Фіхтенгольц лави. Фіхтенгольц Г.М

Г.М.Фіхтенгольц
КУРС ДИФЕРЕНЦІЙНОГО ТА ІНТЕГРАЛЬНОГО ЗЛІЧЕННЯ
ТІМ 1
Зміст
ВСТУП
РЕЧОВИНІ ЧИСЛА
§ 1. Область раціональних чисел 11 1. Попередні зауваження 11 2. Упорядкування області раціональних чисел 12 3. Додавання та віднімання раціональних чисел 12 4. Множення та поділ раціональних чисел 14 5. Аксіома Архімеда 16
§ 2. Введення ірраціональних чисел. Упорядкування області дійсних чисел
17 6. Визначення ірраціонального числа 17 7. Упорядкування області дійсних чисел 19 8. Допоміжні пропозиції 21 9. Подання речового числа нескінченної десятковим дробом 22 10. Безперервність області дійсних чисел 24 11. Кордони числових множин 25
§ 3. Арифметичні діїнад речовими числами 28 12. Визначення суми дійсних чисел 28 13. Властивості додавання 29 14. Визначення добутку речових чисел 31 15. Властивості множення 32 16. Висновок 34 17. Абсолютні величини 34
§ 4. Подальші властивості та додатки речових чисел 35 18. Існування кореня. Ступінь з раціональним показником 35 19. Ступінь з будь-яким речовим показником 37 20. Логарифми 39 21. Вимірювання відрізків 40
ГЛАВА ПЕРША. ТЕОРІЯ МЕЖ
§ 1. Варіанта та її межа 43 22. Змінна величина, варіанти 43 23. Межа варіанти 46

24. Нескінченно малі величини 47 25. Приклади 48 26. Деякі теореми про варіант , що має межу 52 27. Нескінченно великі величини 54
§ 2. Теореми про межі, що полегшують знаходження меж 56 28. Граничний перехіду рівності та нерівності 56 29. Леми про нескінченно малі 57 30. Арифметичні операції над змінними 58 31. Невизначені вирази 60 32. Приклади на знаходження меж 62 33. Теорема Штольца та її застосування 67
§ 3. Монотонна варіанта 70 34. Межа монотонної варіанти 70 35. Приклади 72 36. Число е 77 37. Наближене обчислення числа е 79 38. Лемма про вкладені проміжки 82
§ 4. Принцип збіжності. Часткові межі 83 39. Принцип збіжності 83 40. Часткові послідовності та часткові межі 85 41. Лемма Больцано-Вейєрштраса 87 42. Найбільша та найменша межі 89
РОЗДІЛ ДРУГИЙ. ФУНКЦІЇ ОДНІЙ ЗМІННОЇ
§ 1. Поняття функції 93 43. Змінна та область її зміни 93 44. Функціональна залежністьміж змінними. Приклади 94 45. Визначення поняття функції 95 46. Аналітичний спосібзавдання функції 98 47. Графік функції 100 48. Найважливіші класи функцій 102 49. Поняття зворотної функції 108 50. Зворотні тригонометричні функції 110 51. Суперпозиція функцій. Заключні зауваження 114
§ 2. Межа функції 115 52. Визначення межі функції 115

53. Відомості про варіанти 117 54. Приклади 120 55. Поширення теорії меж 128 56. Приклади 130 57. Межа монотонної функції 133 58. Загальна ознакаБольцано-Коші 134 59. Найбільша та найменша межі функції 135
§ 3. Класифікація нескінченно малих і нескінченно великих величин 136 60. Порівняння нескінченно малих 136 61. Шкала нескінченно малих 137 62. Еквівалентні нескінченно малі 139 63. Виділення головної частини 141 45 64. Задачі
§ 4. Безперервність (і розриви) функцій 146 66. Визначення безперервності функції у точці 146 67. Арифметичні операції над безперервними функціями 148 68. Приклади безперервних функцій 148 69. Одностороння безперервність. Класифікація розривів 150 70. Приклади розривних функцій 151 71. Безперервність та розриви монотонної функції 154 72. Безперервність елементарних функцій 155 73. Суперпозиція безперервних функцій 156 74. Вирішення одного функціонального рівняння 157 75. Функціональна характеристика показової, логарифмічної та статечної функцій
158 76. Функціональна характеристика тригонометричного та гіперболічного косінусів
160 77. Використання безперервності функцій для обчислення меж 162 78. Ступінно-показові вирази 165 79. Приклади 166
§ 5. Властивості безперервних функцій 168 80. Теорема про обертання функції на нуль 168 81. Застосування до розв'язання рівнянь 170 82. Теорема про проміжне значення 171

83. Існування зворотної функції 172 84. Теорема про обмеженість функції 174 85. Найбільше та найменше значенняфункції 175 86. Поняття рівномірної безперервності 178 87. Теорема Кантора 179 88. Лемма Бореля 180 89. Нові докази основних теорем 182
Розділ третій. ВИРОБНИЧІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ
§ 1. Похідна та її обчислення 186 90. Завдання про обчислення швидкості рухомої точки 186 91. Завдання про проведення дотичної до кривої 187 92. Визначення похідної 189 93. Приклади обчислення похідних 193 94. Похідна зворотної функції 9 . 96. Формула для збільшення функції 198 97. Найпростіші правила обчислення похідних 199 98. Похідна складної функції 202 99. Приклади 203 100. Односторонні похідні 209 101. Нескінченні похідні 209 102. особливих випадків 211
§ 2. Диференціал 211 103. Визначення диференціала 211 104. Зв'язок між диференційованістю та існуванням похідної
213 105. Основні формули та правила диференціювання 215 106. Інваріантність форми диференціала 216 107. Диференціали як джерело наближених формул 218 108. Застосування диференціалів при оцінці похибок 220
§ 3. Основні теореми диференціального обчислення 223 109. Теорема Ферма 223 110. Теорема Дарбу 224 111. Теорема Роля 225 112. Формула Лагранжа 226

113. Межа похідної 228 114. Формула Коші 229
§ 4. Похідні та диференціали вищих порядків 231115. Визначення похідних вищих порядків 231116. Загальні формулидля похідних будь-якого порядку 232 117. Формула Лейбниця 236 118. Приклади 238 119. Диференціали вищих порядків 241 120. Порушення інваріантності форми для диференціалів вищих порядків
242 121. Параметричне диференціювання 243 122. Кінцеві різниці 244
§ 5. Формула Тейлора 246123. Формула Тейлора для многочлена 246124. Розкладання довільної функції; додатковий член у формі
Пеано
248 125. Приклади 251 126. Інші форми додаткового члена 254 127. Наближені формули 257
§ 6. Інтерполювання 263 128. Найпростіше завданняінтерполювання. Формула Лагранжа 263 129. Додатковий член формули Лагранжа 264 130. Інтерполяція з кратними вузлами. Формула Ерміта 265
РОЗДІЛ ЧЕТВЕРТИЙ. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ З ДОПОМОГЮ
ВИРОБНИЧИХ
§ 1. Вивчення ходу зміни функції 268 131. Умова сталості функції 268 132. Умова монотонності функції 270 133. Доказ нерівностей 273 134. Максимуми та мінімуми; необхідні умови 276 135. Достатні умови. Перше правило 278136. Приклади 280137. Друге правило 284138. Використання вищих похідних 286139. Розшук найбільших і найменших значень 288

140. Завдання 290
§ 2. Випуклі (і увігнуті) функції 294 141. Визначення опуклої (увігнутої) функції 294 142. Найпростіші речення про опуклих функціях 296 143. Умови опуклості функції 298 144. Нерівність Єнсену та його застосування 301 145. Точки перегину 303
§ 3. Побудова графіків функцій 305 146. Постановка задачі 305 147. Схема побудови графіка. Приклади 306 148. Нескінченні розриви, нескінченний проміжок. Асимптоти 308 149. Приклади 311
§ 4. Розкриття невизначеностей 314 150. Невизначеність виду 0/0 314 151. Невизначеність виду
∞
∞ /
320 152. Інші види невизначеностей 322
§ 5. Наближене рішення рівняння 324153. Вступні зауваження 324 154. Правило пропорційних частин (метод хорд) 325 155. Правило Ньютона (метод дотичних) 328 156. Приклади та вправи 331 157. Комбінований метод 335 158. Приклади та вправи 33
РОЗДІЛ П'ЯТИЙ. ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ
§ 1. Основні поняття 340 159. Функціональна залежність між змінними. Приклади 340 160. Функції двох змінних та області їх визначення 341 161. Арифметичний n-вимірний простір 345 162. Приклади областей у n- мірному просторі 348 163. Загальне визначеннявідкритої та замкнутої області 350 164. Функції n змінних 352 165. Межа функції кількох змінних 354 166. Відомості про варіанти 356 167. Приклади 358 168. Повторні межі 360

§ 2. Безперервні функції 362 169. Безперервність та розриви функцій кількох змінних 362 170. Операції над безперервними функціями 364 171. Функції, безперервні в області. Теореми Больцано-Коші 365 172. Лемма Больцано-Вейєрштрасса 367 173. Теореми Вейєрштрасса 369 174. Рівномірна безперервність 370 175. Лемма Бореля 372 176. Нові доказатель 6 декількох змінних 373 177. Приватні похідні та приватні диференціали 375 178. Повне збільшення функції 378 179. Повний диференціал 381 180. Геометрична інтерпретаціядля випадку функції двох змінних
383 181. Похідні від складних функцій 386 182. Приклади 388 183. Формула кінцевих прирощень 390 184. Похідна за заданим напрямком 391 185. Інваріантність форми (першого) диференціала 394 186. Застосування повного диференціала в наближених 98 8. Ейлера 400
§ 4. Похідні у диференціали вищих порядків 402 189. Похідні вищих порядків 402 190. Теорема про змішані похідні 404 191. Узагальнення 407 192. Похідні вищих порядків від складної функції 408 194. Дифференци 1 их функцій 413 195. Формула Тейлора 414
§ 5. Екстремуми, найбільші та найменші значення 417 196. Екстремуми функції кількох змінних. Необхідні умови
417 197. Достатні умови (випадок функції двох змінних) 419

