Найпростіші завдання із прямою на площині. Взаємне розташування прямих

Згідно з планом місцевості будиночки Вінні-Пуха, П'ятачка, Сови та Кролика знаходяться у вершинах квадрата зі стороною L= 500 м (див. рисунок). До кожного будиночка ведуть прямі стежки. На стежці між будиночком П'ятачка та будиночком Сови знаходиться ставок, де, як правило, сумує ослик Іа.

О 10 годині ранку Віні-Пух вирушив до П'ятачка. Віні-Пух рухався рівномірно зі швидкістю v 1 = 4км/год. В цей же час спритний Кролик попрямував до будиночка Сови і теж рухався рівномірно зі швидкістю v 2 =8км/год. Коли Віні-Пух зустрів Паць, вони разом продовжили поступово рухатися зі швидкістю v 3 = 3км/год. стежкою до ставка. Аналогічно вчинили і Кролик і Сова, що зустрілися. Поважна Сова могла пересуватися трохи повільніше, ніж Кролик, тому їх швидкість рівномірного рухубула v 4 = 2км/год. Усі четверо друзів прибули до Іа одночасно. На якій відстані від будиночка Сови знаходиться «ставок смутку» ослика Іа? Відповідь висловіть у метрах.

Рішення. Позначимо шукану величину через x. Час, витрачений

1. Віні-Пухом на шлях до будиночка Паць: t 1 =L/v 1
2. Віні-Пухом та П'ятачком до «ставка смутку»: t 3 =(L-x)/v 3
3. Кроликом до будиночка Сови: t 2 = L/v 2
4. Кроликом і Совою до зустрічі з Іа: t4=x/v 4

З умови випливає, що t 1 +t 3 =t 2 +t 4або L/v 1 +(L-x)/v 3 = L/v 2 + x/v 4

Враховуючи що L = 500 м = 0,5 км, отримуємо наступне рівняння:

0,5/4+(0,5-x)/3 = 0,5/8+x/2

Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо потрібну величину: x= 0,275 км = 275 м-коду.

Відповідь: 275 м.

Завдання №2

На кухні у квартирі дядька Федора цілий рік капала вода. Вранці перед школою сонний дядько Федір сидів за сніданком. За цей рік дядькові Федору вже не треба було дивитися на годинник - він знав, що каша з'являлася на його столі. T=10 хвилин до того, як треба було залишити квартиру, а це дорівнювало N= 40 ударам крапель об раковину. У момент виходу з дому він поставив під кран, що капає, не брудну тарілку, а мірну склянку, і пішов до школи. Повернувшись додому через t= 5 годин, дядько Федір відразу вийняв мірну склянку з-під крана, в якому було 6 мл води, і залишив його до приходу тата в надії, що це буде приводом для ремонту крана. Папа був вражений такою спостережливістю сина і, загалом, навіть був не проти розпочати ремонтні роботиАле для повної переконливості попросив дядька Федора підрахувати об'єм однієї краплі води в кубічних міліметрах. Допоможіть дядькові Федорові впоратися із завданням тата, інакше у них так і капатиме вода!

Рішення

Частота ударів крапель об раковину дорівнює n=N/T=40/10=4 краплі на хвилину. Об'єм води, що набирається за 1 хвилину, дорівнює V 1 =n·ν, де ν - обсяг однієї краплі води. За 5 годин об'єм води в мірній склянці дорівнюватиме V= V 1 ·5·60=n· ν ·5·60. Оскільки 1мл=1см 3 =1000мм 3 то V=6мл=6000мм 3 . Звідси отримуємо, що обсяг однієї краплі дорівнює

ν=V/(n·5·60)=V·T/N·5·60=6000·10/40·5·60=5 мм 3

Відповідь: 5 мм 3

Тема лекції Знайки називалася «Вимірювання». Незнайці було нудно: "Що я, лінійку не бачив?!". Він сидів, розглядаючи хмари, що пропливали по небу, як раптом почув: «Завдання, друзі!». – сказав Знайка, – «Тепер визначте у системних одиницяхплоща поверхні виданих вам тіл. Незнайці дісталося тіло хитромудрої форми. Він прикладав то так, то сяк якісь на його погляд неправильні лінійки, видані Знайком. Але головне - що таке "системні одиниці", Незнайко не знав. Використовуючи його вимірювання, допоможіть Незнайці впоратися із завданням Знайки.

Рішення

"Системні одиниці" в системі СІ - це, очевидно метри. Відповідно до малюнка, маємо:

1. для бічних граней S 1 =0,04 · 0,03 = 0,0012 м 2;
2. для верхньої (або нижньої) грані S 2 =0,04 · 0,02 +0,025 · 0,025 + 0,04 · 0,015 = 0,002025 м 2;
3. для задньої (або торцевої) грані S 3 = 0,03 · 0,06 = 0,0018 м 2;
4. для бічних граней поглиблення S 4 = 0,015 0,03 = 0,00045 м 2 .

