Координатний промінь із одиничним відрізком. Поодинокий відрізок

Так одиничний відрізок і його десята, сота і так далі частини дозволяють нам потрапити в точки координатної прямої, яким будуть відповідати кінцеві десяткові дроби(як у попередньому прикладі). Однак на координатній прямій існують точки, в які ми не можемо потрапити, але до яких ми можемо підійти як завгодно близько, використовую все менші і менші до нескінченно малої частки одиничного відрізка. Цим точкам відповідають нескінченні періодичні та неперіодичні десяткові дроби. Наведемо кілька прикладів. Однією з таких точок координатної прямої відповідає число 3,711711711…=3,(711) . Щоб підійти до цієї точки потрібно відкласти 3 одиничні відрізки, 7 його десятих часток, 1 соту частку, 1 тисячну, 7 десятитисячних часток, 1 стотисячну, 1 мільйонну частку одиничного відрізка і так далі. А ще одній точці координатної прямої відповідає пі (π = 3,141592 ...).

Оскільки елементами безлічі дійсних чисел є всі числа, які можна записати у вигляді кінцевих і нескінченних десяткових дробів, то вся вищевикладена в цьому пункті інформація дозволяє стверджувати, що кожній точці координатної прямої ми поставили у відповідність конкретне дійсне число, при цьому зрозуміло, що різним точкам відповідають різні дійсні числа.

Також досить очевидно, що ця відповідність є взаємно однозначною. Тобто ми можемо вказаній точці на координатній прямій поставити у відповідність дійсне число, але ми також можемо за цим дійсному числувказати конкретну точку на координатній прямій, якій відповідає це дійсне число. Для цього нам доведеться відкласти від початку відліку в потрібному напрямку певну кількістьодиничних відрізків, а також десятих, сотих і так далі часток одиничного відрізка. Наприклад, числу 703,405 відповідає точка на координатній прямій, в яку з початку відліку можна потрапити, відклавши в позитивному напрямку 703 одиничних відрізка, 4 відрізки, що становлять десяту частку одиничного, і 5 відрізків, що становлять тисячну частку одиничного.

Отже, кожній точці на координатній прямій відповідає дійсне число, і кожне дійсне число має місце у вигляді точки на координатній прямій. Ось чому координатну пряму часто називають числовий прямий.

Координати точок на координатній прямій

Число, відповідне точціна координатній прямій, називається координатою цієї точки.

У попередньому пункті ми сказали, що кожному дійсному числу відповідає єдина точка на координатній прямій, тому координата точки однозначно визначає положення цієї точки на координатній прямій. Іншими словами, координата точки однозначно задає цю точку на координатній прямій. З іншого боку, кожній точці на координатній прямій відповідає єдине дійсне число – координата цієї точки.

Залишилося сказати лише про прийнятих позначеннях. Координату точки записують у круглих дужках праворуч від літери, якою позначена точка. Наприклад, якщо точка М має координату -6 можна записати М(-6) , а запис виду означає, що точка М на координатній прямий має координату .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.

Ця стаття присвячена розбору таких понять, як координатний промінь та координатна пряма. Ми зупинимося на кожному понятті та детально розглянемо приклади. Завдяки цій статті ви зможете освіжити свої знання або ознайомитись з темою без допомоги викладача.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того щоб визначити поняття координатного променя, слід мати уявлення про те, що таке промінь.

Визначення 1

Промінь- це геометрична фігура, яка має початок відліку координатного променя та напрямок руху. Пряму зазвичай зображують горизонтально, вказуючи напрямок праворуч.

На прикладі бачимо, що O є початком променя.

Приклад 1

Координатний проміньзображується за тією ж схемою, але суттєво відрізняється. Ми ставимо точку відліку та відміряємо одиничний відрізок.

Приклад 2

Визначення 2

Поодинокий відрізок- це відстань від 0 до точки, вибраної для виміру.

Приклад 3

Від кінця одиничного відрізка потрібно відкласти кілька штрихів та зробити розмітку.

Завдяки маніпуляціям, які ми зробили з променем, він став координатним. Підпишіть штрихи натуральними числами в послідовності від 1 - наприклад, 2, 3, 4, 5 ...