198. Достатні умови (загальний випадок) 422 199. Умови відсутності екстремуму 425 200. Найбільше та найменше значення функцій. Приклади 427 201. Завдання 431
РОЗДІЛ ШОСТИЙ. ФУНКЦІОНАЛЬНІ ВИЗНАЧНИКИ; ЇХ
ДОДАТКИ
§ 1. Формальні властивості функціональних визначників 441 202. Визначення функціональних визначників (якобіанів) 441 203. Множення якобіанів 442 204. Множення функціональних матриць (матриць Якобі) 444
§ 2. Неявні функції 447 205. Поняття неявної функції від однієї змінної 447 206. Існування неявної функції 449 207. Диференційність неявної функції 451 208. Неявні функції від декількох змінних 453 209. Обчислення 4 похідних 3
§ 3. Деякі додатки теорії неявних функції 467 211. Відносні екстремуми 467 212. Метод невизначених множників Лагранжа 470 213. Достатні для відносного екстремуму умови 472 214. Приклади та завдання 473 215. Поняття незалежності функцій 4
§ 4. Заміна змінних 483 217. Функції однієї змінної 483 218. Приклади 485 219. Функції кількох змінних. Заміна незалежних змінних
488 220. Метод обчислення диференціалів 489 221. Загальний випадок заміни змінних 491 222. Приклади 493
РОЗДІЛ СЬОМИЙ. ДОДАТКИ ДИФЕРЕНЦІЙНОГО
ЗЛІЧЕННЯ ДО ГЕОМЕТРІЇ
§ 1. Аналітичний представник кривих і поверхонь 503

223. Криві на площині (в прямокутних координатах) 503 224. Приклади 505 225. Криві механічного походження 508 226. Криві на площині (в полярних координатах). Приклади 511 227. Поверхні та криві у просторі 516 228. Параметричне уявлення 518 229. Приклади 520
§ 2. Дотична і дотична площина 523 230. Дотична до плоскої кривої у прямокутних координатах 523 231. Приклади 525 232. Дотична в полярних координатах 528 233. Приклади 529 234. Дотична до просторово Дотична площина до поверхні
530 235. Приклади 534 236. Особливі точки плоских кривих 535 237. Випадок параметричного завдання кривої 540
§ 3. Торкання кривих між собою 542 238. Огинаюча сімейства кривих 542 239. Приклади 545 240. Характеристичні точки 549 241. Порядок торкання двох кривих 551 242. Випадок неявного завданняоднієї з кривих 553 243. Дотикається крива 554 244. Інший підхід до кривих, що стикаються 556
§ 4. Довжина кривої 557 245. Леми 557 246. Напрямок на кривій 558 247. Довжина кривої. Адитивність довжини дуги 560 248. Достатні умови спрямовування. Диференціал дуги 562249. Дуга в ролі параметра. Позитивний напрямок дотичної 565
§ 5. Кривизна плоскої кривої 568 250. Поняття кривизни 568 251. Коло кривизни та радіус кривизни 571 252. Приклади 573

253. Координати центру кривизни 577 254. Визначення еволюти та евольвенти; пошук еволюти 578 255. Властивості еволют та евольвент 581 256. Розшук еволювент 585
ДОДАТК. ЗАДАЧА ПОШИРЕННЯ ФУНКЦІЙ
257. Випадок функції однієї змінної 587258. Постановка задачі для двовимірного випадку 588259. Допоміжні пропозиції 590260. Основна теорема про поширення 594261. Узагальнення 595262. Заключні зауваження 597
алфавітний покажчик 600
алфавітний покажчик
Абсолютна величина 14, 31, 34
Абсолютний екстремум 469
Алгебраїчна функція 448
Аналітичний спосіб завдання функції 97, 98
Аналітичний вираз функції
98
- Подання кривих 503, 517
- - поверхонь 517
Аномалія (ексцентрична) планети
174
Аргумент функції 95, 341
Арифметичне значення кореня
(радикала) 36, 103
- простір 345
Арксинус, арккосинус і т. д. 110
Архімед 64
Архімеда аксіома 16, 34
Архімедова спіраль 512, 529
Асимптота 309
Асимптотична точка 513, 514
Астроіда 506, 511, 526, 546, 573, 583
Барометрична формула 95
Бернуллі, Іоанн 206, 314
- Яків 38
- лемніскату 515, 530, 575, 577
Нескінченний десятковий дріб 22
- похідна 209
Нескінченно велика величина 54,
117
- - - Класифікація 145
- - - порядок 145
- мала величина 47, 117
- - - вищого порядку[позначення
O(
α)] 136, 137
- - - Класифікація 136
- - - леми 57
- - - порядок 137
- - - еквівалентність 139
Нескінченність
,
−∞
+∞
26, 55
Нескінченний проміжок 94, 308
- Розрив 309
Бойля-Маріотта закон 94
Больцано 84
Больцано метод 88
Больцано-Вейєрштраса лема 87,
367
Больцано-Коші теореми 1-а та 2-я
168, 171, 182, 366
- - Умова 84, 134
Бореля лема 181, 372
Варіанту 44, 344
- зростаюча (неубутня) 70
- що має межу 52
- як функція значка 96

Монотонна 70
- обмежена 53
- спадна (незростаюча) 70
Вейєрштрасса-Больцано лема 87,
367
- теореми 1-а та 2-а 175, 176, 183,
369, 370, 373
Вертикальна асимптота 309
Верхня межачислової множини 26
- - - - точна 26
Речові числа 19
- - віднімання 31
- - розподіл 34
- - десяткове наближення 22
- - безперервність області 24
- - щільність (посилена) області 21
- - рівність 19
- - додавання 28
- - множення 31
- - упорядкування області 19
Вівіані крива 521, 535
Гвинтова лінія 521, 534
- Поверхня 523, 535
Вкладені проміжки, лема 83
Внутрішня точкамножини 350
Увігнуті (опуклі вгору) функції або криві 295
- - - - умови увігнутості 298
Повернення точка 539, 541
Зростаюча варіанта 70
- функція 133
Поворот поверхня 522
Опуклі (опуклі вниз) функції або криві 294
- - - - умови опуклості 298
- строго функції або криві 298
Вищого порядку нескінченно малі
[позначення o(
α)] 136, 137
- - диференціали 241
- - - функції кількох змінних
410
- - похідні 231, 232
245
- - - приватні 402
Гармонічне коливання 208
Гаус 74, 439
Гельдера-Коші нерівність 275,
302
Географічні координати 522
Геометричне тлумачення диференціала 214
- - повного диференціалу 386
- - похідний 190
Гіпербола 506, 575, 580
- рівнобочна 102, 103
Гіперболічна спіраль 529
Гіперболічний синус, косинус і т. д. 107
- функції, безперервність 149
- - зворотні 108-109
- - похідні 205
Гіпоциклоїда 509
Головна гілка (головне значення) арксинусу, арккосинусу і т.д.
110, 114
- Частина ( головний член) нескінченно малої 141
Гладка крива 594
Горизонтальна асимптота 309
Градієнт функції 394
Кордон області 351
- числової множини (верхня, нижня) 25-28
- - - точна 26
Графік функції 100
- - Побудова 305
- - Просторовий 343
Гюйгенса формула 260
Дарбу теорема 224
Рухи рівняння 187
Подвійна точка кривої 538
Подвійна межа функції 360
Двох змінних функція 341
Дедекінд 17
Дедекінда основна теорема 25

Справжні числа, Див.
Речові числа
Декартів лист 507, 538
Десятичне наближення речового числа 22
Десяткові логарифми 79
Діаметр точкової множини 371
Діріхле функція 99, 102, 153
Дискримінантна крива 545, 550
Диференціал 211, 215
- порядку, 1-го, 2-го, n-го 241
- геометричне тлумачення 214
- Дуги 562, 567
- інваріантність форми 216
- Повний 382
- - порядку, 1-го, 2-го, n-го 410
- - геометричне тлумачення 386
- - Інваріантність форми 394
- - метод обчислення (при заміні змінних) 489
- Застосування до наближених обчислень 218, 220, 396
- Приватний 378, 411
Диференціювання 215
- параметричне 243
- правила 215, 395
Диференційована функція 212, 382
Диференційність неявної функції 451
Довжина відрізків 40
- Плоска крива 560
- - - адитивність 560
- Просторова крива 567
Додатковий член формули
Тейлора 249, 257, 415
- - - Лагранжа 263
- - - Ерміта 266
Дробова раціональна функція 103
- - - безперервність 148
- - - Кілька змінних 353
e(число) 78, 148
- ірраціональність 82
- наближене обчислення 81
Одиниця 14, 32
Залежні функції 478
Заміна змінних 483
Замкнута область 351
- сфера 351
Замкнене безліч 351
Замкнений паралелепіпед 351
Замкнений проміжок 93
- симплекс 351
Загострення точка 539
Загасне коливання 208, 282
Знаків правило (при множенні) 16
32
Єнсен 295
Єнсена нерівність 301
Вимірювання відрізків 40
Ізольована точкакривий 536, 539
Інваріантність форми диференціала 216, 394
Інтерполювання 263
Інтерполування вузли 263
- - кратні 266
Інтерполяційна формула
Лагранжа 263
- - Ерміта 266
Ірраціональні числа 19
Кантора теорема 179, 184, 370, 374
Кардіоїда 510, 515, 530
Торкання кривих 542
- - порядок 551
Стосовна 188, 210, 386, 523, 530,
533, 555
- одностороння 209
- Відрізок 524
- - полярний 528
- площина 384, 532
- Позитивний напрямок 567
Стосовне перетворення 485,
487, 493, 500
Дотичний метод (наближеного розв'язання рівнянь) 328
Кассіні овал 515
Квадратична форма 423

Найбільше та найменше значення 476
- - невизначена 425
- - визначена 423
- - напіввизначена 427
Кеплера рівняння 174
Клапейрон формула 340, 377
Клас гладкої кривої 594
Класифікація нескінченно великих
145
- - малих 136
Класи функцій 102
Коливання гармонійне 208
- загасне 208, 282
- функції 177, 370
Комбінований метод
(Наближеного рішення рівнянь) 335
Компресор 433
Кінцеві різниці 244
Кінцевих збільшень формула 227,
390
Конус го, порядку, 2, 535
Координатні лінії (поверхні)
520
Координати n-мірної точки 345
Корінь із речового числа, існування 35
- Рівняння (функції), існування 170
- - наближене обчислення 170,
324
Косінус 103
- функціональна характеристика
160
- гіперболічний 107
160
Косеканс 103
Котангенс 103
- гіперболічний 107
Коші 67, 69, 84, 192
Коші-Больцано теореми 1-а та 2-я
168, 171, 182, 366
- - Умова 84, 134
- Форма додаткового члена 257
- Формула 229
Кратна точка кривої 505, 519, 538,
540
Кривизна 568
- Коло 571
- Радіус 571
- середня 568
- центр 571
Криві, див. відповідну назву
- у просторі 517, 518
- у n-мірному просторі 347
- на площині 503, 508, 511
- перехідні 576
Кронекер 99
Куб n-мірний 348
Шматково-гладка крива 595
Лагранж 192, 257, 470
Лагранжа інтерполяційна формула 263
- - - Додатковий член 265
- Теорема, формула 226, 227
- Форма додаткового члена 257,
415
Лебіг 181
Лежандра багаточлени 240
Лежандра перетворення 487, 499,
500
Лейбніц 192, 215, 241
Лейбниця формула 238, 241
Лемніската Бернуллі 515, 530, 575,
577
Логарифм, існування 39
- десятковий 50, 79
- натуральний (або неперів) 78
- - перехід до десяткового 79
Логарифмічна спіраль 514, 529,
574, 581
- функція 103
- - безперервність 155, 174
- - похідна 195, 197

