Рівняння пуассона для потенціалу електростатичного поля. Рівняння пуассона та математична постановка задач електростатики

Теорема Гауса застосовна лише тіл простої конфігурації. Рівняння Пуассона - Лапласа дозволяє вирішувати набагато складніші завдання, ці рівняння використовуються у всіх стаціонарних поляхяк електричних, так і магнітних.

Винесемо знак "-" за знак дивергенції:

.

Замінимо divі gradна :

.

- Рівняння Пуассона;

- Рівняння Лапласа;

- Лапласан.

У декартовій системікоординат:

- Рівняння Лапласа;

- Рівняння Пуассона.

Якщо залежить тільки від 1-ї координати, то завдання вирішується 2-х кратним інтегруванням по цій координаті, при 2-х і більше координат для вирішення рівняння існують спеціальні методи: метод сіток, числовий методрозрахунку.

Теорема єдиності рішення

Рівняння Пуассона Лапласа, що описує електричне поле, є рівнянням приватних похідних. Отже, існує безліч незалежних рішень один від одного.

Існує теорема єдиності рішення:

З усієї безлічі функцій, що задовольняють рівняння Пуассона – Лапласа існує лише одна, що задовольняє граничним умовам.

До неї формулюють два наслідки:

Поле в деякій частині простору не зміниться, якщо з іншого боку межі розділу двох середовищ проводиться перерозподіл зарядів так, щоб граничні умови не змінилися

Еквіпотенційну поверхню можна замінити на металеву, повідомивши останній деякий потенціал.

Метод дзеркальних зображень

Якщо електричні заряди розташовані поблизу кордону двох різнорідних середовищ, то вектор поля можна визначити, застосувавши штучний метод розрахунку, який називається методом дзеркальних зображень.

Ідея методу полягає в тому, що замість неоднорідного середовища розглядається однорідне середовище, вплив неоднорідності враховується введенням фіктивних зарядів, записують граничні умови основного завдання і, користуючись ними, знаходять шукані вектори поля. Найбільш зручний цей метод для розрахунку межі розділу двох середовищ правильної форми.

Розрахунок на межі поділу двох середовищ

Поле зарядженої осі, розташованої поблизу площини, що проводить.

(Діелектрик - Провідник)

Заряджена вісь розташована в діелектриці паралельно поверхні провідного середовища. Потрібно визначити характер поля у верхній напівплощині (діелектриці).

В результаті електростатичної індукції на поверхні провідного тіла виступають заряди. Щільність їх змінюється із зміною координати x. Ці заряди впливають на полі та їх вплив треба враховувати. Врахувати вплив зарядів, що виступили на поверхні провідного тіла внаслідок електростатичної індукції, дуже складно, тому що треба знати закон розподілу їх по поверхні провідного тіла. Це завдання легко можна вирішити, використовуючи метод дзеркальних зображень. Відповідно до методу вплив зарядів, розташованих на поверхні провідного тіла, враховується введенням фіктивного зосередженого заряду, розташованого в дзеркальне відображеннящодо кордону, при цьому вважається, що весь простір заповнений діелектриком. Фіктивний заряд дорівнює модулю дійсному і має протилежний знак.

Доведемо це. Напруженість поля від двох зарядів
і
у будь-якій точці поля має лише нормальну до кордону складову (виконано граничну умову
). Потенціал від кожної осі задовольняє рівняння Лапласа
(Висновок уч. Безсонів ТОЕ стор. 42 (формула для потенціалу зарядженої осі підставляється в рівняння Лапласа в циліндричній системі координат)). З теореми єдиності рішення отримане рішення є істинним.

Заряджена вісь, розташована в діелектриці паралельно поверхні провідного середовища. Потрібно визначити напруженість електростатичного поля та потенціал у точці А.

Застосуємо метод дзеркальних зображень. А напруженість поля та потенціал у точці А знайдемо, використовуючи метод накладання

;

;

;
.

для точки
:
.

Визначимо силу тяжіння дроту до провідної поверхні:

.

Поле зарядженої осі, розташованої поблизу плоскої межі розділу двох діелектриків з різними діелектричними проникненнями

(Діелектрик - Діелектрик)

У цьому випадку індуковані на межі розділу не скомпенсовані пов'язані заряди впливають на поле в обох сферах, для обліку їх вводять два фіктивні заряди. У цьому завдання треба задовольнити двома граничними умовами.

