Що лежить в основі правильної чотирикутної піраміди. Об'єм чотирикутної піраміди

Вступ

Коли ми почали вивчати стереометричні фігури, торкнулися теми «Піраміда». Нам сподобалася ця тема, тому що піраміда часто-густо вживається в архітектурі. І оскільки наша майбутня професіяархітектора, надихнувшись цією фігурою, ми думаємо, що вона зможе підштовхнути нас до чудових проектів.

Міцність архітектурних споруд, найважливіша їх якість. Зв'язуючи міцність, по-перше, з тими матеріалами, з яких вони створені, а по-друге, з особливостями конструктивних рішень, Виявляється, міцність споруди безпосередньо пов'язана з тією геометричною формою, яка є для нього базовою.

Іншими словами, мова йдепро ту геометричну фігуру, яка може розглядатися як модель відповідної архітектурної форми. Виявляється, що геометрична форматакож визначає міцність архітектурної споруди.

Найміцнішою архітектурною спорудою з давніх-давен вважаються єгипетські піраміди. Як відомо, вони мають форму правильних чотирикутних пірамід.

Саме ця геометрична форма забезпечує найбільшу стійкість за рахунок великої площіоснови. З іншого боку, форма піраміди забезпечує зменшення маси зі збільшенням висоти над землею. Саме ці дві властивості роблять піраміду стійкою, а отже, і міцною в умовах земного тяжіння.

Мета проекту: дізнатися щось нове про піраміди, поглибити знання та знайти практичне застосування

Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:

· Дізнатися історичні відомості про піраміду

· Розглянути піраміду, як геометричну фігуру

· Знайти застосування в житті та архітектурі

· Знайти подібність та відмінність пірамід, розташованих у різних частинахсвітла

Теоретична частина

Історичні відомості

Початок геометрії піраміди було покладено в Стародавньому Єгипті та Вавилоні, проте активний розвиток отримав у Стародавню Грецію. Першим, хто встановив, чому дорівнює обсяг піраміди, був Демокріт, а довів Євдокс Кнідський. Давньогрецький математикЕвклід систематизував знання про піраміду в XII томісвоїх «Почав», а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які сходяться в одній точці.

Усипальниці єгипетських фараонів. Найбільші з них - піраміди Хеопса, Хефрена і Мікеріна в Ель-Гізі в давнину вважалися одним із Семи чудес світу. Зведення піраміди, в якому вже греки і римляни бачили пам'ятник небаченої гордині царів і жорстокості, що прирік весь народ Єгипту на безглузде будівництво, було найважливішим культовим діянням і мало висловлювати, мабуть, містичне тотожність країни та її правителя. Населення країни працювало на будівництві гробниці у вільну від сільськогосподарських робіт частину року. Ряд текстів свідчить про ту увагу і турботу, які самі царі (щоправда, пізнішого часу) приділяли зведенню своєї гробниці та її будівельникам. Відомо також про особливі культові почесті, які виявлялися самій піраміді.

Основні поняття

Пірамідоюназивається багатогранник, основа якого – багатокутник, інші грані – трикутники, мають загальну вершину.

Апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини;

Бічні грані- трикутники, що сходяться у вершині;

Бічні ребра - спільні сторонибічних граней;

Вершина піраміди- точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить у площині основи;

Висота- відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди та основа перпендикуляра);

Діагональний переріз піраміди- переріз піраміди, що проходить через вершину та діагональ основи;

Заснування- багатокутник, якому належить вершина піраміди.

Основні властивостіправильної піраміди

Бічні ребра, бічні грані та апофеми відповідно рівні.

Двогранні кути при основі рівні.

Двогранні кути при бічних ребрах рівні.

Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи.

Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней.

Основні формули піраміди

Площа бічної та повної поверхні піраміди.

Площею бічної поверхні піраміди (повної та усіченої) називається сума площ усіх її бічних граней, площею повної поверхні – сума площ усіх її граней.

Теорема: Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему піраміди.

p- периметр основи;

h- Апофема.

Площа бічної та повної поверхонь усіченої піраміди.

p 1, p 2 - периметри основ;

h- Апофема.

Р- площа повної поверхні правильної усіченої піраміди;

S бік- площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди;

S 1 + S 2- площі основи

Об'єм піраміди

форм вузла об'єму використовується для пірамід будь-якого виду.