Приклад 4

Визначення 3

- Це шкала, яка може тривати до нескінченності.

Найчастіше його зображують променем з початком у точці O і відкладають єдиний одиничний відрізок. Приклад вказано малюнку.

Приклад 5

Ми в будь-якому випадку зможемо продовжити шкалу до того числа, яке нам потрібне. Ви можете записувати числа як зручно – під променем чи над ним.

Приклад 6

Для відображень координат променя можуть використовуватися як великі, як і малі літери.

Принцип зображення координатної прямої практично відрізняється від зображення променя. Все просто - прокресліть промінь і доповніть до прямої, надавши позитивний напрямок, який вказується стрілкою.

Приклад 7

Проведіть промінь у протилежний бікдоповнивши його до прямої

Приклад 8

Відкладіть одиничні відрізки за прикладом, вказаним вище

З лівого боку запишіть натуральні числа 1, 2, 3, 4, 5 ... с протилежним знаком. Зверніть увагу на приклад.

Приклад 9

Ви можете відзначити лише початок відліку та поодинокі відрізки. Дивіться на прикладі, як це виглядатиме.

Приклад 10

Визначення 4

– це пряма, яка зображується з певною точкою відліку, яка приймається за 0 , одиничним відрізкомта заданим напрямком руху.

Відповідність між точками координатної прямої та дійсними числами

Координатна пряма може містити багато точок. Вони безпосередньо пов'язані з дійсними числами. Це можна визначити, як взаємно однозначна відповідність.

Визначення 5

Кожній точці координатної прямої відповідає єдине дійсне число, а кожному дійсному числу відповідає єдина точка координатної прямої.

Для того, щоб краще зрозуміти правило, слід зазначити точку на координатній прямій та подивитися, яке натуральне число відповідає позначці. Якщо ця точка збігається з початком відліку, вона буде відзначена банкрутом. Якщо точка не збігається з початком відліку, ми відкладаємо потрібну кількість одиничних відрізків доти, доки досягнемо зазначеної позначки. Число, записане під нею, і відповідатиме цій точці. На прикладі, вказаному унизу, ми покажемо вам це правило наочно.

Приклад 11

Якщо ми не можемо знайти точку, відкладаючи одиничні відрізки, слід зазначати також точки, що становлять одну десяту, соту або тисячну частку одиничного відрізка. На прикладі можна докладно розглянути це правило.

Відклавши кілька подібних відрізків, ми зможемо отримати не тільки ціле, а й дрібне число – як позитивне, так і негативне.

Зазначені відрізки допоможуть нам знайти на координатній прямій потрібну точку. Це можуть бути як цілі, так і дробові числа. Однак на прямій існують точки, які дуже складно знайти за допомогою одиничних відрізків. Цим точкам відповідають десяткові дроби. Для того, щоб шукати подібну точку, Прийде відкладати одиничний відрізок, десяту, соту, тисячну, десятитисячну та інші його частки. Однією точкою координатної прямої відповідає ірраціональне числоπ (= 3, 141592 . . .).

Безліч дійсних чисел включається всі числа, які можна записати у вигляді дробу. Це дає змогу виявити правило.

Визначення 6

Кожній точці координатної прямої відповідає конкретне дійсне число. Різні точкивизначають різні дійсні числа.

Ця відповідність однозначно – кожній точці відповідає певне дійсне число. Але це працює також і в зворотному напрямку. Ми також можемо вказати певну точку на координатній прямій, яка буде відноситися до конкретного дійсного числа. Якщо число не є цілим, то нам необхідно відзначити кілька одиничних відрізків, а також десятих сотих часток у заданому напрямку. Наприклад, числу 400350 відповідає точка на координатній прямій, в яку з початку відліку можна потрапити, відклавши в позитивному напрямку 400 одиничних відрізків, 3 відрізки, що становлять десяту частку одиничного, і 5 відрізків - тисячну частку.

Натуральні числа можна зображувати на промені. Побудуємо промінь з початком у точці О, направивши його ліворуч - праворуч, напрямок відзначимо стрілкою.

