Суть теореми штейнера. Момент інерції та перпендикулярні осі

Знайдемо зв'язок між моментами інерції щодо двох різних паралельних осей. Вона встановлюється теоремою Гюйгенса-Штейнера: момент інерції тіла щодо довільної осі дорівнює сумімоменту інерції цього тіла щодо осі проходить через центр мас, паралельно даної та твору маси на квадрат відстані між осями.

Доведемо цю теорему. Нехай S перетин тіла. Припускатимемо, що центр мас знаходиться в точці О і осі, що проходять через точки О і А, перпендикулярні до малюнка. Подумки розіб'ємо тіло на елементарні маси
. Момент інерції тіла знайдемо, проінтегрувавши всі елементарні маси. Радіус-вектор елементарної маси
щодо осі А
, де - її радіус-вектор щодо осі О, - радіус-вектор
, його модуль дорівнює відстаніміж осями. Таким чином

. (5.11)

Помножуючи обидві частини рівності (5.11) на
та інтегруючи по всьому обсягу, отримаємо:

Так як вісь Про проходить через центр мас, останній інтеграл (5.12) звертається в нуль.

.

Інтеграл зліва дає момент інерції щодо осі А, перший інтеграл праворуч - момент інерції щодо осі О, другий інтеграл праворуч дає повну масу тіла. Звідки

. (5.13)

Це і є аналітичним виразом теореми Гюйгенса-Штейнера.

Приклади обчислення моментів інерції

1. Визначимо момент інерції тонкого однорідного стрижня завдовжкиLта масоюmщодо осі, що проходить через один із його кінців.(Див.рис.)

Направимо вісь Х вздовж стрижня. Стрижень вважатимемо тонким. Виділимо елементарну масу
, що має довжину
і розташовану з відривом Х від осі обертання. Причому, оскільки однорідний стрижень маса цього елемента

Проінтегрувавши по всій довжині стрижня отримаємо:

Момент інерції цього ж стрижня щодо осі, що проходить через центр мас визначається як:

2. Визначимо момент інерції однорідного диска, розташованого

Маса цього елемента
, де
- площа поперечного перерізудиска або поверхнева щільність диска,
- Площа кільця. Тоді
. Інтегруючи в межах від 0 до R, отримаємо.

Теорема Штейнера – формулювання

Відповідно до теореми Штейнера встановлено, що момент інерції тіла при розрахунку відносно довільно осі відповідає сумі моменту інерції тіла щодо такої осі, яка проходить через центр мас і є паралельною даній осі, а також плюс добуток квадрата відстані між осями та маси тіла, за такою формулою (1):

Урок: Зіткнення тел. Абсолютно пружний та абсолютно непружний удари

Вступ

Для вивчення будови речовини так чи інакше використовуються різні зіткнення. Наприклад, для того, щоб розглянути якийсь предмет, його опромінюють світлом, або потоком електронів, і по розсіянню цього світла, або потоку електронів отримують фотографію, рентгенівський знімок, або зображення даного предмета в якому-небудь фізичному приладі. Таким чином, зіткнення частинок – це те, що оточує нас і в побуті, і в науці, і техніці, і в природі.

Наприклад, при одному зіткненні ядер свинцю в детекторі ALICE Великого Адронного Колайдера народжуються десятки тисяч частинок, за рухом та розподілом яких можна дізнатися про найглибші властивості речовини. Розгляд процесів зіткнення за допомогою законів збереження, про які ми говоримо, дає змогу отримувати результати, незалежно від того, що відбувається в момент зіткнення. Ми не знаємо, що відбувається в момент зіткнення двох ядер свинцю, але ми знаємо, якою буде енергія та імпульс частинок, що розлітаються після цих зіткнень.

Сьогодні ми розглянемо взаємодію тіл у процесі зіткнення, тобто рух невзаємодіючих тіл, які змінюють свій стан тільки при зіткненні, яке ми називаємо зіткненням, або ударом.

При зіткненні тіл, у випадку, кінетична енергія стикаються тіл має бути рівної кінетичної енергії тіл, що розлітаються. Справді, під час зіткнення тіла взаємодіють друг з одним, впливаючи друг на друга і виконуючи роботу. Ця робота може призвести до зміни кінетичної енергії кожного з тіл. Крім того, робота, яку здійснює перше тіло над другим, може виявитися нерівною роботі, яку друге тіло здійснює над першим. Це може призвести до того, що механічна енергія може перейти в тепло, електромагнітне випромінювання або навіть породити нові частки.