Сумарна площа поверхні: S = 2 · S 1 +2 · S 2 +2 · S 3 +2 · S 4 = 0,01095 м 2

Відповідь: S = 0,01095 м 2

Завдання №4

Здивований Змій Горинич прилетів до Баби Яги: «Доставляй-но, стара, свої прилади чаклунські і скажи, що за залізку я добув, яку, як мені сказали, цінуватимуть скоро будуть золоті?». Дістала Баба Яга прилади потрібні, попихкала, побігала – важка залізця, Бабі Язі самій не підняти. Попросила вона Змія Горинича покласти залізачку на чашу терезів, а на іншу чашу почала встановлювати мішки з алмазами. Потім наказала Змію зняти залізачку з чаші і повільно опустити її в заповітну посудину, наповнену догори студеною водою, і стала вважати, скільки амфор мірних виллється з носика судини. В кінці Баба Яга подумала і сказала: «Тяжка залізка твоя - як 10 мішків по 80 алмазних каменів по 1000 карат кожен; і водички вилилося аж 2 амфори з чвертю ... ». Яка густина металу, здобутого Змієм Гориничем? Відповідь подати у системних одиницях, округливши до цілого числа.

Для довідки: 1 карат = 0,2 г, 1 амфора = 26,3 літра.

Рішення

Відповідно до вимірювань Баби Яги, маса металу дорівнює M=10*80*1000*0,2= 160 кг.

Об'єм металу дорівнює V= 2,25 * 26,3 = 59,175 літра = 0,059175 м 3 . Отже, густина металу дорівнює ρ = M/V=160/0,059175= 2703,845 кг/м 3 . Округлюючи до цілого числа, одержуємо ρ = 2704 кг/м 3 . Змія Горинич не обдурили – таку щільність має алюміній, який приносить комусь нині дуже відчутний прибуток.

Відповідь: 2704 кг/м 3

Гідра - це маленька безхребетна тварина з роду кишковопорожнинних сидячих. Вона стоїть біля низу еволюційного ряду багатоклітинних тварин. Її розмір становить лише від 1 до 20 мм. Першими виявили її та вивчили відомі натуралістиАнтоні Ван Левенгук та А. Трамбле у 17 столітті.

Ще в стародавньої Греціїзгадували про таємничу, багатоголову істоту, що вийшла з болота і називається, як гідра.

Міф про Геракла - «Стояв Геракл непохитно як скеля, і помахами величезної палиці збивав голови гідри одну за одною. Тільки свист стояв у повітрі від ударів палиці, і злітали її голови. Але гідра була все жива, але в місці кожної збитої голови виростали дві нові……»

(Другий подвиг Геракла (Геркулеса) – Лернейська гідра)

Яка ж насправді – Гідра в природі?

Своєю подобою вона нагадує рукавичку, пальцями вгору, цих щупалець у неї від 6 до 12. Під щупальцями знаходиться невелике звуження, що виділяє "голову". У головній частині гідри є ротовий отвір. Стінки «мішковидного» тіла гідри, як і у всіх кишковопорожнинних, складаються з двох шарів. Зовнішній шар складається із шкірно-м'язових клітин, за допомогою яких вона рухається;

Гідра воліє жити в озерах чи ставках. Вона прикріплюється до водних рослин або ґрунту.

Гідра харчується різними дрібними тваринами, переважно рачками, такими як дафнії.

Прикріпившись підошвою, вона розправляє щупальця, які постійно рухаються, При контакті з жертвою, нитка розпрямляється і встромляється гострим кінцем у видобуток. По каналу, що йде всередині нитки, зі стрілянної капсули в тіло видобутку потрапляє отрута, що викликає її загибель.

Наявність у Гідри нервової системи, дозволяє їй реагувати на хімічні, механічні, температурні подразники, але все ж таки це досить примітивна тварина.

А де ж тут ще голови? , Запитайте Ви.

Справді голів у неї більше немає, і чи взагалі можна вважати головою, те, що вона має.

Але, є у гідри одна дивовижна особливість – це здатність до регенерації. Її здатність до регенерації настільки висока, що якщо її тільце розрізати впоперек багато разів, то всі шматочки відновляться в нові тіла з головою та ногою.

Трамблі щоб краще ознайомитися з гідрою, проводячи свої досліди, розрізав її впоперек, на дві частини. З першої частини, "головної", виросло нове тіло, на другій - нова "голова". За два тижні з двох відділених частин розвинулося два нормально розвинені, живі організми.

Надалі вчений подрібнював гідру на все більша кількістьчастин, але щоразу відновлювалася, здавалося межі цьому був. Сучасні вчені стверджують, що гідра може відновитись із понад 200 частинок одного тіла.

А ось тепер самі підрахуйте, скільки ж голів у гідри та скільки життів?

З часу відкриття гідри минуло понад 200 років, про гідру написано сотні праць, але й зараз унікальні здібностітакого простого організму, збуджують інтерес, як простих людей, і дослідників.

Сучасній науці відомо, що тварини не реагують на радіоактивне проміння, вони просто гинуть. Досліди із зеленою гідрою - Chlorohydra viridissima виявили, що вона якимось чином відчуває присутність цих невидимих ​​променів і прагне піти із зони їх ураження.

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину, він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , а з другого рівняння: , отже, система несумісна (Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичні завданняможна використовувати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів . Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішого завданнясуворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і не дуже раціональний спосібрішення. Самий короткий шлях- Наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам з шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний змістсистеми двох лінійних рівняньз двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосібполягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівнянь із двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішенняі відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типової та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевіркарішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторів приходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наша захоплююча подорож продовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою"ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатий папіру масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізка знаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннямив загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Саме пильну увагузвернемо на знаменник – це точно скалярний твір напрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний твірнапрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функціїлегко знайти й сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій ):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .