгу струну, то ясно, що на коливання, що виникли в її середній частині, кінці струни не матимуть помітного впливу. Так, якщо взяти довгу натягнуту мотузку і злегка хитнути її в середині, то по мотузці вліво і вправо побіжать хвилі. Картина почне спотворюватися лише тоді, коли хвилі дійдуть до кінців мотузки і, відбившись, підуть назад. Отже, не враховуючи впливу кінців струни, ми тим самим не враховуватимемо впливу відбитих хвиль. Таким чином, ми приходимо до завдання про вільні коливання необмеженої струни, яка формулюється так: розв'язати однорідне лінійне диференціальне рівняння гіперболічного типу за початкових умов де функції та задані на всій числовій осі. Жодні інші умови на потрібну функцію не накладаються. Таке завдання називається завданням із початковими умовами, або завданням Коші. Метод її вирішення називається методом Даламбера або методом хвиль, що біжать. Рівняння характеристик Характеристиками є прямі: Ввівши нові змінні, отримаємо канонічний вид рівняння коливань: Інтегруючи це рівняння по , отримаємо: Інтегруючи останнє рівняння по (при фіксованому значенні), матимемо: Отриманий загальний інтеграл запишемо, підставивши і : Враховуючи початкові умови (4.19), отримаємо: Інтегруючи рівняння (4.22), отримаємо: Вирішуючи рівняння (4.23) спільно з рівнянням (4.21) матимемо: Враховуючи, що функції та визначені для будь-якого аргументу, замінюємо xу рівнянні (4.24) на та у рівнянні (4.25) на . Вираз (4.26) називається формулою Даламбера або рішенням Даламбера завдання Коші для рівняння коливань необмеженої струни. Вона показує також існування та єдиність розв'язання цієї задачі. З'ясуємо фізичний зміст одержаного рішення. Розглянемо два окремі випадки. Нехай початкові швидкості точок струни дорівнюють нулю, і струна коливається в результаті початкового відхилення. І тут у формулі (4.26) треба покласти . Тоді Коливання можна розглядати як накладення (суперпозицію) коливань двох хвиль: · Перша хвиля поширюється зі швидкістю aправоруч (пряма хвиля); · Друга хвиля поширюється з тією ж швидкістю вліво (зворотна хвиля). У початковий момент часу t= 0 профілі обох хвиль збігаються та повторюють початкове відхилення струни з половинною амплітудою. Нехай тепер початкове зміщення, а від нуля в проміжку, а поза цим проміжком. У такому разі кажуть, що струна має лише початковий імпульс (хвиля імпульсу). Тоді відповідно до (4.26) рішення має вигляд: Розглянемо функцію Використовуючи вираз (4.29), запишемо рівняння (4.28) у вигляді: Тобто по струні поширюються дві хвилі імпульсу: пряма і зворотна, а результуюча хвиля є сумою (суперпозицією) цих хвиль. Висновок: дія імпульсу полягає в тому, що з часом точки струни зсуваються на відрізок, який визначається інтегралом (4.28) і залишаються в цьому положенні. Хвиля ніби залишає слід після свого проходження. Отримані результати для коливань нескінченної струни не можуть бути використані до реального коливання фізичної струни. Справді, за її висновку були враховано багато чинників. Зокрема, досвід вчить нас, що струна якої завгодно довжини, виведена зі становища рівноваги чи вдарена, коливається. Закони коливання нескінченної струни (4.27) та (4.28) цього не показують, тому що коливання кінцевої струни відбуваються внаслідок відображення відхилень від закріплених кінців струни, а при розгляді нескінченної струни ми не враховуємо впливу кінців. Тому практично рішення рівнянь (4.27) та (4.28) застосовні тільки для таких моментів tдля яких відхилення точок струни не встигли дійти до її кінців. Крім того, початкові функції повинні бути такими, щоб протягом всього процесу було малою величиною, якої можна знехтувати в порівнянні з одиницею. У цій лекції розв'язання задачі Коші для хвильового рівняння Крок 1.Замінимо змінні (x, t)новими змінними (ξ,η)