Початку променя (точці О) поставимо у відповідність число 0 (нуль). Відкладемо від точки Про відрізок ОА довільної довжини. Точці А поставимо у відповідність число 1 (один). Довжину відрізка ОА вважатимемо рівною 1 (одиниці). Відрізок АВ = 1 називається одиничним відрізком. Відкладемо від точки А у напрямку променя відрізок АВ = ОА. Поставимо точці В у відповідність число 2. Зауважимо, що точка В знаходиться від точки О на відстані вдвічі більшій, ніж точка А. Значить, довжина відрізка ОВ дорівнює 2 (двом одиницям). Продовжуючи відкладати у напрямі променя відрізки, рівні одиничному, отримуватимемо точки, яким відповідають числа 3, 4, 5, тощо. Дані точки віддалені від точки відповідно на 3, 4, 5, і т.д. одиниць.

Промінь, побудований таким способом, називається координатнимабо числовим. Початок числового променя, точка О, називається точкою відліку. Числа, поставлені у відповідність точкам на цьому промені, називаються координатамицих точок (звідси: координатний промінь). Пишуть: Про(0), А(1), В(2), читають: « точка Про з координатою 0 (нуль), точка А з координатою 1 (один), точка В з координатою 2 (два)»і т.д.

Будь-яке натуральне число nможна зобразити на координатному промені, при цьому відповідна точка P буде видалена від точки О на nодиниць. Пишуть: ОР = nта P( n) - точка P (читають: "Пе") з координатою n(Читають: "ен"). Наприклад, щоб відзначити на числовому променіточку К(107), необхідно від точки відкласти 107 відрізків, рівних одиничному. Як одиничний можна вибрати відрізок будь-якої довжини. Часто довжину одиничного відрізка вибирають такою, щоб було можливо в межах малюнка зобразити на числовому промені необхідні натуральні числа. Розгляньте приклад

5.2. Шкала

Важливим застосуванням числового променя є шкали та діаграми. Вони використовуються у вимірювальних приладах та пристроях, за допомогою яких вимірюють різні величини. Одним із основних елементів вимірювальних приладів є шкала. Вона являє собою числовий промінь, нанесений на металеву, дерев'яну, пластикову, скляну або іншу основу. Часто шкала виконана у вигляді кола або частини кола, які розділені штрихами на рівні частини (поділу-дуги) подібно до числового променя. Кожному штриху на прямій або круговій шкалі поставлено у відповідність певна кількість. Це значення вимірюваної величини. Наприклад, числу 0 на шкалі термометра відповідає температура 0 0 С читають: « нуль градусів Цельсія». Це температура, за якої починає танути лід (або починає замерзати вода).

Використовуючи вимірювальні приладита інструменти зі шкалами, визначають значення вимірюваної величини за положенням покажчикана шкалі. Найчастіше вказівником служать стрілки. Вони можуть переміщатися вздовж шкали, відзначаючи значення вимірюваної величини (наприклад, стрілка годинника, стрілка ваги, стрілка спідометра - приладу для вимірювання швидкості, малюнок 3.1.). Подібна стрілці, що зміщується, межа стовпчика ртуті або підфарбованого спирту в термометрі (рисунок 3.1). У деяких приладах рухається не стрілка вздовж шкали, а шкала переміщається щодо нерухомої стрілки (мітки, штриха), наприклад, у вагах підлоги. У деяких інструментах (лінійка, рулетка) покажчиком служать межі предмета, що вимірюється.

Проміжки (частини шкали) між сусідніми штрихами шкали називаються поділками. Відстань між сусідніми штрихами, виражена в одиницях вимірюваної величини, називається ціною поділу(Різниця чисел, яким відповідають сусідні штрихи шкали.) Наприклад, ціна поділу спідометра на малюнку 3.1. дорівнює 20 км/год (двадцять кілометрів на годину), а ціна поділу кімнатного термометра малюнку 3.1. дорівнює 10С (один градус Цельсія).

