Довести теорему 3 ознака рівності трикутників. Третя ознака рівності трикутників

У розділі питання 3 ознака рівності трикутників (3 випадок) довести заданий автором Котикнайкраща відповідь це якщо три сторони одного трикутника рівні відповідно трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доведення
Дано:
2 трикутники, АВС та А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1
Два трикутники з трьома рівними сторонами
Потрібно довести, що трикутники АСВ та А1В1С1 рівні.
Доведення
Для початку необхідно "накласти" дані трикутники один на одного таким чином - щоб точка А збіглася з точкою А1, точка В з точкою В1, а точки С і С1 виявилися різні сторонивід прямої А1В1.
Накладання двох трикутників
Три можливі випадки при накладенні трикутників

Перший випадок
Промінь С1С накладається однією із сторін даного кута.
Другий випадок

Третій випадок
Докази рівності трикутників для трьох можливих випадків
Перший випадок
Промінь С1С розташований усередині кута А1С1В1.
Доведення:
Розглянемо трикутники В1С1С та АС1С.
Перший випадок
За умовою сторони АС=А1С1, ВС=В1С1, отже, трикутники В1С1С та А1С1С – рівнобедрені.
Згадавши, що кути при основі рівнобедрених трикутниківрівні (властивість рівнобедреного трикутника), отримуємо:
∠АСС1 = ∠А1С1С,
∠ВСС1 = ∠В1С1С.
Оскільки
∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1,
∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C,
то й кути AСB та AС1B рівні.
Оскільки ВС = В1С1, АС = А1С1 та ∠AСB = ∠AС1B, можна стверджувати, що трикутники АВСі А1В1С1 рівні згідно з першою ознакою рівності трикутників (по двох сторонах і кутку між ними).
Що й потрібно було довести
Другий випадок
Промінь С1С накладається однією зі сторін цього кута.
Доведення:
Розглянемо трикутник САС1.
Другий випадок
Відповідно до умови теореми, у трикутнику САС1 сторони АС та А1С1 рівні, отже, сам трикутник САС1 – рівнобедрений.
За аналогією з доказом першого випадку (пункти 3-5): оскільки трикутник САС1 рівнобедрений, то кути за його підстави (СС1) рівні, тобто ∠С = ∠С1. Звідси випливає, що трикутники АВС і А1В1С1 дорівнюють по дві сторони і кут між ними.
Що й потрібно було довести.
Третій випадок
Промінь С1С розташований поза кутом А1С1В1.
Доведення:
Розглянемо одержаний трикутник ВСС1.
Третій випадок доказ
За умовою, сторони В1С1 і ВС – рівні, отже, трикутник В1С1С – рівнобедрений, отже, що кути BСD і BС1D рівні.
Розглянемо трикутник АСС1.
Відповідно до умови, сторони АС і А1С1 – рівні, звідси випливає, що трикутник АСС1 – рівнобедрений і кути за його підстави рівні (∠DC1A = ∠DCA).
∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.
Оскільки ∠DC1A = ∠DCA і ∠BСD = ∠BС1D, то звідси випливає, що і кути ∠АСВ та ∠АС1В рівні.
З вищенаписаного можна дійти невтішного висновку, що трикутники АВС і А1В1С1 рівні з обох боків і куті з-поміж них.
Що й потрібно було довести.

Друга ознака рівності трикутників

Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN = PR N = R M = P

Як і в доказі першої ознаки, потрібно переконатися, чи цього достатньо для рівності трикутників, чи можна їх повністю поєднати?

1. Оскільки MN = PR , ці відрізки поєднуються, якщо поєднати їх кінцеві точки.

2. Оскільки N = R і M = P , то промені (MK) і (NK) накладуться відповідно на промені (PT) і (RT).

3. Якщо збігаються промені, то збігаються точки їх перетину \(K\) і \(T\).

4. Поєднані всі вершини трикутників, тобто Δ MNK і Δ PRT повністю сумісні, отже вони рівні.

Третя ознака рівності трикутників

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN = PR KN = TR MK = PT

Знову спробуємо поєднати трикутники MNK і PRT накладенням і переконається, що відповідно рівні сторони гарантує і рівність відповідних кутівцих трикутників і вони збігаються.

Сумісний, наприклад, однакові відрізки (MK) і (PT). Припустимо, що точки \(N\) і \(R\) при цьому не поєднуються.

Нехай (O) - середина відрізка (NR). Відповідно до цієї інформації MN = PR , KN = TR . Трикутники \(MNR\) і \(KNR\) рівнобедрені із загальною основою \(NR\).

Тому їх медіани \(MO\) і \(KO\) є висотами, отже перпендикулярні \(NR\). Прямі \(MO\) і \(KO\) не збігаються, оскільки точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежать на одній прямій. Але через точку \(O\) прямий \(NR\) можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми дійшли суперечності.

Доведено, що мають поєднатися і вершини (N) і (R).

Третя ознака дозволяє назвати трикутник дуже сильною, стійкою фігурою, іноді кажуть, що трикутник - жорстка фігура . Якщо довжини сторін не змінюються, то кути також не змінюються. Наприклад, чотирикутник такого властивості немає. Тому різні підтримки та зміцнення роблять трикутними.

Але своєрідну стійкість, стабільність і досконалість числа (3) люди оцінювали і виділяли давно.

