Двогранний кут та його елементи. Урок «Двогранний кут

"Двогранний кут" - Знайдіть відстань від точки В до площини. Кут С гострий. Трикутник АВС – тупокутний. Кут З тупою. Відстань від точки до прямої. У тетраедрі DАВС усі ребра рівні. Кут між похилими. Відстань між основами похилих. Лінійні кути двогранного кута рівні. Алгоритм побудови лінійного кута.

«Двогранний кут геометрія» – кут РСВ – лінійний для двогранного кута з ребром АС. Знайти (побачити) ребро та грані двогранного кута. Модель може бути як об'ємною, так і складною. Перетин двогранного кута площиною, перпендикулярною до ребра. Грані. пряма СР перпендикулярна ребру СА (за теоремою про три перпендикуляри). кут РКВ – лінійний для двогранного кута з РСАВ.

«Тригранний кут» - ознаки рівності тригранних кутів. Дано: Оabc – тригранний кут; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Урок 6. Наслідки. 1) Для обчислення кута між прямою та площиною застосовна формула: Формула трьох косінусів. . Дано тригранний кут Оabc. Трикутний кут. Теорема. У правильній трикутної пірамідиплоский кут при вершині менше 120?

«Тригранні та багатогранні кути» - Тригранні кути додекаедру. Тригранні та чотиригранні кути ромбододекаедра. Чотиригранні кути октаедра. Тригранні кути тетраедра. Вимірювання багатогранних кутів. Завдання. Багатогранні кути. П'ятигранні кути ікосаедра. Вертикальні багатогранні кути. Трикутний кут піраміди. Нехай SA1 ... An - опуклий n-гранний кут.

«Кут між прямою та площиною» - У правильній 6-й призмі A…F1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою AC1 і площиною ADE1. У правильній 6 призмі A…F1, ребра якої рівні 1, знайдіть кут між прямою AA1 і площиною ACE1. Кут між прямою та площиною. У правильній 6-й призмі A…F1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою AB1 та площиною ADE1.

Багатогранний кут - Випуклі багатогранні кути. Багатогранні кути. Залежно від числа граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними і т. д. В) ікосаедр. Два плоскі кути тригранного кутарівні 70 ° і 80 °. Отже, ? ASB +? BSC +? ASC< 360° . Сумма плоских кутівтригранного кута менше 360 °.

Всього у темі 9 презентацій

Цей урок призначається для самостійного вивченнятеми « Двогранний кут». У ході цього заняття учні познайомляться з однією з найважливіших геометричних фігур - двогранним кутом. Також на уроці нам доведеться дізнатися про те, як визначити лінійний кутаналізованої геометричної фігуриі який буває двогранний кут на підставі фігури.

Повторимо, що таке кут на поверхні і як він вимірюється.

Рис. 1. Площина

Розглянемо площину (рис. 1). З точки Провиходять два промені - ОВі ОА.

Визначення. Фігура, утворена двома променями, що виходять із однієї точки, називається кутом.

Кут вимірюється в градусах та у радіанах.

Згадаймо, що таке радіан.

Рис. 2. Радіан

Якщо ми маємо центральний кут, Довжина дуги якого дорівнює радіусу, то такий центральний кут називається кутом в 1 радіан. , ∠ АОВ= 1 радий (рис. 2).

Зв'язок радіанів та градусів.

радий.

Отримуємо, радий. (). Тоді,

Визначення. Двогранним кутомназивається фігура, утворена прямою аі двома напівплощинами з спільним кордоном а, що не належать до однієї площини.

Рис. 3. Напівплощини

Розглянемо дві напівплощини α та β (рис. 3). Їхній спільний кордон - а. Зазначена фігура називається двогранним кутом.

Термінологія

Напівплощини α та β - це грані двогранного кута.

Пряма а- Це ребро двогранного кута.

На загальному ребрі адвогранного кута виберемо довільну точку Про(Рис. 4). У напівплощині з точки Провідновимо перпендикуляр ОАдо прямої а. З тієї ж точки Проу другій напівплощині β відновимо перпендикуляр ОВдо ребра а. Отримали кут АОВ, Який називається лінійним кутом двогранного кута.

Рис. 4. Вимірювання двогранного кута

Доведемо рівність всіх лінійних кутів для цього двогранного кута.

Нехай маємо двогранний кут (рис. 5). Виберемо крапку Проі точку Про 1на прямий а. Побудуємо лінійний кут відповідний точці Про, тобто проведемо два перпендикуляри ОАі ОВу площинах α та β відповідно до ребра а. Отримуємо кут АОВ- Лінійний кут двогранного кута.