Діаграма

Для видимого зображеннявеличин використовують лінійні, стовпчасті або кругові діаграми. Діаграма складається з числового променя-шкали, спрямованого ліворуч - праворуч або знизу - вгору. Крім того, на діаграмі вміщені відрізки або прямокутники (стовпці), що зображують порівнювані величини. При цьому довжина відрізків чи стовпців в одиницях шкали дорівнює відповідним величинам. На діаграмі біля числового променя-шкали підписують назву одиниць виміру, у яких відкладено величини. На малюнку 3.2. зображено стовпчасту діаграму, а на малюнку 3.3 лінійна.

3.2.1. Величини та прилади для їх виміру

У таблиці наведено назви деяких величин, а також приладів та інструментів, призначених для їх вимірювання. ( Жирним шрифтомвиділено основні одиниці міжнародної системи одиниць).

5.2.2. Термометри. Вимірювання температури

На малюнку 3.4 наведено термометри, у яких використані різні температурні шкали: Реомюра (°R), Цельсія (°С) і Фаренгейта (°F).В них використаний один і той же температурний інтервал - різниця температур кипіння води та плавлення льоду. Цей інтервал поділено на різна кількістьчастин: у шкалі Реомюра – на 80 частин, шкалі Цельсія – на 100 частин, у шкалі Фаренгейта – на 180 частин. При цьому в шкалах Реомюра та Цельсія температурі танення льоду відповідає число 0 (нуль), а в шкалі Фаренгейта - число 32. Одиниці температури в цих термометрах: градус за Реомюром, градус за Цельсієм, градус за Фаренгейтом. У пристрої термометрів використовують властивість рідин (спирту, ртуті) розширюватися при нагріванні. При цьому різні рідини по-різному розширюються при нагріванні, що видно на малюнку 3.5 де штрихи для стовпчика спирту і ртуті не збігаються при однаковій температурі.

5.2.3. Вимірювання вологості повітря

Вологість повітря залежить від кількості в ньому водяної пари. Наприклад, влітку в пустелі повітря сухе, вологість його низька, тому що в ньому міститься мало пар води. У субтропіках, наприклад, у Сочі вологість висока, у повітрі багато водяної пари. Виміряти вологість можна за допомогою двох термометрів. Один із них звичайний (сухий термометр). У другої кулька обгорнута вологою тканиною (вологий термометр). Відомо, що з випаровуванні води температура тіла знижується. (Згадайте озноб під час виходу з моря після купання). Тому вологий термометр показує більше низьку температуру. Чим сухіше повітря, тим більша різниця показань двох термометрів. Якщо показання термометрів однакові (різниця дорівнює нулю), то вологість повітря дорівнює 100%. І тут випадає роса. Прилад, що вимірює вологість повітря, називається психрометром (Рисунок 3.6 ). Він має таблицю, в якій наведено: показання сухого термометра, різницю показань двох термометрів, вологість повітря у відсотках. Чим ближче вологість до 100%, тим більше вологе повітря. Нормальна вологість у приміщеннях повинна дорівнювати близько 60%.

Блок 3.3. Самопідготовка

5.3.1. Заповніть таблицю

Відповідаючи на запитання таблиці, заповнюйте вільну колонку (Відповідь). При цьому використовуйте малюнки приладів у блоці Додатковий.

760 мм. рт. ст. вважається нормальним. На малюнку 3.11 показано зміну атмосферного тискупри підйомі на саму високу горуЕверест.

Побудуйте лінійну діаграму зміни тиску, відклавши на вертикальному променівисоту над рівнем моря, а по горизонталі тиск.

Блок 5.4. Проблемний

Побудова числового променя з одиничним відрізком заданої довжини

Для вирішення цієї навчальної проблемипрацюйте за планом, наведеним у лівій колонці таблиці, у своїй праву колонку рекомендується закрити аркушем паперу. Відповівши на всі запитання, зіставте свої висновки із наведеними рішеннями.