Функціональна характеристика
159
Ламана (у n-мірному просторі)
347
Лопіталя правило 314, 320
Маклорена формула 247, 251
Максимум, див. Екстремум
Матриця функціональна (Якобі)
444, 478
- - ранг 468, 471, 479
Матриці множення 444
Мере 44
Мінімум, див. Екстремум
Мінківська нерівність 276
Багатозначна функція 96, 109, 341,
447, 453
Безліч точок замкнуте 351
- - обмежена 352
- числове, обмежене зверху, знизу 26
Численні невизначені, метод
470
Модуль переходу від натуральних логарифмів до десяткових 79
Монотонна варіанта 70
- функція 133
- - безперервність, розриви 154
Монотонності функції умова 270
nзмінних функція 352
n-кратна точка кривої 540
n-кратна межа 360
n-мірна сфера 349, 351
n-мірний простір 345
n-вимірний паралелепіпед 348, 351
n-вимірний симплекс 349, 351
Найбільше значенняфункції 176,
286
Найбільша межаваріанти 89
- - функції 136
Найменше значення функції 176,
289
- - - Кілька змінних 427
Найменша межа варіанти 89
- - функції 136
Найменших квадратівметод 438
Похила асимптота 310
Накладення функцій 114
Напрямок на кривій 558
Натуральний логарифм 78
Незалежність функцій 478
Незалежні змінні 94, 341,
352
Невизначеності розкриття 62, 314
- виду 0/0 60, 314
- -
∞
∞ / 61, 320
- -
∞
⋅
0 61, 322
- -
∞
−
∞
62, 323
- -
0 0
,
0
,
1
∞
∞
166, 323
Невизначені множники, метод
470
Непер, неперові логарифми 78
Безперервність області дійсних чисел 24
- прямий 42
- функції у сфері 365
- - у проміжку 148
- - у точці 146, 362
- - одностороння 150
- - рівномірна 178, 370
Безперервні функції, операції з них 148, 364
- - властивості 168-185, 365-374
- - суперпозиція 114, 364
Нерівності, доказ 122,
273, 302
Нерівність Коші 275, 346
- Коші-Гельдера 275, 302
- Єнсена 301
- Мінківського 276
Невласні числа (точки) 26, 55,
355
Неявні функції 447, 453
- - обчислення похідних 460
- - існування та властивості 449,
451, 453

Нижня границячислової множини 26
- - - - точна 26
Нормаль до кривої 523
- - - Відрізок 524
- - - - полярний 528
Нормаль до поверхні 532, 534
Ньютона метод (наближеного розв'язання рівнянь) 328
Відносний екстремум 467
Відрізок, вимір 40
- дотичної, нормалі 524
- - - полярний 528
Оцінка похибок 220, 396
Область у n-мірному просторі
350
- Зміни змінної
(Змінних) 95, 341
- замкнута 351
- Визначення функції 95, 341
- відкрита 350
- зв'язкова 352
Зворотна функція 108
- - безперервність 172
- - похідна 196
- - існування 172
Зворотні тригонометричні функції 110
- - - безперервність 156, 174
- - - похідні 197
Звичайна точка (кривий або поверхні) 504, 505, 520
Овали Кассіні 515
Огинаюча сімейства кривих 543
Обмежена варіанта 53
Обмежена безлічточкове
352
- - числове 26
Обмеженість безперервної функції, теореми 175, 183,
369, 373
Однозначна функція 96, 341
Однорідна функція 399
Односторонні безперервність та розриви функції 150
Одностороння дотична 209
- похідна 209
- - вищого порядку 232
Околиця точки 115
- -n-мірна 348, 349
Визначник, похідна 388
- функціональний (Якобі) 441
Особлива точка (кривий або поверхні) 504, 505, 517, 518,
519, 531, 533, 535, 537
- ізольована 536
- - подвійна 538
- - кратна 505, 519, 538, 540
Остроградський 442
Відкрита область 350
- сфера 349, 350
Відкритий проміжок 93
- паралелепіпед 348, 350
- симплекс 349, 350
Відносна погрішність 140, 218,
397
Парабола 64, 103, 525, 546, 575, 579
Параболоїд обертання 344
Паралелепіпед n-мірний 348
Параметр 217, 504
Параметричне диференціювання 243
- подання кривої 217, 504, 512
- - - у просторі 518
- - Поверхні 519
Пеано форма додаткового члена
249
Перегину точка 303
Змінна 43, 93
- незалежна 94, 341, 352
Змінна заміна 483
Переміщувальна властивістьдодавання, множення 12, 14,
29, 32
Перестановка диференціювання
405, 407
- граничних переходів 361, 406

Перехідні криві 576
Періодичний десятковий дріб 24
Поверхня 343, 517, 519
- обертання 522
Повторна межа функції декількох змінних 360
Підкасна 207, 524
- полярна 528
Піднормаль 524
- полярна 528
Підпослідовність 85
Прикордонна точка 351
Похибка абсолютна, відносна 139, 140, 218,
221, 397
Показова функція 103
- - безперервність 149, 155
- - похідна 194
- - функціональна характеристика
158
Повне збільшення функції 378
Повний диференціал 381, 396
- - вищого порядку 410, 413
- - геометрична інтерпретація 386
- - Інваріантність форми 394
- - застосування до наближених обчислень 396
Напівкубічна парабола 506, 540,
548, 579
Напіввідкритий проміжок 93
Полярна підкасальна, піднормаль 528
Полярне рівняннякривий 511
Полярні координати 493, 495, 512
Полярний відрізок дотичної, нормалі 528
Порядок нескінченно великої величини 145
- - малої величини 137
- диференціала 241
- торкання кривих 551
- похідний 231
Послідовність 44
Постійність функції умова 268
Правило, див. відповідну назву
Межа варіантів 46, 48
- - нескінченний 55
- - єдиність 54
- - монотонної 71
- - найбільший, найменший 89
- - частковий 86
- Відносини 59
- твори 59
- похідної 228
- Різниці 59
- суми 59
- функції 115, 117
- - монотонної 139
- - найбільший, найменший 135
- - Кілька змінних 354, 357
- - - - повторний 360
- - частковий 135
Граничний перехід у рівності, нерівності 56
Перетворення Лежандра 487, 499,
500
- точкове (площини, простори)
485, 493
Наближене рішення рівняння
324
Наближені обчислення, застосування диференціалу
218, 220, 396
Наближені формули 140, 143,
218, 257-263
Збільшення змінної 147
- функції, формула 199
- Кілька змінних повне, формула 379
- - - - приватне 375
Збільшень кінцевих формула 227,
390
Твір варіант, межа 59, 61
- функцій, межа 129, 130
- - безперервність 148, 364
216, 236, 241, 395

Добуток чисел 14, 31
Похідна див, також, назва, функції, 189
- нескінченна 209
- вищого порядку 231
- - - зв'язок з кінцевими різницями
245
- геометричне тлумачення 190
- неіснування 211
- одностороння 209
- за заданим напрямком 391
- правила обчислення 199
- Розрив 211
- приватна 375
- - вищого порядку 402
Проміжок 82
- замкнутий, напіввідкритий, відкритий, кінцевий, нескінченний 93, 94
Проміжне значення, теорема
171
Пропорційних частин, правило
325
Проста точка(кривий або поверхні) 505, 520
Просторовий графік функції
343
Простір n-мірне
(арифметична) 345
Пряма в n-мірному просторі 347
Рівномірна безперервність функції 178, 370
Радикал, арифметичне значення
36, 103
Радіус кривизни 571
Різниця варіант і т. д., див.
- Чисел 13, 31
Розрив похідної 211
- функції 146
- - монотонної 154
- - звичайний, роду, го, і, го, 1, 2,
151
- - Кілька змінних 362
Ранг матриці 468, 471, 479
Розкриття невизначеностей 62,
314
Розподільча властивістьмноження 15, 34
Розповсюдження функцій 587
Відстань між точками в n- мірному просторі 345
Раціональна функція 102
- - безперервність 148
- - Кілька змінних 353
- - - - безперервність 358, 563
Раціональні числа, віднімання 13
Раціональні числа поділ 15
- - Щільність 12
- - додавання 12
- - множення 14
- - упорядкування 12
Ріман 154
Роль теорема 225
Роша та Шлемільха форма додаткового члена 257
Зв'язки рівняння 467
Зв'язкова область 352
Згущення точка 115, 116, 117, 351
Секанс 103
Сімейство кривих 542
Перетин у числовій області 17, 24
Сигнум (функція) 29
Сила струму 192
Сільвестр 423
Симплекс n-мірний 349, 351
Сінус 103
- гіперболічний 107
- межа відношення до дуги 122
Синусоїда 106, 304
Швидкість руху точки 186
- у Наразі 187, 190
- середня 186
Складна функція 115, 353
- - безперервність 156, 365
- - похідні та диференціали
202, 216, 242, 386, 395, 413, 414
Змішані похідні, теорема
404

Дотикається крива 554
- пряма 555
Коло, що стикається 555, 571
Сполучна властивістьдодавання, множення 13, 14, 29, 32
Порівняння нескінченно малих 136
Середнє арифметико-гармонічне
74
- - - геометричне 74
- арифметичне 275, 430
- гармонійне 74, 303
- геометричне 74, 275, 303, 430
- Значення, теорема 227
- - узагальнена теорема 230
Середня кривизна 568
- Швидкість 186, 190
Стаціонарна точка 277, 418
Ступінна функція 103
- - безперервність 156
- - похідна 194
- - функціональна характеристика
158
Ступінно-показова функція
(двох змінних) 353
Ступінно-показова функція межа 358, 359
- - - - безперервність 363
- - - - диференціювання 376
Ступінно-показовий вираз, межа 165
- - - - похідна 206, 388
Ступінь із речовим показником 37
Сума варіант, межа 59, 62
- функцій, межа 129, 130
- функцій, безперервність 148, 364
- - похідна та диференціал 200,
216, 233, 395
- Чисел 12, 28
Суперпозиція функцій 114, 353, 364
Сфера 344
-n-мірна 349, 350
Сферичні координати 495
Збіжності принцип 84, 134
Табличний спосіб завдання функції
97
Тангенс 103
- гіперболічний 107
Тіло геометричне 345
Теплоємність 191
Крапка, див. відповідну назву
Крапки функції 352
Точна межа (верхня, нижня) 26
Тригонометричні функції 103
- - безперервність 149
- - похідні 195
Потрійна точка 540
Потрійна межа 360
Тейлора формула 246, 249, 257, 415
Спадаючий варіант 70
- функція 133
Кутова точка 209
Вузли інтерполювання 263
- - кратні 266
Вітней 590
Равлик 514, 529
Рівняння кривої 100, 230, 503, 511,
518
- Поверхні 343, 517, 519
- наближене рішення 170, 324
- існування коренів 170
Прискорення 191, 231
Ферма теорема 223
Форма квадратична 423
Формула см, також, відповідна назва, 97,
98
Функціональна залежність 94, 340
- матриця 444, 478
Функціональне рівняння 157, 158,
160
Функціональний визначник 441
Функція див, також, назва, функції, 95
- дослідження 268
- Кілька змінних 341, 352
- від функції (або від функцій) 115,
353

