Хвилі хвильове рівняння та його розв'язання. Хвильове рівняння та його вирішення

Хвильовий процес може мати найрізноманітнішу природу: у вигляді хвиль поширюються світло та звукове поле, хвильову природумають коливання ймовірності та механічні рухи таких об'єктів, як струна. Електромагнітні хвилі використовуються в побуті (стільниковий зв'язок, радіотехніка, НВЧ-печі), в медицині (рентгенівські апарати), в промисловості та науці ( електромагнітні системиуправління, лазери та навіть гамма-телескопи).

Хвильовий процес відрізняється від коливального тим, що величина, що змінюється, переміщається, «відірвавшись» від свого джерела. Зазвичай при хвильовому русі переноситься тільки енергія, проте в окремих випадках (випромінювання газу у вакуум, процеси горіння) має місце та перенесення маси.

Хвильове диференціальне рівняння

Описувати хвилі складно: для них не завжди можна виділити навіть загальні властивості. Рух хвилі описується за допомогою хвильового диференціального рівняння:

У цьому рівнянні u – величина, яка змінюється, v – швидкість хвилі, x, y, z та t – просторова та тимчасова координата.Рішення хвильового рівняння

Вирішення цього рівняння може бути дуже складним. Тому практично часто використовують його приватне рішення – рівняння плоскої хвилі. Це хвиля з фронтом у вигляді нескінченної площини, що рухається перпендикулярно до свого фронту.

У природі плоских хвиль немає, проте цю модель зручно використовуватиме розрахунків. А випромінювання лазера чи дзеркальної антени з достатньою точністю вважатимуться плоским.

Рівняння плоскої хвилі гармонійне і виглядає так:

Тут А – величина, що змінюється, А 0 – її амплітуда, – початкова фазаколивань. Хвильове число k можна розрахувати, знаючи довжину хвилі:

Циклічна частота пов'язана зі швидкістю фронту:

А швидкість фронту хвилі, у свою чергу, пов'язана із частотою:

Щоб математично описати поширення звуку, роботу антени або лампи розжарювання, зручно використовувати рівняння сферичної хвилі:

Тут r - радіус ( симетрична координата), а - амплітуда сферичної хвилі.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Диференціюючи цю функціюχ по t, отримуємо значення -v, помножене на похідну, абоd χ / dt = - vf`( x - vt); друга похідна за часом дає

Очевидно, що f (х - vt) задовольняє хвильовому рівнянню, якщоv одно cs.
Таким чином, із законів механіки ми отримуємо, що будь-яке звукове обурення поширюється зі швидкістюcs і крім того,

тим самим ми пов'язали швидкість звукових хвиль із властивостями середовища.

Легко побачити, що звукова хвиля може поширюватися і в напрямку негативнихх,тобто звукове обурення видуχ(х,t)=g(x+vt) також задовольняє хвильове рівняння. Єдина відмінність цієї хвилі від тієї, яка поширювалася зліва направо, полягає у знакуv,але знак d 2 χ / dt 2не залежить від виборуx+vtабо х- vt,тому що в цю похідну входить тількиv 2 .Звідси випливає, що рішення рівняння описує хвилі, що біжать у будь-якому напрямку зі швидкістюcs.


Особливий інтересподає питання про суперпозицію рішень. Припустимо, ми знайшли одне рішення, скажімоχ 1 . Це означає, що друга похіднаχ 1 . по хдорівнює другий похіднийχ 1 по t,помноженої на 1/с 2 s . І нехай є друге рішенняχ 2 що володіє тією ж властивістю. Складемо ці два рішення, тоді виходить

Тепер ми хочемо переконатися, щоχ(х,t)теж уявляє якусь хвилю, тобто.χ теж задовольняє хвильове рівняння. Це дуже просто довести, оскільки

Звідси слідує щоd 2 χ/dx 2 = (1/c 2 s)d 2χ ldt 2 ,отже, справедливість принципу суперпозиції перевірена. Саме існування принципу суперпозиції пов'язане з тим, що хвильове рівняннялінійнопо χ .