Зіткнення, при яких не зберігається кінетична енергія тіл, що стикаються, називають непружними.

Серед усіх можливих пружних зіткнень, є один винятковий випадок, коли ті, що зіштовхуються, в результаті зіткнення злипаються і далі рухаються як одне ціле. Такий непружний удар називають абсолютно непружним (рис. 1).

а) б)

Рис. 1. Абсолютне непружне зіткнення

Розглянемо приклад абсолютно непружного удару. Нехай куля масою летіла в горизонтальному напрямку зі швидкістю і зіткнулася з нерухомим ящиком із піском масою, підвішеним на нитці. Куля застрягла в піску, і далі ящик з кулею почав рухатися. У процесі удару кулі та ящика зовнішні сили, що діють на цю систему, – це сила тяжіння, спрямована вертикально вниз, і сила натягу нитки, спрямована вертикально вгору, якщо час удару кулі був такий малий, що нитка не встигла відхилитися. Таким чином можна вважати, що імпульс сил, що діють на тіло під час удару, був дорівнює нулющо означає, що справедливий закон збереження імпульсу:

.

Умова, що куля застрягла в ящику, є ознакою абсолютно непружного удару. Перевіримо, що сталося з кінетичною енергією внаслідок цього удару. Початкова кінетична енергія кулі:

кінцева кінетична енергія кулі та ящика:

проста алгебра показує нам, що в процесі удару кінетична енергія змінилася:

Отже, початкова кінетична енергія кулі менша за кінцеву на деяку позитивну величину. Як це сталося? У процесі удару між піском та кулею діяли сили опору. Різниця кінетичних енергій кулі до і після зіткнення таки рівні роботі сил опору. Іншими словами, кінетична енергія кулі пішла на нагрівання кулі та піску.

Якщо результаті зіткнення двох тіл зберігається кінетична енергія, такий удар називається абсолютно пружним.

Прикладом абсолютно пружних ударів може бути зіткнення більярдних куль. Ми розглянемо найпростіший випадок такого зіткнення – центральне зіткнення.

Центральним називається зіткнення, при якому швидкість однієї кулі проходить через центр мас іншої кулі. (Мал. 2.)

Рис. 2. Центральний удар куль

Нехай одна куля спочиває, а друга налітає на неї з якоюсь швидкістю, яка, згідно з нашим визначенням, проходить через центр другої кулі. Якщо центральне зіткнення і пружне, то при зіткненні виникають сили пружності, що діють уздовж лінії зіткнення. Це призводить до зміни горизонтальної складової імпульсу першої кулі, і виникнення горизонтальної складової імпульсу другої кулі. Після удару другий шар отримає імпульс, спрямований праворуч, а перший шар може рухатися як праворуч, так і ліворуч – це буде залежати від співвідношення між масами куль. У випадку, розглянемо ситуацію, коли маси куль різні.

Закон збереження імпульсу виконується за будь-якого зіткнення куль:

У разі абсолютно пружного удару також виконується закон збереження енергії:

Отримуємо систему із двох рівнянь із двома невідомими величинами. Вирішивши її, ми отримаємо відповідь.

Швидкість першої кулі після удару дорівнює

,

зауважимо, що ця швидкість може бути як позитивною, так і негативною, залежно від того, маса якої з куль більша. Крім того, можна виділити випадок, коли кулі однакові. У цьому випадку після удару перша куля зупиниться. Швидкість другої кулі, як ми раніше зазначили, вийшла позитивною при будь-якому співвідношенні мас куль:

Нарешті, розглянемо випадок нецентрального удару у спрощеному вигляді – коли маси куль рівні. Тоді, із закону збереження імпульсу ми можемо записати:

А з того, що кінетична енергія зберігається:

Нецентральним буде удар, при якому швидкість кулі, що налітає, не проходитиме через центр нерухомої кулі (рис. 3). З закону збереження імпульсу, видно, що швидкості куль становитимуть паралелограм. А з того, що зберігається кінетична енергія, видно, що це не є паралелограм, а квадрат.

Рис. 3. Нецентральний удар при однакових масах

Таким чином, при абсолютно пружному нецентральному ударі, коли маси куль рівні, вони завжди розлітаються під прямим кутом одна до одної.

