Як перебуває середня лінія трапеції формула. Трапеція

У цій статті ми намагатимемося наскільки можна повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, мова піде про загальні ознакиі властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Торкнемося ми і властивості рівнобедреної і прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирикутник, дві із сторін якої паралельні одна одній (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середню лінію та діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та його комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте собі на аркуші трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

1. Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) і з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції полягає в тому, що ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
2. Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Розгляньмо трикутники АОЕ і МОК, утворені відрізками діагоналей разом з основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
   Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
3. Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їхні площі однакові.
4. Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МЕ в напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
   Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона разом з'єднає точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
5. Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
6. А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний підставамтрапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

1. Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
2. Якщо провести через обидві підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції АКМЕ. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

1. Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 і γ + δ = 180 0 .
2. З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
3. Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції

1. У рівнобедреної трапеціїрівні кути при будь-якій підставі.
2. Тепер знову збудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, про що йдеться. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
3. Кілька слів про властивість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
4. Тільки біля рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 180 0 – обов'язкова умовадля цього.
5. З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
6. З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
7. Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І водночас ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
8. Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо його a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основи віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець до рук і накреслити те, про що піде мованижче. Так і зрозумієте швидше і запам'ятайте краще.

1. Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до його боці. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бокової сторони. У такому разі більша основа перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
2. Діагональ та бічна сторона можуть зустрічатися і під гострим кутом– тоді центр кола виявляється усередині трапеції.
3. Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за її основою, якщо між діагоналлю трапеції і бічною стороною – тупий кут.
4. Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) складає половину того центрального кута, Що йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
5. Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помножений на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
6. Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

1. Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
2. У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. З цієї властивості основ трапеції випливає зворотне затвердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума підстав якої дорівнює сумі бічних сторін.
4. Точка торкання кола з радіусом r, вписаної в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
5. І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад також накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція АКМЕ, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
   Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

1. У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
2. Висота та бічна сторона трапеції, що прилягає до прямому куту, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції ( загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
3. Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

• Ви вже напевно і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЄ = КМЕ.

Що й потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

• Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ та КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЄ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – спільна сторонадвох трикутників. А також ТРАВНІ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі властивості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = ?АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспектвсіх загальних властивостейтрапеції. А також специфічних властивостейта ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням з друзями!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Цілі уроку:

1) познайомити учнів із поняттям середньої лінії трапеції, розглянути її властивості та довести їх;

2) навчити будувати середню лініютрапеції;

3) розвивати вміння учнів використовувати визначення середньої лінії трапеції та властивості середньої лінії трапеції під час вирішення завдань;

4) продовжувати формувати в учнів вміння говорити грамотно, використовуючи необхідні математичні терміни; доводити свою думку;

5) розвивати логічне мислення, пам'ять, увага.

Хід уроку

1. Перевірка домашнього завдання відбувається протягом уроку. Домашнє завдання було усним, згадати:

а) визначення трапеції; види трапецій;

б) визначення середньої лінії трикутника;

в) властивість середньої лінії трикутника;

г) ознака середньої лінії трикутника.

2. Вивчення нового матеріалу.

а) На дошці зображено трапецію ABCD.

б) Вчитель пропонує згадати визначення трапеції. На кожній парті є схема-підказка, яка допомагає згадати основні поняття теми “Трапеція” (див. Додаток 1). Додаток 1 видається кожну парту.

Учні зображують трапецію ABCD у зошиті.

в) Вчитель пропонує згадати, як і темі зустрічалося поняття середньої лінії (“Середня лінія трикутника”). Учні згадують визначення середньої лінії трикутника та її властивість.

д) Записують визначення середньої лінії трапеції, зображуючи їх у зошити.

Середньою лінієютрапеції називається відрізок, що з'єднує середини її бічних сторін.

Властивість середньої лінії трапеції цьому етапі залишається не доведеним, тому наступний етап уроку передбачає роботу над доказом якості середньої лінії трапеції.

Теорема. Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх напівсумі.