а) Якщо реальний провід та досліджувана точка знаходяться в одному середовищі, то поле розраховують від двох зарядів: дійсного , весь простір заповнений діелектриком, в якому знаходиться точка, що досліджується.

б) Якщо реальний провід та досліджувана точка перебувають у різних середовищах, то поле у ​​будь-якій точці нижнього напівпростору визначають як поле від деякого додаткового заряду . Весь простір заповнений діелектриком того середовища, де знаходиться точка, що досліджується.

З умови рівності тангенційних складових напруженості поля:

.

З умови рівності нормальних складових вектора електричного усунення:

.

.

Вирішуючи спільно, отримуємо:

;

;
.

Знак буде збігатися з якщо
.

Знак буде завжди як .

Заряджена вісь розташована в діелектриці паралельно поверхні іншого діелектрика. Потрібно визначити напруженість електростатичного полята потенціал у точці А та В. Нехай
.

Розглянемо точку А. Вона лежить в одному середовищі із зарядженою віссю. Застосовуємо метод дзеркальних відбитків. Все заповнюємо середовищем з діелектричною проникністю . Поле розраховуємо від двох зарядів: дійсного та дзеркально відбитого фіктивного заряду . Застосуємо метод дзеркальних зображень. Напруженість поля та потенціал у точці А знайдемо, використовуючи метод накладання:

;

;

;
.

Приймемо точку з нульовим потенціалом на межі розділу під одним із дротів

.

Розглянемо точку В. Вона лежить у різних середовищах із зарядженою віссю. Застосовуємо метод дзеркальних відбитків. Все заповнюємо середовищем з діелектричною проникністю . Полі розраховуємо від фіктивного заряду , розташованого в тій самій точці, де знаходився реальний заряд .

;

.

Зауваження: якщо точка, що досліджується, лежить на поверхні проводу, то відстань від проводу до досліджуваної точки дорівнює радіусу проводу.

Точковий заряд поблизу кордону

Діелектрик – Провідник та Діелектрик – Діелектрик

Якщо поле створюється не зарядженою віссю, а точковим зарядом, вся методика розрахунків зберігається.

Точковий заряд лежить поблизу межі діелектрика – провідника. Знайти напруженість та потенціал поля у точці А.

Я хотів би з пізнавальною метою розповісти про рівняння, які застосовувалися при виведенні рівняння Дебая-Хюккеля. Це рівняння Пуассона та розподіл Больцмана.

Рівняння Пуассона

Ми з'ясували, що квазінейтральна плазма в рівноважному стані і що під дією електричного полявід зарядів, що рухаються, заряджені частинки зміщуються на дебаївську довжину і поле в межах цієї довжини згасає. В електростатиці взаємодія заряджених частинок описується кулонівським рівнянням:

Де – величини взаємодіючих точкових зарядів, - Квадрат відстані між зарядами. Коефіцієнт k є константою. Якщо ми використовуємо систему в електростатичних одиницях СГС, що позначаються СГСЕq, то k = 1. Якщо використовується система СІ, то де - діелектрична проникність середовища, в якому розташовані заряди, - електрична постійна, рівна 8,86 ∙ .

У фізиці безпосередньо силою не користуються, а вводять поняття електростатичного поля розподілених зарядів та вимірюють поле завбільшки напруженості електричного поля. Для цього в кожну точку поля подумки поміщають одиничний пробний заряд і вимірюють силу, з якою поле зарядів діє на пробний заряд:

звідси випливає глибокий сенсрізниці потенціалів. Якщо зафіксувати точку Р1 і переміщувати заряд змінну точку Р2, то робота залежить тільки від положення другої точки Р2. У такий спосіб ми можемо запровадити поняття потенціалу. Потенціал – це силова функція, що показує яку необхідно виконати роботу полю, щоб перемістити заряд з нескінченності в дану точку P2, де умовно приймають потенціал у нескінченності рівним нулю.