Тепер природно було б очікувати, що плоска світлова хвиля, що розповсюджується вздовж осіхі поляризована так, що електричне поле спрямоване по осіу, теж задовольняє хвильове рівняння

де з- швидкість світла. Хвильове рівняннядля світлової хвилі є один із наслідків рівнянь Максвелла. Рівняння електродинаміки призводять до хвильового рівняння для світла так само, як рівняння механіки призводять до хвильового рівняння для звуку.

Поздовжні хвилі можуть поширюватися як на твердих тілах, так і в рідинах чи газах. приклад поздовжніх хвиль - звукові хвиліу рідинах та газах. Вони є коливанням тиску, що поширюються в цих середовищах.

Хвильовий процес. Концепція хвильового фронту.

МЕХАНІЧНІ ХВИЛИ У ПРУЖНОМУ СЕРЕДОВИЩІ

ЛЕКЦІЯ 9

Тіло, що вагається в пружному середовищіперіодично впливає на прилеглі до нього частинки середовища, виводячи їх з положень рівноваги і змушуючи здійснювати вимушені коливання, що обурюють частки середовища. .

Механічні обурення (деформації), що поширюються в пружному середовищі, називаються пружними хвилями.

Геометричне місце точок середовища, в яких фаза коливань частинок однакова, називається хвильовим фронтомабо хвильовою поверхнею. Наприклад, існують сферичні хвилі, що походять від точкового джерела коливань, хвильова поверхня яких є сферою.

Пружна хвиля називається поздовжній, Якщо коливання частинок середовища відбуваються у напрямі поширення хвилі. Якщо ж частинки середовища коливаються в площинах, перпендикулярних до напряму поширення хвилі, то така хвиля називається поперечної .

Поперечні хвилі можуть виникати тільки в такому середовищі, яке має пружність форми, тобто здатна чинити опір деформації зсуву. Тому поперечні хвилі можуть існувати лише у твердих тілах.Такі, наприклад, хвилі, що розповсюджуються вздовж струн музичних інструментів.

На відміну від інших видів механічного рухусередовища (наприклад, її течії) пружних хвильу середовищі не пов'язані з перенесенням речовини.

Частинки, віддалені одна від одної на відстані u T(u - швидкість поширення, T- Період коливань), коливаються в однаковій фазі. Відстань між найближчими частинками, що коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі l.

l = u Tабо u =λν,

де n - Частота коливань.

Розглянемо поширення поздовжньої хвилі в тонкому пружному стрижні, яка створюється джерелом коливань, розташованому в певній точці простору ( x= 0). Виділимо об'єм стрижня завдовжки Δ x(Рис.9.1). . Під дією пружних сил, що виникають у точках xі x +Δ x,аналізований обсяг відчуватиме деформації розтягування і стиснення.

Нехай s -пружне усунення меж виділеного обсягу від положень рівноваги. Застосування до цього обсягу закону руху центру мас призводить до диференціального рівняння

де t-час, ρ -щільність матеріалу стрижня, E- Модуль Юнга.

Рівняння (9.1) називається диференціальним хвильовим рівнянням,яке записано в одновимірному вигляді.

Рішення рівняння (9.1) для хвилі, що розповсюджується в напрямку осі x, має вигляд:

, (9.2)

де A– амплітуда коливань частинок середовища (амплітуда хвилі); w – циклічна частота коливань джерела, яка дорівнює частоті коливань частинок середовища, спричинених хвилею.

Можна показати, що дане рівняннямає загальний характер,. У тривимірному вигляді хвильове рівняннямає наступний вигляд:

, (9.3)

де Ñ 2 ‑ оператор Лапласа:

.

Рішенням цього рівняння є усунення sчастинок середовища від положень рівноваги, як функція координат та часу. s = s(x,y,z, t).

Визначимо значення величини u в рівняннях (9.2) і (9.3), що має розмірність швидкості. Зафіксуємо якесь значення фази, у рівнянні (9.2), поклавши

. (9.4)

Вираз (9.4) визначає поширення хвильового фронту. Продиференціювавши (9.4), отримаємо

Швидкість поширення хвилі u у наведених вище рівняннях є швидкість переміщення фази, тому цю швидкість називають фазовою швидкістю.

З рівняння (9.1) випливає

.

Т. е. Фазова швидкість поздовжніх хвиль у твердих тілах залежить від модуля Юнга Eта щільності середовища r.