Модель є демонстрацією, що ілюструє закон збереження імпульсу. Розглядаються пружні та непружні зіткнення куль.

При взаємодії тіл, імпульс одного тіла може частково або повністю передаватися іншому тілу. Якщо на систему тіл не діють зовнішні сили з боку інших тіл, то така система називається замкнутою.

У замкнутій системі векторна сума імпульсів всіх тіл, що входять до системи, залишається постійною за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою .

Цей фундаментальний законПрирода називається законом збереження імпульсу. Він є наслідком з другого та третього законів Ньютона .

Розглянемо якісь два взаємодіючі тіла, що входять до складу замкнутої системи. Сили взаємодії між цими тілами позначимо через і По третьому закону Ньютона Якщо ці тіла взаємодіють протягом часу t, то імпульси сил взаємодії однакові за модулем і направлені в протилежні сторони:

Застосуємо до цих тіл другий закон Ньютона:

Ця рівність означає, що в результаті взаємодії двох тіл їхній сумарний імпульс не змінився. Розглядаючи тепер різні парні взаємодії тіл, що входять до замкнутої системи, можна зробити висновок, що внутрішні силизамкнутої системи що неспроможні змінити її сумарний імпульс, тобто векторну суму імпульсів всіх тіл, які входять у цю систему.

б) Закон збереження енергії

Консервативні сили – сили, робота яких залежить від траєкторії, а зумовлена ​​лише початковими і кінцевими координатами точки.

У системі, у якій діють лише консервативні сили, повна енергія системи залишається незмінною. Можливі лише перетворення потенційної енергії на кінетичну і назад.

Потенційна енергія матеріальної точки – функція лише її (точки) координат, отже сили можна визначити так: . - потенційна енергіяматеріальної точки. Помножимо обидві частини на та отримаємо . Перетворимо і отримаємо вираз доказуючий закон збереження енергії .

в) Втрати механічної енергії

Теорему Бернуллі разом із теоремою Ейлера, викладеної в 110, можна застосувати висновку теореми Борда (1733-1792)-Карно про втрату механічної енергії потоку  рідини при раптовому його розширенні (рис. 328). Теорема ця служить аналогом теореми Кар-

Втрату механічної енергії в прямому стрибку ущільнення можна характеризувати відношенням повного тиску за стрибком до повного тиску Poi перед ним. Формули, що визначають це відношення, мають вигляд

Це рівняння свідчить про те, що під час руху рідкого середовищаїї внутрішня енергіязмінюється як внаслідок зовнішнього припливу тепла, і внаслідок диссипації механічної енергії. Процес дисипації, як свідчить вираз (5-84), пов'язані з в'язкістю р і ідеальної рідини (р = 0) немає місця. Оскільки цей процес незворотний, диссиповану енергію Ед можна розглядати як величину втрати механічної енергії.

Так як у будь-якій машині втрати механічної енергії неминучі, то потужність, що витрачається двигуном на привід насоса (споживана потужність Л), завжди більша за корисну потужність  N - Ці втрати оцінюються загальним ККД насоса

При виведенні рівнянь (136) в'язкість рідини та пов'язана з нею втрата механічної енергії при русі частинки рідини не враховувалися.

При русі рідини у трубі відбувається втрата механічної енергії, отже, мають бути області, у яких вплив в'язкості істотно. Внаслідок прилипання рідини до стінок труби миттєва та середня швидкістьрідини на стінках дорівнюють нулю. Тому в безпосередній близькості стінок труби не може бути інтенсивного перемішування рідини. Це є підставою для висновку, що безпосередньо біля стін різка змінашвидкості має визначатися властивістю в'язкості рідини і що біля стінок повинен існувати шар з ламінарним рухом. Досвідчені дані – добре підтверджують цей висновок.

Робота сил в'язкості, вироблена між двома перерізами потоку і віднесена до одиниці маси, ваги або об'єму рідини, що рухається, називається втратами механічної енергії, або гідравлічними втратами. Якщо ця робота віднесена до одиниці ваги, то гідравлічні втрати називаються втратами напору Л.

Модель нев'язкої рідини не може пояснити походження втрат механічної енергії під час руху рідини трубопроводами і взагалі ефекту опору. Для опису цих явищ використовується більше складна модельв'язкої рідини. Найпростішою і найбільш уживаною моделлю в'язкої рідини є ньютонівська рідина.