Щоб зрозуміти рівняння Пуассона, необхідно розумітися на «особливій» векторній математиці. Я коротко розповім про такі поняття як градієнт поля та дивергенції (маю на увазі, що читач знайомий з математичним аналізом)
Нехай f(x,y,z) є деякою безперервною функцією координат, що диференціюється. Знаючи її похідні в кожній точці простору можна побудувати вектор, компоненти якого x, y, z рівні відповідним приватним похідним:

Тепер повернемося до електростатичного поля E. З одного боку зміна потенціалу при переході з однієї точки до іншої має такий вигляд:

Перш ніж показати, як виходить рівняння Пуассона, важливо знати закон Гауса та теорему Гауса. Уявімо сферу, всередині якої знаходиться заряд q. Заряд створює навколо себе електричне поле напруженості E. Візьмемо потік вектора E

Теорема Гауса (повна назва теорема Гауса-Остроградського) є суто математичною теоремою про дивергенцію. Перепишемо повний потіквектора F наступним чином:

У ми розберемо важливий розподілз математичної статистики- Розподіл Больцмана.

Теги:

• фізика
• електростатики

Рівняння Лапласа та Пуассона

Рівняння

Якщо ввести оператор званий оператором Лапласа, то рівняння (1.110) та (1.111) запишуться відповідно

та .

До дослідження рівнянь Лапласа та Пуассона наводить розгляд завдань про стаціонарному процесі: це завдання гідродинаміки, дифузії, фільтрації, розподілу температури, електростатики та ін.

Ці рівняння відносяться до рівнянь еліптичного типу.

Ті завдання, які призводять до рівнянь, що містять час, називаються динамічнимиабо нестаціонарнимизавданнями математичної фізики; задачі, що призводять до рівнянь, що не містять час, називаються стаціонарнимиабо статичними.

Про постановку завдання математичної фізики

І її коректності

Як було показано, рівняння математичної фізики мають безліч рішень, що залежить від двох довільних функцій ( мова йдепро рівняння другого порядку для функції двох змінних). Для того, щоб з безлічі рішень виділити певний процес, що характеризує процес, необхідно на потрібну функцію накласти додаткові умови, які диктуються фізичними міркуваннями Тут можна провести аналогію зі звичайними диференціальними рівняннями, коли для виділення з загального рішенняприватного, який задовольняє деяким додатковим умовам, знаходилися з цих умов довільні постійні. Такими умовами рівнянь у приватних похідних є, найчастіше, початкові і граничні умови. Граничні умови– це умови, задані межі аналізованого середовища; початкові умови– умови, що належать до якогось моменту часу, з якого починається вивчення даного фізичного явища. Додаткові умови,

як і саме диференціальне рівняння, повинні вводитися з урахуванням фізичних міркувань, що з самим процесом. Разом з тим додаткові умови повинні бути такими, щоб забезпечити виділення з безлічі рішень єдиного рішення. Число граничних та початкових умов визначається типом рівняння, а їх вид – заданим вихідним станом на межі об'єкта та зовнішнього середовища. Для рівнянь, що ми розглядаємо, число початкових умов дорівнює порядку старшої похідної за часом, що входить до рівняння, а число граничних умов – порядку старшої похідної за координатою.

Сукупність диференціального рівнянняі додаткових умов є математичне формулювання фізичної задачі і називається завданням математичної фізики.

Фізичне завданнявирішується за схемою:

1) реальний фізичний процес(Явлення, об'єкт) замінюється деяким ідеальним процесом (явленням, об'єктом) так, що останній значно простіше першогоразом із тим зберігає його основні риси (ідеалізація процесу);

2) вибирається величина (функція), що характеризує процес, та використовуються закони, за якими він відбувається;

3) на підставі обраних законів виводиться диференціальне рівняння для величини, що характеризує процес;

4) виводяться додаткові умови – початкові та граничні – також відповідно до обраних законів.

Отже, завдання математичної фізики полягає у пошуку рішень рівнянь у приватних похідних, які задовольняють деяким додатковим умовам, скажімо, граничним і початковим.

Завдання математичної фізики вважається поставленою коректно, якщо розв'язання задачі, що задовольняє всім її умовам, існує єдино і стійко; останнє означає, що малі зміни будь-якого з даних завдання викликають малу зміну рішення. Вимога стійкості потрібна з наступної причини. У даних будь-який конкретного завданняособливо якщо вони отримані з досвіду, завжди міститься деяка похибка, і потрібно, щоб мала похибка у вихідних даних призводила до малої неточності у вирішенні. Ця вимога виражає фізичну визначеність поставленого завдання.