Можна показати, що швидкість поперечних хвильвизначається модулем зсуву:

Швидкість хвиль у ідеальному газідля адіабатичного процесу поширення залежить від абсолютної температури:

,

де γ – показник адіабати (відношення ізобарної та ізохорної теплоємностейгазу, γ= з p/с V), R- Універсальна газова постійна, T - абсолютна температура, μ – молярна масагазу.

Функція (9.2) визначає плоску хвилю, оскільки хвильовий фронт є площиною.

Рівняння плоскої хвилі можна подати у симетричному вигляді щодо tі х. Для цього вводиться поняття хвильового числа k:

Використовуючи (9.7), отримаємо вираз для швидкості u:

Тоді рівняння хвилі описується співвідношенням

s = A cos(w t – kx). (9.8)

Якщо хвилю розглядати з відривом значно більшому, ніж розміри джерела, то джерело вважатимуться точковим. В цьому випадку в ізотропному середовищі хвиля буде сферичній. Таку хвилю описує рішення диференціального рівняння (9.3), подане в сферичних координатах. Рівняння сферичної хвилі має вигляд:

. (9.9)

З (9.9) видно, що амплітуда сферичної хвилі змінюється обернено пропорційно відстані від хвильового фронту до джерела.

Залежність амплітуди хвилі від відстані обумовлена ​​тим, що в міру видалення фронту хвилі від джерела за рівні проміжки часу коливальний рухзалучаються все зростаючі обсяги середовища.

Визначення 1

Якщо хвиля поширюється на однорідному середовищі, то її рух у загальному випадкуописують хвильовим рівнянням (диференціальним рівнянняму приватних похідних):

\[\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial x ^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial y^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial z^2)\ right)\left(1\right)\]

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)\left(2\right), \]

де $v$ -- фазова швидкість хвилі $\triangle =\frac((\partial )^2)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2)(\partial y^2)+\ frac((\partial )^2)(\partial z^2)$ -- оператор Лапласа. Рішенням рівняння (1,2) служить рівняння будь-якої хвилі, дані рівняння задовольняють, наприклад, плоска і сферична хвилі.

Якщо плоска хвиля поширюється вздовж осі $X$, то рівняння (1) представляється як:

Примітка 1

Якщо фізична величинапоширюється як хвиля, вона обов'язково задовольняє хвильовому рівнянню. Справедливо зворотне затвердження: якщо яка - чи величина підпорядковується хвильовому рівнянню, вона поширюється як хвиля. Швидкість поширення хвилі дорівнюватиме квадратного кореняз коефіцієнта, що стоїть за сумою просторових похідних (у цьому вигляді записи).

Хвильове рівняння грає дуже велику рольу фізиці.

Рішення хвильового рівняння для плоскої хвилі

Запишемо загальне рішеннярівняння (2), для світлової хвилі, що поширюється у вакуумі у разі, якщо s скалярна функція залежить тільки від однієї з декартових змінних, наприклад $z$, тобто $s=s(z,t)$, що означає, функція $ s$ має постійне значенняу точках площини, яка перпендикулярна до осі Z$. Хвильове рівняння (1) у цьому випадку набуде вигляду:

де швидкість поширення світла у вакуумі дорівнює $c$.

Загальним рішенням рівняння (4) при заданих умовбуде вираз:

де $s_1\left(z+ct\right)$- функція описує хвилю довільної форми, яка переміщується зі швидкістю $c$ в негативному напрямку по відношенню до напрямку $осі Z$, $s_2\left(z-ct\right) $ - функція описує хвилю довільної форми, що переміщається зі швидкістю $c$ у позитивному напрямі стосовно напряму $осі Z$. Слід зазначити, що у процесі руху значення $s_1$ і $s_2$ у будь-якій точці хвилі та її форма хвилі незмінні.

Виходить, що хвиля, яку описує суперпозиція двох хвиль (відповідно до формули (5)). Причому ці складові хвилі рухаються в протилежних напрямках. У цьому випадку вже не можна говорити про швидкість або напрямок хвилі. В самому простому випадкувиходить стояча хвиля. У випадку необхідно розглядати складне електромагнітне поле.