, в яких хвильове рівняння набуде іншого вигляду: Така заміна виконується за формулами Перевіримо це: Після підстановки цих похідних у хвильове рівняння отримаємо: Що й потрібно було довести. Крок 2Перетворене рівняння легко вирішується двома послідовними інтегруваннями (спочатку змінною η
, а потім по ξ
): Остаточно, загальне рішення U(ξ,η)має вигляд Крок 3Для знаходження загального рішення початкового рівняння підставимо у (25) замість ξ
і η
вирази (24): Крок 4.Визначимо функції C 1і C 2, використовуючи початкові умови (23). Після підстановки першої умови отримаємо Знайдемо похідну функції Uв (26) за змінною tі підставимо другу умову: В результаті матимемо систему рівнянь Якщо проінтегрувати друге рівняння системи (27) xв межах від x oдо х, то отримаємо таку систему: При додаванні цих рівнянь отримаємо Якщо з першого рівняння системи відняти друге рівняння, то матимемо Підставимо тепер отримані функції у загальне рішення (26): Поміняємо місцями межі інтегрування у другому інтегралі, що стоїть у дужках (28). В результаті отримаємо вирішення вихідного завдання Коші Формула (29) називається формулою Даламбер. При дослідженні формули Даламбер виходитимемо з фізичного сенсу хвильового рівняння. Розглянемо рівняння вільних коливань нескінченної струни І початкові умови Таке завдання Коші за допомогою заміни незалежної змінної зводиться до завдання (23): Розв'язання перетвореної задачі має вигляд (див. формулу Даламбера (29): Якщо тепер у цю формулу замість τ
підставити at, то вийде вирішення вихідного завдання Перш ніж перейти до фізичної інтерпретації цієї формули, зробимо таке зауваження. Зауваження.Розглянемо окремо функції C 1 (x-at)і C 2 (x-at), що входять до загального рішення (26) (коефіцієнт ау них виник тому, що нас зараз цікавить загальне рівняння (30)). Почнемо з функції C 1 (x-at)та побудуємо графіки цієї функції при зростаючих значеннях t: t=t o, t=t 1, t=t 2і т.д. (Див. рис. 8). Якщо по черзі проектувати ці малюнки на екран (як у мультфільмах), то вони «втечуть» праворуч. Процес пересування відхилення по струні називається хвилею.При цьому коефіцієнт ає швидкістю поширення хвилі.Справді, припустимо, що паралельно осі хрухається спостерігач зі швидкістю а. Нехай у якийсь момент t oвін був у точці x o. Тоді за проміжок спостерігач зміститься праворуч на величину і опиниться у точці Якщо у точці x oспостерігач бачив відхилення струни на величину, то в момент tвеличина відхилення – буде такий самий! Тобто спостерігач бачитиме форму струни, що не змінюється. Друга функція C 2 (x-at)теж є хвилею, але тільки вона буде поширюватися зі швидкістю аліворуч. Часто функції C 1 (x-at)і C 2 (x-at)називають, відповідно, прямою та зворотною хвилею.Таким чином, загальне рішення U(x,t)(формула (26)) хвильового рівняння є суперпозицією прямої та зворотної хвилі. Тепер дамо інтерпретацію формули Даламбера для двох окремих випадків. ВИПАДК 1. Припустимо, що початкове відхилення відмінно від нуля, а початкова швидкість дорівнює нулю. Це означає, що початкові умови мають вигляд За таких початкових умов виходить вирішення завдання Коші, яке називається хвилею відхилення.Рівняння хвилі відхилення визначається формулою Даламбера Значення Uдорівнює середньому арифметичному значень початкової функції φ