Приклади

ПРИКЛАД 2.36. З'ясувати, чи наведені нижче рівності диференціальними рівняннями у приватних похідних:

Рішення.Перетворимо рівняння а)

Дане рівняння є рівнянням у приватних похідних, оскільки до нього входять приватні похідні другого порядку

і .

Рівняння б) не є рівнянням у приватних похідних, тому що до нього входить лише функція . Дійсно, розкриваючи , отримаємо

ПРИКЛАД 2.37. З'ясувати, які з наступних рівнянь є лінійними (однорідними чи неоднорідними) та які нелінійними:

Рішення.Порівнюючи дані рівняння з формою (1.4), укладаємо, що

Рівняння а) є неоднорідне лінійне рівняння другого порядку, котрим ;

Рівняння б) нелінійне, оскільки воно є лінійним щодо старших приватних похідних;

Рівняння в) є однорідним лінійним рівняннямтретього порядку.

ПРИКЛАД 2.38. Розв'язати рівняння .

Рішення.Ясно, що функція не залежить від змінної , але може бути будь-якою функцією від : , Оскільки, диференціюючи по , отримаємо нуль, а це означає, що ця рівність виконується. Таким чином, рішення рівняння містить одну довільну функцію.

ПРИКЛАД 2.39. Вирішити рівняння , де задана функція.

Рішення.Інтегруючи по , відновимо потрібну функцію

Де довільна функція.

Отже, рішення рівнянь у прикладах 2.38 та 2.39 містять одну довільну функцію . Таке рішення називається загальним. На відміну від загального рішення звичайного диференціального рівняння першого порядку, яке містить одну довільну постійну, рішення рівняння у приватних похідних першого порядку містить одну довільну функцію.

ПРИКЛАД 2.40. Розв'язати рівняння .

Рішення.Перепишемо рівняння так: . Покладемо , після чого дане рівняннянабуває вигляду. Як було встановлено у прикладі 2.38, загальне рішення останнього рівняння має вигляд: де довільна функція. Вихідне рівняння набуде вигляду: . Проінтегрувавши отриманий результат по , отримаємо

де і довільні функції, що двічі диференціюються.

Легко перевірити, що знайдена функція задовольняє це рівняння.

Отже, рішення рівняння у приватних похідних другого порядку містить дві довільні функції. Таке рішення називають загальним.

Наведені як приклади рівняння дають підстави зробити висновок: загальне рішення рівняння у приватних похідних першого порядку містить одну довільну функцію, а загальне рішення рівняння другого порядку – дві довільні функції. У цьому полягає докорінна відмінність загального рішення рівняння у приватних похідних від загального рішення звичайного диференціального рівняння, яке містить одну і дві довільні постійні.

Надалі буде з'ясовано, які додаткові умови треба поставити, щоб з їхньою допомогою можна було виділити приватне рішення, тобто функцію, яка задовольняє як рівняння, так і додаткові умови.

Рівняння (10.2) встановлює зв'язок між потенціалом електростатичного поля та напруженістю цього поля. З цього рівняння можна отримати співвідношення між потенціалом та щільністю заряду. Для цього потрібно утворити дивергенцію обох частин цього рівняння і потім скористатися формулою (6.5):

Згідно правил векторного аналізу[див. рівняння (40)

так що рівняння (11.1) може бути записано так:

Це диференціальне рівняння зветься рівняння Пуассона. У тих ділянках поля, де немає електричних зарядів

Рівняння це звертається до наступного:

Цей окремий вид рівняння Пуассона зветься рівняння Лапласа.

Рівняння Пуассона дозволяє визначити потенціал поля об'ємних зарядів, якщо відомо розташування цих зарядів. Рішення (інтеграл) цього диференціального рівняння (за певних граничних умов) має, очевидно, збігатися з виведеною раніше формулою (8.8):

Надалі ми доведемо це безпосереднім обчисленням. Поки що зазначимо, що з вирішення деяких завдань зручніше виходити з інтеграла (8.8), а безпосередньо з диференціального рівняння (11.3).