Робота сил тиску р витрачається подолання сил опору, як і зумовлює втрати механічної енергії. Ці втрати прямо пропорційні довжині шляху руху, тому їх називають втратами питомої енергіїза довжиною. Якщо втрати виражені в одиницях тиску, їх називають втратами тиску за довжиною та позначають pi. Якщо втрати енергії виражені в лінійних одиницях (EJg), їх називають втратами напору по довжиніта позначають /р.

Отримання регулярних потоків з малими втратами при гальмуванні в дифузорах - завдання набагато складніше, ніж отримання прискорених потоків з малими втратами в соплах. У дифузорах ідеальні оборотні рухи порушуються за рахунок тих же причин і властивостей середовища, що і в соплах, проте при гальмуванні потоків вплив перерахованих вище факторів проявляється у більш сильного ступеня. У дифузорах через рух проти зростаючого тиску умови відриву потоку від стінок більш сприятливі, ніж у соплах, в яких

а) Тертя−− один із видів взаємодії тел. Воно виникає при зіткненні двох тіл. Тертя, як і всі інші види взаємодії, підпорядковується третьому закону Ньютона: якщо на одне з тіл діє сила тертя, то така сама за модулем, але спрямована в протилежний біксила діє і друге тіло. Сили тертя, як і пружні сили, мають електромагнітну природу. Вони виникають внаслідок взаємодії між атомами та молекулами дотичних тіл або наявності нерівностей та шорсткостей.

Силами сухого тертяназивають сили, що виникають при дотику двох твердих тіл за відсутності між ними рідкого або газоподібного прошарку. Вони завжди спрямовані по дотичній до поверхонь, що стикаються.

Сухе тертя, що виникає при відносному спокої тіл, називають тертям спокою. Сила тертя спокою завжди дорівнює за величиною зовнішній силі та спрямована у протилежний бік.

Сила тертя спокою не може перевищувати деякого максимального значення(Fтр)max(Fтр)max. Якщо зовнішня сила більша (Fтр)max(Fтр)max, виникає відносне прослизання. Силу тертя у разі називають силою тертя ковзання . Вона завжди спрямована убік, протилежний напрямруху і, взагалі кажучи, залежить від відносної швидкостітел. Однак у багатьох випадках приблизно силу тертя ковзання можна вважати незалежною від величини відносної швидкості тіл і рівною максимальній силітертя спокою. Ця модель сили сухого тертя застосовується під час вирішення багатьох простих фізичних завдань.

б) Сила тертя ковзання- сила, що виникає між тілами, що стикаються, при їх відносному русі.

Досвідченим шляхом встановлено, що сила тертя залежить від сили тиску тіл один на одного (сили реакції опори), від матеріалів поверхонь, що труться, від швидкості відносного руху. Оскільки ніяке тіло не є абсолютно рівним, сила тертя незалежить від площі зіткнення, і справжня площа зіткнення набагато менше спостережуваної; крім того, збільшуючи площу, ми зменшуємо питомий тиск тіл один на одного.

Величина, що характеризує тертьові поверхні, називається коефіцієнтом тертя, і позначається найчастіше латинською літерою(\displaystyle k) або грецькою літерою(\displaystyle \mu). Вона залежить від природи і якості обробки поверхонь, що труться. З іншого боку, коефіцієнт тертя залежить від швидкості. Втім, найчастіше ця залежність виражена слабо, і якщо більша точність вимірювань не потрібна, то (displaystyle k) можна вважати постійним. У першому наближенні величина сили тертя ковзання може бути розрахована за формулою:

(\displaystyle F=kN)

(\displaystyle k) - коефіцієнт тертя ковзання,

(\displaystyle N) - сила нормальної реакціїопори.

в) Коефіцієнт тертявстановлює пропорційність між силою тертя та силою нормального тиску, що притискає тіло до опори. Коефіцієнт тертя є сукупною характеристикою пари матеріалів, що стикаються і не залежить від площі дотику тіл.

Види тертя

Тертя спокоюпроявляється в тому випадку, якщо тіло, що знаходилося в стані спокою, приводиться в рух. Коефіцієнт тертя спокою позначається μ 0 .

Тертя ковзанняпроявляється за наявності руху тіла, і він значно менше тертя спокою.

Сила тертя кочення залежить від радіуса предмета, що котиться. У типових випадках(при розрахунках тертя кочення коліс поїзда або автомобіля), коли радіус колеса відомий і постійний, його враховують безпосередньо в коефіцієнті тертя кочення μ кач.