H- Висота піраміди.

Кути піраміди

Кути, які утворені бічною гранню та основою піраміди, називаються двогранними кутами при основі піраміди.

Двогранний кут утворюється двома перпендикулярами.

Щоб визначити цей кут, часто потрібно використовувати теорему про три перпендикуляри.

Кути, які утворені бічним ребром та його проекцією на площину основи, називаються кутами між бічним ребром і площиною основи.

Кут, який утворений двома бічними гранями, називається двогранним кутом при бічному ребрі піраміди.

Кут, який утворений двома бічними ребрами однієї грані піраміди, називається кутом при вершині піраміди.

Перерізи піраміди

Поверхня піраміди – це поверхня багатогранника. Кожна її грань є площиною, тому переріз піраміди, заданої січною площиною - це ламана лінія, Що складається з окремих прямих.

Діагональний переріз

Перетин піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не лежать на одній грані, називається діагональним перетиномпіраміди.

Паралельні перерізи

Теорема:

Якщо піраміда перетнута площиною, паралельної основито бічні ребра і висоти піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;

Перерізом цієї площини є багатокутник, подібний до основи;

Площі перерізу та основи відносяться один до одного як квадрати їх відстаней від вершини.

Види піраміди

Правильна піраміда– піраміда, основою якої є правильний багатокутник, і вершина піраміди проектується в центр основи.

У правильної піраміди:

1. бічні ребра рівні

2. бічні грані рівні

3. апофеми рівні

4. двогранні кути при основі рівні

5. двогранні кути при бічних ребрах рівні

6. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи

7. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней

Усічена піраміда– частина піраміди, укладена між її основою та січною площиною, паралельною основі.

Підстава та відповідні переріз усіченої піраміди називаються основами усіченої піраміди.

Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину іншої, називається висотою усіченої піраміди.

Завдання

№1. У правильній чотирикутній піраміді точка О – центр основи, SO=8 см, BD=30 см. Знайдіть бічне ребро SA.

Вирішення задач

№1. У правильної пірамідівсі грані та ребра рівні.

Розглянемо OSB: OSB-прямокутний прямокутник, т.к.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 = 64 +225 = 289

Піраміда в архітектурі

Піраміда - монументальна споруда у формі звичайної правильної геометричної піраміди, В якій бічні сторони сходяться в одній точці. За функціональним призначенням піраміди в давнину були місцем поховання або поклоніння культу. Основа піраміди може бути трикутною, чотирикутною або у формі багатокутника з довільним числомвершин, але найпоширенішою версією є чотирикутна основа.

Відомо чимала кількість пірамід, побудованих різними культурами Стародавнього світув основному як храми або монументи. До великих пірамід відносяться єгипетські піраміди.

По всій Землі можна побачити архітектурні спорудиу вигляді пірамід. Будівлі-піраміди нагадують про давні часи і дуже гарно виглядають.

Єгипетські пірамідинайбільші архітектурні пам'ятники Стародавнього Єгипту, Серед яких одне із «Семи чудес світу» піраміда Хеопса. Від підніжжя до вершини вона досягає 137, 3 м, а до того, як втратила верхівку, висота її була 146, 7 м.

Будівля радіостанції у столиці Словаччини, що нагадує перевернуту піраміду, була збудована у 1983 р. Крім офісів та службових приміщень, всередині обсягу знаходиться досить місткий концертний зал, який має один із найбільших органів у Словаччині.

Лувр, який "мовчить незмінно і велично, як піраміда", протягом століть переніс чимало змін перш, ніж перетворитися на найбільший музей світу. Він народився як фортеця, споруджена Пилипом Августом в 1190 р., яка незабаром перетворилася на королівську резиденцію. У 1793 р. палац стає музеєм. Колекції збагачуються завдяки заповітам чи покупкам.

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

Що таке піраміда?

Як вона виглядає?

Бачиш: у піраміди внизу. в основі») якийсь багатокутник, і всі вершини цього багатокутника з'єднані з деякою точкою в просторі (ця точка називається « вершина»).

У всій цій конструкції ще є бічні грані, бічні ребраі ребра основи. Ще раз намалюємо піраміду разом із усіма цими назвами:

Деякі піраміди можуть виглядати дуже дивно, але все одно це – піраміди.