приклад. Визначити густину термоіонного струму між двома нескінченними плоскими електродами у вакуумі. Приклад цей застосування рівняння Пуассона взятий не з електростатики, а з вчення про струм і має велике значеннядля теорії катодних (підсилювальних) ламп.

Відомо, що розжарені метали випускають зі своєї поверхні навколишній простір потік вільних електронів. Якщо до двох металевих електродів додати певну різницюпотенціалів і розжарити негативний електрод (катод), то електрони, що безперервно випускаються розжареним катодом, будуть притягуватися до поверхні позитивного електрода (анода). Потік електронів, що рухаються від катода до анода, еквівалентний електричному струму. Струм цей називається термоіонним.

Виберемо осі декартових координаттак, щоб початок їх знаходився на катоді, а вісь х була перпендикулярна площині електродів і спрямована до анода. Приймемо потенціал катода рівним нулю, а потенціал анода рівним З міркувань симетрії випливає, що еквіпотенційні поверхніпаралельні електродам, тому й рівняння Пуассона у просторі між електродами набуває вигляду

Якщо позначити через число електронів, що припадають на одиницю об'єму у просторі між електродами на відстані х від катода, а через абсолютну величинузаряду електрона, то щільність заряду на

цій відстані буде:

Припустимо для простоти, що електрони, що випускаються катодом, при виході з його поверхні не володіють ніякою початковою швидкістю. На шляху від катода до анода сили електричного поля виконуватимуть над електронами заряду роботу - яка, очевидно, переходитиме в кінетичну енергіюрухи електронів. Позначаючи через швидкість електрона на відстані х від катода, а через потенціал на тій самій відстані, отримаємо

де 771 – маса електрона. Зрештою, щільність електричного струму, Т. е. заряд, що протікає за одиницю часу через перпендикулярну струму (т. е. перпендикулярну до осімайданчик у рівні, очевидно:

бо є кількість електронів, що проходять за одиницю часу через цей майданчик. На відміну від щільності струму є постійна величина, яка не залежить від х, бо після досягнення стаціонарного станучерез будь-яку паралельну електродам площина проходить, очевидно, однакове числоелектронів.

Виключимо з рівняння (11.5) усі невідомі функції х, крім насамперед.

Але з (11.6) випливає, що

стало бути,

Вводячи позначення А - отримаємо

Як легко переконатися підстановкою, рішення цього диференціального рівняння, яке, згідно з умовою завдання, звертається на катоді в нуль і, крім того, задовольняє умові

Якщо позначити відстань від анода до катода через I, то при потенціал повинен звертатися в так,

Таким чином, щільність термоіонного струму не підпорядковується закону Ома, а зростає пропорційно до ступеня 3/2 прикладеного до електродів напруги і обернено пропорційно квадрату відстані між ними. Ця відмінність законів термоіонного струму від законів струму в металах обумовлюється двома причинами. По-перше, електрони в металах стикаються з позитивними іонами, що утворюють твердий скелет металу, і зазнають завдяки цьому опір своєму руху, відсутнє при русі у вакуумі 1). По-друге, при термоіонному струмі у просторі між електродами знаходяться лише вільні електрони, заряд яких не компенсується зарядом позитивних іонів, як це має місце в металах, внаслідок чого поле цього так званого просторового заряду спотворює поле електродів.

Зазначимо, що формула (11.9) перестає бути справедливою при великих щільностяхструму 2). При підвищенні потенціалу анода настає момент, коли всі електрони, що виділяються катодом, негайно ж захоплюються до анода. Подальше підвищенняпотенціалу анода не може, очевидно, повести до збільшення густини струму, яка, таким чином, досягає постійного значення(Струм насичення).

Завдання 10. Нехай означає відстань даної точки простору від певної довільно обраної початкової точкиПоказати, що скаляр

задовольняє рівняння Лапласа

Крапка не розглядається.

Завдання 11. Нескінченна плоска пластина завтовшки 2а рівномірно заряджена електрикою з об'ємною щільністюВісь х перпендикулярна пластині, початок координат розташовано в серединній площині, що рівновіддаляється від обох поверхонь пластини. Показати, що потенціал поля всередині та поза пластиною дорівнює відповідно:

а вектор спрямований уздовж осі х від серединної площини і чисельно дорівнює:

Порівняти цей випадок із граничним випадком нескінченної зарядженої площини (§ 4).