у точках (x o - at o)і (x o + at o). На рис. 9 зображено площину xOtяка називається фазовою площиною. На осі хвказані точки (x o - at o , 0)і (x o + at o , 0), В яких початкові відхилення струни визначають величину відхилення струни в точці x oу момент часу t o. Ці точки є точками перетину прямих x - at = x o - at oі x + at = x o + at oз віссю х. Вказані прямі називаються характеристиками хвильового рівнянняТрикутник з вершиною в точці (х o , t o)та основою, яка виходить при перетині характеристик з віссю х(див. рис. 9), називається характеристичний трикутник. Використовуючи таку інтерпретацію формули Даламбера, зобразимо фазову картину вирішення наступного завдання: Зауваження. Насправді, початкові відхилення струни не можуть бути розривними в точках. х = -1і х = 1адже струна не розривається. Однак ми не надто сильно погрішимо проти істинної картини поширення коливань, якщо вважатимемо їх шматково постійними. Справа в тому, що, по-перше, розглядаються дуже малі коливання струни, і, по-друге, малі зміни початкових значень незначно впливають на вирішення задачі. На малюнку 10 зображено фазову площину x0t. Рішення U(x,t)Завдання відмінно від нуля тільки в заштрихованих областях, причому початкове відхилення поширюється з однаковою швидкістю у двох протилежних напрямках - виникає пряма та зворотна хвилі. Межі цих областей – це показники хвильового рівняння: x - at = -1, x - at = 1, x + at = -1, x+at=1. Якщо розглянути процес коливання деякої фіксованої точки струни x = x o, то неважко помітити, що вона коливається тільки в кінцевий проміжок часу: від моменту до моменту, тобто Розглянемо тепер ВИПАДК 2. Нехай початкове відхилення дорівнює нулю, а початкова швидкість відмінна від нуля. Це означає, що початкові умови мають вигляд У цьому випадку рішення задачі Коші називають хвилею імпульсу.Воно має вигляд (див. формулу Даламбера) На рис. 11 зображена фазова площина x0t. Крапки (x o - at o , 0)і (x o + at o , 0)є точками перетину характеристик x - at = x o - at oі x + at = x o + at oз віссю х. Як приклад наведемо фазову картину розв'язання наступного завдання: Мал. 12 описує процес коливання струни, якій повідомляється початкова поодинока швидкість на відрізку -1 1. В області 1 (як і в області 5) функція При обчисленні інтеграла завжди зручно уявити характеристичний трикутник з вершиною в точці, що лежить у відповідній області (див. рис 12). Тоді значення U(x,t)визначатиметься значеннями початкової функції ψ(x)на основі характеристичного трикутника. 2. В області 2 функція 3. В області 3 функція 4. В області 4 функція 5. В області 6 функція Це рішення у різні моменти часу можна зобразити на площині x0U(Див. рис 13). Тут для простоти покладемо a=1. Графіки функції U(x,t), зображені на рис. 13, задають форму струни у різні моменти часу.
(6) cферич симетр рішення хвильового ур-я. 1-е слогаемое справа опис падаючу хвилю пошир від т.r=0 в ∞ з загасанням 1/r. 2-ге складне опис. Відбиту сферич хвилю рух до т.r=0 зі зростанням амплітуди: 1/r. Побудуємо рішення слід завдання Коші 
будемо шукати обмеж у т.r=0 рішення 
<∞
переходя к вспомогат зад дляuполучим зад Коши для полуогранич. струны
с закреплён концами
,
014. Чисельна схема для хвильового ур-я. Схема-хрест.
: (1) апроксимуємо: 
=
схему явну і неявну поки розглядати будемо справедливо якщо швидкість постійна Еслиc=c(x) то хвильове ур-е буде 
(3) якщо τ=constіh≠const, то 
(4) порядок апроксимації для схеми (2): розкладаємо 
в ряд тейлору на околиці точки 
підставляємо ці розкладання у схему (2) 
схема (2) апроксимує ур-е (1) з точністю 
і 
стійкість та дискретні властивості схеми Хрест.