Характеристична точка на кривій
539
Хестінс 590
Хід зміни функції 268
Хорд метод наближеного розв'язування рівнянь 325
Ціла раціональна функція 102
- - - безперервність 149
- - - кілька змінних 353
- - - - - безперервність 358, 363
- Частина числа [ Е(р)] 48
Центр кривизни 571, 577
Ланцюгова лінія 207, 505, 573
Циклоїда 508, 526, 574, 581
Циліндр проектуючий 518
Часткова послідовність 85
Часткова межа варіанти 86
- - функції 135
Приватна похідна 375
- - вищого порядку 402
Частина варіант, межа 59, 60
- значення функції 96
- Збільшення 375
- функцій, межа 129, 130
- - безперервність 148, 364
- - похідна та диференціал 201,
216, 395
- Чисел 15
Приватний диференціал 378, 411
Чебишева формула 262
Числа, див.
Іраціональні,
Речові числа
Числова вісь 42
- послідовність 44
Шварц 407
Шлемільха та Роша форма додаткового члена 257
Штольця теорема 67
Евольвента 578, 582-583, 585
- кола 511, 527, 574
Еволюта 579, 582, 583, 585
Ейлер 78
Ейлера формула 401
Еквівалентні нескінченно малі величини (знак) 139
Екстремум (максимум, мінімум) 277
- правила відшукання 277, 278, 284,
287
- власний, невласний 277
- функції кількох змінних
417
- - - - абсолютний 469
- - - - відносний 467
Електрична мережа 436, 474
Елементарні функції 102
- - безперервність 155
- - похідні 193, 197, 233
Еліпс 448, 506, 525, 547, 575, 579
Еліпсоід 535
Ерміта інтерполяційна формула
266
- - - Додатковий член 267
Епіциклоїда 509, 527
Якобі 376
- матриця 444, 478
- визначник (якобіан) 441

Том 1. ЗМІСТ
ВСТУП РЕЧОВИНІ ЧИСЛА
§ 1. Область раціональних чисел 11
1. Попередні зауваження 11
2. Упорядкування області раціональних чисел 12
3. Додавання та віднімання раціональних чисел 12
4. Множення та розподіл раціональних чисел 14
5. Аксіома Архімеда 16
§ 2. Введення ірраціональних чисел. Упорядкування області дійсних чисел
6. Визначення ірраціонального числа 17
7. Упорядкування області дійсних чисел 19
8. Допоміжні пропозиції 21
9. Подання речового числа нескінченним десятковим дробом 22
10. Безперервність області дійсних чисел 24
11. Межі числових множин 25

§ 3. Арифметичні дії над речовими числами 28
12. Визначення суми дійсних чисел 28
13. Властивості додавання 29
14. Визначення добутку речових чисел 31
15. Властивості множення 3 2
16. Висновок 34
17. Абсолютні величини 34 § 4. Подальші властивості та додатки дійсних чисел 35
18. Існування кореня. Ступінь із раціональним показником 35
19. Ступінь з будь-яким речовим показником 37
20. Логарифми 39
21. Вимірювання відрізків 40

ГЛАВА ПЕРША. ТЕОРІЯ МЕЖ
§ 1. Варіанта та її межа 43
22. Змінна величина, варіанта 43
23. Межа варіантів 46
24. Нескінченно малі величини 47
25. Приклади 48
26. Деякі теореми про варіант, що має межу 52
27. Нескінченно великі величини 54

§ 2. Теореми про межі, що полегшують знаходження меж 56
28. Граничний перехід у рівності та нерівності 56
29. Леми про нескінченно малих 57
30. Арифметичні операції над змінними 58
31. Невизначені вирази 60
32. Приклади перебування меж 62
33. Теорема Штольца та її застосування 67

§ 3. Монотонна варіанта 70
34. Межа монотонної варіанти 70
35. Приклади 72
36. Число е 77
31. Наближене обчислення числа е 79
38. Лемма про вкладені проміжки 82

§ 4. Принцип збіжності. Часткові межі 83
39. Принцип збіжності 83
40. Часткові послідовності та часткові межі 85
41. Лемма Больцано-Вейєрштраса 87
42. Найбільша та найменша межі 89

РОЗДІЛ ДРУГИЙ. ФУНКЦІЇ ОДНІЙ ЗМІННОЇ
§ 1. Поняття функції 93
43. Змінна та область її зміни 93
44. Функціональна залежність між змінними. Приклади 94
45. Визначення поняття функції 95
46. Аналітичний спосіб завдання функції 98
47. Графік функції 100
48. Найважливіші класи функцій 102
49. Поняття зворотної функції 108
50. Зворотні тригонометричні функції 110
51. Суперпозиція функцій. Заключні зауваження 114

§ 2. Межа функції 115
52. Визначення межі функції 115
53. Відомості про варіанти 117
54. Приклади 120
55. Поширення теорії меж 128
56. Приклади 130
57. Межа монотонної функції 133
58. Загальна ознака Больцано-Коші 134
59. Найбільша та найменша межі функції 135

§ 3. Класифікація нескінченно малих та нескінченно великих величин 136
60. Порівняння нескінченно малих 136
61. Шкала нескінченно малих 137
62. Еквівалентні нескінченно малі 139
63. Виділення головної частини 141
64. Завдання 143
65. Класифікація нескінченно великих 145

§ 4. Безперервність (і розриви) функцій 146
66. Визначення безперервності функції у точці 146
67. Арифметичні операції над безперервними функціями 148
68. Приклади безперервних функцій 148
69. Одностороння безперервність. Класифікація розривів 150
70. Приклади розривних функцій 151
71. Безперервність та розриви монотонної функції 154
72. Безперервність елементарних функцій 155
73. Суперпозиція безперервних функцій 156
74. Розв'язання одного функціонального рівняння 157
75. Функціональна характеристика показової, логарифмічної та статечної функцій
76. Функціональна характеристика тригонометричного та гіперболічного косінусів
77. Використання безперервності функцій для обчислення меж 162
78. Ступінно-показові вирази 165
79. Приклади 166

§ 5. Властивості безперервних функцій 168
80. Теорема про обіг функції в нуль 168
81. Застосування до вирішення рівнянь 170
82. Теорема про проміжне значення 171
83. Існування зворотної функції 172
84. Теорема про обмеженість функції 174
85. Найбільше та найменше значення функції 175
86. Поняття рівномірної безперервності 178
87. Теорема Кантора 179

88. Лемма Бореля 180
89. Нові докази основних теорем 182
Розділ третій. ВИРОБНИЧІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ
§ 1. Похідна та її обчислення 186
90. Завдання про обчислення швидкості точки 186, що рухається.
91. Завдання про проведення дотичної до кривої 187
92. Визначення похідної 189
93. Приклади обчислення похідних 193
94. Похідна зворотної функції 196
95. Зведення формул для похідних 198
96. Формула для збільшення функції 198
97. Найпростіші правила обчислення похідних 199
98. Похідна складної функції 202
99. Приклади 203
100. Односторонні похідні 209
101. Нескінченні похідні 209
102. Подальші приклади особливих випадків 211

§ 2. Диференціал 211
103. Визначення диференціала 211
104. Зв'язок між диференційованістю та існуванням _ 1. похідний
105. Основні формули та правила диференціювання 215
106. Інваріантність форми диференціала 216
107. Диференціали як джерело наближених формул 218
108. Застосування диференціалів в оцінці похибок 220

§ 3. Основні теореми диференціального обчислення 223
109. Теорема Ферма 223
110. Теорема Дарбу 224
111. Теорема Роля 225
112. Формула Лагранжа 226
113. Межа похідної 228
114. Формула Коші 229

§ 4. Похідні та диференціали вищих порядків 231
115. Визначення похідних вищих порядків 231
116. Загальні формули для похідних будь-якого порядку 232
117. Формула Лейбниця 236
118. Приклади 238
119. Диференціали вищих порядків 241
120. Порушення інваріантності форми для диференціалів вищих .
121. Параметричне диференціювання 243
122. Кінцеві різниці 244

§ 5. Формула Тейлора 246
123. Формула Тейлора для багаточлена 246
124. Розкладання довільної функції; додатковий член у формі Пеано
125. Приклади 251
126. Інші форми додаткового члена 254
127. Наближені формули 257

§ 6. Інтерполювання 263
128. Найпростіше завдання інтерполювання. Формула Лагранжа 263
129. Додатковий член формули Лагранжа 264
130. Інтерполювання із кратними вузлами. Формула Ерміта 265
РОЗДІЛ ЧЕТВЕРТИЙ. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ВИРОБНИЧИХ
§ 1. Вивчення ходу зміни функції 268
131. Умова сталості функції 268
132. Умова монотонності функції 270
133. Доказ нерівностей 273
134. Максимуми та мінімуми; необхідні умови 276
135. Достатні умови. Перше правило 278
136. Приклади 280
137. Друге правило 284
138. Використання вищих похідних 286
139. Розшук найбільших і найменших значень 288
140. Завдання 290

§ 2. Випуклі (і увігнуті) функції 294
141. Визначення опуклої (увігнутої) функції 294
142. Найпростіші пропозиції про опуклі функції 296
143. Умови опуклості функції 298
144. Нерівність Єнсену та його додатки 301
145. Точки перегину 303

§ 3. Побудова графіків функцій 305
146. Постановка задачі 305
147. Схема побудови графіка. Приклади 306
148. Нескінченні розриви, нескінченний проміжок. Асимптоти 308
149. Приклади 311

§ 4. Розкриття невизначеностей 314
150. Невизначеність виду 0/0 314
151. Невизначеність виду оо/оо 320
152. Інші види невизначеностей 322