Завдання 12. Знайти потенціал поля кулі, рівномірно зарядженого за своїм обсягом [формула (8.12)], виходячи з рівняння Пуассона у сферичних координатах.

Рівняння Пуассона та Лапласа є основними рівняннями електростатики. Вони випливають з теореми Гауса в диференційної форми. Дійсно, відомо, що Е = - grad j. Водночас згідно з теоремою Гауса

Підставимо у (11.22) E з (11.7). Отримаємо

.

Винесемо мінус за знак дивергенції

.

Замість писати gradj,запишемо його еквівалент Ñj. Замість div напишемо Ñ. Тоді

Рівняння (11.27) називається рівнянням Пуассона. Приватний виглядрівняння Пуассона, коли ρ свб = 0 називається рівнянням Лапласа. Рівняння Лапласа запишеться так:

Оператор називають оператором Лапласа або лапласіаном і іноді позначають ще символом D. Тому можна зустріти іноді таку форму запису рівняння Пуассона:

Розкриємо в декартовій системі координат. З цією метою добуток двох множників Ñ і запишемо у розгорнутому вигляді

Зробимо почленное множення і отримаємо

.

Таким чином, рівняння Пуассона в системі декартової координат запишеться наступним чином:

. (11.29)

Рівняння Лапласа в системі декартової координат

. (11.30)

Наведемо без виведення виразу Ñ 2 j в циліндричній системі координат

, (11.31)

у сферичній системі координат (11.32)

Рівняння Пуассона дає зв'язок між приватними похідними другого порядку від jу будь-якій точці поля та об'ємною щільністю вільних зарядів у цій точці поля. У той же час потенціал jв будь-якій точці поля залежить, зрозуміло, від усіх зарядів, що створюють поле, а не тільки від величини вільного заряду, що знаходиться в цій точці.

Рівняння Лапласа (1780) спочатку було застосовано для опису потенційних полів небесної механікита згодом було використано для опису електричних полів. Рівняння Пуассона застосовується до дослідження потенційних полів (електричних та магнітних) з 1820 року.

Розглянемо питання про те, як у загальному виглядіможе бути записано рішення рівняння Пуассона. Нехай обсягом Vє об'ємні (r), поверхневі (s) та лінійні (t) заряди. Ці заряди представимо у вигляді сукупностей точкових зарядів rdV, sds, tdl; dV- Елемент об'єму, ds-Елемент зарядженої поверхні, dl- Елемент довжини зарядженої осі. Складова потенціалу djв деякій точці простору, віддаленої від rdVна відстань R, відповідно до формули (11.20) дорівнює

Складові потенціалу від поверхневого та лінійного зарядів, розглядаючи їх як точкові, визначимо аналогічним чином:

Повне значення jвизначиться як сума (інтеграл) складових потенціалу від усіх зарядів у полі:

. (11.33)

У формулі (11.33) r,sі tє функції радіусу R. Практично формулою (11.33) користуються рідко, оскільки розподіл sпо поверхні, tпо довжині та rза обсягом складним чином залежить від конфігурації електродів і, зазвичай, перед проведенням розрахунку невідомо. Іншими словами, невідомо, як r, sі tзалежать від радіусу R.

Граничні умови

Під граничними умовами розуміють умови, яким підпорядковується поле на межах поділу середовищ із різними електричними властивостями. При вивченні розділу «перехідні процеси» винятково велике значення мало питання про початкові умови і закони комутації. Початкові умови та закони комутації дозволяли визначити постійні інтегрування під час вирішення завдань класичним методом. У класичному методівони використовувалися у явному вигляді, в операторному методі – у прихованому. Без використання їх не можна вирішити жодного завдання на перехідні процеси.

Можна провести паралель між роллю граничних умов в електричному (і в будь-якому іншому) полі та роллю початкових умов та законів комутації при перехідних процесах. При інтегруванні рівняння Лапласа (або Пуассона) до рішення увійдуть постійні інтегрування. Їх і визначають, з граничних умов. Перш ніж перейти до детального обговорення граничних умов, розглянемо питання про поле всередині провідного тіла в умовах електростатики.