Коефіцієнт тертя спокою

тіло починає рухатися
(Коефіцієнт тертя спокою μ 0 )

А) 5.6. Момент імпульсу матеріальної точки та твердого тіла

Векторний добуток радіуса-вектора матеріальної точки на її імпульс: називають моментом імпульсу цієї точки щодо точки О (рис.5.4)

Вектор іноді називають моментом кількості руху матеріальної точки. Він спрямований вздовж осі обертання перпендикулярно площині, проведеної через вектори і утворює з ними праву трійку векторів (при спостереженні з вершини вектора видно, що обертання по найкоротшій відстані до відбувається проти годинникової стрілки).

Векторну суму моментів імпульсів усіх матеріальних точоксистеми називають моментом імпульсу (кількості руху) системи щодо точки О:

Вектори взаємно перпендикулярні і лежать у площині перпендикулярної осі обертання тіла. Тому. З урахуванням зв'язку лінійних та кутових величин

і спрямований вздовж осі обертання тіла у той самий бік, як і вектор .

Таким чином.

Момент імпульсу тіла щодо осі обертання

Отже, момент імпульсу тіла щодо осі обертання дорівнює творумоменту інерції тіла щодо тієї ж осі на кутову швидкість обертання тіла навколо цієї осі.

5.5. Другий закон Ньютона для обертального рухута його аналіз

5.7. Основне рівняння динаміки обертального руху »

Розділ: Динаміка обертального руху твердого тіла Фізичні основимеханіки

Б) Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла

Моментом сили щодо нерухомої точки O називається псевдовекторна величина рівна векторному творурадіус-вектора , проведеному з точки Oв точку застосування сили, на силу

Модуль моменту сили:

- псевдовектор, його напрямок збігається з напрямом площини руху правого гвинта при його обертанні від . Напрямок моменту силиможна також визначити за правилом лівої руки: чотири пальці лівої руки поставити у напрямку першого співмножника, другий співмножник входить у долоню, відігнутий під прямим кутом великий палецьвкаже напрямки моменту сили. Вектор моменту сили завжди перпендикулярний площині, в якій лежать вектори і .

Де найкоротша відстань між лінією дії сили та точкою Проназивається плечем сили.

Моментом сили щодо нерухомої осі Zназивається скалярна величинарівна проекції на цю вісь вектора моменту сили, визначеного щодо довільної точки O даної осі Z. Якщо вісь Zперпендикулярна площині, де лежать вектори і , тобто. збігається з напрямком вектора, то момент сили представляється у вигляді вектора, що збігається з віссю.

Вісь, становище якої в просторі залишається незмінним привернення навколо тіла без зовнішніх силназивається вільною віссю тіла.

Для тіла будь-якої форми та з довільним розподіломмаси існує 3 взаємно перпендикулярні, що проходять через центр інерції тіла осі, які можуть служити вільними осями: вони називаються головними осями інерції тіла.

Знайдемо вираз для роботи при обертальному русітіла. Нехай на масу mтвердого тіла діє зовнішня сила. Тоді робота цієї сили за час d tдорівнює

Здійснимо в змішаному творівекторів циклічну перестановку співмножників, скориставшись правилом

Робота при обертанні тіла дорівнює добутку моменту дії сили на кут повороту. Робота при обертанні тіла йде збільшення його кінетичної енергії:

Отже,

- рівняння динаміки обертального руху

Якщо вісь обертання збігається з головною віссюінерції, що проходить через центр мас, виконується векторна рівність

І - головний моментінерції (момент інерції щодо головної осі)

Крутильні коливання

КРУТИЛЬНІ КОЛИВАННЯ- механіч. коливання, при яких брало пружні елементи відчувають деформації зсуву. Мають місце у разл. машинах з валами, що обертаються: у поршневих двигунах, турбінах, генераторах, редукторах, трансмісіях транспортних машин.

виникають в результаті нерівномірності періодич. моменту як рушійних сил, і сил опору. Нерівномірність крутного моменту викликає нерівномірність зміни кутовий швидкостівалу, тобто прискорення, то уповільнення обертання. Зазвичай вал являє собою чергування ділянок з малою масою і пружною податливістю з більш жорсткими ділянками, на яких брало закріплені значить. маси. У кожному перерізі валу буде свій рівень нерівномірності обертання, оскільки в однаковий проміжок часу маси проходять різні кутиі, отже, рухаються з різними швидкостями, що створює змінне кручення валу і динамічні. знакозмінні напруги, гол. обр. дотичні.