§ 5. Наближене рішення рівняння 324
153. Вступні зауваження 3 24
154. Правило пропорційних частин (метод хорд) 325
155. Правило Ньютона (метод дотичних) 328
156. Приклади та вправи 331
157. Комбінований метод 335
158. Приклади та вправи 336

РОЗДІЛ П'ЯТИЙ. ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ
§ 1. Основні поняття 340
159. Функціональна залежність між змінними. Приклади 340
160. Функції двох змінних та області їх визначення 341
161. Арифметичний n-мірний простір 345
162. Приклади областей у n-мірному просторі 348
163. Загальне визначення відкритої та замкнутої області 350
164. Функції п змінних 352
165. Межа функції кількох змінних 354
166. Відомості про варіанти 356
167. Приклади 358
168. Повторні межі 360
§ 2. Безперервні функції 362
169. Безперервність та розриви функцій кількох змінних 362
170. Операції над безперервними функціями 364
171. Функції, безперервні у сфері. Теореми Больцано-Коші 365
172. Лемма Больцано-Вейєрштраса 367
173. Теореми Вейєрштраса 369
174. Рівномірна безперервність 370
175. Лемма Бореля 372
176. Нові докази основних теорем 373
176. Похідні та диференціали функцій кількох змінних 373
177. Приватні похідні та приватні диференціали 375
178. Повне збільшення функції 378
179. Повний диференціал 381
180. Геометрична інтерпретація для випадку функції двох _ R_ змінних
181. Похідні від складних функцій 386
182. Приклади 388
183. Формула кінцевих прирощень 390
184. Похідна за заданим напрямком 391
185. Інваріантність форми (першого) диференціала 394
186. Застосування повного диференціала у наближених обчисленнях 396
187. Однорідні функції 399
188. Формула Ейлера 400

§ 4. Похідні у диференціали вищих порядків 402
189. Похідні вищих порядків 402
190. Теорема про змішані похідні 404
191. Узагальнення 407
192. Похідні вищих порядків від складної функції 408
193. Диференціали вищих порядків 410
194. Диференціали складних функцій 413
195. Формула Тейлора 414

§ 5. Екстремуми, найбільші та найменші значення 417
196. Екстремуми функції кількох змінних. Потрібні. 17 умови
197. Достатні умови (випадок функції двох змінних) 419
198. Достатні умови (загальний випадок) 422
199. Умови відсутності екстремуму 425
200. Найбільше та найменше значення функцій. Приклади 427
201. Завдання 431
РОЗДІЛ ШОСТИЙ. ФУНКЦІОНАЛЬНІ ВИЗНАЧНИКИ; ЇХ ДОДАТКИ
§ 1. Формальні властивості функціональних визначників 441
202. Визначення функціональних визначників (якобіанів) 441
203. Розмноження якобіанів 442
204. Розмноження функціональних матриць (матриць Якобі) 444

§ 2. Неявні функції 447
205. Поняття неявної функції від однієї змінної 447
206. Існування неявної функції 449
207. Диференціювання неявної функції 451
208. Неявні функції від кількох змінних 453
209. Обчислення похідних неявних функцій 460
210. Приклади 463

§ 3. Деякі додатки теорії неявних функцій 467
211. Відносні екстремуми 467
212. Метод невизначених множників Лагранжа 470
213. Достатні умови для відносного екстремуму 472
214. Приклади та завдання 473
215. Поняття незалежності функцій 477
216. Ранг матриці Якобі 479

§ 4. Заміна змінних 483
217. Функції однієї змінної 483
218. Приклади 485
219. Функції кількох змінних. Заміна незалежних.„„ змінних
220. Метод обчислення диференціалів 489
221. Загальний випадок заміни змінних 491
222. Приклади 493
РОЗДІЛ СЬОМИЙ. ДОДАТКИ ДИФЕРЕНЦІЙНОГО ЗЛІЧЕННЯ ДО ГЕОМЕТРІЇ
§ 1. Аналітичне уявлення кривих та поверхонь 503
223. Криві на площині (у прямокутних координатах) 503
224. Приклади 505
225. Криві механічного походження 508
226. Криві на площині (у полярних координатах). Приклади 511
227. Поверхні та криві у просторі 516
228. Параметричне уявлення 518
229. Приклади 520

§ 2. Дотична та дотична площина 523
230. Дотична до плоскої кривої прямокутних координатах 523
231. Приклади 525
232. Стосовна полярних координатах 528
233. Приклади 529
234. Дотична до просторової кривої. Дотична площина до поверхні
235. Приклади 534
236. Особливі точки плоских кривих 535
237. Випадок параметричного завдання кривої 540

§ 3. Дотик кривих між собою 542
238. Огинає сімейства кривих 542
239. Приклади 545
240. Характеристичні точки 549
241. Порядок торкання двох кривих 551
242. Випадок неявного завдання однієї з кривих 553
243. Дотикається крива 554
244. Інший підхід до кривих, що стикаються, 556

§ 4. Довжина плоскої кривої 557
245. Леми 557
246. Напрямок на кривій 558
247. Довжина кривої. Адитивність довжини дуги 560
248. Достатні умови спрямовування. Диференціал дуги 562
249. Дуга у ролі параметра. Позитивний напрямок дотичної 565

§ 5. Кривизна плоскої кривої 568
250. Поняття кривизни 568
251. Коло кривизни та радіус кривизни 571
252. Приклади 573
253. Координати центру кривизни
254. Визначення еволюти та евольвенти; пошук еволюти
255. Властивості еволют та евольвент
256. Розшук евольвент
ДОДАТК. ЗАДАЧА ПОШИРЕННЯ ФУНКЦІЙ
257. Випадок функції однієї змінної
258. Постановка задачі для двовимірного випадку
259. Допоміжні пропозиції
260. Основна теорема про поширення
261. Узагальнення
262. Заключні зауваження

Алфавітний покажчик 600

Том 2. ЗМІСТ
Розділ восьмий. ПЕРШОБРАЗНА ФУНКЦІЯ (НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ)
§ 1. Невизначений інтеграл та найпростіші прийоми його обчислення 11
263. Поняття первісної функції(і невизначеного інтегралу) 11
264. Інтеграл та завдання про визначення площі 14
265. Таблиця основних інтегралів 17
266. Найпростіші правила інтегрування 18
267. Приклади 19
268. Інтегрування шляхом заміни змінної 23
269. Приклади 27
270. Інтегрування частин 31
271. Приклади 32

§ 2. Інтегрування раціональних виразів 36
272. Постановка задачі інтегрування у кінцевому вигляді 36
273. Прості дробита їх інтегрування 37
274. Розкладання правильних дробівна прості 38
275. Визначення коефіцієнтів. Інтегрування правильних дробів 42
276. Виділення раціональної частини інтеграла 43
277. Приклади 47
§ 3. Інтегрування деяких виразів, що містять радикали 50
278. Інтегрування виразів виду R .ух + 8
279. Інтегрування біномних диференціалів. Приклади 51
280. Формули наведення 54
281. Інтегрування виразів виду Кх, л1ах2 + Ьх + с). Підстановки - ^ Ейлера
282. Геометричне трактування ейлерових підстановок 59
283. Приклади 60
284. Інші прийоми обчислення 66
285. Приклади 72
§ 4. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні та показову функції 74
286. Інтегрування диференціалів i?(sin x, cos x) дх 74
287. Інтегрування виразів sinv xcosto 76
288. Приклади 78
289. Огляд інших випадків 83 § 5. Еліптичні інтеграли 84
290. Загальні зауваження та визначення 84
291. Допоміжні перетворення 86
292. Приведення до канонічної форми 88
293. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го та 3-го роду 90

Розділ дев'ятий. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
§ 1. Визначення та умови існування певного інтеграла 94
294. Інший підхід до завдання про площу 94
295. Визначення 96
296. Суми Дарбу 97
297. Умова існування інтеграла 100
298. Класи інтегрованих функцій 101
299. Властивості інтегрованих функцій 103
300. Приклади та доповнення 105
301. Нижній та верхній інтегралияк межі 106

§ 2. Властивості певних інтегралів 108
302. Інтеграл за орієнтованим проміжком 108
303. Властивості, що виражаються рівностями 109
304. Властивості, що виражаються нерівностями 110
305. Певний інтеграл як функція верхньої межі 115
306. Друга теорема про середнє значення 117

§ 3. Обчислення та перетворення певних інтегралів 120
307. Обчислення за допомогою інтегральних сум 120
308. Основна формула інтегрального обчислення 123
309. Приклади 125
310. Інший висновок основної формули 128
311. Формули наведення 130
312. Приклади 131
313. Формула заміни змінної у певному інтегралі 134
314. Приклади 135
315. Формула Гауса. Перетворення Ландена 141
316. Інший висновок формули заміни змінної 143

§ 4. Деякі додатки певних інтегралів 145
317. Формула Валліса 145
318. Формула Тейлора з додатковим членом 146
319. Трансцендентність числа е 146
320. Багаточлени Лежандра 148
321. Інтегральні нерівності 151

§ 5. Наближене обчислення інтегралів 153
322. Постановка задачі. Формули прямокутників та трапецій 153
323. Параболічне інтерполювання 156
324. Дроблення проміжку інтегрування 158
325. Додатковий член формули прямокутників 159
326. Додатковий член формули трапецій 161
327. Додатковий член формули Сімпсона 162
328. Приклади 164
РОЗДІЛ ДЕСЯТИЙ. ДОДАТКИ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЗЛІЧЕННЯ ДО ГЕОМЕТРІЇ, МЕХАНІКИ ТА ФІЗИКИ
§ 1. Довжина кривої 169
329. Обчислення довжини кривої 169
330. Інший підхід до визначення поняття довжини кривої та її обчислення
331. Приклади 174
332. Натуральне рівнянняплоскої кривої 180
333. Приклади 183
334. Довжина дуги просторової кривої 185

§ 2. Площі та обсяги 186
335. Визначення поняття площі. Властивість адитивності 186
336. Площа як межа 188
337. Класи квадрованих областей 190
338. Вираз площі інтегралом 192
339. Приклади 195
340. Визначення поняття обсягу. Його властивості 202
341. Класи тіл, що мають обсяги 204
342. Вираз обсягу інтегралом 205
343. Приклади 208
344. Площа поверхні обертання 214
345. Приклади 217
346. Площа циліндричної поверхні 220
347. Приклади 222

§ 3. Обчислення механічних та фізичних величин 225
348. Схема застосування певного інтегралу 225
349. Знаходження статичних моментів та центру тяжкості кривої 228
350. Приклади 229
351. Знаходження статичних моментів та центру тяжіння плоскої фігури
352. Приклади 232
353. Механічна робота 233
354. Приклади 235
355. Робота сили тертя у плоскій п'яті 237
356. Завдання на підсумовування нескінченно малих елементів 239