Ось, наприклад, зовсім «коса» піраміда.

І ще трохи про назви: якщо в основі піраміди лежить трикутник, то піраміда називається трикутною, якщо чотирикутник, то чотирикутною, а якщо стокутник, то... здогадайся сам.

При цьому крапка, куди опустилася висота, називається основою висоти. Зверніть увагу, що в «кривих» пірамідах висотаможе взагалі опинитися поза пірамідою. Ось так:

І нічого в цьому страшного нема. Схоже на тупокутний трикутник.

Правильна піраміда.

Багато складний слів? Давай розшифруємо: «У підставі – правильний» – це зрозуміло. А тепер пригадаємо, що у правильного багатокутника є центр - точка, що є центром і , і .

Ну ось, а слова «вершина проектується в центр основи» означають, що основа висоти потрапляє саме в центр основи. Дивись, як рівненько і симпатично виглядає правильна піраміда.

Шестикутна: в основі - правильний шестикутник, вершина проектується в центр основи.

Чотирикутна: в основі - квадрат, вершина проектується в точку перетину діагоналей цього квадрата.

Трикутна: в основі - правильний трикутник, вершина проектується в точку перетину висот (вони ж і медіани, і бісектриси) цього трикутника.

Дуже важливі властивості правильної піраміди:

У правильній піраміді

• всі бічні ребра рівні.
• всі бічні грані – рівнобедрені трикутники і всі ці трикутники рівні.

Об'єм піраміди

Головна формула обсягу піраміди:

Звідки взялася саме? Це не так просто, і спочатку потрібно просто запам'ятати, що у піраміди і конуса у формулі об'єму є, а у циліндра - ні.

Тепер давай порахуємо обсяг найпопулярніших пірамід.

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне. Потрібно знайти в.

Це площа правильного трикутника.

Згадаймо, як шукати цю площу. Використовуємо формулу площі:

У нас "" - це, а "" - це теж, а.

Тепер знайдемо.

За теоремою Піфагора для

Чому ж одно? Це радіус описаного кола в, тому що пірамідаправильнаі, отже, – центр.

Так як - точка перетину та медіан теж.

(теорема Піфагора для)

Підставимо у формулу для.

І підставимо все у формулу обсягу:

Увага:якщо в тебе правильний тетраедр (тобто), то формула виходить такою:

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне.

Тут і шукати не треба; адже в основі - квадрат, і тому.

Знайдемо. За теоремою Піфагора для

Чи відомо нам? Ну майже. Дивись:

(Це ми побачили, розглянувши).

Підставляємо у формулу для:

А тепер і підставляємо у формулу обсягу.

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро.

Як знайти? Дивись, шестикутник складається з шести однакових правильних трикутників. Площу правильного трикутника ми вже шукали при підрахунку об'єму правильної трикутної піраміди, тут використовуємо знайдену формулу.

Тепер знайдемо (це).

За теоремою Піфагора для

Але чому ж одно? Це просто, тому що (і всі інші теж) правильний.

Підставляємо:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПІРАМІДА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Піраміда - це багатогранник, який складається з будь-якого плоского багатокутника (), точки, що не лежить у площині основи (вершина піраміди) і всіх відрізків, що з'єднують вершину піраміди з точками основи (бічні ребра).

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Правильна піраміда- піраміда, біля якої в основі лежить правильний багатокутник, а вершина піраміди проектується в центр основи.

Властивість правильної піраміди:

• У правильній піраміді всі бічні ребра рівні.
• Усі бічні грані – рівнобедрені трикутники і всі ці трикутники рівні.

Об'єм піраміди:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстіву них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Чотирикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить квадрат, а всі бічні грані є однаковими рівнобедреними трикутниками.

Цей багатогранник має безліч різних властивостей:

• Його бічні ребра та прилеглі до них двогранні кути рівні між собою;
• Площі бічних граней однакові;
• В основі правильної чотирикутної пірамідилежить квадрат;
• Висота, опущена з вершини піраміди, перетинається з точкою перетину діагоналей основи.