Дано: ABCD - трапеція,

MN – середня лінія ABCD

Довести, що:

1. BC || MN | AD.

2. MN = (AD + BC).

Можна виписати деякі наслідки, що випливають із умови теореми:

AM=MB, CN=ND, BC || AD.

На підставі перелічених властивостей довести необхідне неможливо. Система питань та вправ має підвести учнів до бажання пов'язати середню лінію трапеції із середньою лінією якогось трикутника, властивості якої вони знають. Якщо пропозицій не буде, то можна поставити запитання: як побудувати трикутник, для якого відрізок MN був би середньою лінією?

Запишемо додаткову побудову для одного з випадків.

Проведемо пряму BN, що перетинає продовження сторони AD у точці K.

З'являються додаткові елементи – трикутники: ABD, BNM, DNK, BCN. Якщо доведемо, що BN = NK, це означатиме, що MN – середня лінія ABD, а далі можна буде скористатися властивістю середньої лінії трикутника і довести необхідне.

Доведення:

1. Розглянемо BNC і DNK, у яких:

а) CNB = DNK (властивість вертикальних кутів);

б) BCN = NDK (властивість внутрішніх навхрест лежачих кутів);

в) CN = ND (за наслідком з умови теореми).

Значить BNC = DNK (на стороні та двох прилеглих до неї кутах).

Що й потрібно було довести.

Доказ можна провести на уроці усно, а вдома відновити та записати у зошиті (на розсуд вчителя).

Необхідно сказати і про інші можливі способи доказу цієї теореми:

1. Провести одну з діагоналей трапеції та використовувати ознаку та властивість середньої лінії трикутника.

2. Провести CF || BA і розглянути паралелограм ABCF та DCF.

3. Провести EF || BA і розглянути рівність FND та ENC.

ж) На цьому етапі задається домашнє завдання: п. 84, підручник за ред. Атанасяна Л.С. (Доказ властивості середньої лінії трапеції векторним способом), записати в зошит.

з) Розв'язуємо задачі на використання визначення та властивості середньої лінії трапеції за готовими кресленнями (див. Додаток 2). Додаток 2 видається кожному учневі, і розв'язання завдань оформляється цьому ж аркуші в короткій формі.

Поняття середньої лінії трапеції

Спочатку згадаємо, яку фігуру називають трапецією.

Визначення 1

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

При цьому паралельні сторониназиваються основами трапеції, а не паралельні - бічними сторонами трапеції.

Визначення 2

Середня лінія трапеції – це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції.

Теорема про середню лінію трапеції

Тепер введемо теорему про середню лінію трапеції і доведемо її векторним методом.

Теорема 1

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Доведення.

Нехай нам дана трапеція $ABCD$ з основами $AD\ і BC$. І хай $ MN $ - середня лінія цієї трапеції (рис. 1).

Рисунок 1. Середня лінія трапеції

Доведемо, що $MN||AD\ і MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Розглянемо вектор $\overrightarrow(MN)$. Використовуємо правило багатокутника для складання векторів. З одного боку отримаємо, що

З іншого боку

Складемо дві останні рівністі, отримаємо

Так як $ M $ і $ N $ - середини бічних сторін трапеції, будемо мати

Отримуємо:

Отже

З тієї ж рівності (оскільки $\overrightarrow(BC)$ і $\overrightarrow(AD)$ сонаправлены, отже, коллинеарны) отримуємо, що $MN||AD$.

Теорему доведено.

Приклади завдань поняття середньої лінії трапеції

Приклад 1

Бічні сторони трапеції рівні $15\см$ і $17\см$ відповідно. Периметр трапеції дорівнює $52\ см $. Знайти довжину середньої лінії трапеції.

Рішення.

Позначимо середню лінію трапеції через $n$.

Сума бічних сторін дорівнює

Отже, оскільки периметр дорівнює $52\ см$, сума підстав дорівнює

Отже, за теоремою 1 отримуємо

Відповідь:$10\ см$.

Приклад 2

Кінці діаметра кола віддалені від його дотичної відповідно на $9$ см і $5$ см. Знайти діаметр цього кола.

Рішення.