§ 4. Найпростіші диференціальні рівняння 244
357. Основні поняття. Рівняння першого порядку 244
358. Рівняння першого ступеня щодо похідного. Відділення змінних
359. Завдання 247
360. Зауваження про складання диференціальних рівнянь 253
361. Завдання 254
РОЗДІЛ ОДИННАДЦЯТИЙ. БЕЗКІНЕЧНІ РЯДИ З ПОСТІЙНИМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Вступ 257
362. Основні поняття 257
363. Приклади 258
364. Основні теореми 260

§ 2. Східність позитивних рядів 262
365. Умова збіжності позитивного ряду 262
366. Теореми порівняння рядів 264
367. Приклади 266
368. Ознаки Коші та Даламбера 270
369. Ознака Раабе 272
370. Приклади 274
371. Ознака Куммера 277
372. Ознака Гауса 279
373. Інтегральна ознака Маклорена-Коші 281
374. Ознака Єрмакова 285
375. Додатки 287

§ 3. Східність довільних рядів 293
376. Загальна умовазбіжності ряду 293
377. Абсолютна збіжність 294
378. Приклади 296
379. Ступіньовий ряд, його проміжок збіжності 298
380. Вираз радіусу збіжності через коефіцієнти 300
381. Знакозмінні ряди 3 02
382. Приклади 303
383. Перетворення Абеля 305
384. Ознаки Абеля та Діріхле 307
385. Приклади 308

§ 4. Властивості рядів, що сходяться 313
386. Сполучна властивість 313
3 87. Переміщувальна властивість рядів, що абсолютно сходяться 315
388. Випадок рядів, що неабсолютно сходяться 316
389. Множення рядів 320
390. Приклади 323
391. Загальна теоремаз теорії меж 325
392. Подальші теореми про множення рядів 327

§ 5. Повторні та подвійні ряди 329
393. Повторні ряди 329
394. Подвійні ряди 333
395. Приклади 338
396. Ступінний ряд із двома змінними; область збіжності 346
397. Приклади 348
398. Кратні ряди 350

§ 6. Нескінченні твори 350
399. Основні поняття 350
400. Приклади 351
401. Основні теореми. Зв'язок із рядами 353
402. Приклади 356

§ 7. Розкладання елементарних функцій 364
403. Розкладання функції в статечний ряд; ряд Тейлора 364
404. Розкладання до ряду показової, основних тригонометричних функцій та ін.
405. Логарифмічний ряд 368
406. Формула Стерлінга 369
407. Біноміальний ряд 371
408. Розкладання синуса та косинуса у нескінченні твори 374

§ 8. Наближені обчислення з допомогою рядів. Перетворення рядів 378
409. Загальні зауваження 378
410. Обчислення числа до 379
411. Обчислення логарифмів 381
412. Обчислення коренів 383
413. Перетворення рядів за Ейлером 3 84
414. Приклади 386
415. Перетворення Куммера 388
416. Перетворення Маркова 392

§ 9. Підсумовування рядів, що розходяться 394
417. Вступ 394
418. Метод статечних рядів 396
419.Теорема Тау бера 398
420. Метод середніх арифметичних 401
421. Взаємини між методами Пуассона-Абеля та Чезаро 403
422. Теорема Харді-Ландау 405
423. Застосування узагальненого підсумовування до множення рядів 407
424. Інші методи узагальненого підсумовування рядів 408
425. Приклади 413
426. Загальний класлінійних регулярних методів підсумовування 416
РОЗДІЛ ДВАНАДЦЯТИЙ. ФУНКЦІОНАЛЬНІ НАСЛІДНОСТІ ТА РЯДИ
§ 1. Рівномірна збіжність 419
427. Вступні зауваження 419
428. Рівномірна та нерівномірна збіжності 421
429. Умова рівномірної збіжності 425
430. Ознаки рівномірної збіжності рядів 427

§ 2. Функціональні властивості суми ряду 430
431. Безперервність суми ряду 430
432. Зауваження про квазі-рівномірну збіжність 432
433. Почленный перехід межі 434
434. Почленное інтегрування рядів 436
435. Почленное диференціювання рядів 438
436. Позиція послідовності 441
437. Безперервність суми статечного ряду 444
438. Інтегрування та диференціювання статечних рядів 447

§ 3. Додатки 450
439. Приклади на безперервність суми ряду та на почленний перехід до межі
440. Приклади на почленное інтегрування рядів 457
441. Приклади на почленное диференціювання рядів 468
442. Метод послідовних наближень у теорії неявних функцій 474
443. Аналітичне визначення тригонометричних функцій 477
444. Приклад безперервної функції без похідної 479

§ 4. Додаткові відомості про статечні ряди 481
445. Дії над статечними рядами 481
446. Підстановка ряду до ряду 485
447. Приклади 487
448. Поділ статечних рядів 492
449. Числа Бернуллі та розкладання, в яких вони зустрічаються 494
450. Розв'язання рівнянь рядами 498
451. Звернення статечного ряду 502
452. Ряд Лагранжа 505

§ 5. Елементарні функції комплексної змінної 508
453. Комплексні числа 508
454. Комплексна варіанта та її межа 511
455. Функції комплексної змінної 513
456. Ступінні ряди 515
457. Показова функція 518
458. Логарифмічна функція 520
459. Тригонометричні функції та їм зворотні 522
460. Ступінна функція 526
461. Приклади 527

§ 6. Обгортальні та асимптотичні ряди. Формула Ейлера-Маклорена 531
462. Приклади 531
463. Визначення 533
464. Основні властивостіасимптотичних розкладів 536
465. Висновок формули Ейлера-Маклорена 540
466. Дослідження додаткового члена 542
467. Приклади обчислень за допомогою формули Ейлера-Маклорена 544
468. Інший вид формули Ейлера-Маклорена 547
469. Формула та ряд Стерлінга 550

РОЗДІЛ ТРИНАДЦЯТИЙ. НЕОБЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ
§ 1. Невласні інтеграли з біс кінцевими межами 552
470. Визначення інтегралів із нескінченними межами 552
471. Застосування основної формули інтегрального обчислення 554
472. Приклади 555
473. Аналогія з рядами. Найпростіші теореми 558
474. Східність інтеграла у разі позитивної функції 559
475. Східність інтеграла в загальному випадку 561
476. Ознаки Абеля та Діріхле 563
477. Приведення невласного інтеграла до нескінченному ряду 566
478. Приклади 569

§ 2. Невласні інтеграли від необмежених функцій 577
479. Визначення інтегралів від необмежених функцій 577
480. Зауваження щодо особливих точок 581
481. Застосування основний формули інтегрального обчислення. Приклади
482. Умови та ознаки існування інтеграла 584
483. Приклади 587
484. Головні значення невласних інтегралів 590
485. Зауваження про узагальнені значення розбіжних інтегралів 595

§ 3. Властивості та перетворення невласних інтегралів 597
486. Найпростіші властивості 597
487. Теореми про середнє значення 600
488. Інтегрування частинами у разі невласних інтегралів 602
489. Приклади 602
490. Заміна змінних у невласних інтегралах 604
491. Приклади 605

§ 4. Особливі прийомиобчислення невласних інтегралів 611
492. Деякі чудові інтеграли 611
493. Обчислення невласних інтегралів з допомогою інтегральних сум. Випадок інтегралів із кінцевими межами
494. Випадок інтегралів з нескінченною межею 617
495. Інтеграли Фрулані 621
496. Інтеграли від раціональних функційміж нескінченними межами
497. Змішані прикладита вправи 629

§ 5. Наближене обчислення невласних інтегралів 641
498. Інтеграли з кінцевими межами; виділення особливостей 641
499. Приклади 642
500. Зауваження щодо наближеного обчислення власних інтегралів
501. Наближене обчислення невласних інтегралів із нескінченною межею
502. Використання асимптотичних розкладів 650
РОЗДІЛ ЧОТИРНАДЦЯТИЙ. ІНТЕГРАЛИ, ЗАЛЕЖНІ ВІД ПАРАМЕТРУ
§ 1. Елементарна теорія 654
503. Постановка задачі 654
504. Рівномірне прагнення граничної функції 654
505. Перестановка двох граничних переходів 657
506. Граничний перехід під знаком інтеграла 659
507. Диференціювання під знаком інтеграла 661
508. Інтегрування під знаком інтеграла 663
509. Випадок, коли межі інтеграла залежать від параметра 665
510. Введення множника, що залежить лише від х 668
511. Приклади 669
512. Гауссовий доказ основної теореми алгебри 680
§ 2. Рівномірна збіжність інтегралів 682
513. Визначення рівномірної збіжності інтегралів 682
514. Умова рівномірної збіжності. Зв'язок із рядами 684
515. Достатні ознакирівномірної збіжності 684
516. Інший випадок рівномірної збіжності 687
517. Приклади 689

§ 3. Використання рівномірної збіжності інтегралів 694
518. Граничний перехід під знаком інтеграла 694
519. Приклади 697
520. Безперервність та диференційованість інтеграла за параметром 710
521. Інтегрування інтеграла за параметром 714
522. Застосування для обчислення деяких інтегралів 717
523. Приклади диференціювання під знаком інтеграла 723
524. Приклади на інтегрування під знаком інтеграла 733

§ 4. Доповнення 743
525. Лемма Арцела 743
526. Граничний перехід під знаком інтеграла 745
527. Диференціювання під знаком інтеграла 748
528. Інтегрування під знаком інтеграла 749

§ 5. Ейлерові інтеграли 750
529. Ейлеров інтеграл першого роду 750
530. Ейлеров інтеграл другого роду 753
531. Найпростіші властивості функції Р 754
532. Однозначне визначення функції Р її властивостями 760
533. Інша функціональна характеристика функції Р 762
534. Приклади 764
535. Логарифмічна похідна функції Г 770
536. Теорема множення для функції Р 772
537. Деякі розкладання до лав та творів 774
538. Приклади та доповнення 775
539. Обчислення деяких певних інтегралів 782
540. Формула Стерлінга 789
541. Обчислення ейлерової постійної 792
542. Складання таблиці десяткових логарифмівфункції Р 793
Алфавітний покажчик 795
алфавітний покажчик

Книги Завантажити книги DJVU, PDF безкоштовно. Безкоштовна електронна бібліотека
Г.М. Фіхтенгольц, Курс диференціального та інтегрального обчислення (Том 1)

Ви можете (програма відзначить жовтим кольором)
Ви можете переглянути список книг з вищої математики з сортуванням за абеткою.
Ви можете переглянути список книг з вищої фізики з сортуванням за абеткою.