Всі ці властивості допомагають легко знаходити. Однак досить часто, крім неї, потрібно розрахувати обсяг багатогранника. Для цього застосовується формула об'єму чотирикутної піраміди:

Тобто обсяг піраміди дорівнює одній третій добутку висоти піраміди на площу основи. Оскільки дорівнює твору його рівних сторін, то ми відразу вписуємо у вираз обсягу формулу площі квадрата.
Розглянемо приклад розрахунку обсягу чотирикутної піраміди.

Нехай дана чотирикутна піраміда, в основі якої лежить квадрат зі стороною a = 6 см. Бічна грань піраміди дорівнює b = 8 см. Знайдіть об'єм піраміди.

Щоб знайти обсяг заданого багатогранника, нам знадобиться довжина його висоти. Тому ми знайдемо її, застосувавши теорему Піфагора. Спочатку розрахуємо довжину діагоналі. У синьому трикутнику вона буде гіпотенузою. Варто також пам'ятати, що діагоналі квадрата рівні між собою і в точці перетину діляться навпіл:


Тепер із червоного трикутника знайдемо необхідну нам висоту h . Вона дорівнюватиме:

Підставимо необхідні значення та знайдемо висоту піраміди:

Тепер, знаючи висоту, можемо підставляти всі значення формулу обсягу піраміди і розраховувати необхідну величину:

Ось таким чином, знаючи дещо простих формулМи змогли розрахувати обсяг правильної чотирикутної піраміди. Не забувайте, що дана величинавимірюється у кубічних одиницях.

Цей відеоурок допоможе користувачам отримати уявлення про тему Піраміда. Правильна піраміда. У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення. Розглянемо, що таке правильна піраміда і які властивості вона має. Потім доведемо теорему про бічній поверхні правильної піраміди.

У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення.

Розглянемо багатокутник А 1 А 2...А n, який лежить у площині α, та точку P, яка не лежить у площині (рис. 1). З'єднаємо точку Pз вершинами А 1, А 2, А 3, … А n. Отримаємо nтрикутників: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Рі так далі.

Визначення. Багатогранник РА 1 А 2 …А n, складений з n-кутника А 1 А 2...А nі nтрикутників РА 1 А 2, РА 2 А 3 …РА n А n-1 , називається n-вугільною пірамідою. Мал. 1.

Мал. 1

Розглянемо чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 2).

Р- Вершина піраміди.

ABCD- основа піраміди.

РА- Бокове ребро.

АВ- ребро основи.

З точки Ропустимо перпендикуляр РНна площину основи АВСD. Проведений перпендикуляр є висотою піраміди.

Мал. 2

Повна поверхняпіраміди складається з поверхні бічної, тобто площі всіх бічних граней, і площі основи:

S повн = S бік + S осн

Піраміда називається правильною, якщо:

• її основа - правильний багатокутник;
• відрізок, що з'єднує вершину піраміди з центром основи є її висотою.

Пояснення на прикладі правильної чотирикутної піраміди

Розглянемо правильну чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 3).

Р- Вершина піраміди. Заснування піраміди АВСD- правильний чотирикутник, тобто квадрат. Крапка Про, точка перетину діагоналей є центром квадрата. Значить, РВ- Це висота піраміди.

Мал. 3

Пояснення: у правильному n-кутник центр вписаного і центр описаного кола збігається. Цей центр називається центром багатокутника. Іноді кажуть, що вершина проектується до центру.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемоюі позначається h а.

1. всі бічні ребра правильної піраміди рівні;

2. бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

Доказ цих властивостей наведемо з прикладу правильної чотирикутної піраміди.

Дано: РАВСD- правильна чотирикутна піраміда,

АВСD- Квадрат,

РВ- Висота піраміди.

Довести:

1. РА = РВ = РС = РD

2.∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP Див. 4.

Мал. 4

Доведення.

РВ- Висота піраміди. Тобто, пряма РВперпендикулярна площині АВС, А значить, і прямим АТ, ВО, СОі DО, що лежить у ньому. Отже, трикутники РОА, РІВ, РІС, РОD- Прямокутні.

Розглянемо квадрат АВСD. З властивостей квадрата випливає, що АТ = ВО = СО = ДО.

Тоді у прямокутних трикутників РОА, РІВ, РІС, РОDкатет РВ- загальний та катети АТ, ВО, СОі DОрівні, отже, ці трикутники рівні за двома катетами. З рівності трикутників випливає рівність відрізків, РА = РВ = РС = РD.Пункт 1 доведено.