Рис. 5. Ілюстрація доказу

З точки Про 1проведемо два перпендикуляри ОА 1і ВВ 1до ребра ау площинах α та β відповідно і отримаємо другий лінійний кут А 1 Про 1 В 1.

Промені О 1 А 1і ОАсонаправленны, тому що вони лежать в одній напівплощині і паралельні між собою як два перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої а.

Аналогічно, промені О 1 В 1і ОВсонаправлены, отже, ∠ АОВ =∠ А 1 Про 1 В 1як кути із співспрямованими сторонами, що й потрібно було довести.

Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.

Довести: а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Ілюстрація доказу

Доведення:

ОА ⊥ аз побудови, ОВ ⊥ аз побудови (рис. 6).

Отримуємо, що пряма аперпендикулярна двом прямим прямокутним прямим ОАі ОВз площини АОВотже, пряма аперпендикулярна площині ОАВ, що і потрібно було довести.

Двогранний кут вимірюється своїм лінійним кутом. Це означає, що скільки градусів радіан міститься в лінійному вугіллі, стільки ж градусів радіан міститься в його двогранному вугіллі. Відповідно до цього розрізняють наступні видидвогранних кутів.

Гострий (рис. 6)

Двогранний кут гострий, якщо лінійний кут гострий, тобто. .

Прямий (рис. 7)

Двогранний кут прямий, коли його лінійний кут дорівнює 90 ° - Тупий (рис. 8)

Двогранний кут тупий, що його лінійний кут тупий, тобто. .

Рис. 7. Прямий кут

Рис. 8. Тупий кут

Приклади побудови лінійних кутів у реальних фігурах

АВСD- Тетраедр.

1. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ.

Рис. 9. Ілюстрація до завдання

Побудова:

Йдеться про двогранний кут, який утворений рубом АВта гранями АВDі АВС(Рис. 9).

Проведемо пряму DНперпендикулярно до площини АВС, Н- основа перпендикуляра. Проведемо похилий DМперпендикулярно до прямої АВ,М- основа похилої. За теоремою про три перпендикуляри укладаємо, що проекція похилої НМтакож перпендикулярна до прямої АВ.

Тобто, з точки Мвідновлено два перпендикуляри до ребра АВу двох гранях АВDі АВС. Ми отримали лінійний кут DМН.

Зауважимо, що АВ, ребро двогранного кута, перпендикулярно площині лінійного кута, тобто площині DМН. Завдання вирішено.

Зауваження. Двогранний кут можна позначити так: DАВС, де

АВ- ребро, а крапки Dі Злежать у різних гранях кута.

2. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

Проведемо перпендикуляр DНдо площини АВСі похилий DNперпендикулярно до прямої АС.За теоремою про три перпендикуляри отримуємо, що НN- проекція похилої DNна площину АВС,також перпендикулярна до прямої АС.DNН- Лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

У тетраедрі DАВСусі ребра рівні. Крапка М- середина ребра АС. Доведіть, що кут DМВ- Лінійний кут двогранного кута ВАСD, Т. е. двогранного кута з ребром АС. Одна його грань АСD, друга - АСВ(Рис. 10).

Рис. 10. Ілюстрація до завдання

Рішення:

Трикутник ADC- рівносторонній, DM- Медіана, а значить і висота. Значить, DМ ⊥ АС.Аналогічно трикутник AУC- рівносторонній, УM- медіана, а отже, і висота. Значить, ВМ ⊥ АС.

Таким чином, з точки Мребра АСдвогранного кута відновлено два перпендикуляри DMі ВМдо цього ребра у гранях двогранного кута.

Значить, ∠ DMУ- Лінійний кут двогранного кута, що і потрібно довести.

Отже ми визначили двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

на наступному уроціми розглянемо перпендикулярність прямих і площин, далі дізнаємося що таке двогранний кут на основі фігур.

Список літератури на тему "Двогранний кут", "Двогранний кут на основі геометричних фігур"

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів/ Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
2. Геометрія. 10 клас: підручник для загальноосвітніх установз поглибленим та профільним вивченням математики /Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: іл.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Домашнє завданняна тему "Двогранний кут", визначення двогранного кута при підставі фігур

Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.

Завдання 2, 3 стор. 67.

Що таке лінійний кут двогранного кута? Як його збудувати?