При збігу частот прив. коливань системи з частотою періодич. крутного моменту рушійних сил та сил опору виникають резонансні коливання. У цьому випадку підвищується рівень динаміч. змінних напруг; зростає акустич. шум, що випромінюється працюючою машиною. Динаміч. знакозмінні напруги при неправильно обраних (занижених) розмірах валу, недостатньої міцності його матеріалу та виникненні резонансу можуть перевищити межу витривалості, що призведе до втоми матеріалу валу та його руйнування.

При розрахунку К. до. валів машин часто користуються розрахунковою схемою з двома дисками, з'єднаними пружним стрижнем, що працює на кручення. У цьому випадку прив. частота

де I 1 - момент інерції 1-го диска, I 2 - момент інерції 2-го диска, З-крутильна жорсткість стрижня, Для круглого стрижня діаметром dта довжиною l З де G – модуль зсуву. Більш складні розрахункові схеми містять більша кількістьдисків, з'єднаних стрижнями і утворюють послідовність. ланцюги, а іноді - розгалужені та кільцеві ланцюги. Розрахунок прив. частот форм і вимушених До. до. за цими розрахунковими схемами виробляється на ЕОМ.

Др. прикладом До. до. є крутильний маятник, який являє собою диск, закріплений на одному кінці стрижня, що працює на кручення і жорстко заробленого ін. кінцем. власних. частота такого маятника де I- Момент інерції диска. Прилади з використанням крутильного маятника застосовують для визначення модуля пружності при зсуві коеф. внутр. тертя твердих матеріалівпри зрушенні, коеф. в'язкості рідини.

виникають у різноманітних пружних системах; у деяких випадках можливі спільні коливання з разл. види деформації елементів системи, напр. згинально-крутильні коливання. Так, при визнач. умовах польоту під дією аеродинамічних. сил іноді виникають самозбудливі згинально-крутильні коливання крила літака (т. зв. флаттер), які можуть викликати руйнування крила.

Літ.:Ден-Гартог Д. П., Механічні коливання, пров. з англ., М., 1960; Маслов Г. С., Розрахунки коливань валів. Довідник, 2 видавництва, М., 1980; Вібрації у техніці. Довідник, за ред. Ст Ст Болотіна, т. 1, М., 1978; Силові передачі транспортних машин, Л., 1982. А. В. Синьов

Амплітуда коливань(Лат. amplitude- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої (див. рис. нижче).

Період коливань.

Період коливань- це найменший проміжокчасу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона перебувала в початковий моментчасу, вибраний довільно.

Іншими словами, період коливань ( Т) - це час, протягом якого відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги Проу крайню ліву точку і назад через точку Прознову в крайню праву.

За повний періодколивань, таким чином, тіло проходить шлях, що дорівнює чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений відомому графікуколивань (див. рис. нижче).

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків величин, що приблизно повторюються, наприклад, для загасаючих коливань .

Частота коливань.

Частота коливань- це кількість коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.

Одиниця частоти у СІ названа герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1Гц, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

.

Циклічна частота- це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.

а) Коливання. Згасаючі та незагасаючі

Процеси, що повторюються, визначають наше життя. Зима змінює літо, день змінює ніч, вдих змінює видих. Біжить час, і його ми теж відміряємо процесами, що повторюються. Процеси, що повторюються, і є коливання.

Коливаннями називаються повторювані у часі зміни фізичної величини.

Якщо ці зміни повторюються через певний інтервал часу, то коливання називаються «періодичними». Найменший інтервал часу T,через який повторюються значення фізичної величини A(t), називається періодомїї вагань A(t + Т) =A(t).Число коливань в одиницю часу vназивається частотою коливань. Частота коливань та період пов'язані співвідношенням v = 1/Т.Коливання системи, які відбуваються за відсутності зовнішнього впливу, називаються вільними. Для порушення коливань необхідно зовнішній вплив. Системі ззовні повідомляється запас енергії, за рахунок якої відбуваються коливання. Це зовнішня дія виводить систему з положення рівноваги, і надалі вона здійснює рух біля положення рівноваги, йдучи і повертаючись до нього, за інерцією проскакуючи його. І так повторюється щоразу. Рух у цьому контексті означає зміну стану. У механічні системи це може бути переміщення в просторі або зміна тиску, електричних- Зміна величини заряду або напруженості поля. Існує нескінченна безлічрізних рухів та відповідних їм коливальних процесів.