Про це свідчать казки.

Там ми зустрічаємо «Три ведмеді», «Три вітри», «Три порося», «Три товариші», «Три брати», «Три щасливці», «Троє умільців», «Три царевичи», «Три друзі», «Три друзі». богатиря» та ін.

Там даються "три спроби", "три поради", "три вказівки", "три зустрічі", виконуються "три бажання", потрібно потерпіти "три дні", "три ночі", "три роки", пройти через "три держави". », «три підземні царства», витримати «три випробування», пропливти через «три моря».

>>Геометрія: Третя ознака рівності трикутників. Повні уроки

ТЕМА УРОКА: Третя ознака рівності трикутників.

Цілі уроку:

• Освітні – повторення, узагальнення та перевірка знань на тему: “Ознаки рівності трикутників”; вироблення основних навичок.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичне мовлення.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку:

• Формувати навички у побудові трикутників за допомогою масштабної лінійки, транспортира та креслярського трикутника.
• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку:

1. З історії математики.
2. Ознаки рівності трикутників.
3. Актуалізація опорних знань.
4. Прямокутні трикутники.

З історії математики.
Прямокутний трикутник займає почесне місце у вавилонській геометрії, згадка про нього часто зустрічається в папірусі Ахмеса.

Термін гіпотенуза походить від грецького hypoteinsa, що означає тягнеться під чимось, стягує. Слово бере початок від образу давньоєгипетських арф, на яких струни натягувалися на кінці двох взаємно перпендикулярних підставок.

Термін катет походить від грецького слова«катетос», що означало схильність, перпендикуляр. У середні віки словом катет означали висоту прямокутного трикутника, тоді як інші його сторони називали гіпотенузою, відповідно основою. У XVII столітті слово катет починає застосовуватись у сучасному сенсіі поширюється, починаючи з XVIII століття.

Евклід вживає вирази:

"сторони, що укладають прямий кут", - для катетів;

«сторона, що стягує прямий кут», – для гіпотенузи.

Для початку нам необхідно освіжити у пам'яті попередні ознаки рівності трикутників. І так почнемо з першого.

Перший ознака рівності трикутників.

Два трикутники називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням. На малюнку 1 зображені рівні трикутники ABC і А1В1С1. Кожен із цих трикутників можна накласти на інший так, що вони повністю суміщаться, тобто попарно поєднаються їхні вершини та сторони. Ясно, що при цьому попарно поєднаються і кути цих трикутників.

Таким чином, якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони та кути) одного трикутника відповідно дорівнюють елементам іншого трикутника. Відмітимо, що в рівних трикутникахпроти відповідно рівних сторін (тобто поєднуються при накладенні) лежать рівні кути,і назад: проти відповідно рівних кутів лежать рівні боки.

Так, наприклад, у рівних трикутниках ABC і A 1 B 1 C 1 , зображених на малюнку 1, проти відповідно рівних сторін АВ і А 1 В 1 лежать рівні кути З і С 1 . Рівність трикутників ABC і А1В1С1 позначатимемо так: ΔABC = ΔА1В1С1. Виявляється, що рівність двох трикутників можна встановити, порівнюючи деякі їх елементи.

Теорема 1. Перша ознака рівності трикутників.Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис.2).

Доведення. Розглянемо трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 , які мають АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 (див. рис.2). Доведемо, що ABC = A 1 B 1 C 1 .

Так як ∠ А = ∠ А 1 , то трикутник ABC можна накласти на трикутник А 1 В 1 С 1 так, що вершина А суміситься з вершиною А 1 , а сторони АВ та АС накладуться відповідно на промені А 1 В 1 та A 1 C 1 . Оскільки АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ поєднається зі стороною А 1 В 1 а сторона АС - зі стороною А 1 C 1 ; зокрема, суміщаться точки і В 1 , З і C 1 . Отже, суміщаються сторони ЗС і В1С1. Отже, трикутники ABC і А 1 В 1 З 1 повністю суміщаються, отже, вони рівні.

Аналогічно шляхом накладання доводиться теорема 2.

Теорема 2. Друга ознака рівності трикутників.Якщо сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 34).

Зауваження. На основі теореми 2 встановлюється теорема 3.

Теорема 3. Сума будь-яких двох внутрішніх кутів трикутника менша за 180°.

З останньої теореми випливає теорема 4.

Теорема 4. Зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішнього кута, не суміжний з ним.

Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників.Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні ().

приклад 1.У трикутниках ABC та DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Порівняти трикутники ABC та DEF. Який кут у трикутнику DEF дорівнює кутуУ?

Рішення. Дані трикутники дорівнюють за першою ознакою. Кут F трикутника DEF дорівнює куту трикутника ABCтак як ці кути лежать проти відповідно рівних сторін DE і АС.

приклад 2.Відрізки АВ та CD (рис. 5) перетинаються у точці О, яка є серединою кожного з них. Чому дорівнює відрізок BD, якщо відрізок АС дорівнює 6 м?

Рішення. Трикутники АОС та BOD рівні (за першою ознакою): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальні), АВ = ОВ, СО = OD (за умовою).
З рівності цих трикутників випливає рівність їх сторін, тобто АС = BD. Але оскільки за умовою АС = 6 м, то BD = 6 м.