Нехай нам дано коло з центром у точці $O$ та діаметром $AB$. Проведемо дотичну $l$ і побудуємо відстані $AD=9\ см$ і $BC=5\ см$. Проведемо радіус $OH$ (рис. 2).

Малюнок 2.

Оскільки $AD$ і $BC$ - відстані до дотичної, то $AD\bot l$ і $BC\bot l$ і оскільки $OH$ -- радіус, то $OH\bot l$, отже, $OH |\left|AD\right||BC$. З цього отримуємо, що $ABCD$ - трапеція, а $OH$ - її середня лінія. По теоремі 1, отримуємо

Площа трапеції. Вітаю вас! У цій публікації ми розглянемо зазначену формулу. Чому вона саме така та як її зрозуміти. Якщо буде розуміння, то і вчити її вам не потрібно. Якщо ж ви просто хочете подивитися цю формулу і при чому терміново, то одразу можете прокрутити сторінку вниз))

Тепер докладно та по порядку.

Трапеція це чотирикутник, дві сторони цього чотирикутника паралельні, дві інші немає. Ті, що не є паралельними – це підстави трапеції. Дві інші називаються бічними сторонами.

Якщо бічні сторони рівні, то трапеція називається рівнобедреною. Якщо одна з бічних сторін перпендикулярна до основ, то така трапеція називається прямокутною.

У класичному вигляді трапецію зображують наступним чином - більша основа знаходиться внизу, відповідно менша вгорі. Але ніхто не забороняє зображати її і навпаки. Ось ескізи:

Наступне важливе поняття.

Середня лінія трапеції – це відрізок, який з'єднує середини бічних сторін. Середня лінія паралельна основам трапеції і дорівнює їх напівсумі.

Тепер давайте вникнемо глибше. Чому так?

Розглянемо трапецію з основами a і bта із середньою лінією l, і виконаємо деякі додаткові побудови: через основи проведемо прямі, а через кінці середньої лінії перпендикуляри до перетину з основами:

*Буквенні позначення вершин та інших точок не введені навмисне, щоб уникнути зайвих позначень.

Подивіться, трикутники 1 і 2 дорівнюють другою ознакою рівності трикутників, трикутники 3 і 4 теж саме. З рівності трикутників випливає рівність елементів, а саме катетів (вони позначені відповідно синім та червоним кольором).

Тепер увага! Якщо ми подумки «відріжемо» від нижньої основи синій і червоний відрізок, то залишиться відрізок (це сторона прямокутника) рівний середньої лінії. Далі, якщо ми «приклеїмо» відрізані синій та червоний відрізок до верхньої основи трапеції, то в нас вийде також відрізок (це теж сторона прямокутника) рівний середній лінії трапеції.

Вловили? Виходить, що сума підстав дорівнюватиме двом середнім лініям трапеції:

Подивитися ще одне пояснення

Зробимо наступне – побудуємо пряму трапецію, що проходить через нижню основу, і пряму, яка пройде через точки А і В:

Отримаємо трикутники 1 і 2, вони рівні по стороні і прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників). Це означає, що отриманий відрізок (на ескізі він позначений синім) дорівнює верхньому підставі трапеції.

Тепер розглянемо трикутник:

*Середня лінія даної трапеції та середня лінія трикутника збігаються.

Відомо, що трикутника дорівнює половині паралельної їй основи, тобто:

Добре, розібралися. Тепер про площу трапеції.

Площа трапеції формула:

Кажуть: площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав та висоти.

Тобто, виходить, що вона дорівнює добутку середньої лінії та висоти:

Ви, мабуть, помітили, що це очевидно. Геометрично це можна сказати так: якщо ми подумки відріжемо від трапеції трикутники 2 і 4 і покладемо їх відповідно на трикутники 1 і 3:

То у нас вийде прямокутник за площею рівний площінашої трапеції. Площа цього прямокутника дорівнюватиме добутку середньої лінії та висоти, тобто можемо записати:

Але річ тут не в записі, звичайно, а в розумінні.

Завантажити (переглянути) матеріал статті у форматі *pdf

На цьому все. Успіху вам!

З повагою, Олександр.