АВСD- Тетраедр. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром:

а) УDб) DЗ.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Побудуйте лінійний кут двогранного кута А 1 АВСз ребром АВ. Визначте його градусну міру.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку: запровадити поняття двогранного кута та його лінійного кута;

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Повідомити тему уроку, сформувати цілі уроку.

ІІ. Актуалізація знань учнів (слайд 2, 3).

1. Підготовка до вивчення нового матеріалу.

Що називається кутом на площині?

Що називається кутом між прямими у просторі?

Що називається кутом між прямою та площиною?

Сформулюйте теорему про три перпендикуляри

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

• Концепція двогранного кута.

Фігура, утворена двома напівплощинами , що проходять через пряму МN, називається двогранним кутом (слайд 4).

Напівплощини - грані, пряма МN – ребро двогранного кута.

Які предмети в повсякденному життімають форму двогранного кута? (Слайд 5)

• Кут між площинами АСН та СНД – це двогранний кут АСНD, де СН – ребро. Точки А та D лежать на гранях цього кута. Кут AFD – лінійний кут двогранного кута АCHD (слайд 6).

• Алгоритм побудови лінійного кута (слайд 7).

1 спосіб. На ребрі взяти будь-яку точку Про провести перпендикуляри в цю точку (РО DE, KO DE) отримали кут РОК - лінійний.

2 спосіб. В одній напівплощині взяти точку К і опустити з неї два перпендикуляри на іншу напівплощину та ребро (КО та КР), тоді за теоремою зворотної ТТП РОDE

• Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють (слайд 8). Доказ: промені ОА і О 1 А 1 сонаправлены, промені ОВ і О 1 В 1 теж сонаправлены, кути ВОА і О 1 А 1 А 1 рівні як кути з сонаправленными сторонами.

• Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра його лінійного кута (слайд 9).

IV. Закріплення дослідженого матеріалу.

• Розв'язання задач (усно за готовими кресленнями). (Слайди10-12)

1. РАВС – піраміда; кут АСВ дорівнює 90 про, пряма РВ перпендикулярна площині АВС. Довести, що кут РСВ – лінійний кут двогранного кута

2. РАВС – піраміда; АВ = ВС, D – середина відрізка АС, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС. Довести, що кут PDB – лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

3. PABCD – піраміда; пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, ВК перпендикулярна до DC. Довести, що кут РКВ – лінійний кут двогранного кута із ребром СD.

• Завдання побудувати лінійного кута (слайди 13-14).

1. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС, якщо у піраміді РАВС грань АВС – правильний трикутник, О – точка перетину медіан, пряма РВ перпендикулярна площині АВС

2. Даний ромб АВСD. Пряма РС перпендикулярна до площини АВСD.

Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром ВD та лінійний кут двогранного кута з ребром АD.

• Обчислювальне завдання. (Слайд 15)

У паралелограмі АВСD кут АDС дорівнює 120 0 АD = 8 см,

DС = 6 см, пряма РС перпендикулярна до площини АВС, РС = 9 см.

Знайти величину двогранного кута з ребром АD та площу паралелограма.

V. Домашнє завдання (слайд16).

П. 22 № 168, 171.

Використовувана література:

1. Геометрія 10-11 Л.С.Атанасян.
2. Система завдань на тему “Двогранні кути” М.В.Севостьянова (м.Мурманск), журнал Математика у шкільництві 198… р.

У геометрії для вивчення фігур використовують дві важливі характеристики: довжини сторін та кути між ними. У разі просторових фігур до цих характеристик додаються двогранні кути. Розглянемо, що це таке, а також опишемо методику визначення цих кутів на прикладі піраміди.

Поняття про двогранний кут

Кожен знає, що дві прямі, що перетинаються, утворюють деякий кут з вершиною в точці їх перетину. Цей кут можна виміряти за допомогою транспортира або скористатися тригонометричними функціямина його обчислення. Утворений двома прямими кут називається лінійним.

Тепер уявімо, що в тривимірному просторіє дві площини, які перетинаються прямою. Вони зображено малюнку.

Двогранним кутом називається кут між двома площинами, що перетинаються. Як і лінійний, він вимірюється у градусах чи радіанах. Якщо до будь-якої точки прямої, по якій площини перетинаються, відновити два перпендикуляри, що лежать у цих площинах, то кут між ними буде двогранним. Визначити цей кут найпростіше, якщо скористатися рівняннями площин у загальному вигляді.

Рівняння площин та формула для кута між ними

Рівняння будь-якої площини у просторі у загальному вигляді записується так:

A x x + B x y + C x z + D = 0.