Хвильове рівняння та система рівнянь Максвелла

Хвильові рівняння для коливань векторів напруженості електричного поляі вектор магнітної індукції магнітного полялегко отримати з системи рівнянь Максвелла в диференційної форми. Запишемо систему рівнянь Максвелла для речовини, в якій немає вільних зарядівта струмів провідності:

Застосуємо операцію $rot$ до рівняння (7):

У виразі (10) можна змінити порядок диференціювання у правій частині виразу, оскільки просторові координати та час - незалежні змінні, отже, маємо:

Візьмемо до уваги те, що рівняння (6), замінимо $rot\overrightarrow(B)$ у виразі (11) на праву частинуформули (6), маємо:

Знаючи, що $rotrot\overrightarrow(E)=graddiv\overrightarrow(E)-(\nabla )^2\overrightarrow(E)$, і використовуючи $div\overrightarrow(E)=0$, отримуємо:

Аналогічно можна отримати хвильове рівняння для вектор магнітної індукції. Воно має вигляд:

У виразах (13) і (14) фазова швидкість поширення хвилі $(v)$ дорівнює:

Приклад 1

Завдання:Отримайте загальне рішення хвильового рівняння $\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2 ) = 0 (1.1) $ плоскої світлової хвилі.

Рішення:

Введемо незалежні змінні видидля функції $s$:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\left(1.2\right).\]

У такому разі приватна похідна $\frac(\partial s)(\partial z)$ дорівнює:

\[\frac(\partial s)(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial z)+\frac(\partial s)( \partial \eta )\frac(\partial \eta )(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta )\left(1.3 \right).\]

Приватна похідна $\frac(\partial s)(\partial t)$ дорівнює:

\[\frac(\partial s)(\partial t)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial t)+\frac(\partial s)( \partial \eta)\frac(\partial \eta)(\partial t)=-c\frac(\partial s)(\partial \xi)+c\frac(\partial s)(\partial \eta)\ to \frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=-\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta) \left(1.4\right).\]

Віднімемо почленно вираз (1.4) з виразу (1.3), маємо:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \xi) \left(1.5\right).\]

Почленное складання виразів (1.4) і (1.3) дає:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \eta ) \left(1.6\right).\]

Знайдемо добуток лівих частин виразів (1.5) та (1.6) та врахуємо результати, записані у правих частинах цих виразів:

\[\left(\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)\left(\frac(\partial s) )(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)=\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\ frac(1)(с^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=4\frac(\partial )(\partial \xi )\frac(\partial s)(\partial \eta )=0\left(1.7\right).

Якщо проінтегрувати вираз (1.7) по $\xi $, то отримаємо функцію, яка не залежить від цієї змінної, і може залежати тільки від $eta $, що означає, що вона є довільною функцією $ Psi (eta) $. У цьому випадку рівняння (1.7) набуде вигляду:

\[\frac(\partial s)(\partial \eta )=\Psi \left(\eta \right)\left(1.8\right).\]

Проведемо інтегрування (1.8) по $\eta $ маємо:

де $s_1 \ left (з \ right) $ - первісна, $ s_2 \ left (\xi \ right) $ - Постійна інтегрування. Причому функції $s_1$ і $s_2$ - довільні. Враховуючи вирази (1.2), загальне рішення рівняння (1.1) можна записати як:

Відповідь:$s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$

Приклад 2

Завдання:Визначте із хвильового рівняння, чому дорівнює фазова швидкість поширення плоскої світлової хвилі.

Рішення:

Порівнюючи хвильове рівняння, наприклад, для вектора напруженості, отримане з рівнянь Максвелла:

\[(\nabla )^2\overrightarrow(E)-\varepsilon (\varepsilon )_0\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2\overrightarrow(E))(\partial t^2) = 0 (2.1) \]

з хвильовим рівнянням:

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)(2.2)\]

дозволяє зробити висновок про те, що швидкість поширення хвилі $(v)$ дорівнює:

Але тут слід зазначити, що поняття швидкості електромагнітної хвилімає певний сенстільки з хвилями простої конфігурації, під такі хвилі підходить, наприклад, категорія плоских хвиль. Так $v$ не буде швидкістю поширення хвилі у разі похідного розв'язання хвильового рівняння, до складу яких входять, наприклад, стоячі хвилі.

Відповідь:$v=\frac(с)(\sqrt(\mu \varepsilon )).$