Блок 5.5. Фасетний тест

Числовий промінь, шкала, діаграма

У задачах фасетного тесту використано малюнки з таблиці. Усі завдання починаються так: « ЯКЩО числовий промінь представлений малюнку …., то…»

ЯКЩО: числовий промінь представлений на малюнку.Таблиця

1. Кількість одиниць між сусідніми штрихами числового променя.
2. Координати точок А, В, З, D.
3. Довжина (в сантиметрах) відрізків АВ, ПС, АD, ВD відповідно.
4. Довжина (в метрах) відрізків АВ, НД, АD, ВD відповідно.
5. Натуральні числа, розташовані на числовому промені ліворуч від точки D.
6. Натуральні числа розташовані на числовому промені між точками А і С.
7. Кількість натуральних чисел, що лежать на числовому промені між точками А та D.
8. Кількість натуральних чисел, що лежать на числовому промені між точками і С.
9. Ціна поділу шкали приладу.
10. Швидкість автомобіля в км/год, якщо стрілка спідометра вказує на точки А,, С, D відповідно.
11. Величина (в км/год), яку збільшилася швидкість автомобіля, якщо стрілка спідометра перемістилася з точки У точку З.
12. Розмір швидкості автомобіля після того, як водій зменшив швидкість на 84 км/год (перед зменшенням швидкості стрілка спідометра вказувала на точку D).
13. Маса вантажу на терезах у центнерах, якщо стрілка - покажчик ваг - розташована навпроти точок А, В, С відповідно.
14. Маса вантажу на терезах у кілограмах, якщо стрілка - покажчик терезів - розташована навпроти точок А, В, С відповідно.
15. Маса вантажу на терезах у грамах, якщо стрілка - покажчик ваг - розташована навпроти точок А, В, С відповідно.
16. Кількість учнів у 5 класі.
17. Різниця між кількістю учнів, що встигають на «4», та кількістю учнів, які встигають на «3».
18. Відношення кількості учнів, які встигають на «4» та «5», до кількості учнів, які встигають на «3».

РІВНО (рівна, рівні, це):

а) 10 б) 6,12,3,3 в) 1 г) 99,102,106,104 д) 2 е) 201,202 ж) 49 з) 3500,3000,8000,4500

і) 5,2,1,4 к) 599 л) 6,3,3,9 м) 10,4,16,7 н) 100 о) 4 км/год п) 65,85,105,115 р) 7,2, 4,6 с) 20,20,50,30 т) 0 у) 700,600,1600,900 ф) 1,2,3,4,5,6 х) 25,10,5,20 ц) 3,4, 5,2 год) 203,197,200,206 ш) 15,20,25,10 щ) 1599 і) 11,12,13,14,15 е) 30,60,15,15 ю) 0,700,1300,1600 30,15,15,45 бб) 4 вв) 1,2,3,4,5 рр) 17 дд) 500 кг її) 19 жж) 80 зз) 100,101,102,103,104,105 ии)5,6 кк) 28,64 ,3000000,4500000 мм) 11 нн) 36 оо) 1500,3000,4500 пп) 7 рр) 24 сс) 15,30,45

Блок 5.6. Навчальна мозаїка

У завданнях мозаїки використано прилади з блоку «Додатковий». Нижче наведено поле мозаїки. На ньому вказано назви приладів. Крім того, для кожного приладу позначені: вимірювана величина (В), одиниця вимірювання величини (Е), показання приладу (П), ціна розподілу шкали (Ц). Далі вміщено комірки мозаїки. Прочитавши комірку, ви повинні спочатку визначити прилад, до якого вона належить, і поставити в коло комірки номер приладу. Потім треба здогадатися, про що цей осередок. Якщо йдеться про величину, що вимірюється, треба до номера приписати букву Ст.Якщо це одиниця виміру - поставити букву Е,якщо показання приладу - букву П, якщо ціна поділу - букву Ц.Таким чином треба позначити всі комірки мозаїки. Якщо комірки вирізати і розташувати так, як на полі, можна систематизувати відомості про прилад. У комп'ютерному варіанті мозаїки при правильному розташуванніосередків створюється малюнок.

Координата точки – це її «адресу» на числовому промені, а числовий промінь – це «місто», в якому живуть числа і будь-яке число можна знайти за адресою.