(1) рішення шукаємо у вигляді плоских хвиль 
=>
отримаємо дисперсійне ур-е для схеми (2) підставляємо рішення у вигляді
,
,
,
після нескладних перетворень
коли 
схема стійка; якщо 
то ωτ=khрассм випадок коли 
, arcsin(z)=π/2+iln(z) 
(z>1)
i = 1, ..., N. (1)тут Δ-оператор Лапласа,D i - коефіцієнт дифузіїi-ї компоненти,F i -нелінійне джерело - функція, що характеризує, наприклад, темп хімічної реакції, локальне зростання біологічних популяцій або швидкість нагрівання речовини в теорії горіння. Стаціонарні, стійкі просторово неоднорідні рішення системи (1) прийнято називати дисипативними структурами
. Вважається, що мовою диссипативних структур можна пояснити такі різноманітні явища, як морфогенез, тобто. диференціація клітин та процес утворення багатоклітинного організму, плямисте забарвлення тварин, кочковата поверхня боліт, виникнення стільникової структури при конвекції. Умови формування та найбільш типові форми дисипативних структур – ось деякі з питань, які перебувають у центрі уваги синергетики.
(1),
(2) Тут передбачається, що блукання як хижаків, і жертв по одномірному ареалу відбуваються випадковим чином і описуються дифузійними доданками (крайні праві доданки). Хижаки харчуються жертвами (±n 1 n 2), тоді як жертви – вегетаріанці. Перший доданок правої частини (1) описує приріст жертв (без хижаків жертви розмножуються). Навпаки, відсутність жертв хижаки вимирають, на що вказує -d(n 2)n 2 в (2).Функція зростанняb(n) і смертіd(n) в екологічних моделях часто апроксимують лінійним або квадратичним способом.
(5)Рівняння (2) з урахуванням (3), (4) допускають стаціонарні просторово однорідні рішення:
(6)
(7)Стани (6), (7) можуть стати нестійкими, якщо рухливість особин різних популяцій різна: D 1 ≠ D 2 . Тоді виникає або новий стійкий стаціонарний, але просторово неоднорідний стан, або не стаціонарний стан до періодичних осциляцій. Описана модель використовують у екології пояснення прояви плямистості розподілу тварин на однорідному ареалі.
- Довжина вільного пробігу 
- характерний час між зіткненнями. Це мікроскопічні параметри. До макроскопічних відносяться: L - просторовий масштаб завдання, T - характерний час вимірювання. Введемо деякий обсяг V, причому вважатимемо, що в ньому знаходиться досить багато частинок. 
- характерний розмір объема.(1) – основна умова застосування моделі суцільного середовищаР/м рух довільної рідкої частинкиV(t). Введемо основні параметри, що характеризують рідку частинку:
- середня об'ємна щільність у цій частинці, 
- Сумарний імпульс рідкої частинки, 
- Середня швидкість руху рідкої частинки, 
- Середня енергія рідкої частинки, 
- внутрішня енергія (внутрішньомолекулярний рух, енергія взаємодії між атомами і молекулами), Якщо 
, то існують функції, що залежать від (r, t): 
,
,
,
(1) – закон збереження маси для моделі суцільного середовища
тому завдання 5-и величин: 3-х компонент швидкості і напр., тиску і щільності повністю визначає стан частинки, що рухається.
Кількість газу, що залишає об'єм Vза одиницю часу, становить величину: 
, де 
- скалярний твір. Таким чином, баланс речовини за проміжок часу t = t 2 -t 1 матиме вигляд:
(1)
- Закон збереження маси в обсязі рівняння безперервності.Або в диференційній формі: 
(2)
Припустимо, що у середовищі діє деяка зовнішня сила з об'ємною щільністюF. Газ, що знаходиться в об'ємі V, має кількість руху: 
2-е УЗД - рівняння руху має вигляд:
(3)
, де P - газокінетичний тиск. (3) - Рівняння руху середовища, на відміну від (1), є векторним. 
(4)
–закон збереження імпульсу, диференціальна форма (3). Щоб отримувати 3-е рівняння, необхідно записати для об'єму закону збереження енергії. Повна енергія газу (внутрішня + кінетична) в обсязі V обчислюється за формулою: 
, де - питома внутрішня енергія газу. Рівняння енергіїу газовій динаміці:
(5)
Тут Q - потужність об'ємних джерел енергії, розподілених у просторі. Наприклад, інтенсивність джоулева нагрівання ел. струмами у провідному газі. 