Тут x, y, z – це координати точок, що належать площині, коефіцієнти A, B, C, D – деякі відомі числа. Зручність цієї рівності для обчислення двогранних кутів полягає в тому, що вона явно містить координати напрямного вектора площини. Позначатимемо його n¯. Тоді:

Вектор перпендикулярний площині. Кут між двома площинами дорівнює кутусеред них n 1 і n 2. З математики відомо, що кут, утворений двома векторами, однозначно визначається з них скалярного твору. Це дозволяє записати формулу для обчислення двогранного кута між двома площинами:

φ = arccos (|(n 1? × n 2?) | / ( | n 1? | × | n 2?)).

Якщо підставити координати векторів, то формула запишеться у явному вигляді:

φ = arccos ( | C 2 2))).

Знак модуля в чисельнику використовується, щоб визначити лише гострий кутоскільки двогранний кут завжди менше або дорівнює 90 o .

Піраміда та її кути

Пірамідою називають фігуру, яка утворена одним n-кутником та n трикутниками. Тут n - ціле число, що дорівнює кількості сторін багатокутника, який є основою піраміди. Дана просторова фігурає багатогранником або поліедром, оскільки вона складається із плоских граней (сторон).

Багатогранника-піраміди можуть бути двох типів:

• між основою та бічною стороною (трикутником);
• між двома бічними сторонами.

Якщо піраміда розглядається правильна, то названі кути для неї визначити нескладно. Для цього за координатами трьох відомих точок слід скласти рівняння площин, а потім скористатися наведеною в пункті вище формулою кута φ.

Нижче наведемо приклад, в якому покажемо, як знайти двогранні кути при підставі чотирикутної піраміди правильної.

Чотирикутна та кут при її основі

Припустимо, що дана правильна піраміда з квадратною основою. Довжина сторони квадрата дорівнює a, висота фігури становить h. Знайдемо кут між основою піраміди та її бічною стороною.

Помістимо початок координатної системиу центрі квадрата. Тоді координати точок A, B, C, D, показаних на малюнку, дорівнюватимуть:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Розглянемо площини ACB та ADB. Очевидно, що напрямний вектор n 1 для площини ACB дорівнюватиме:

Для визначення напрямного вектора n 2 площини ADB надійдемо таким чином: знайдемо довільні два вектори, які їй належать, наприклад, AD і AB, потім, обчислимо їх векторний витвір. Його результат дасть координати n 2. Маємо:

AD = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Оскільки множення та поділ вектора на число не змінює його напрями, то перетворимо отриманий n 2 ¯, розділивши його координати на -a, отримаємо:

Ми визначили напрямні вектора n 1 і n 2 для площин основи ACB і бокової сторони ADB. Залишається скористатися формулою для кута:

φ = arccos (|(n 1 ? × n 2 ?) | / (| n 1 ¯| × | n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Перетворимо отриманий вираз і перезапишемо його так:

φ = arccos (a/√(a 2 + 4 × h 2)).

Ми отримали формулу для двогранного кута при підставі для правильної чотирикутної піраміди. Знаючи висоту фігури та довжину її сторони, можна розрахувати кут φ. Наприклад, для піраміди Хеопса, сторона основи якої становить 230,4 метра, а початкова висота дорівнювала 146,5 метра, кут φ дорівнюватиме 51,8 o .

Визначити двогранний кут для чотирикутної правильної пірамідитакож можна за допомогою геометричного методу. Для цього достатньо розглянути прямокутний трикутник, утворений висотою h, половиною довжини основи a/2 та апофемою рівнобедреного трикутника.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:

У планіметрії основними об'єктами є прямі, відрізки, промені та точки. Промені, що виходять з однієї точки, утворюють одну з геометричних фігур-кут.

Ми знаємо, що лінійний кут вимірюється у градусах та радіанах.

У стереометрії до об'єктів додається площина. Фігура, утворена прямою а та двома напівплощинами із загальною межею а, що не належать одній площині в геометрії називається двогранним кутом. Напівплощини – це грані двогранного кута. Пряма а – це ребро двогранного кута.

Двогранний кут, як і лінійний кут, можна назвати, виміряти, побудувати. Це і належить нам з'ясувати в цьому уроці.

Знайдемо двогранний кут моделі тетраедра АВСD.

Двогранний кут з ребром АВ називають CABD, де С і D точки належать різним гранямкута а ребро АВ називають у середині

Навколо нас чимало предметів з елементами як двогранного кута.

У багатьох містах у парках встановлені спеціальні лави для примирення. Лавка виконана у вигляді двох похилих площин, що сходяться до центру.