Більше уроків на сайті

Згадаймо, що таке – натуральний ряд. Це – всі числа, які можна використовувати для рахунку предметів, що стоять строго по порядку, один за одним, тобто в ряд. Починається цей ряд чисел з 1 і продовжується до нескінченності з рівними проміжками між сусідніми числами. Додамо 1 - і отримаємо наступне число, ще 1 - і знову. І, хоч би яке число з цього ряду ми не взяли, на 1 справа і на 1 зліва від нього є сусідні натуральні числа. Виняток становить лише число 1: наступне його натуральне число є, а попереднього – немає. 1 - найменше натуральне число.

Є одна геометрична фігура, яка має дуже багато спільного із натуральним рядом. Дивлячись на тему уроку, записану на дошці, неважко здогадатися, що ця постать промінь. І справді, початок промінь має, а ось кінця – ні. І можна було б продовжувати і продовжувати його, та ось тільки зошит чи дошка просто закінчаться, і нікуди більше продовжувати.

Використовуючи ці подібні властивості, співвіднесемо разом натуральний ряд чисел і геометричну фігуру- Промінь.

Невипадково на початку променя залишено порожнє місце: поруч із натуральними числами має бути записано і добре знайоме тобі число 0. Тепер кожне натуральне число, що у натуральному ряду, має на промені двох сусідів – меншого і більшого. Здійснивши від нуля лише один крок +1, можна отримати число 1, а зробивши наступний крок +1 – число 2 … Крокуючи так далі, ми можемо по черзі отримати всі натуральні числа. Ось у такому вигляді промінь, представлений на дошці, називається координатний промінь. Можна сказати і простіше – числовим променем. На ньому є найменше число- Число 0, яке називається початком відліку , кожне наступне число віддалено від попереднього на однакову відстань, а найбільшого числані, як немає кінця ні у променя, ні у натурального ряду. Підкреслю ще раз, що відстань між початком відліку та наступним за ним числом 1 така сама, як і між будь-якими іншими двома сусідніми числами числового променя. Ця відстань називається одиничним відрізком . Щоб відзначити такому промені будь-яке число, потрібно відкласти від початку відліку рівно стільки ж одиничних відрізків.

Наприклад, щоб відзначити на промені число 5 відкладаємо від початку відліку 5 одиничних відрізків. Щоб відзначити на промені число 14 відкладаємо від нуля 14 одиничних відрізків.

Як ти можеш бачити в цих прикладах, на різних кресленнях поодинокі відрізки можуть бути різними(), але на одному промені всі поодинокі відрізки() рівні між собою(). (Можливо, на картинках буде зміна слайдів, що підтверджує паузи)

Як тобі відомо, на геометричних кресленнях прийнято давати назви точкам великими літерами латинського алфавіту. Застосуємо це правило до креслення на дошці. Кожен координатний промінь має початкову точку, на числовому промені цієї точки відповідає число 0, а називати цю точку прийнято буквою О. Крім того, відзначимо кілька точок у місцях, відповідних якимось числам цього променя. Тепер кожна точка променя має свою певну адресу. А(3), … (5-6 точок на обох променях). Число, що відповідає точці на промені (так звана адреса точки), називається координатою точки. А сам промінь – координатний промінь. Координатний промінь, чи числовий – сенс від цього змінюється.

Виконаємо завдання – відзначимо на числовому промені точки за їх координатами. Раджу тобі виконувати це завдання самостійно у зошиті. М(3), Т(10), У(7).

Для цього спочатку побудуємо координатний промінь. Тобто -промінь, початок якого - точка О (0). Тепер потрібно вибрати одиничний відрізок. Його треба саме вибратитак, щоб усі необхідні точки помістилися на кресленні. Найбільша координата зараз 10. Якщо розмістити початок променя в 1-2 клітинках від лівого краю сторінки, його можна буде продовжити більш, ніж 10см. Тоді візьмемо одиничний відрізок 1см, відзначимо його на промені, і на 10см від початку променя відстоїть число 10. Цьому числу відповідає точка Т. (…)

А от якщо потрібно відзначити на координатному промені точку Н (15), потрібно вибрати інший одиничний відрізок. Адже так, як у попередньому прикладі, вже не вийде, бо у зошиті не поміститься промінь необхідної видимої довжини. Можна вибрати одиничний відрізок довжиною 1 клітинку, і від нуля до потрібної точки відрахувати 15 клітин.