Відрізки АВі НДрівні, оскільки є сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Отже, трикутники АВРі ВCР -рівнобедрені та рівні по трьох сторонах.

Аналогічно отримуємо, що трикутники АВР, ВCР, СDР, DAPрівнобедрені та рівні, що й потрібно було довести у пункті 2.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему:

Для підтвердження виберемо правильну трикутну піраміду.

Дано: РАВС- правильна трикутна піраміда.

АВ = ВС = АС.

РВ- Висота.

Довести: . Див. Рис. 5.

Мал. 5

Доведення.

РАВС- правильна трикутна піраміда. Тобто АВ= АС = ВС. Нехай Про- центр трикутника АВСтоді РВ- Це висота піраміди. В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник АВС. Зауважимо, що .

Трикутники РАВ, РВС, РСА- рівні рівнобедрені трикутники (за якістю). У трикутної піраміди три бічні грані: РАВ, РВС, РСА. Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

S бік = 3S РАВ

Теорему доведено.

Радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м, висота піраміди дорівнює 4 м. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Дано: правильна чотирикутна піраміда АВСD,

АВСD- Квадрат,

r= 3 м,

РВ- Висота піраміди,

РВ= 4 м-коду.

Знайти: S бік. Див. Рис. 6.

Мал. 6

Рішення.

По доведеній теоремі, .

Знайдемо спочатку бік основи АВ. Нам відомо, що радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м.

Тоді м.

Знайдемо периметр квадрата АВСDзі стороною 6 м:

Розглянемо трикутник BCD. Нехай М- середина сторони DC. Так як Про- середина BD, То (м).

Трикутник DPC- рівнобедрений. М- середина DC. Тобто, РМ- медіана, а значить, і висота у трикутнику DPC. Тоді РМ- Апофема піраміди.

РВ- Висота піраміди. Тоді, пряма РВперпендикулярна площині АВС, а значить, і прямий ОМ, що лежить у ньому. Знайдемо апофему РМз прямокутного трикутника РОМ.

Тепер можемо знайти бічну поверхню піраміди:

Відповідь: 60 м 2 .

Радіус кола, описаного біля основи правильної трикутної піраміди, дорівнює м. Площа бічної поверхні дорівнює 18 м 2 . Знайдіть довжину апофеми.

Дано: АВСP- правильна трикутна піраміди,

АВ = ВС = СА,

R= м,

S бік = 18 м 2 .

Знайти: . Див. Рис. 7.

Мал. 7

Рішення.

У правильному трикутнику АВСдано радіус описаного кола. Знайдемо бік АВцього трикутника за допомогою теореми синусів.

Знаючи бік правильного трикутника (м), знайдемо його периметр.

По теоремі про площу бічної поверхні правильної піраміди , де h а- Апофема піраміди. Тоді:

Відповідь: 4 м.

Отже, ми розглянули, що таке піраміда, що таке правильна піраміда, довели теорему про бічну поверхню правильної піраміди. на наступному уроціми познайомимося з усіченою пірамідою.

Список літератури

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ(базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів/ Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. - 6-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: іл.

1. Інтернет портал «Яклас» ()
2. Інтернет портал «Фестиваль педагогічних ідей"Перше вересня" ()
3. Інтернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнє завдання

1. Чи може правильний багатокутник бути основою неправильної піраміди?
2. Доведіть, що ребра правильної піраміди, що не перетинаються, перпендикулярні.
3. Знайдіть величину двогранного кутапри стороні основи правильної чотирикутної піраміди, якщо апофема піраміди дорівнює стороні її основи.
4. РАВС- правильна трикутна піраміда. Побудуйте лінійний кутдвогранного кута на підставі піраміди.

Коли людина чує слово "піраміда", то одразу згадує величні єгипетські споруди. Проте древні кам'яні гіганти є лише одним із представників класу пірамід. У цій статті розглянемо з геометричної точкизору якості правильної чотирикутної піраміди.

Що таке піраміда у загальному випадку?