При будівництві будинків часто використовується так званий двосхилий дах. На цьому будинку дах виконаний у вигляді двогранного кута 90 градусів.

Двогранний кут теж вимірюється в градусах чи радіанах, але як його виміряти.

Цікаво зауважити, що дахи будинків лежать на кроквах. А обрешітка крокв утворює два скати даху під заданим кутом.

Перенесемо зображення на креслення. На кресленні для знаходження двогранного кута на його ребрі відзначається точка В. З цієї точки проводяться два промені ВА і ПС перпендикулярно ребру кута. Утворений цими променями кут АВС називається лінійним кутом двогранного кута.

Градусний західдвогранного кута дорівнює градусній мірі його лінійного кута.

Виміряємо кут АОВ.

Градусна міра цього двогранного кута дорівнює шістдесяти градусам.

Лінійних кутів для двогранного кута можна провести нескінченну кількість, важливо знати, що вони рівні.

Розглянемо два лінійні кути АОВ і А1О1В1. Промені ОА та О1А1 лежать в одній грані та перпендикулярні до прямої ОО1, тому вони спрямовані. Промені ОВ та О1В1 так само співспрямовані. Тому кут АОВ дорівнює куту А1О1В1 як кути із співспрямованими сторонами.

Так двогранний кут характеризується лінійним кутом, а лінійні кути бувають гострі, тупі та прямі. Розглянемо моделі двогранних кутів.

Тупий кут, якщо його лінійний кут від 90 до 180 градусів.

Прямий кут, якщо його лінійний кут дорівнює 90 градусів.

Гострий кут, якщо його лінійний кут від 0 до 90 градусів.

Доведемо одне з важливих властивостейлінійного кута.

Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.

Нехай кут АОВ – лінійний кут даного двогранного кута. За побудовою промені АТ та ВВ перпендикулярні до прямої а.

Через дві перетинаються прямі АТ і ОВ проходить площину АОВ по теоремі: Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.

Пряма а перпендикулярна двом прямим лежачим у цій площині, що перетинається, означає за ознакою перпендикулярності прямої і площини пряма а перпендикулярна площині АОВ.

Для вирішення завдань важливо вміти будувати лінійний кут заданого двогранного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ для тетраедра АВСD.

Йдеться про двогранний кут, який утворений, по-перше, рубом АВ, однією гранню АВD, другою гранню АВС.

Ось один із способів побудови.

Проведемо перпендикуляр із точки D до площини АВС, Зазначимо точку М основу перпендикуляра. Згадаємо, що в тетраедрі основа перпендикуляра збігається з центром вписаного кола в основу тетраедра.

Проведемо похилу з точки D перпендикулярно до ребра АВ, відзначимо точку N основу похилої.

У трикутнику DMN відрізок NM буде проекцій похилої DN на площину АВС. За теоремою про три перпендикуляри ребро АВ буде перпендикулярно до проекції NМ.

Отже, сторони кута DNM перпендикулярні до ребра АВ, значить побудований кут DNM шуканий лінійний кут.

Розглянемо приклад розв'язання задачі на обчислення двогранного кута.

Рівностегновий трикутник АВСправильний трикутник АDB не лежать в одній площині. Відрізок CD є перпендикуляром до площини ADB. Знайдіть двогранний кут DABC, якщо AC = CB = 2 см, AB = 4см.

Двогранний кут DABC дорівнює його лінійному куту. Збудуємо цей кут.

Проведемо похилу СМ перпендикулярно до ребра АВ, оскільки трикутник АСВ рівнобедрений, точка М збігається із серединою ребра АВ.

Пряма СD за умовою перпендикулярна до площини ADB, означає перпендикулярна до прямої DM, що лежить у цій площині. А відрізок МD є проекцією похилої РМ на площину АDВ.

Пряма АВ перпендикулярна похилій СМ по побудові, значить за теоремою про три перпендикуляри перпендикулярна до проекції MD.

Отже до ребра АВ знайдено два перпендикуляри СМ та DМ. Отже, вони утворюють лінійний кут СMD двогранного кута DАВС. І нам залишиться його знайти з прямокутного трикутникаСDM.

Так відрізок СМ медіана та висота рівнобедреного трикутника АСВ, то по теоремі Піфагора катет СМ дорівнює 4 см.

З прямокутного трикутника DMB по теоремі Піфагора катет DM дорівнює двом корінням з трьох.

Косинус кута з прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катетаМD до гіпотенузи СМ і дорівнює три корені з трьох на два. Значить кут СМD дорівнює 30 градусів.