Шановні пані та панове!! Для того, щоб без "глюків" завантажити файли електронних публікацій, натисніть на підкреслене посилання з файлом ПРАВОЮ кнопкою миші, виберіть команду "Save target as ..." ("Зберегти об'єкт як...") та збережіть файл електронної публікації на локальному комп'ютері. Електронні публікаціїзазвичай представлені у форматах Adobe PDF та DJVU.

ВСТУП. РЕЧОВИНІ ЧИСЛА

§ 1. Область раціональних чисел
1. Попередні зауваження
2. Упорядкування області раціональних чисел
3. Додавання та віднімання раціональних чисел
4. Множення та розподіл раціональних чисел
5. Аксіома Архімеда

§ 2. Введення ірраціональних чисел. Упорядкування області дійсних чисел
6. Визначення ірраціонального числа
7. Упорядкування області дійсних чисел
8. Допоміжні пропозиції
9. Подання речового числа нескінченним десятковим дробом
10. Безперервність області дійсних чисел
11. Межі числових множин

§ 3. Арифметичні дії над речовими числами
12. Визначення суми дійсних чисел
13. Властивості додавання
14. Визначення добутку дійсних чисел
15. Властивості множення
16. Висновок
17. Абсолютні величини

§ 4. Подальші властивості та додатки речових чисел
18. Існування кореня. Ступінь із раціональним показником
19. Ступінь з будь-яким речовим показником
20. Логарифми
21. Вимірювання відрізків

ГЛАВА ПЕРША. ТЕОРІЯ МЕЖ

§ 1. Варіанта та її межа
22. Змінна величина, варіанта
23. Межа варіантів
24. Нескінченно малі величини
25. Приклади
26. Деякі теореми про варіант, що має межу
27. Нескінченно великі величини

§ 2. Теореми про межі, що полегшують знаходження меж
28. Граничний перехід у рівності та нерівності
29. Леми про нескінченно малі
30. Арифметичні операції над змінними
31. Невизначені вирази
32. Приклади перебування меж
33. Теорема Штольца та її застосування

§ 3. Монотонна варіанта
34. Межа монотонної варіанти
35. Приклади
36. Число е
31. Наближене обчислення числа е
38. Лемма про вкладені проміжки

§ 4. Принцип збіжності. Часткові межі
39. Принцип збіжності
40. Часткові послідовності та часткові межі
41. Лемма Больцано-Вейєрштраса
42. Найбільша та найменша межі

РОЗДІЛ ДРУГИЙ. ФУНКЦІЇ ОДНІЙ ЗМІННОЇ

§ 1. Поняття функції
43. Змінна та область її зміни
44. Функціональна залежність між змінними. Приклади
45. Визначення поняття функції
46. Аналітичний спосіб завдання функції
47. Графік функції
48. Найважливіші класи функцій
49. Поняття зворотної функції
50. Зворотні тригонометричні функції
51. Суперпозиція функцій. Заключні зауваження

§ 2. Межа функції
52. Визначення межі функції
53. Відомості про варіанти
54. Приклади
55. Поширення теорії меж
56. Приклади
57. Межа монотонної функції
58. Загальна ознака Больцано-Коші
59. Найбільша та найменша межі функції

§ 3. Класифікація нескінченно малих та нескінченно великих величин
60. Порівняння нескінченно малих
61. Шкала нескінченно малих
62. Еквівалентні нескінченно малі
63. Виділення головної частини
64. Завдання
65. Класифікація нескінченно великих

§ 4. Безперервність (і розриви) функцій
66. Визначення безперервності функції у точці
67. Арифметичні операції над безперервними функціями
68. Приклади безперервних функцій
69. Одностороння безперервність. Класифікація розривів
70. Приклади розривних функцій
71. Безперервність та розриви монотонної функції
72. Безперервність елементарних функцій
73. Суперпозиція безперервних функцій
74. Вирішення одного функціонального рівняння
75. Функціональна характеристика показової, логарифмічної та статечної функцій
76. Функціональна характеристика тригонометричного та гіперболічного косінусів
77. Використання безперервності функцій для обчислення меж
78. Ступінно-показові вирази

§ 5. Властивості безперервних функцій
80. Теорема про обіг функції в нуль
81. Застосування до розв'язання рівнянь
82. Теорема про проміжне значення
83. Існування зворотної функції
84. Теорема про обмеженість функції
85. Найбільше та найменше значення функції
86. Поняття рівномірної безперервності
87. Теорема Кантора
88. Лемма Бореля
89. Нові докази основних теорем

Розділ третій. ВИРОБНИЧІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ

§ 1. Похідна та її обчислення
90. Завдання про обчислення швидкості точки, що рухається
91. Завдання про проведення дотичної до кривої
92. Визначення похідної
93. Приклади обчислення похідних
94. Похідна зворотної функції
95. Зведення формул для похідних
96. Формула для збільшення функції
97. Найпростіші правила обчислення похідних
98. Похідна складної функції
99. Приклади
100. Односторонні похідні
101. Нескінченні похідні
102. Подальші приклади особливих випадків

§ 2. Диференціал
103. Визначення диференціалу
104. Зв'язок між диференційованістю та існуванням похідної
105. Основні формули та правила диференціювання
106. Інваріантність форми диференціалу
107. Диференціали як джерело наближених формул
108. Застосування диференціалів в оцінці похибок

§ 3. Основні теореми диференціального обчислення
109. Теорема Ферма
110. Теорема Дарбу
111. Теорема Роля
112. Формула Лагранжа
113. Межа похідної
114. Формула Коші

§ 4. Похідні та диференціали вищих порядків
115. Визначення похідних вищих порядків
116. Загальні формули для похідних будь-якого порядку
117. Формула Лейбниця
118. Приклади
119. Диференціали вищих порядків
120. Порушення інваріантності форми для диференціалів вищих порядків
121. Параметричне диференціювання
122. Кінцеві різниці

§ 5. Формула Тейлора
123. Формула Тейлора для багаточлена
124. Розкладання довільної функції; додатковий член у формі Пеано
125. Приклади
126. Інші форми додаткового члена
127. Наближені формули

§ 6. Інтерполювання
128. Найпростіше завдання інтерполювання. Формула Лагранжа
129. Додатковий член формули Лагранжа
130. Інтерполювання із кратними вузлами. Формула Ерміта

РОЗДІЛ ЧЕТВЕРТИЙ. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ВИРОБНИЧИХ

§ 1. Вивчення ходу зміни функції
131. Умова сталості функції
132. Умова монотонності функції
133. Доказ нерівностей
134. Максимуми та мінімуми; необхідні умови
135. Достатні умови. Перше правило
136. Приклади
137. Друге правило
138. Використання вищих похідних
139. Розшук найбільших і найменших значень
140. Завдання

§ 2. Випуклі (і увігнуті) функції
141. Визначення опуклої (увігнутої) функції
142. Найпростіші пропозиції про опуклі функції
143. Умови опуклості функції
144. Нерівність Єнсену та його застосування
145. Точки перегину

§ 3. Побудова графіків функцій
146. Постановка задачі
147. Схема побудови графіка. Приклади
148. Нескінченні розриви, нескінченний проміжок. Асимптоти
149. Приклади

§ 4. Розкриття невизначеностей
150. Невизначеність виду 0/0
151. Невизначеність виду оо/оо
152. Інші види невизначеностей

§ 5. Наближене рішення рівняння
153. Вступні зауваження
154. Правило пропорційних частин (метод хорд)
155. Правило Ньютона (метод дотичних)
156. Приклади та вправи
157. Комбінований метод
158. Приклади та вправи

РОЗДІЛ П'ЯТИЙ. ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ

§ 1. Основні поняття
159. Функціональна залежність між змінними. Приклади
160. Функції двох змінних та області їх визначення
161. Арифметичний n-мірний простір
162. Приклади областей у n-мірному просторі
163. Загальне визначення відкритої та замкнутої області
164. Функції п змінних
165. Межа функції кількох змінних
166. Відомості про варіанти
167. Приклади
168. Повторні межі

§ 2. Безперервні функції
169. Безперервність та розриви функцій кількох змінних
170. Операції над безперервними функціями
171. Функції, безперервні у сфері. Теореми Больцано-Коші
172. Лемма Больцано-Вейєрштрасса
173. Теореми Вейєрштраса
174. Рівномірна безперервність
175. Лемма Бореля
176. Нові докази основних теорем. Похідні та диференціали функцій кількох змінних
177. Приватні похідні та приватні диференціали
178. Повне збільшення функції
179. Повний диференціал
180. Геометрична інтерпретація для випадку функції двох змінних
181. Похідні від складних функцій
182. Приклади
183. Формула кінцевих прирощень
184. Похідна за заданим напрямком
185. Інваріантність форми (першого) диференціала
186. Застосування повного диференціала у наближених обчисленнях
187. Однорідні функції
188. Формула Ейлера

§ 4. Похідні диференціали вищих порядків
189. Похідні вищих порядків
190. Теорема про змішані похідні
191. Узагальнення
192. Похідні вищих порядків від складної функції
193. Диференціали вищих порядків
194. Диференціали складних функцій
195. Формула Тейлора

§ 5. Екстремуми, найбільші та найменші значення
196. Екстремуми функції кількох змінних. Необхідні умови
197. Достатні умови (випадок функції двох змінних)
198. Достатні умови (загальний випадок)
199. Умови відсутності екстремуму
200. Найбільше та найменше значення функцій. Приклади
201.Завдання

РОЗДІЛ ШОСТИЙ. ФУНКЦІОНАЛЬНІ ВИЗНАЧНИКИ; ЇХ ДОДАТКИ

§ 1. Формальні властивості функціональних визначників
202. Визначення функціональних визначників (якобіанів)
203. Розмноження якобіанів
204. Розмноження функціональних матриць (матриць Якобі)

§ 2. Неявні функції
205. Поняття неявної функції від однієї змінної
206. Існування неявної функції
207. Диференціювання неявної функції
208. Неявні функції від кількох змінних
209. Обчислення похідних неявних функцій
210. Приклади

§ 3. Деякі додатки теорії неявних функцій
211. Відносні екстремуми
212. Метод невизначених множників Лагранжа
213. Достатні умови для відносного екстремуму умови
214. Приклади та завдання
215. Поняття незалежності функцій
216. Ранг матриці Якобі

§ 4. Заміна змінних
217. Функції однієї змінної
218. Приклади
219. Функції кількох змінних. Заміна незалежних змінних
220. Метод обчислення диференціалів
221. Загальний випадок заміни змінних
222. Приклади

РОЗДІЛ СЬОМИЙ. ДОДАТКИ ДИФЕРЕНЦІЙНОГО ЗЛІЧЕННЯ ДО ГЕОМЕТРІЇ

§ 1. Аналітичне уявлення кривих та поверхонь
223. Криві на площині (у прямокутних координатах)
224. Приклади
225. Криві механічного походження
226. Криві на площині (у полярних координатах). Приклади
227. Поверхні та криві у просторі
228. Параметричне уявлення
229. Приклади

§ 2. Дотична та дотична площина
230. Дотична до плоскої кривої у прямокутних координатах
231. Приклади
232. Дотична в полярних координатах
233. Приклади
234. Дотична до просторової кривої. Дотична площина до поверхні
235. Приклади
236. Особливі точки плоских кривих
237. Випадок параметричного завдання кривої

§ 3. Торкання кривих між собою
238. Огинає сімейства кривих
239. Приклади
240. Характеристичні точки
241. Порядок торкання двох кривих
242. Випадок неявного завдання однієї з кривих
243. Дотикається крива
244. Інший підхід до кривих, що стикаються.

