Як знайти відстань від точки до фігури. Відстань від точки до фігури (точки, пряма, площина)

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. У нарисної геометріївона визначається графічним шляхом за наведеним нижче алгоритмом.

Алгоритм

1. Пряму переводять у положення, в якому вона буде паралельна будь-якій площині проекції. Для цього застосовують методи перетворення ортогональних проекцій.
2. З точки проводять перпендикуляр до прямої. В основі даної побудовилежить теорема про проектування прямого кута.
3. Довжина перпендикуляра визначається шляхом перетворення його проекцій або за допомогою способу прямокутного трикутника.

На наступному малюнку представлено комплексне кресленняточки M та прямий b, заданої відрізком CD. Потрібно знайти відстань між ними.

Згідно з нашим алгоритмом, перше, що необхідно зробити, це перевести пряму в положення, паралельне площині проекції. При цьому важливо розуміти, що після проведених перетворень фактична відстань між точкою та прямою не повинна змінитися. Саме тому тут зручно використовувати метод заміни площин, який передбачає переміщення фігур у просторі.

Результати першого етапу побудов показані нижче. На малюнку видно, як паралельно введена додаткова фронтальна площина П 4 . У новій системі (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 знаходяться на тому ж віддаленні від осі X 1 , що і C"", D"", M"" від осі X.

Виконуючи другу частину алгоритму, з M"" 1 опускаємо перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на пряму b"" 1 оскільки прямий кут MND між b і MN проектується на площину П 4 в натуральну величину. По лінії зв'язку визначаємо положення точки N" та проводимо проекцію M"N" відрізка MN.

на заключному етапіпотрібно визначити величину відрізка MN за його проекціями M"N" і M"" 1 N"" 1 . Для цього будуємо прямокутний трикутник M"" 1 N"" 1 N 0 , у якого катет N"" 1 N 0 дорівнює різниці(Y M 1 – Y N 1) видалення точок M" та N" від осі X 1 . Довжина гіпотенузи M"" 1 N 0 трикутника M"" 1 N"" 1 N 0 відповідає шуканій відстані від M до b.

Другий спосіб вирішення

• Паралельно CD вводимо нову передню площину П 4 . Вона перетинає П 1 по осі X 1 , причому X 1 C "D". Відповідно до методу заміни площин визначаємо проекції точок C""1, D""1 і M""1, як це зображено на малюнку.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 будуємо додаткову горизонтальну площинуП 5 на яку пряма b проектується в точку C" 2 = b" 2 .
• Розмір відстані між точкою M і прямою b визначається довжиною відрізка M" 2 C" 2 , позначеного червоним кольором.

Схожі завдання:

Визначення відстаней

Розглянемо лише визначення відстаней, оскільки НВ плоскої фігурибула розглянута у п. 4.

Наведемо відомості з планіметрії, необхідні рішення позначених завдань.

1. Довжина відрізка є відстань між його кінцями.

2. З точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, і до того ж тільки один.

Завдання.Визначити довжину відрізка АВ (рис. 8.1).

У п. 4 було наведено розв'язання цього завдання методом заміни площин проекцій. Розглянемо інше рішення – розв'язання методом прямокутного трикутника. Його обґрунтування виконаємо, спираючись на зазначений метод заміни. Виконуючи розв'язання цього завдання шляхом заміни, отримаємо А 4 У 4 – шукану довжину. Бачимо, що відповідно до методу заміни Е 4 4 = b. Тому, відклавши на лінії В 1 В 4 х 1 від точки В 1 відрізок B 1 D 1 = E 4 В 4 = b, отримаємо прямокутний трикутник А 1 В 1 D 1 , в якому А 1 D 1 = А 4 В 4 , тобто. Довжина гіпотенузи А 1 D 1 є довжина, що шукається. Отже, довжину відрізка АВ можна визначити на площині проекцій П 1 використовуючи відстань b зняте на площині проекцій П 2 . При цьому заміна площин проекцій із віссю х 1 не потрібна. Аналогічно можна визначити довжину на площині П 2 . Для цього вибудовуємо прямокутний трикутник B 2 A 2 C 2 , у якого С 2 А 2 = а де а визначено на П 1 . У результаті отримуємо В 2 З 2 = В 1 З 1 - довжина відрізка АВ, що шукається. Зрозуміло, що необхідно будувати лише один із двох наведених прямокутних трикутників.

Завдання.Дано пряму АВ і точку Е поза прямою (рис. 8.2). Потрібно визначити відстань r (Е, АВ).

Проекційний алгоритм рішення може бути наступним:

1) методом заміни площин проекцій визначається довжина відрізка АВ. На П 4 вона дорівнює А 4 4 ;

2) будується додаткова на П 4 проекція Е 4 точки Е;

3) вводиться нова системаплощин проекцій П 4 П 5 така, що її вісь проекцій х 2 перпендикулярна А 4 В 4 ;

4) на П 5 будуються додаткові

проекції відрізка АВ та точки Е. Проекціями будуть відповідно точки А 5 = В 5 та Е 5 .