Будь-яку систему, що здійснює коливальний рух, називають«осцилятор» (у пров. з лат.oscillo- «Колився»), відповідно і слово «вагання» часто замінюють терміном «осциляції».

Якщо амплітуда коливань не змінюється у часі, гармонічні коливання називаютьсянезатухаючими .

Диференціальне рівняння, що описує гармонічні незагасні коливання, має вигляд:

d 2 A(t) /dt 2+ ω 0 2 A(t) = 0.

Ȧ +ω 0 2 A = 0.

Якщо амплітуда зменшується з часом, коливання називаютьсязагасаючими .

Часто зустрічається приклад загасаючих коливань- коливання, у яких амплітуда зменшується згідно із законом

A 0 (t) =a 0 e-βt.

Коефіцієнт згасання β > 0.

У системі СІ час вимірюється с, а частота відповідно в зворотних секундах (с -1). Ця одиниця виміру має спеціальну назву«герц» 1 Гц = 1 с -1 . Німецький фізик Генріх Рудольф Гер

Припустимо, що ми вміємо обчислювати моменти інерції щодо будь-якої осі, що проходить центр мас. Тепер постає завдання обчислення моменту інерції тіла щодо довільної осі. Вона вирішується з допомогою теореми Штейнера.

Ця теорема стверджує, що момент інерції тіла щодо будь-якої осі обертаннядорівнює моменту інерції щодо паралельної осі, що проходить через центр мас, складеному з добутком маси тіла на квадрат відстані центру мас тіла від осі обертання.

Для доказу теореми розглянемо якусь вісь З, що проходить через центр мас і паралельну їйвісь Провідстань від осі Зна відстані а.Ось Проможе перебувати і поза тілом. Обидві осі перпендикулярні до площини креслення (рис. 2.12).

Рис. 2.12. На доказ теореми Штейнера

З рис. 2.12 видно, що положення елемента маси щодо цих осей визначається векторами і зв'язок між якими має вигляд:

Квадрат відстані дорівнює скалярному твору

Тоді момент інерції тіла щодо осі Проможна уявити в наступному вигляді:

Останнє доданок у цьому виразі є момент інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас. Позначимо його через Суму . Нагадаємо, що осі Проі Зпаралельні і отже, вектор перпендикулярний осі З.Тому скалярний твірТаким чином, ми отримуємо:

(2.10.1)

\ 2.11. Зрівняння руху твердого тіла.

Абсолютно тверде тіло має шість ступенів свободи і, отже, його рух описується за допомогою шести диференціальних рівняньдругого порядку. Три їх описують рух центру мас твердого тіла:

, , , (2.11.1)

де - координати центру мас тіла, - проекції зовнішніх сил на осі координат, m- маса тіла. Три інші є рівняннями моментів щодо осей ОХ, ОУі ОZв декартовій системікоординат:

, , , (2.11.2)

де L x , L y , L z - моменти імпульсу системи щодо осей ОХ, ОУ, ОZ, а M x , M y , M z - моменти зовнішніх сил щодо цих осей.

Якщо переміщувати точку застосування сили вздовж лінії її дії, то моменти сил і результуючі сили не змінюватимуться, якщо ми маємо справу з абсолютно твердим тілом. В цьому випадку не змінюватимуться і рівняння руху (2.11.1), (2.11.2).

Якщо знайдено рішення рівнянь (2.11.1), (2.11.2), за відомих початкових умовах, то визначено і шість координат, що характеризують рух твердого тіла. Ці координати є функціями часу. Однак системи рівнянь (2.11.1) та (2.11.2) не завжди дозволяють отримати рішення в аналітичній формі. І тут кажуть, що рівняння руху не вдається проінтегрувати, і розв'язання рівнянь знаходять шляхом чисельного інтегрування.

Момент інерції тіла. Теорема Ґюйгенса-Штейнера. Приклади обчислення моментів інерції тел

Момент інерції тіла адитивна величина, що дорівнює сумі моментів інерції всіх частинок тіла:

Тут m i- Маса i-тої частинки, яку можна пов'язати із щільністю речовини r iта обсягом частинки:

m i= r i D V i.

Тоді .