§ 4. Довжина плоскої кривої
245. Леми
246. Напрямок на кривій
247. Довжина кривої. Адитивність довжини дуги
248. Достатні умови спрямовування. Диференціал дуги
249. Дуга у ролі параметра. Позитивний напрямок дотичної

§ 5. Кривизна плоскої кривої
250. Поняття кривизни
251. Коло кривизни та радіус кривизни
252. Приклади
253. Координати центру кривизни
254. Визначення еволюти та евольвенти; пошук еволюти
255. Властивості еволют та евольвент
256. Розшук евольвент

ДОДАТК. ЗАДАЧА ПОШИРЕННЯ ФУНКЦІЙ
257. Випадок функції однієї змінної
258. Постановка задачі для двовимірного випадку
259. Допоміжні пропозиції
260. Основна теорема про поширення

Алфавітний покажчик 600

Том 2. ЗМІСТ
Розділ восьмий. ПЕРШОБРАЗНА ФУНКЦІЯ (НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ)
§ 1. Невизначений інтеграл та найпростіші прийоми його обчислення 11
263. Поняття первинної функції (і невизначеного інтеграла) 11
264. Інтеграл та завдання про визначення площі 14
265. Таблиця основних інтегралів 17
266. Найпростіші правила інтегрування 18
267. Приклади 19
268. Інтегрування шляхом заміни змінної 23
269. Приклади 27
270. Інтегрування частин 31
271. Приклади 32

§ 2. Інтегрування раціональних виразів 36
272. Постановка задачі інтегрування у кінцевому вигляді 36
273. Прості дроби та їх інтегрування 37
274. Розкладання правильних дробів на прості 38
275. Визначення коефіцієнтів. Інтегрування правильних дробів 42
276. Виділення раціональної частини інтеграла 43
277. Приклади 47
§ 3. Інтегрування деяких виразів, що містять радикали 50
278. Інтегрування виразів виду R .ух + 8
279. Інтегрування біномних диференціалів. Приклади 51
280. Формули наведення 54
281. Інтегрування виразів виду Кх, л1ах2 + Ьх + с). Підстановки - ^ Ейлера
282. Геометричне трактування ейлерових підстановок 59
283. Приклади 60
284. Інші прийоми обчислення 66
285. Приклади 72
§ 4. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні та показову функції 74
286. Інтегрування диференціалів i?(sin x, cos x) дх 74
287. Інтегрування виразів sinv xcosto 76
288. Приклади 78
289. Огляд інших випадків 83 § 5. Еліптичні інтеграли 84
290. Загальні зауваження та визначення 84
291. Допоміжні перетворення 86
292. Приведення до канонічної форми 88
293. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го та 3-го роду 90

§ 5. Наближене обчислення інтегралів 153
322. Постановка задачі. Формули прямокутників та трапецій 153
323. Параболічне інтерполювання 156
324. Дроблення проміжку інтегрування 158
325. Додатковий член формули прямокутників 159
326. Додатковий член формули трапецій 161
327. Додатковий член формули Сімпсона 162
328. Приклади 164
РОЗДІЛ ДЕСЯТИЙ. ДОДАТКИ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЗЛІЧЕННЯ ДО ГЕОМЕТРІЇ, МЕХАНІКИ ТА ФІЗИКИ
§ 1. Довжина кривої 169
329. Обчислення довжини кривої 169
330. Інший підхід до визначення поняття довжини кривої та її обчислення
331. Приклади 174
332. Натуральне рівняння плоскої кривої 180
333. Приклади 183
334. Довжина дуги просторової кривої 185

§ 4. Найпростіші диференціальні рівняння 244
357. Основні поняття. Рівняння першого порядку 244
358. Рівняння першого ступеня щодо похідного. Відділення змінних
359. Завдання 247
360. Зауваження щодо складання диференціальних рівнянь 253
361. Завдання 254
РОЗДІЛ ОДИННАДЦЯТИЙ. БЕЗКІНЕЧНІ РЯДИ З ПОСТІЙНИМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Вступ 257
362. Основні поняття 257
363. Приклади 258
364. Основні теореми 260

§ 3. Східність довільних рядів 293
376. Загальна умова збіжності ряду 293
377. Абсолютна збіжність 294
378. Приклади 296
379. Ступіньовий ряд, його проміжок збіжності 298
380. Вираз радіусу збіжності через коефіцієнти 300
381. Знакозмінні ряди 3 02
382. Приклади 303
383. Перетворення Абеля 305
384. Ознаки Абеля та Діріхле 307
385. Приклади 308

§ 4. Властивості рядів, що сходяться 313
386. Сполучна властивість 313
3 87. Переміщувальна властивість рядів, що абсолютно сходяться 315
388. Випадок рядів, що неабсолютно сходяться 316
389. Множення рядів 320
390. Приклади 323
391. Загальна теорема з теорії меж 325
392. Подальші теореми про множення рядів 327

§ 9. Підсумовування рядів, що розходяться 394
417. Вступ 394
418. Метод статечних рядів 396
419.Теорема Тау бера 398
420. Метод середніх арифметичних 401
421. Взаємини між методами Пуассона-Абеля та Чезаро 403
422. Теорема Харді-Ландау 405
423. Застосування узагальненого підсумовування до множення рядів 407
424. Інші методи узагальненого підсумовування рядів 408
425. Приклади 413
426. Загальний клас лінійних регулярних методів підсумовування 416
РОЗДІЛ ДВАНАДЦЯТИЙ. ФУНКЦІОНАЛЬНІ НАСЛІДНОСТІ ТА РЯДИ
§ 1. Рівномірна збіжність 419
427. Вступні зауваження 419
428. Рівномірна та нерівномірна збіжності 421
429. Умова рівномірної збіжності 425
430. Ознаки рівномірної збіжності рядів 427

§ 6. Обгортальні та асимптотичні ряди. Формула Ейлера-Маклорена 531
462. Приклади 531
463. Визначення 533
464. Основні властивості асимптотичних розкладів 536
465. Висновок формули Ейлера-Маклорена 540
466. Дослідження додаткового члена 542
467. Приклади обчислень за допомогою формули Ейлера-Маклорена 544
468. Інший вид формули Ейлера-Маклорена 547
469. Формула та ряд Стерлінга 550

РОЗДІЛ ТРИНАДЦЯТИЙ. НЕОБЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ
§ 1. Невласні інтеграли з нескінченними межами 552
470. Визначення інтегралів із нескінченними межами 552
471. Застосування основної формули інтегрального обчислення 554
472. Приклади 555
473. Аналогія з рядами. Найпростіші теореми 558
474. Східність інтеграла у разі позитивної функції 559
475. Схожість інтеграла у загальному випадку 561
476. Ознаки Абеля та Діріхле 563
477. Приведення невласного інтеграла до нескінченного ряду 566
478. Приклади 569

§ 2. Невласні інтеграли від необмежених функцій 577
479. Визначення інтегралів від необмежених функцій 577
480. Зауваження щодо особливих точок 581
481. Застосування основний формули інтегрального обчислення. Приклади
482. Умови та ознаки існування інтеграла 584
483. Приклади 587
484. Основні значення невласних інтегралів 590
485. Зауваження про узагальнені значення розбіжних інтегралів 595

§ 4. Особливі прийоми обчислення невласних інтегралів 611
492. Деякі чудові інтеграли 611
493. Обчислення невласних інтегралів з допомогою інтегральних сум. Випадок інтегралів із кінцевими межами
494. Випадок інтегралів з нескінченною межею 617
495. Інтеграли Фрулані 621
496. Інтеграли від раціональних функцій між нескінченними межами
497. Змішані приклади та вправи 629

§ 5. Наближене обчислення невласних інтегралів 641
498. Інтеграли з кінцевими межами; виділення особливостей 641
499. Приклади 642
500. Зауваження щодо наближеного обчислення власних інтегралів
501. Наближене обчислення невласних інтегралів із нескінченною межею
502. Використання асимптотичних розкладів 650
РОЗДІЛ ЧОТИРНАДЦЯТИЙ. ІНТЕГРАЛИ, ЗАЛЕЖНІ ВІД ПАРАМЕТРУ
§ 1. Елементарна теорія 654
503. Постановка задачі 654
504. Рівномірне прагнення граничної функції 654
505. Перестановка двох граничних переходів 657
506. Граничний перехід під знаком інтеграла 659
507. Диференціювання під знаком інтеграла 661
508. Інтегрування під знаком інтеграла 663
509. Випадок, коли межі інтеграла залежать від параметра 665
510. Введення множника, що залежить лише від х 668
511. Приклади 669
512. Гауссовий доказ основної теореми алгебри 680
§ 2. Рівномірна збіжність інтегралів 682
513. Визначення рівномірної збіжності інтегралів 682
514. Умова рівномірної збіжності. Зв'язок із рядами 684
515. Достатні ознаки рівномірної збіжності 684
516. Інший випадок рівномірної збіжності 687
517. Приклади 689

§ 5. Ейлерові інтеграли 750
529. Ейлеров інтеграл першого роду 750
530. Ейлеров інтеграл другого роду 753
531. Найпростіші властивості функції Р 754
532. Однозначне визначення функції Р її властивостями 760
533. Інша функціональна характеристика функції Р 762
534. Приклади 764
535. Логарифмічна похідна функції Г 770
536. Теорема множення для функції Р 772
537. Деякі розкладання до лав та творів 774
538. Приклади та доповнення 775
539. Обчислення деяких певних інтегралів 782
540. Формула Стерлінга 789
541. Обчислення ейлерової постійної 792
542. Упорядкування таблиці десяткових логарифмів функції Г 793
Алфавітний покажчик 795
алфавітний покажчик