У геометрії під нею розуміють об'ємну фігуру, Отримати яку можна, якщо з'єднати всі вершини плоского багатокутника з однією єдиною точкою, що лежить в іншій площині, ніж цей багатокутник. Малюнок нижче показує 4 фігури, які задовольняють даному визначенню.

Ми бачимо, що перша фігура має трикутна основа, друга – чотирикутне. Дві останні представлені п'яти- та шестикутною основою. Однак бічна поверхнявсіх пірамід утворена трикутниками. Їх число точно дорівнює кількості сторін або вершин багатокутника на підставі.

Особливим типом пірамід, які від інших представниць класу відрізняються ідеальною симетрієює правильні піраміди. Щоб фігура була правильною, повинні виконуватися такі дві обов'язкові умови:

• у підставі має бути правильний багатокутник;
• бічна поверхня фігури має складатися з рівних рівнобедрених трикутників.

Зазначимо, що друге обов'язкова умоваможна замінити іншим: перпендикуляр, проведений до основи з вершини піраміди (точка перетину бічних трикутників), повинен перетинати цю основу в геометричному центрі.

Тепер перейдемо до статті і розглянемо, які властивості правильної чотирикутної піраміди характеризують її. Спочатку покажемо малюнку, як виглядає ця постать.

Її основа є квадратом. Бічні сторонипредставляють 4 однакові рівнобедрених трикутника(Вони також можуть бути рівносторонніми при певному співвідношенні довжини сторони квадрата і висоти фігури). Опущена з вершини піраміди висота перетне квадрат у його центрі (точка перетину діагоналей).

Ця піраміда має 5 граней (квадрат і чотири трикутники), 5 вершин (чотири з них належать основі) та 8 ребер. четвертого порядку, що проходить через висоту піраміди, переводить її в себе шляхом повороту на 90 o .

Єгипетські піраміди в Гізі є правильними чотирикутними.

Чотири основні лінійні параметри

Почнемо розгляд математичних властивостейправильної чотирикутної піраміди з формул висоти, довжини сторони основи, бічного ребра та апофеми. Відразу скажемо, що всі ці величини пов'язані один з одним, тому достатньо знати тільки дві з них, щоб однозначно обчислити дві, що залишилися.

Припустимо, що відома висота h піраміди і довжина сторони квадратної основи, тоді бічне ребро b буде дорівнює:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Тепер наведемо формулу для довжини a b апофеми (висота трикутника, опущена на бік основи):

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Очевидно, що бічне ребро b завжди більше апофеми a b.

Обидва вирази можна застосовувати визначення всіх чотирьох лінійних характеристик, якщо відомі інші два параметри, наприклад a b і h.

Площа та обсяг фігури

Це ще два важливих властивостейа правильної чотирикутної піраміди. Основа фігури має таку площу:

Цю формулу знає кожен школяр. Площа бічної поверхні, яка утворена чотирма однаковими трикутникамиможна визначити через апофему a b піраміди так:

Якщо a b невідома, то можна її визначити за формулами з попереднього пункту через висоту h або ребро b.

Загальна площа поверхні фігури складається з площ S o і S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Розрахована площа всіх граней піраміди показана малюнку нижче як її розгортки.

Опис властивостей правильної чотирикутної піраміди не буде повним, якщо не розглянути формулу визначення її обсягу. Ця величина для аналізованої піраміди обчислюється так:

Тобто V дорівнює третій частині добутку висоти фігури на площу її основи.

Властивості правильної зрізаної чотирикутної піраміди

Отримати цю фігуру можна з вихідної піраміди. Для цього необхідно зрізати верхню частинупіраміди площиною. Фігура, що залишилася під площиною зрізу, буде називатися пірамідою усіченою.

Найзручніше вивчати характеристики усіченої піраміди, якщо її підстави паралельні одна одній. У цьому випадку нижня та верхня основи будуть подібними багатокутниками. Оскільки в чотирикутній правильній піраміді основа - це квадрат, то утворений при зрізі перетин теж представлятиме квадрат, але вже меншого розміру.

Бічна поверхня усіченої фігури утворена не трикутниками, а рівнобедреними трапеціями.

Однією з важливих властивостей цієї піраміди є її обсяг, який розраховується за такою формулою:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √ (S o1 × S o2))

Тут h - відстань між основами фігури, S o1 , S o2 - площі нижньої та верхньої основ.