Якщо тіло однорідне, тобто його щільність скрізь однакова, то можна винести за знак суми:

Розділяючи тіло на все більше дрібні частинки, зведемо завдання пошуку моменту інерції до обчислення інтеграла:

Інтегрування проводиться по всьому об'єму тіла V.

Як приклад обчислимо момент інерції тонкого однорідного стрижня щодо осі z, що проходить через його центр мас - точку С (рис. 9.3). Довжина стрижня l, його маса - M.

На відстані x від осі обертання виділимо елемент dx, маса якого dm = .

Рис. 9.3

Момент інерції цієї частки стрижня дорівнює:

.

Обчисливши подібним чином, моменти інерції всіх елементів стрижня складемо їх, взявши інтеграл:

Таким чином:

I z = . (9.7)

Інтегрування проведено за xне більше від до .

Як зміниться момент інерції цього стрижня, якщо вісь обертання перенести на інше місце? Провести її, наприклад, через край стрижня?

У цьому випадку колишній інтеграл слід розглянути в межах від 0 до l:

. (9.8)

Нове значення моменту інерції того ж стрижня помітно зросло. Пов'язано це з тим, що момент інерції тіла визначається як його масою, а й її розподілом щодо осі обертання.

Обчислимо момент інерції ще одного тіла: суцільного циліндра щодо нього геометричної осі.

Рис. 9.4

Нехай M- Маса, а R- Радіус циліндра (рис. 9.4). Виділимо у цьому циліндрі циліндричний шар радіусом rта завтовшки dr. Маса цього шару:

dm= r × dV= r × 2p r × dr × l,

де: r – щільність матеріалу циліндра;

l- Його довжина.

Усі частинки цього шару знаходяться на однаковій відстані від осі обертання - геометричної осі циліндра, отже, момент інерції шару дорівнює:

dI = dm × r 2 = r × 2p r × dr × l × r 2 .

Для пошуку моменту інерції циліндра проінтегруємо останній вираз:

.

Зазначимо, що p R 2 l = V- Об'єм циліндра, а rp R 2 l= r V = M- Його маса.

Тоді момент інерції циліндра щодо його геометричної осі можна остаточно записати у такому вигляді:

Момент інерції тіла щодо довільної осі (I) дорівнює сумі моменту інерції I c щодо осі, паралельної даної та проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла М на квадрат відстані між осями:

I = I c + Ma 2 , (9.9)

де а- Відстань між осями.

На малюнку 9.5 осі обертання перпендикулярні до площини креслення: через точку 0 проходить довільна вісь; паралельна їй вісь проведена через центр мас тіла - точку З. Відстань між осями - а.

Виділимо елемент тіла масою D m i. Його момент інерції щодо осі 0 дорівнює:

Як випливає з малюнка, звідки:

. (9.11)

Рис. 9.5

Тепер момент інерції частки D m i(9.10) можна уявити такою сумою:

Для пошуку моменту інерції всього тіла, необхідно скласти моменти інерції всіх його частинок:

Тут за знак суми винесено постійна величина- відстань між осями а. Перший доданок праворуч = Ма 2 , оскільки = М- маса тіла. Другий доданок = IС - момент інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас. Третій доданок дорівнює нулю, оскільки сума дорівнює добутку маси тіла на вектор , проведений від осі до центру мас тіла. Але вісь проходить через центр мас, тому = 0 і = М= 0.

Зібравши ці результати до рівняння (9.12), отримаємо вираз теореми Гюйгенса-Штейнера:

I O = I C + Ma 2 .

Ця теорема значно полегшує завдання обчислення моментів інерції.

Відомий, наприклад, момент інерції стрижня щодо осі, що проходить через центр мас (9.7):

Скориставшись теоремою Гюйгенса-Штейнера, легко обчислимо момент інерції цього стрижня щодо осі z', що проходить, наприклад, через край стрижня (рис. 9.3):

I z ’ = I z + Ma 2 , a = l/2.

.

Це значення моменту інерції збігається з результатом (9.8), отриманого методом прямого інтегрування.

Лекція 10 "Механіка твердого тіла"

План лекції:

1. Повна системарівнянь, що описує довільний рухтверде тіло. Умови його рівноваги та спокою.

2. Енергія тіла, що рухається.

2.1. Кінетична енергіятвердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі

2.2. Кінетична енергія тіла за плоского руху.

3. Скочування тіла з похилої площини.