- описує приплив енергії через поверхнюза рахунок процесів теплопровідності.Закон Фур'є: 
, T– температура,коефіцієнт теплопровідності.
(1)
(2)
,
(3)
,
(4)
(5)
вузлам сітки (s i t j) будемо відносити сіткові ф-ції швидкості v i j і ейлерової змінної x i j, до напівцілих точок (s i +1/2, t j) - сіткові функції тиску, щільності, внутр. енергії та температури. Апроксимуючи УГД (1) - (5), можна отримати наступну різницеву схему:
етод великих частинок.
Метод великих частинок (метод Білоцерківського - Давидова) призначений для розрахунку стисканих і слабостисканих течій суцільного середовища. Під методом великих частинок розуміють сукупність методик розрахунку ур - ній Ейлера, Навье - Стокса, МГД - течій і т. д. Метод великих частинок заснований на поділі вихідної системи ДУ з фізичних процесів. Можна використовувати довільні системи координат (криволінійні, неортогональні та ін). Для наочності ми виконаємо викладки в ДСК. Розглянемо рівняння Ейлера у дивергентному вигляді:
1)
= (1, u, v, w, E), - відповідні ефектам переміщення з рівнянь (1) виключають. З рівняння нерозривності, зокрема, випливає, що поле щільності буде заморожено, тому в рівняннях (1), що залишилися, можна винести під диференціал і дозволити (1) щодо тимчасових похідних від u, v, w, E. Тоді
розглянемо найпростішу К-Р апроксимацію, використовуючи центральні різниці:
проміжні значення параметрів потоку, отримані у припущенні замороженості поля на шарі t n +t. Стійкості цього етапу можна досягти, змінюючи його дисипативні властивості, запроваджуючи елементи методу інтегральних співвідношень.
нак< >означає значення іuна межі осередку. Вибір цих величин має значення, т.к. впливає на стійкість та точність рахунку. Використовуючи формули 1-го порядку точності, враховуючи напрямок потоку, маємо:
n +1 =M n P n +1 =P n PE n +1 =E n Остаточні значення параметрів потоку X=(u,v,w,E) на наступному часовому шарі обчислюють за формуламиВступ
Метод хвиль, що розповсюджуються
Формула Даламбера
Неоднорідне рівняння
розпадається на два:
. (4.23)
, (4.24)
. (4.25)
Підставляючи отримані вирази рівняння (4.20), отримаємо: 
. (4.26)
. (4.27)
. (4.28)
. (4.29)
проведемо методом Даламбер. При цьому процес розіб'ємо на кілька кроків.
де C 1 (?)- довільна функція від η
. Так як C(ξ)- довільна функція, то й 
- Також довільна функція.
де C 1 (?)і C 2 (ξ)- Довільні функції. 
Просторово-часова інтерпретація формули Даламбера
Мал. 8 
тобто рішення Uв деякій точці x oу момент часу t oзалежить від значень початкової функції φ
у двох точках на осі х: у точці (x o - at o)і в точці (x o + at o)(Див. рис. 9).
Мал. 9 
Мал. 10 
В решту часу точка x oперебуває у спокої. Говорять, що в момент t 1через точку x = x oпроходить передній фронт хвилі, а момент t 2- Задній фронт хвилі. Взагалі, фронтом хвиліназивається межа між обуреною (що коливається) і необурена областями середовища (точками струни). Для прямої хвилі рівняння переднього фронту x - at = 1, а заднього фронту x - at = -1. Для зворотної хвилі, відповідно, x + at = -1- Рівняння переднього фронту, а x + at = 1- Заднього фронту.
тобто рішення Uв деякій точці x oу момент часу t oзалежить від початкових швидкостей ψ
у всіх точках відрізка [ x o - at o , x o + at o] (Див. рис 11). Значення Uдорівнює (інтегральному) середньому значенню початкової швидкості на відрізку [ x o - at o , x o + at o], помноженому на проміжок часу t.
Мал. 11 
Мал. 12 
Мал. 13