Відстань r(F 5 Е 5) є шуканою відстанню між даними прямою і точкою. Повертаємо потім послідовно проекції відрізка EF на П 4 П 1 П 2 . Для цього проводимо спочатку E 4 F 4 // x 2 , а потім будуємо: (F 5 , F 4) F 1 ; (F 4 , F 1) Þ F 2 .

У результаті отримуємо E 1 F 1 , E 2 F 2 - основні проекції відрізка EF, довжина якого є відстань, що шукається. Необхідно відзначити, що якщо не враховувати отримані побудови на П 5 , то побудови, що залишилися на П 2 , П 1 і П 4 відповідають вирішенню задачі про проведення прямої EF через дану точкуЕ, що перетинає під 90° цю пряму АВ.

Завдання.Дано площину Σ (ΔАВС) і точку Е. Визначити відстань від точки Е до площини Σ (рис. 8.3).

Розв'язання задачі може бути виконане методом заміни площин проекцій. Проекційний алгоритм рішення у разі наступний:

1) у площині Σ будується лінія рівня,

наприклад h(h 1 , h 2) так, що h 2 // x;

2) вводиться нова система площин проекцій П 1 П 4 з віссю х 1 так, що х 1 ^ h 1 ;

3) на П 4 будуються додаткові проекції заданих фігур– У 4 С 4 для ΔАВС та Е 4 для точки Е;

4) довжина перпендикуляра E 4 F 4 є відстань r(Е, Σ).

Для повноти рішення будуємо проекції відрізка EF на основних площинах проекцій. Для цього будуємо спочатку E 1 F 1 // х 1, а потім (F 4, F 1) F 2; E 2 F 2 E 1 F 1 – основні проекції відрізка EF довжини r.

До таких завдань відносяться: завдання визначення відстаней від точки до прямої, до площини, до поверхні; між паралельними і схрещуються прямими; між паралельними площинамиі т.п.

Всі ці завдання поєднують три обставини:

по першеОскільки найкоротшою відстанню між такими фігурами є перпендикуляр, то всі вони зводяться до побудови взаємно перпендикулярних до прямої і площини.

по-друге, у кожному із цих завдань необхідно визначати натуральну довжину відрізка, тобто вирішувати друге основне метричне завдання.

по-третє, Це складні за складом завдання, вони вирішуються в кілька етапів, і на кожному етапі вирішується окрема, невелика конкретна задача.

Розглянемо рішення однієї з таких завдань.

Завдання:Визначити відстань від точки Мдо прямої загального становища а(Рис. 4-26).

Алгоритм:

1 етап: Відстань від точки до прямої є перпендикуляр. Оскільки пряма а- загального положення, то для побудови перпендикуляра до неї необхідно вирішувати завдання, аналогічне наведеному на стор. М4-4 даного модуля, тобто спочатку через точку Мпровести площину S, перпендикулярну а. Задаємо цю площину, як завжди, hÇ f, при цьому h 1^ a 1, a f 2^ a 2

2 етап: Для побудови перпендикуляра необхідно знайти для нього другу точку. Це буде точка До, що належить прямий а. Для її знаходження потрібно вирішити позиційне завдання, тобто знайти точку перетину прямої аз площиною S. Вирішуємо 1ГПЗ за третім алгоритмом (рис. 4-28):

Вводимо площину – посередник Г, Г^^ П 1, ГÉ аÞ Г 1 = а 1;

- ГÇ S = b, Г^^ П 1? b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S 2.

- b 2Ç a 2 = K 2Þ K 1.

3 етап: Знаходимо натуральну величину МКметодом прямокутного трикутника

Повне розв'язання задачі показано на рис. 4-30.

Алгоритмічний запис рішення:

1. S^ а,S = hÇ f = M, h 1^ a 1 , f 2^ a 2 .

2. Вводимо площину – посередник Г,

- Г^^ П 1, ГÉ аГ 1 = а 1;

- ГÇ S = b, Г^^ П 1? b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S 2 .

- b 2Ç a 2 = K 2K 1 .

3. Знаходимо натуральну величину МК.

Висновки:

1. Розв'язання всіх метричних завдань зводиться до вирішення першої основної метричної задачі – на взаємну перпендикулярність прямої та площини.

2. При визначенні відстаней між геометричними фігурамизавжди використовується друге основне метричне завдання - визначення натуральної величини відрізка.

3. Площину, дотичну до поверхні в одній точці, можна задати двома прямими, що перетинаються, кожна з яких є дотичною до даної поверхні.

Контрольні питання

1. Які завдання називаються метричними?

2. Які дві основні метричні задачі Ви знаєте?

3. Чим вигідніше задати площину, перпендикулярну до прямої загального положення?

4. Як називається площина, перпендикулярна до однієї з ліній рівня?

5. Як називається площина, перпендикулярна до однієї з проектуючих прямих?

6. Що називається площиною, що стосується поверхні?

Обговорення тесту

Обговорення тесту. 1 варіант

Обговорення тесту. 2 варіант

Обговорення тесту. 3 варіант

Обговорення тесту. 4 варіант

Математична розминка (запишіть відповіді у зошит)

Мета уроку

Відстань між двома точками

10. Відстань від точки до фігури

11. Відстань від точки до фігури

12. Відстань від точки до прямої

13. Освоюємо алгоритми

14. Освоюємо алгоритми

15. Ненаглядна наука